縮小写像の原理

$\mathcal{C}^{1}$級函数$g \colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$を$g(x) \coloneqq x-f(x)$で定めると，
$$ g'(x) = 1-f'(x) \geq 1-k >0$$
より$g$は単調増加であるから，$g$の零点，すなわち$f$の不動点は高々一つしか存在しない．

1. $x\geq 0$のとき，
   $$ g(x) = g(0) + \int_{0}^{x} g'(t)\,\d{t} \geq g(0) + (1-k)x \to +\infty \quad(x\to+\infty)$$
   が成り立つ．
2. $x \leq 0$のとき，
   $$ g(x) = g(0) - \int_{x}^{0} g'(t)\,\d{t} \leq g(0) + (1-k)x \to -\infty \quad(x\to-\infty)$$
   が成り立つ．

よって，中間値の定理より，$x^{*}\in\mathbb{R}$であって
$$ g(x^{*})=0 \quad\leadsto\quad f(x^{*})=x^{*}$$
なるものが存在する．

一意性

$x,y\in\mathbb{R}$が不動点であるとすると，
$$ 0 \leq |x-y| = |f(x)-f(y)| \leq k|x-y| \quad\leadsto\quad 0 \leq (1-k)|x-y| \leq 0$$
となるので，$x=y$がしたがう．

存在

連続写像$g(x) \coloneqq x-f(x)$が零点を持つことを示せばよい．以下，$f(0)\neq 0$とする．

1. $f(0)>0$のとき：$g(0)=-f(0)<0$であるから$a>0$であって$g(a)>0$なるものが存在することを示せばよい．ところで，任意の$x>0$に対して
   $$ f(x)-f(0) \leq kx \quad\leadsto\quad g(x)=x-f(x) \geq x- (f(0)+kx) = (1-k)x-f(0)$$
   が成り立つので，$a \coloneqq 2f(0)/(1-k)>0$とおけば
   $$ g(a) \geq f(0) > 0$$
   である．
2. $f(0)<0$のとき：$g(0)=-f(0)>0$であるから$a<0$であって$g(a)<0$なるものが存在することを示せばよい．ところで，任意の$x<0$に対して
   $$ f(0)-f(x) \leq k(-x) \quad\leadsto\quad g(x)=x-f(x) \leq x- (f(0)+kx) = (1-k)x-f(0)$$
   が成り立つので，$a \coloneqq 2f(0)/(1-k)<0$とおけば
   $$ g(a) \leq f(0) < 0$$
   である．

任意の$n,m\in\mathbb{N}$に対して
\begin{align} \rho(f^{n}x,f^{m}x) &\leq \frac{\rho(f(f^{n}x),f^{n}x) + \rho(f(f^{m}x),f^{m}x)}{1-k} \\ &= \frac{\rho(f^{n}(fx),f^{n}(x)) + \rho(f^{m}(fx),f^{m}(x))}{1-k} \\ &\leq \frac{k^{n}\rho(fx,x) + k^{m}\rho(fx,x)}{1-k} \\ &= \frac{k^{n}+k^{m}}{1-k}\rho(fx,x) \end{align}
が成り立つので，$0\leq k <1$と合わせて結論を得る．

1. $x_{0}\in X$を取る．cauchyと$(X,\rho)$の完備性とにより，点$x^{*} \coloneqq \lim f^{n}x_{0} \in X$が定まる．さらに，$f$の連続性より
   $$ fx^{*} = \lim_{n\to\infty} f(f^{n}x_{0}) = \lim_{n\to\infty} f^{n+1}x_{0} = x^{*}$$
   がしたがう．
2. 同様にして，任意の$x \in X$に対して$\lim f^{n}x \in X$は$f$の不動点であることがわかるので，その一意性より
   $$ x^{*} = \lim_{n\to\infty} f^{n}x$$
   を得る．

1. $f^{n}$の不動点を$x^{*} \in X$とすると，
   $$ f^{n}(fx^{*}) = f(f^{n}x^{*}) = fx^{*}$$
   より$fx^{*} \in X$も$f^{n}$の不動点なので，その一意性より$fx^{*} = x^{*}$が成り立つ．
2. $fx=x$とすると，
   $$ f^{n}x = f^{n-1}(fx) = f^{n-1}x = \cdots = fx = x$$
   より$x \in X$は$f^{n}$の不動点でもあるので，その一意性より$x=x^{*}$を得る．

