完備・全有界・コンパクト

$\beta(d)$が$X$上の基底であることを示せばよい（cf. top定義9周辺）．

1. 任意の$x \in X$に対して
   $$ x \in B(x;1) \in \beta(d)$$
   が成り立つ．
2. $z \in B(x;r) \cap B(y;s)$とする．このとき
   $$ t:= \min\{r-d(z,x),s-d(z,y)\} \in \mathbb{R}_{>0}$$
   とおくと，$z \in B(z;t) \in \beta(d)$であるから，あとは
   $$ B(z;t) \subset B(x;r) \cap B(y;s)$$
   が成り立つことを示せばよい．そこで$w \in B(z;t)$とすると，
   \begin{align} d(w,x) &\leq d(w,z) + d(z,x)\\ &< t + d(z,x)\\ &\leq (r-d(z,x)) + d(z,x)\\ &= r \end{align}
   より，$w \in B(x,r)$が成り立つ．同様に$w \in B(y;s)$も成り立つ．

$(X,d)$を距離空間とし$(c,r) \in X \times \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき$X \smallsetminus B[c;r] \in \tau(d)$なることを示せばよい．ところで，任意の$x \in X \smallsetminus B[c;r]$に対して，$s:= d(x,c) - r \in \mathbb{R}_{>0}$とおくと，
\begin{align} y \in B(x;s) \implies d(y,c) &\geq d(x,c) - d(x,y)\\ &> d(x,c) - s\\ &= r \end{align}
より，$B(x;s) \subset X \smallsetminus B[c;r]$が成り立つ．

$\beta(d|_{A}) \subset \beta(d)|A \subset \tau(d|_{A})$が成り立つことを示せばよい．

1. 任意の$(a,r) \in A \times \mathbb{R}_{>0}$に対して，
   $$ B_{A}(a;r) = \{x \in A \mid d(x,a) < r\} = B_{X}(a;r) \cap A \in \beta(d)|A$$
   が成り立つ．
2. $(x,r) \in X \times \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき，任意の$a \in B_{X}(x;r) \cap A$に対して，$s := r - d(a,x) \in \mathbb{R}_{>0}$とおくと，
   \begin{align} d|_{A}(y,a) < s \implies d(y,x) &\leq d(y,a) + d(a,x)\\ &= d|_{A}(y,a) + d(a,x)\\ &< s + d(a,x)\\ &= r \end{align}
   より，$B_{A}(a;s) \subset B_{X}(x;r) \cap A$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$V \in \tau(d_{Y})$とし$x_{0} \in f^{\leftarrow}(V)$とする．このとき$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$であって$B_{Y}(f(x_{0});\varepsilon) \subset V$なるものが存在する．よって仮定より$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$であって
$$ B_{X}(x_{0};\delta) \subset f^{\leftarrow}(B_{Y}(f(x_{0});\varepsilon)) \subset f^{\leftarrow}(V)$$
を満たすものが存在する．

(ii)$\implies$(i)

$(x_{0},\varepsilon) \in X \times \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき，$x_{0} \in f^{\leftarrow}(B_{Y}(f(x_{0});\varepsilon)) \in \tau(d_{X})$に対して，$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$であって
$$ B_{X}(x_{0};\delta) \subset f^{\leftarrow}(B_{Y}(f(x_{0});\varepsilon))$$
を満たすものが存在する．

1. 距離関数の定義より
   $$ d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,w) + d(w,y),$$
   したがって
   $$ d(x,y) - d(z,w) \leq d(x,z) + d(y,w)$$
   が成り立つ．同様に
   $$ d(z,w) - d(x,y) \leq d(z,x) + d(w,y) = d(x,z) + d(y,w)$$
   が成り立つ．
2. $(x_{0},\varepsilon) \in X \times \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき，$\delta := \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とおくと，前段より
   \begin{align} d(x',x_{0}) < \delta \implies |d_{x}(x') - d_{x}(x_{0}) | &= |d(x,x') - d(x,x_{0}) | \\ &\leq d(x',x_{0}) \\ &< \delta \\ &= \varepsilon \end{align}
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．仮定より$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$であって
$$ B_{X}(x_{\infty};\delta) \subset f^{\leftarrow}(B_{Y}(f(x_{\infty});\varepsilon))$$
を満たすものが存在する．この$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq n_{0} \implies d_{X}(x_{n},x_{\infty}) < \delta$$
が成り立つものが存在する．よって
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq n_{0} \implies d_{Y}(f(x_{n}),f(x_{\infty})) < \varepsilon$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$f \colon X \to Y$が連続でない，すなわち$(x_{\infty},\varepsilon_{\infty}) \in X \times \mathbb{R}_{>0}$であって
$$ \forall \delta \in \mathbb{R}_{>0},\ B_{X}(x_{\infty};\delta) \not\subset f^{\leftarrow}(B_{Y}(f(x_{\infty});\varepsilon_{\infty}))$$
を満たすものが存在したと仮定すると，点列$(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}_{>0}}$であって
$$ \forall n \in \mathbb{N}_{>0},\ d_{X}(x_{n},x_{\infty}) < \frac{1}{n},\ d_{Y}(f(x_{n}),f(x_{\infty})) \geq \varepsilon_{\infty}$$
を満たすものが得られるが，これは不合理である．