1. $X$から$Y$への有界連続写像全体のなす集合$\mathcal{C}_{b}(X,Y)$は，距離
   $$ \rho^{\infty}(g,h) \coloneqq \sup_{x\in X} \rho(gx,hx)$$
   に関して完備距離空間となるのだった（cf. complete命題24）．
2. 仮定より写像$F \colon \mathcal{C}_{b}(X,Y) \to \mathcal{C}_{b}(X,Y)$が
   $$ (Fg)x \coloneqq f(x,gx)$$
   により定まるが，
   $$ \rho((Fg)x,(Fh)x) = \rho(f(x,gx),f(x,hx)) \leq k\rho(gx,hx)$$
   より
   $$ \rho^{\infty}(Fg,Fh) \leq k\rho^{\infty}(g,h)$$
   が成り立つので，$F$は縮小写像である．よって$g^{*}\in \mathcal{C}_{b}(X,Y)$であって
   $$ Fg^{*}=g^{*} \quad\leadsto\quad \forall\,x\in X,\ f(x,g^{*}x) = g^{*}x$$
   なるものがただ一つ存在する．

任意の$(x,y) \in X \times \mathbb{B}^{m}[b;s]$に対して
$$ \|f(x,y)-b\| \leq \|f(x,y)-f(x,b)\| + \|f(x,b)-b\| \leq k\|y-b\|+\|f(x,b)-b\| < ks+(1-k)s = s$$
が成り立つ．よって，縮小写像
$$ \mathcal{C}_{b}(X,\mathbb{B}^{m}[b;s]) \to \mathcal{C}_{b}(X,\mathbb{B}^{m}[b;s]);\ g \mapsto [x \mapsto f(x,gx)]$$
が定まり，そのただ一つの不動点（の余制限）として所期の連続写像$y^{*} \colon X \to \mathbb{B}^{m}(b;s)$を得る：
$$ y^{*}x = f(x,y^{*}x) \in \mathbb{B}^{m}(b;s).$$

陰函数の存在

1. $J_{2} \coloneqq \D_{2}\Phi(a,b)$とおく．$\D_{2}\Phi$の連続性より，$r,s>0$であって
   $$ \forall\,(x,y) \in \mathbb{B}^{n}(a;r) \times \mathbb{B}^{m}[b;s],\ (x,y) \in U \land \|\D_{2}\Phi(x,y)-J_{2}\| \leq \frac{1}{2\|J_{2}^{-1}\|}$$
   なるものが存在する．
2. 連続写像
   $$ f \colon \mathbb{B}^{n}(a;r) \times \mathbb{B}^{m}[b;s]\to \mathbb{R}^{m};\ (x,y) \mapsto y-J_{2}^{-1}\Phi(x,y)$$
   を考える．任意の$x \in \mathbb{B}^{n}(a;r),\, y,y'\in \mathbb{B}^{m}[b;s]$に対して，
   $$ \Phi(x,y)-\Phi(x,y') = \int_{0}^{1} \D_{2}\Phi(x,y'+t(y-y'))\,\d{t} \cdot (y-y')$$
   より（cf. kshr定理5.21），
   $$ \|f(x,y)-f(x,y')\| \leq \|J_{2}^{-1}\|\|\Phi(x,y)-\Phi(x,y') - J_{2}(y-y')\| \leq \|J_{2}^{-1}\| \frac{1}{2\|J_{2}^{-1}\|}\|y-y'\| = \frac{1}{2}\|y-y'\|$$
   が成り立つ．
3. 必要なら$r>0$を小さく取り直すことにより
   $$ \forall\,x\in\mathbb{B}^{n}(a;r),\ \|f(x,b)-b\| =\|f(x,b)-f(a,b)\| < \frac{s}{2}$$
   が成り立つとしてよい．
4. key-lemより，連続写像$\varphi\colon\mathbb{B}^{n}(a;r) \to \mathbb{B}^{m}(b;s)$であって
   $$ \forall\,x\in\mathbb{B}^{n}(a;r),\ f(x,\varphi{x})=\varphi{x} \quad\leadsto\quad \Phi(x,\varphi{x})=0$$
   なるものがただ一つ存在する．
5. 明らかに
   $$ (\mathbb{B}^{n}(a;r) \times \mathbb{B}^{m}(b;s))\cap\Phi^{-1}[0] \supset \{(x,\varphi{x}) \mid x \in \mathbb{B}^{n}(a;r)\}$$
   が成り立つ．逆に$(x,y) \in \mathrm{LHS}$とすると，
   $$ f(x,y) = y - J_{2}^{-1}\Phi(x,y)=y,\ f(x,\varphi{x}) = \varphi{x}-J_{2}^{-1}\Phi(x,\varphi{x}) = \varphi{x}$$
   より，$y,\varphi{x}$はともに縮小写像$f_{x}$の不動点であるから$y=\varphi{x}$が成り立つ．