1. 閉包と最大下界の特徴づけより
   \begin{align} x \in \cl(A) &\iff \forall B(x;\varepsilon) \in \beta(d),\ B(x;\varepsilon) \cap A \neq \varnothing\\ &\iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0},\ \exists\,a \in A,\ d(a,x) < \varepsilon \iff \forall n \in \mathbb{N}_{>0},\ \exists\,a_{n} \in A,\ d(a_{n},x) < \frac{1}{n}\\ &\iff \dist(A,x) = 0 \end{align}
   が成り立つ．
2. $A \subset \cl(A), A' \subset \cl(A')$より
   $$ \forall (a,a') \in A \times A',\ \dist(\cl(A),\cl(A')) \leq d(a,a')$$
   が成り立つので，
   $$ \dist(\cl(A),\cl(A')) \leq \dist(A,A')$$
   を得る．もし等号が成り立たないとすると，$x \in \cl(A), x' \in \cl(A')$であって
   $$ d(x,x') < \dist(A,A')$$
   なるものが存在する．このとき，$\varepsilon := \dist(A,A') - d(x,x') \in \mathbb{R}_{>0}$とおくと，(1)より，$a \in A, a' \in A'$であって
   $$ d(a,x) < \frac{\varepsilon}{2},\ d(a',x') < \frac{\varepsilon}{2}$$
   を満たすものが存在するが，
   \begin{align} \dist(A,A') &\leq d(a,a')\\ &\leq d(a,x) + d(x,x') + d(x',a')\\ &\textcolor{orange}{<} d(x,x') + \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\ &= d(x,x') + \varepsilon\\ &= \dist(A,A') \end{align}
   となって不合理である．
3. 任意の$x,y \in A$に対して，$x,y \in A'$より，
   $$ d(x,y) \leq \diam(A')$$
   が成り立つので，$\diam(A) \leq \diam(A')$を得る．
4. $A \subset \cl(A)$より$\diam(A) \leq \diam(\cl(A))$が成り立つ．もし等号が成り立たないとすると，$x,y \in \cl(A)$であって
   $$ \diam(A) < d(x,y)$$
   を満たすものが存在する．このとき，$\varepsilon := d(x,y) - \diam(A) \in \mathbb{R}_{>0}$とおくと，$a,a' \in A$であって
   $$ d(a,x) < \frac{\varepsilon}{2},\ d(a',y) < \frac{\varepsilon}{2}$$
   を満たすものが存在するが，
   \begin{align} \diam(A) &= d(x,y) - \varepsilon\\ &\leq d(x,a) + d(a,a') + d(a',y) - \varepsilon\\ &\textcolor{orange}{<} d(a,a') + \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} - \varepsilon\\ &= d(a,a')\\ &\leq \diam(A) \end{align}
   となって不合理である．

1. $\lim x_{n} = x_{\infty}$とし，$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq n_{0} \implies d(x_{n},x_{\infty}) < \frac{\varepsilon}{2}$$
   が成り立つものが存在する．よって
   $$ \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m \geq n_{0} \implies d(x_{n},x_{m}) \leq d(x_{n},x_{\infty}) + d(x_{\infty},x_{m}) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
   が成り立つ．
2. $(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$をCauchy列とする．このとき$1 \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m \geq n_{0} \implies d(x_{n},x_{m}) < 1$$
   が成り立つものが存在する．そこで
   $$ M := \max\{d(x_{i},x_{j}) \mid i,j \in [n_{0}]\}$$
   とおくと，
   $$ \diam(\{x_{n} \in X \mid n \in \mathbb{N}\}) \leq M +1 < \infty$$
   が成り立つ．
3. $\lim x_{\varphi(n)} = x_{\infty}$とし，$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ d(x_{\varphi(n_{0})},x_{\infty}) < \frac{\varepsilon}{2},$$
   および
   $$ \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m \geq n_{0} \implies d(x_{n},x_{m}) < \frac{\varepsilon}{2}$$
   が成り立つものが存在する．したがって，$\varphi(n_{0}) \geq n_{0}$に注意すると，
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq n_{0} \implies d(x_{n},x_{\infty}) \leq d(x_{n},x_{\varphi(n_{0})}) + d(x_{\varphi(n_{0})},x_{\infty}) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
   が成り立つことがわかる．

1. $(a_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}}$を$d|_{A}$-Cauchy列とする．このとき$(a_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$は$d$-Cauchy列であるから，dist-diamより，
   $$ \lim_{n\to\infty} a_{n} \in \cl(A) = A$$
   が成り立つ．
2. $x \in \cl(A)$とする．このとき，dist-diamより，点列$(a_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}}$であって
   $$ \lim_{n\to\infty} d(a_{n},x) = 0$$
   なるものが存在する．conv-cauchy-bddより$(a_{n})_{n}$は$d$-Cauchy列，したがって$d|_{A}$-Cauchy列であるから，仮定より$a_{\infty} \in A$であって
   $$ \lim_{n\to\infty} d|_{A}(a_{n},a_{\infty}) = 0$$
   なるものが存在する．ところで
   $$ 0 \leq d(x,a_{\infty}) \leq d(x,a_{n}) + d|_{A}(a_{n},a_{\infty}) \to 0\ (n \to\infty)$$
   となるので，$x = a_{\infty} \in A$を得る．

(i)$\implies$(ii)

1. $F_{n} \neq \varnothing$より，点列$(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$であって
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ x_{n} \in F_{n}$$
   を満たすものが存在する．
2. まづ$(x_{n})_{n}$がCauchy列であることを示す．そこで$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とすると，$\lim\diam(F_{n}) = 0$より，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって$\diam(F_{n_{0}}) < \varepsilon$なるものが存在するので，任意の$n,m \in \mathbb{N}$に対して
   \begin{align} n,m \geq n_{0} &\implies x_{n}\in F_{n} \subset F_{n_{0}},\ x_{m} \in F_{m} \subset F_{n_{0}} \\ &\implies d(x_{n},x_{m}) \leq \diam(F_{n_{0}}) < \varepsilon \end{align}
   が成り立つ．
3. よって，$(X,d)$の完備性より，$x_{\infty} \in X$であって$\lim x_{n} = x_{\infty}$なるものが存在する．あとは$x_{\infty} \in \bigcap_{n} F_{n}$が成り立つことを示せばよい．
4. もし$n_{1} \in \mathbb{N}$であって$x_{\infty} \notin F_{n_{1}}$なるものが存在したとすると，dist-diamより$\dist(F_{n_{1}},x_{\infty}) > 0$であるから，$\lim x_{n} = x_{\infty}$より，$n_{2} \geq n_{1}$であって
   $$ d(x_{n_{2}},x_{\infty}) < \dist(F_{n_{1}},x_{\infty})$$
   を満たすものが存在する．ところがこのとき
   $$ x_{n_{2}} \in F_{n_{2}} \subset F_{n_{1}}\ \leadsto\ \dist(F_{n_{1}},x_{\infty}) \leq d(x_{n_{2}},x_{\infty}) < \dist(F_{n_{1}},x_{\infty})$$
   となって不合理である．

(ii)$\implies$(i)

1. $(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$をCauchy列とする．各$n \in \mathbb{N}$に対して
   $$ F_{n} := \cl(\{x_{m} \in X \mid m \geq n\})$$
   とおくと，$(F_{n})_{n}$は非空閉集合からなる減少列である．
2. 任意の$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m \geq n_{0} \implies d(x_{n},x_{m}) < \frac{\varepsilon}{2}$$
   が成り立つものが存在するので，dist-diamより，
   $$ n \geq n_{0} \implies 0 \leq \diam(F_{n}) \leq \diam(F_{n_{0}}) = \diam(\{x_{m} \mid m \geq n_{0}\}) \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$
   が成り立つ．
3. 仮定より，$x_{\infty} \in \bigcap_{n} F_{n}$が取れる．あとは$\lim x_{n} = x_{\infty}$なることを示せばよいが，それは
   $$ 0 \leq d(x_{n},x_{\infty}) \leq \diam(F_{n}) \to 0\ (n\to\infty)$$
   より明らかである．

(i)$\implies$(ii)