陰函数の微分

1. $\D_{2}\Phi$の連続性より，必要なら$r,s>0$を小さく取り直すことで
   $$ \forall\,(x,y)\in\mathbb{B}^{n}(a;r)\times\mathbb{B}^{m}(b;s),\ \det\D_{2}\Phi(x,y) \neq 0$$
   が成り立つとしてよい．そこで
   $$ J_{2}^{-1}(x) \coloneqq (\D_{2}\Phi(x,\varphi{x}))^{-1},\ J_{1}(x) \coloneqq \D_{1}\Phi(x,\varphi{x})$$
   とおく．
2. $x\in\mathbb{B}^{n}(a;r)$とする．このとき，任意の$\varepsilon\in\,]0,(2\|J_{2}^{-1}(x)\|)^{-1}]$に対して，$\delta>0$であって
   $$ \|\xi\|\leq\delta \implies \ x+\xi\in\mathbb{B}^{n}(a;r),\ \|\varphi(x+\xi)-\varphi(x) + J_{2}^{-1}(x)J_{1}(x)\xi\| \leq \text{const.}\cdot\varepsilon\|\xi\|$$
   を満たすものが存在することを示せばよい．
3. $\Phi$は$\mathcal{C}^{1}$級であり，$x+\xi\in\mathbb{B}^{n}(a;r)$のとき
   $$ \eta \coloneqq \varphi(x+\xi)-\varphi(x) \to 0 \quad(\xi\to 0)$$
   であるから，$\delta>0$であって
   $$ \|\xi\|\leq \delta \implies x+\xi\in\mathbb{B}^{n}(a;r),\ \|\Phi(x+\xi,\varphi{x}+\eta)-\Phi(x,\varphi{x})-\D_{1}\Phi(x,\varphi{x})\xi-\D_{2}\Phi(x,\varphi{x})\eta\| \leq \varepsilon(\|\xi\|+\|\eta\|)$$
   なるものが存在する．
4. $\|\xi\|\leq\delta$とする．このとき，
   $$ \Phi(x+\xi,\varphi{x}+\eta) = \Phi(x+\xi,\varphi(x+\xi))=0,\ \Phi(x,\varphi{x})=0$$
   より，
   $$ \|\eta+J_{2}^{-1}(x)J_{1}(x)\xi\| \leq \|J_{2}^{-1}(x)\|\varepsilon(\|\xi\|+\|\eta\|) \leq \frac{1}{2}(\|\xi\|+\|\eta\|)$$
   を得る．そこで，
   $$ c \coloneqq 2\|J_{2}^{-1}(x)J_{1}(x)\|+1$$
   とおくと，
   $$ \|\eta\|-\frac{c-1}{2}\|\xi\| \leq \|\eta+J_{2}^{-1}(x)J_{1}(x)\xi\| \leq \frac{1}{2}(\|\xi\|+\|\eta\|) \quad\leadsto\quad \|\eta\| \leq c\|\xi\|$$
   より，
   $$ \|\varphi(x+\xi)-\varphi(x)+J_{2}^{-1}(x)J_{1}(x)\xi\| = \|\eta+J_{2}^{-1}(x)J_{1}(x)\xi\| \leq \|J_{2}^{-1}(x)\|(1+c) \cdot \varepsilon\|\xi\|$$
   が成り立つ．