1. 各$n \in \mathbb{N}_{>0}$に対して，$\lambda_{n} \in \Lambda$であって$\diam(F_{\lambda_{n}}) < n^{-1}$なるものが取れる．そこで
   $$ F'_{n} := F_{\lambda_{1}} \cap\cdots\cap F_{\lambda_{n}}$$
   とおくと，$F'_{n} \subset X$は非空閉集合であって
   $$ F'_{n+1} \subset F'_{n},\ \diam(F'_{n}) \leq \diam(F_{\lambda_{n}}) < \frac{1}{n}$$
   が成り立つ．よってnestより$x_{\infty} \in X$であって$\bigcap_{n} F'_{n} = \{x_{\infty}\}$なるものが存在する．あとは$x_{\infty} \in \bigcap_{\lambda} F_{\lambda}$が成り立つことを示せば十分である．
2. $\lambda \in \Lambda$とする．このとき$(F'_{n} \cap F_{\lambda})_{n}$は非空閉集合からなる減少列であって
   $$ 0 \leq \diam(F'_{n} \cap F_{\lambda}) \leq \diam(F'_{n}) \to 0\ (n\to\infty)$$
   が成り立つ．よって，ふたたびnestより
   $$ \varnothing \neq \bigcap_{n\in\mathbb{N}_{>0}} F'_{n} \cap F_{\lambda} = \left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{>0}} F'_{n}\right) \cap F_{\lambda} = \{x_{\infty}\} \cap F_{\lambda}$$
   が成り立つので，$x_{\infty} \in F_{\lambda}$を得る．

(ii)$\implies$(i)

nestより明らか．

(i)$\implies$(ii)

$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．仮定より，有限集合$A_{0} \subset A$であって
$$ A = \bigcup_{a\in A_{0}} B_{A}(a;\varepsilon)$$
を満たすものが存在する．よって，有限集合$A_{0} \subset X$について
$$ A \subset \bigcup_{x \in A_{0}} B(x;\varepsilon)$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．仮定より，有限個の点$x_{0},\ldots,x_{n} \in X$であって
$$ A \subset \bigcup_{i\in[n]} B(x_{i};\varepsilon/2)$$
を満たすものが存在する．任意の$i \in [n]$に対して$B(x_{i};\varepsilon/2) \cap A \neq \varnothing$が成り立つとしてよい．そこで各$i \in [n]$に対して$a_{i} \in B(x_{i};\varepsilon/2) \cap A$を取ると，
$$ A = \bigcup_{i\in[n]} B_{A}(a_{i};\varepsilon)$$
が成り立つ．実際，$a \in A$とすると，$i\in[n]$であって$a \in B(x_{i};\varepsilon/2)$なるものが存在するので，
$$ d|_{A}(a,a_{i}) = d(a,a_{i}) \leq d(a,x_{i}) + d(x_{i},a_{i}) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
より，$a \in B_{A}(a_{i};\varepsilon)$が成り立つ．

1. 明らか．
2. $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．仮定より，有限個の点$x_{0},\ldots,x_{n} \in X$であって
   $$ A \subset \bigcup_{i\in[n]} B(x_{i};\varepsilon/2)$$
   を満たすものが存在する．よって
   $$ \cl(A) \subset \bigcup_{i\in[n]} \cl(B(x_{i};\varepsilon/2)) \subset \bigcup_{i\in[n]} B[x_{i};\varepsilon/2] \subset \bigcup_{i\in[n]} B(x_{i};\varepsilon)$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき仮定より有限個の点$x_{0},\ldots,x_{n} \in X$であって
$$ X = \bigcup_{i\in[n]} B(x_{i};\varepsilon/2)$$
を満たすものが存在する．そこで$X_{i} := B(x_{i};\varepsilon/2)$とおくと，$(X_{i})_{i\in[n]}$は$X$の有限被覆であって，
$$ \forall x,y \in X_{i},\ d(x,y) \leq d(x,x_{i}) + d(x_{i},y) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
より，$\diam(X_{i}) \leq \varepsilon$が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．仮定より，非空部分集合からなる有限被覆$(X_{i})_{i\in[n]}$であって
$$ \diam(X_{i}) \leq \frac{\varepsilon}{2}$$
を満たすものが存在する．各$i \in [n]$に対して$x_{i} \in X_{i}$を取り，
$$ X_{\mathrm{fin}} := \{x_{0},\ldots,x_{n}\}$$
とおく．このとき，任意の$x \in X$に対して，$i \in [n]$であって$x \in X_{i}$なるものが存在するので，
$$ \dist(X_{\mathrm{fin}},x) \leq d(x_{i},x) \leq \diam(X_{i}) \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$
が成り立つ．

(iii)$\implies$(i)

$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき
$$ X = \bigcup_{x \in X_{\mathrm{fin}}} B(x;\varepsilon)$$
が成り立つことを示せばよい．ところで，$x \in X$とすると，$X_{\mathrm{fin}}$の有限性より$x_{0} \in X_{\mathrm{fin}}$であって$\dist(X_{\mathrm{fin}},x) = d(x_{0},x)$なるものが存在するので，
$$ d(x,x_{0}) = \dist(X_{\mathrm{fin}},x) < \varepsilon,$$
すなわち$x \in B(x_{0};\varepsilon)$が成り立つ．

$(X,d)$を全有界距離空間とする．

1. 各$n \in \mathbb{N}_{>0}$に対して，有限集合$X_{n} \subset X$であって
   $$ X = \bigcup_{x\in X_{n}} B(x;n^{-1})$$
   を満たすものが存在する．
2. そこで
   $$ \beta_{n} := \{B(x;n^{-1}) \in \tau(d) \mid x \in X_{n}\}$$
   とおくと，
   $$ \beta := \bigcup_{n\in\mathbb{N}_{>0}} \beta_{n} \subset \tau(d)$$
   は可算集合である．
3. $x \in U \in \tau(d)$とする．このとき$s \in \mathbb{R}_{>0}$であって$B(x;s) \subset U$なるものが存在し，さらに$n \in \mathbb{N}_{>0}$であって$2/n < s$なるものが取れる．いま
   $$ x \in X = \bigcup_{y\in X_{n}} B(y;n^{-1})\ \leadsto\ \exists\,x_{n} \in X_{n},\ x \in B(x_{n};n^{-1})$$
   となるので，
   \begin{align} d(z,x_{n}) < \frac{1}{n} \implies d(z,x) &\leq d(z,x_{n}) + d(x_{n},x) \\ &< \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\\ &= \frac{2}{n}\\ &< s \end{align}
   より
   $$ x \in B(x_{n};n^{-1}) \subset B(x;s) \subset U$$
   が成り立つ．

$(x_{\bullet},\varepsilon) \in X^{\mathbb{N}} \times \mathbb{R}_{>0}$とする．$(X,d)$の全有界性より，有限集合$A \subset X$であって
$$ X = \bigcup_{a \in A} B(a;\varepsilon/2)$$
を満たすものが存在する．このとき
$$ \mathbb{N} = \bigcup_{a \in A} x_{\bullet}^{\leftarrow}(B(a;\varepsilon/2))$$
より，$a_{\infty} \in A$であって$\# x_{\bullet}^{\leftarrow}(B(a_{\infty};\varepsilon/2)) = \infty$なるものが存在する．よって，app-incrより，単調増加写像$\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$であって$\varphi^{\rightarrow}(\mathbb{N}) = x_{\bullet}^{\leftarrow}(B(a_{\infty};\varepsilon/2))$なるものが存在する．この$\varphi$について
$$ \diam((x_{\bullet}\circ\varphi)^{\rightarrow}(\mathbb{N})) \leq \diam(B(a_{\infty};\varepsilon/2)) \leq \varepsilon$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$x_{\bullet} \in X^{\mathbb{N}}$とする．

1. 写像$\Phi \colon \bigcup_{n} (\mathbb{N}^{\mathbb{N}})^{\mathbb{N}_{< n}} \to \mathbb{N}^{\mathbb{N}}$を
   $$ \begin{cases} \Phi(\varnothing) := \id_{\mathbb{N}} & n = 0 \\ \Phi((\psi_{0},\ldots,\psi_{n-1})) := \Psi(x_{\bullet} \circ \psi_{0}\circ\cdots\circ\psi_{n-1},n^{-1}) & n > 0 \end{cases}$$
   で定める．このとき写像$\varphi_{\bullet} \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}^{\mathbb{N}}$であって
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ \varphi_{n} = \Phi(\varphi_{\bullet}|\mathbb{N}_{< n})$$
   を満たすものが（ただひとつ）存在する（cf. real定理8）．写像$\Psi$の定義より各$\varphi_{n} \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$は単調増加であることに注意する（cf. incr）．
2. 写像$\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$を
   $$ \varphi(n) := \varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n}(n)$$
   で定めると，これは単調増加写像である．実際，$n,m \in \mathbb{N},n < m,$とすると，$\varphi_{n+1}\circ\cdots\circ\varphi_{m}$の単調増加性より
   $$ n < m \leq \varphi_{n+1}\circ\cdots\circ\varphi_{m}(m)$$
   となるので，
   $$ \varphi(n) = \varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n}(n) < \varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n}(m) \leq \varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{m}(m) = \varphi(m)$$
   が成り立つ．
3. 部分列$x_{\bullet} \circ \varphi \colon \mathbb{N} \to X$がCauchy列であることを示す．そこで$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とし，$n_{0}\in\mathbb{N}_{>0}$であって$n_{0}^{-1} < \varepsilon$なるものを取る．このとき任意の$n,m \in \mathbb{N}_{>n_{0}}$に対して，
   $$ n':= \varphi_{n_{0}+1}\circ\cdots\circ\varphi_{n}(n),\ m':= \varphi_{n_{0}+1}\circ\cdots\circ\varphi_{m}(m)$$
   とおくと，
   $$ \varphi_{n_{0}} = \Psi(x_{\bullet}\circ\varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n_{0}-1},n_{0}^{-1}) \in I(x_{\bullet}\circ\varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n_{0}-1},n_{0}^{-1})$$
   より，
   \begin{align} d(x_{\varphi(n)},x_{\varphi(m)}) &= d(x_{\varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n}(n)},x_{\varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{m}(m)}) \\ &= d(x_{\varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n_{0}}(n')},x_{\varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n_{0}}(m')})\\ &\leq \diam((x_{\bullet}\circ\varphi_{0}\circ\cdots\circ\varphi_{n_{0}})^{\rightarrow}(\mathbb{N})) \\ &\leq \frac{1}{n_{0}}\\ &< \varepsilon \end{align}
   が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