1. Base：impより明らか．
2. Induction：$\Phi$が$\mathcal{C}^{\ell+1}$級のとき，帰納法の仮定により$\varphi$は$\mathcal{C}^{\ell}$級であり，したがって
   $$ \D\varphi \colon x \mapsto -(\D_{2}\Phi(x,\varphi{x}))^{-1}\D_{1}\Phi(x,\varphi{x})$$
   は$\mathcal{C}^{\ell}$級なので，$\varphi$は$\mathcal{C}^{\ell+1}$級である．

$a\coloneqq\psi{b}$とおく．$\mathcal{C}^{\ell}$級写像$\Phi \colon \mathbb{R}^{n} \times U \to \mathbb{R}^{n}$を
$$ \Phi(x,y) \coloneqq \psi{y} - x$$
で定めると，点$(a,b)$において
$$ \Phi(a,b) = 0,\ \det\D_{2}\Phi(a,b) = \det (\D\psi)b \neq 0$$
が成り立つので，imp，imp-smoothより，開近傍$V\in\tau(a,\mathbb{R}^{n}),W \in \tau(b,U)$と$\mathcal{C}^{\ell}$級写像$\varphi \colon V \to W$とであって
$$ (V \times W)\cap\Phi^{-1}[0] = \{(x,\varphi{x}) \mid x \in V\}$$
を満たすものが存在する．任意の$x \in V$に対して
$$ \Phi(x,\varphi{x})=0 \quad\leadsto\quad \psi(\varphi{x})=x$$
が成り立つので，$\varphi[V] \subset \psi^{-1}[V]\cap W \eqqcolon W_{b} \in \tau(b,U)$であり，逆に$y \in W_{b}$とすると
$$ \psi{y}\in V,\ (\psi{y},y) \in (V \times W)\cap\Phi^{-1}[0] \quad\leadsto\quad y = \varphi(\psi{y}) \in \varphi[V]$$
が成り立つ．よって
$$ V \to W_{b};\ x \mapsto \varphi{x}$$
は$y \mapsto \psi{y}$を逆写像とする$\mathcal{C}^{\ell}$級微分同相写像である．

逆函数の存在

1. $J \coloneqq (\D\varphi)a$とおく．$\D\varphi$の連続性より，$r>0$であって
   $$ \forall\,x\in\mathbb{B}^{n}[a;r],\ x\in U \land \|(\D\varphi)x-J\| \leq \frac{1}{2\|J^{-1}\|}$$
   を満たすものが存在する．
2. 連続写像
   $$ f \colon \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{B}^{n}[a;r] \to \mathbb{R}^{n};\ (y,x) \mapsto x-J^{-1}(\varphi{x}-y)$$
   を考える．任意の$y\in\mathbb{R}^{n},\,x,x'\in\mathbb{B}^{n}[a;r]$に対して，
   $$ \varphi{x}-\varphi{x'} = \int_{0}^{1} \D\varphi(x'+t(x-x'))\,\d{t}\cdot(x-x')$$
   より（cf. kshr定理5.21），
   $$ \|f(y,x)-f(y,x')\| \leq \|J^{-1}\|\|\varphi{x}-\varphi{x'} - J(x-x')\| \leq \|J^{-1}\|\frac{1}{2\|J^{-1}\|}\|x-x'\| = \frac{1}{2}\|x-x'\|$$
   が成り立つ．
3. $b\coloneqq\varphi{a}$とおき，$s>0$であって
   $$ \forall\,y\in\mathbb{B}^{n}(b;s)\eqqcolon V,\ \|f(y,a)-a\| = \|f(y,a)-f(b,a)\| < \frac{r}{2}$$
   なるものを取る．
4. key-lemより，連続写像$\psi\colon V\to\mathbb{B}^{n}(a;r)$であって
   $$ \forall\,y\in V,\ f(y,\psi{y})=\psi{y} \quad\leadsto\quad \varphi(\psi{y})=y$$
   なるものがただ一つ存在する．
5. 明らかに$\psi[V] \subset \varphi^{-1}[V]\cap\mathbb{B}^{n}(a;r)\eqqcolon U_{a}$であり，逆に$x\in U_{a}$とすると
   $$ \varphi{x} \in V,\ f(\varphi{x},x) = x,\ f(\varphi{x},\psi(\varphi{x})) = \psi(\varphi{x})$$
   より$x,\psi(\varphi{x})$はともに縮小写像$f_{\varphi{x}}$の不動点であるから$x=\psi(\varphi{x})\in\psi[V]$が成り立つ．よって連続写像
   $$ \varphi \colon U_{a} \rightleftarrows V \colon \psi$$
   は互いの逆写像である．