対偶を示す．そこで$(X,d)$が全有界でないとすると，$\varepsilon_{0} \in \mathbb{R}_{>0}$であって$(B(x;\varepsilon_{0}))_{x} \in \tau(d)^{X}$が有限部分被覆を持たないようなものが存在する．このとき$(X\smallsetminus B(x;\varepsilon_{0}))_{x} \in \tau^{c}(d)^{X}$は有限交叉性を持つ部分集合族なので，app-fipより，点列$(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$であって
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ x_{n+1} \in \bigcap_{i\in[n]} X \smallsetminus B(x_{i};\varepsilon_{0}) = X \smallsetminus \bigcup_{i\in[n]} B(x_{i};\varepsilon_{0})$$
を満たすものが存在する．ところで任意の$n,m \in \mathbb{N}$に対して
$$ n > m \implies x_{n} \notin B(x_{m};\varepsilon_{0}) \implies d(x_{n},x_{m}) \geq \varepsilon_{0}$$
が成り立つので，点列$(x_{n})_{n}$はCauchy部分列を持ち得ない．

$(X,d)$をコンパクト距離空間とすると，nest-fipより$(X,d)$は完備であり，定義より$(X,d)$は全有界である．

(i)$\implies$(ii)

$(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$とする．いま$(X,d)$は全有界なのでtot-bdd-sub-cauchyより$(x_{n})_{n}$はCauchy部分列を持つが，$(X,d)$の完備性よりこの部分列は収束する．

(ii)$\implies$(i)

1. $(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$をCauchy列とすると，仮定より$(x_{n})_{n}$は収束部分列を持つので，conv-cauchy-bddより$(x_{n})_{n}$は収束する．よって$(X,d)$は完備である．
2. $(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$とすると，仮定より$(x_{n})_{n}$は収束部分列，したがってCauchy部分列を持つ．よって$(X,d)$は全有界である（cf. tot-bdd-sub-cauchy）．

$(U_{\lambda})_{\lambda} \in \tau(d)^{\Lambda}$とする．補題の主張が成り立たないとすると，各$n \in \mathbb{N}_{>0}$に対して，$x_{n} \in X$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ B(x_{n};n^{-1}) \not\subset U_{\lambda}$$
を満たすものが存在する．仮定より，点列$(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}_{>0}}$は収束部分列を$(x_{\varphi(n)})_{n}$持つ．そこで$x_{\infty} := \lim x_{\varphi(n)}$とおくと，$(U_{\lambda})_{\lambda}$が$X$の開被覆であることおよび距離位相の定義より$\lambda_{\infty}\in \Lambda$および$\varepsilon_{\infty} \in \mathbb{R}_{>0}$であって$B(x_{\infty};\varepsilon_{\infty}) \subset U_{\lambda_{\infty}}$なるものが存在する．このとき$n_{0} \in \mathbb{N}_{>0}$であって
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq n_{0} \implies d(x_{\varphi(n)},x_{\infty}) < \frac{\varepsilon_{\infty}}{2}$$
が成り立つものを取り$n_{1} := \max\{n_{0},\lfloor 2/\varepsilon_{\infty} \rfloor+1\} \in \mathbb{N}_{>0}$とおくと，
\begin{align} d(x,x_{\varphi(n_{1})}) < \frac{1}{\varphi(n_{1})} \implies d(x,x_{\infty}) &\leq d(x,x_{\varphi(n_{1})}) + d(x_{\varphi(n_{1})},x_{\infty})\\ &< \frac{1}{\varphi(n_{1})} + \frac{\varepsilon_{\infty}}{2}\\ &\leq \frac{1}{n_{1}} + \frac{\varepsilon_{\infty}}{2} \\ &\leq \frac{\varepsilon_{\infty}}{2} + \frac{\varepsilon_{\infty}}{2}\\ &= \varepsilon_{\infty} \end{align}
より
$$ B(x_{\varphi(n_{1})};\varphi(n_{1})^{-1}) \subset B(x_{\infty};\varepsilon_{\infty}) \subset U_{\lambda_{\infty}}$$
となるが，これは$x_{\varphi(n_{1})}$の取り方に反する．

$(X,d)$を点列コンパクト距離空間とし，$(U_{\lambda})_{\lambda} \in \tau(d)^{\Lambda}$をその開被覆とする．このとき，refineより，$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$であって
$$ \forall x \in X,\ \exists\,\lambda_{x} \in\Lambda,\ B(x;\varepsilon) \subset U_{\lambda_{x}}$$
を満たすものが存在する．いまcompl-tot-bdd-seq-cptより$(X,d)$は全有界なので，その開被覆$(B(x;\varepsilon))_{x} \in \tau(d)^{X}$に対して，有限個の点$x_{0},\ldots,x_{n} \in X$であって
$$ X = \bigcup_{i\in[n]} B(x_{i};\varepsilon) \subset \bigcup_{i\in[n]} U_{\lambda_{x_{i}}} \subset X$$
を満たすものが存在する．よって$(U_{\lambda})_{\lambda}$は有限部分被覆を持つ．

$(x_{n})_{n}$を固有距離空間のCauchy列とする．このとき，conv-cauchy-bdd，dist-diamより$A := \cl(\{x_{n} \mid n \in \mathbb{N}\})$は有界閉集合ゆえコンパクト，したがって点列コンパクトであるから，$A$の点列$(x_{n})_{n}$は収束部分列を持つ．よってconv-cauchy-bddより$(x_{n})_{n}$は収束する．

(i)$\implies$(ii)

ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合なので
$$ \cl(A) = A \subset X$$
はコンパクトである．

(ii)$\implies$(iii)

コンパクト距離空間$(\cl(A),d|_{\cl(A)})$は全有界なので，tot-bdd-subより$A \subset \cl(A)$は全有界である．よって$A \subset X$は全有界である．

(iii)$\implies$(iv)

$A$は有限個の有界集合で覆えるので有界である．

(2)

$A \subset X$が全有界ならば，compl-cl，tot-bdd-subより$\cl(A)$は完備かつ全有界であるから，コンパクトである．

(3)

$A \subset X$が有界ならば，dist-diamより$\cl(A) \subset X$は有界閉集合ゆえコンパクトである．

1. $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．$f$の一様連続性より$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$であって
   $$ d_{X}(x,x') < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(x')) < \varepsilon$$
   が成り立つものが存在する．この$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，$A \subset X$の全有界性より，有限個の点$x_{0},\ldots,x_{n} \in X$であって
   $$ A \subset \bigcup_{i\in[n]} B_{X}(x_{i};\delta)$$
   を満たすものが存在する．このとき
   $$ f^{\rightarrow}(A) \subset \bigcup_{i\in[n]} f^{\rightarrow}(B_{X}(x_{i};\delta)) \subset \bigcup_{i\in[n]} B_{Y}(f(x_{i});\varepsilon)$$
   が成り立つ．よって$f^{\rightarrow}(A) \subset Y$は全有界である．
2. rel-cpt-bddと前段より
   \begin{align} A \subset X:\text{relatively compact} &\implies A \subset X:\text{totally bounded} \\ &\implies f^{\rightarrow}(A) \subset Y:\text{totally bounded} \\ &\implies f^{\rightarrow}(A) \subset Y:\text{relatively compact} \end{align}
   が成り立つ．
3. 同様に
   \begin{align} A \subset X:\text{bounded} &\implies A \subset X:\text{relatively compact} \\ &\implies f^{\rightarrow}(A) \subset Y:\text{relatively compact} \end{align}
   が成り立つ．

1. 定義より明らか．
2. $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．仮定より$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$であって
   $$ \forall a,a' \in A,\ d_{X}(a,a') < \delta \implies d_{Y}(f(a),f(a')) < \frac{\varepsilon}{3}$$
   が成り立つものが存在する．
   1. $x,x' \in \cl(A), d_{X}(x,x') < \delta,$とし，点列$(a_{n})_{n},(a'_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}}$であって$\lim a_{n} = x, \lim a'_{n} = x'$なるものを取る（cf. dist-diam）．
   2. $n_{0} \in \mathbb{N}$であって
      $$ d_{X}(a_{n_{0}},x) < \frac{\delta - d_{X}(x,x')}{2},\ d_{X}(a'_{n_{0}},x') < \frac{\delta - d_{X}(x,x')}{2},$$
      および
      $$ d_{Y}(f(a_{n_{0}}),f(x)) < \frac{\varepsilon}{3},\ d_{Y}(f(a'_{n_{0}}),f(x')) < \frac{\varepsilon}{3}$$
      を満たすものが存在する（cf. seq-conti）．
   3. したがって
      \begin{align} d_{X}(a_{n_{0}},a'_{n_{0}}) &\leq d_{X}(a_{n_{0}},x) + d_{X}(x,x') + d_{X}(x',a'_{n_{0}})\\ &< \frac{\delta - d_{X}(x,x')}{2} + d_{X}(x,x') + \frac{\delta - d_{X}(x,x')}{2}\\ &= \delta \end{align}
      となるので，
      \begin{align} d_{Y}(f(x),f(x')) &\leq d_{Y}(f(x),f(a_{n_{0}})) + d_{Y}(f(a_{n_{0}}),f(a'_{n_{0}})) + d_{Y}(f(a'_{n_{0}}),f(x'))\\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3}\\ &= \varepsilon \end{align}
      が成り立つ．