逆函数の微分

1. $\D\varphi$の連続性より，必要なら$r,s>0$を小さく取り直すことで
   $$ \forall\,x\in U_{a},\ \det(\D\varphi)x \neq 0$$
   が成り立つとしてよい．そこで，$y\in V$に対して
   $$ J(y) \coloneqq ((\D\varphi)\psi{y})^{-1}$$
   とおく．
2. $y\in V$とする．以下，任意の$\varepsilon\in\,]0,(2\|J(y)\|)^{-1}]$に対して，$\delta>0$であって
   $$ \|\eta\| \leq \delta \implies y+\eta \in V,\ \|\psi(y+\eta)-\psi(y) - J(y)\eta\| \leq \text{const.}\cdot\varepsilon\|\eta\|$$
   が成り立つものが存在することを示す．
3. $x\coloneqq\psi{y}$とおく．このとき，$\varepsilon'>0$であって
   $$ \|\xi\| \leq \varepsilon' \implies x+\xi\in U_{a},\ \|\varphi(x+\xi)-\varphi(x) - J(y)^{-1}\xi\| \leq \varepsilon\|\xi\|$$
   なるものが存在する．また，この$\varepsilon'>0$に対して，$\delta>0$であって
   $$ \|\eta\| \leq \delta \implies y+\eta \in V,\ \|\psi(y+\eta)-\psi(y)\| \leq \varepsilon'$$
   なるものが存在する．
4. $\|\eta\| \leq \delta$とし，
   $$ \xi \coloneqq \psi(y+\eta)-\psi(y) \quad\leadsto\quad \eta = \varphi(x+\xi)-\varphi(x)$$
   とおく．このとき，
   \begin{align} \|\xi\| - \|J(y)\|\|\eta\| &\leq \|\xi-J(y)\eta\| \\ &= \|\psi(y+\eta)-\psi(y)-J(y)\eta\|\\ &\leq \|J(y)\|\|\eta-J(y)^{-1}(\psi(y+\eta)-\psi(y))\| \\ &= \|J(y)\|\|\varphi(x+\xi)-\varphi(x)-J(y)^{-1}\xi\| \\ &\leq \|J(y)\|\varepsilon\|\xi\| \\ &\leq \frac{1}{2}\|\xi\| \end{align}
   より，
   $$ \|\xi\| \leq 2\|J(y)\|\|\eta\| \quad\leadsto\quad \|\psi(y+\eta)-\psi(y)-J(y)\eta\| \leq 2\|J(y)\|^{2} \cdot \varepsilon\|\eta\|$$
   が成り立つ．
5. よって$\psi$は微分可能である：
   $$ (\D\psi)y = J(y) = ((\D\varphi)\psi{y})^{-1}.$$
   明らかに
   $$ \D\psi \colon y \mapsto ((\D\varphi)\psi{y})^{-1}$$
   は連続なので$\psi$は$\mathcal{C}^{1}$級であり，帰納的に
   $$ \varphi\in\mathcal{C}^{\ell} \implies \psi\in\mathcal{C}^{\ell}$$
   がわかる．

1. $\mathcal{C}^{\ell}$級写像
   $$ \varphi \colon U \to \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m};\ (x,y) \mapsto (x,F(x,y))$$
   を考える．仮定より
   $$ (\D\varphi)(a,b) = \begin{bmatrix} E_{n} & O_{m} \\ \D_{1}F(a,b) & \D_{2}F(a,b) \end{bmatrix} \quad\leadsto\quad \det(\D\varphi)(a,b) = \det\D_{2}F(a,b) \neq 0$$
   が成り立つので，invより，開近傍$U_{(a,b)}\in\tau((a,b),U), V\in\tau((a,0),\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m})$と$\mathcal{C}^{\ell}$級微分同相写像$\psi \colon V \to U_{(a,b)}$とであって
   $$ \forall\,(x,z)\in V,\ \varphi(\psi(x,z))=(x,z)$$
   を満たすものが存在する．
2. $G \coloneqq \pr_{2}\psi$とおく：
   $$ \varphi(x,y) = (x,F(x,y)),\ \psi(x,z) = (x,G(x,z)).$$
   また，開近傍$U_{a}\in\tau(a,\mathbb{R}^{n}),\,U_{b}\in\tau(b,\mathbb{R}^{m})$であって
   $$ U_{a} \times U_{b} \subset U_{(a,b)};\ \forall\,(x,y) \in U_{a}\times U_{b},\ \det\D_{2}F(x,y) \neq 0$$
   なるものを取る．このとき，任意の$(x,y)\in(U_{a}\times U_{b})\cap F^{-1}[0]$に対して
   $$ \varphi(x,y)=(x,F(x,y))=(x,0) \quad\leadsto\quad (x,y) = \psi(x,0) = (x,G(x,0))$$
   が成り立つので，$\mathcal{C}^{\ell}$級写像$f \colon U_{a} \to U_{b}$を
   $$ fx \coloneqq G(x,0)$$
   で定めることができる．
3. 定義より
   $$ (U_{a} \times U_{b}) \cap F^{-1}[0] \subset \{(x,fx) \mid x \in U_{a}\}$$
   であり，逆に任意の$x \in U_{a}$に対して
   $$ (x,fx) = (x,G(x,0)) = \psi(x,0) \quad\leadsto\quad (x,0) = \varphi(x,fx) = (x,F(x,fx))$$
   より
   $$ (x,fx) \in (U_{a} \times U_{b}) \cap F^{-1}[0]$$
   が成り立つ．
4. 任意の$x \in U_{a}$に対して，合成函数の微分公式より
   $$ F(x,fx) = 0 \quad\leadsto\quad O_{m,n} = \begin{bmatrix} \D_{1}F(x,fx) & \D_{2}F(x,fx) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_{n} \\ (\D{f})x \end{bmatrix} = \D_{1}F(x,fx)+\D_{2}F(x,fx)\cdot(\D{f})x$$
   が成り立つので（cf. kshr定理5.15），
   $$ (\D{f})x = - (\D_{2}F(x,fx))^{-1}\D_{1}F(x,fx)$$
   を得る．

1. 座標の入れ替えは微分同相なので
   $$ \det \begin{bmatrix} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(a) \end{bmatrix}_{1 \leq i,j \leq k} \neq 0$$
   としてよい．このとき，可微分写像
   $$ \varphi \colon U \to \mathbb{R}^{n};\ x \mapsto (F_{1}x,\ldots,F_{k}x, x_{k+1},\ldots,x_{n})$$
   について
   $$ (\D\varphi)a = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(a) \end{bmatrix} & \huge{\ast} \\ O_{n-k,k} & E_{n-k} \end{bmatrix} \quad\leadsto\quad \det(\D\varphi)a \neq 0$$
   が成り立つので，invより
   $$ \exists\,U_{a}\in\tau(a,U),\ \varphi \colon U_{a} \cong \varphi[U_{a}] \in \tau(\mathbb{R}^{n})$$
   となる．必要なら$U_{a}$を小さく取り直すことで，$\varphi[U_{a}]$は立方体（開区間の直積）であるとしてよい：
   $$ \varphi[U_{a}] = \mathbb{I}^{k} \times \mathbb{I}^{n-k};\ \mathbb{I}^{k} \in \tau((F_{1}a,\ldots,F_{k}a),\mathbb{R}^{k}),\ \mathbb{I}^{n-k}\in\tau((a_{k+1},\ldots,a_{n}),\mathbb{R}^{n-k}).$$
2. ここで，$g_{k+i} \coloneqq\pr_{k+i}F\varphi^{-1}$とおくと，任意の$\xi\in\varphi[U_{a}]$に対して
   $$ F\varphi^{-1}\xi = (\xi_{1},\ldots,\xi_{k},g_{k+1}\xi,\ldots,g_{m}\xi) \quad\leadsto\quad ((\D{F})\varphi^{-1}\xi) \cdot (\D\,(\varphi^{-1})\xi) = \D\,(F\varphi^{-1})\xi = \begin{bmatrix} E_{k} & O_{k,n-k} \\ \huge{\ast} & \begin{bmatrix} \frac{\partial g_{k+i}}{\partial \xi_{k+j}}(\xi) \end{bmatrix} \end{bmatrix}$$
   が成り立つので，
   $$ \forall\,\xi\in\varphi[U_{a}],\ \rank(\D{F})\varphi^{-1}\xi = k,\ \det\D{(\varphi^{-1})}\xi \neq 0 \quad\leadsto\quad \begin{bmatrix} \frac{\partial g_{k+i}}{\partial \xi_{k+j}}(\xi) \end{bmatrix}_{1\leq i \leq m-k,\ 1 \leq j \leq n-k} = O_{m-k,n-k}$$
   を得る．よって，$\mathbb{I}^{n-k}$の凸性より
   $$ g(\xi_{1},\ldots,\xi_{k}) \coloneqq (g_{k+1}(\xi_{1},\ldots,\xi_{k},a_{k+1},\ldots,a_{n}),\ldots,g_{m}(\xi_{1},\ldots,\xi_{k},a_{k+1},\ldots,a_{n})) \stackrel{!}{=} (g_{k+1}\xi,\ldots,g_{m}\xi) \quad\leadsto\quad F\varphi^{-1}\xi = (\xi_{1},\ldots,\xi_{k},g(\xi_{1},\ldots,\xi_{k}))$$
   と書ける（cf. kshr定理5.21）．
3. このとき，
   $$ Fa = (F\varphi^{-1})\varphi{a} = (F_{1}a,\ldots,F_{k}a,g(F_{1}a,\ldots,F_{k}a)) \quad\leadsto\quad g(F_{1}a,\ldots,F_{k}a) = (F_{k+1}a,\ldots,F_{m}a)$$
   であり，可微分写像
   $$ \mathbb{I}^{k}\times\mathbb{R}^{m-k} \to \mathbb{R}^{m};\ (\xi_{1},\ldots,\xi_{k},\eta) \mapsto (\xi_{1},\ldots,\xi_{k},\eta+g(\xi_{1},\ldots,\xi_{k}))$$
   の点$(F_{1}a,\ldots,F_{k}a,0)$におけるヤコビ行列が
   $$ \begin{bmatrix} E_{k} & O_{k,m-k} \\ \huge{\ast} & E_{m-k} \end{bmatrix}$$
   であることから，$Fa$の或る近傍上で定義された微分同相写像が得られる（cf. inv）：
   $$ \tau((F_{1}a,\ldots,F_{k}a,0),\mathbb{R}^{m}) \ni \psi[V_{Fa}] \cong V_{Fa} \colon \psi.$$
4. $U_{a} \cap F^{-1}[V_{Fa}]$を改めて$U_{a}$と書けば，任意の$\xi \in \varphi[U_{a}]$に対して
   $$ (\psi F \varphi^{-1})\xi = \psi(\xi_{1},\ldots,\xi_{k},g(\xi_{1},\ldots,\xi_{k})) = (\xi_{1},\ldots,\xi_{k},g(\xi_{1},\ldots,\xi_{k})-g(\xi_{1},\ldots,\xi_{k})) = (\xi_{1},\ldots,\xi_{k},0,\ldots,0)$$
   が成り立つ：
   $$ \xymatrix{ {\mathbb{R}^{n}} \ar@{}[r]|{\supset} & {U_{a}} \ar[rr]^{F} \ar[dd]_{\varphi}^{\cong} && {V_{Fa}} \ar[dd]^{\psi}_{\cong} \ar@{}[r]|{\subset} & {\mathbb{R}^{m}}\\ \\ {\mathbb{I}^{k}\times\mathbb{R}^{n-k}} \ar@{}[r]|{\supset} & {\varphi[U_{a}]} \ar[rr]_{\psi F \varphi^{-1}} && {\psi[V_{Fa}]} \ar@{}[r]|{\subset} & {\mathbb{I}^{k}\times\mathbb{R}^{m-k}} }$$