1. $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．$f$の一様連続性より$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$であって
   $$ d_{X}(x,x') < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(x')) < \varepsilon$$
   が成り立つものが存在する．この$\delta \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m \geq n_{0} \implies d_{X}(x_{n},x_{m}) < \delta$$
   が成り立つものが存在する．よって
   $$ \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m \geq n_{0} \implies d_{Y}(f(x_{n}),f(x_{m})) < \varepsilon$$
   が成り立つ．
2. $x_{\infty} := \lim x_{n} = \lim x'_{n}$とおく．収束列はCauchy列であるから（cf. conv-cauchy-bdd），前段と$(Y,d_{Y})$の完備性より
   $$ \lim_{n\to\infty} f(x_{n}),\ \lim_{n\to\infty} f(x'_{n}) \in Y$$
   が定まるが，seq-contiより
   $$ \lim_{n\to\infty} f(x_{n}) = f(x_{\infty}) = \lim_{n\to\infty} f(x'_{n})$$
   が成り立つ．

$\bar{f}$の定義

dist-diam，unif-conti-cauchyより，写像$\bar{f} \colon X = \cl(A) \to Y$を
$$ \bar{f}\left(\lim_{n\to\infty} a_{n}\right) := \lim_{n\to\infty} f(a_{n})$$
で定めることができる．明らかに$\bar{f}|A = f$が成り立つ．

$\bar{f}$の一様連続性

unif-conti-subより$\bar{f}$が連続であることを示せば十分である．そこで$(x_{0},\varepsilon) \in X \times \mathbb{R}_{>0}$とし，点列$(a_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}}$であって$\lim a_{n} = x_{0}$なるものを取る．

1. $f$の一様連続性より$\delta_{A} \in \mathbb{R}_{>0}$であって
   $$ \forall a,a' \in A,\ d_{X}(a,a') < \delta_{A} \implies d_{Y}(f(a),f(a')) < \frac{\varepsilon}{3}$$
   が成り立つものが存在する．そこで$\delta := \delta_{A}/3 \in \mathbb{R}_{>0}$とおく．
2. $x' = \lim a'_{n} \in B_{X}(x_{0};\delta)$とする．このとき，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ d_{X}(a_{n_{0}},x_{0}) < \delta,\ d_{X}(a'_{n_{0}},x') < \delta,$$
   および
   $$ d_{Y}(f(a_{n_{0}}),\bar{f}(x_{0})) < \frac{\varepsilon}{3},\ d_{Y}(f(a'_{n_{0}}),\bar{f}(x')) < \frac{\varepsilon}{3}$$
   を満たすものを取ると，
   \begin{align} d_{X}(a_{n_{0}},a'_{n_{0}}) &\leq d_{X}(a_{n_{0}},x_{0}) + d_{X}(x_{0},x') + d_{X}(x',a'_{n_{0}})\\ &< \delta + \delta + \delta \\ &= \delta_{A} \end{align}
   より
   $$ d_{Y}(f(a_{n_{0}}),f(a'_{n_{0}})) < \frac{\varepsilon}{3}$$
   となるので，
   \begin{align} d_{Y}(\bar{f}(x'),\bar{f}(x_{0})) &\leq d_{Y}(\bar{f}(x'),f(a'_{n_{0}})) + d_{Y}(f(a'_{n_{0}}),f(a_{n_{0}})) + d_{Y}(f(a_{n_{0}}),\bar{f}(x_{0})) \\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3}\\ &= \varepsilon \end{align}
   が成り立つ．

$\bar{f}$の一意性

一様連続写像$\bar{f}' \colon X \to Y$が$\bar{f}'|A = f$を満たすとすると，$Y$のハウスドルフ性より
$$ \{x \in X \mid \bar{f}(x) = \bar{f}'(x)\} = (\bar{f}\Delta\bar{f}')^{\leftarrow}(\Delta_{Y}) \subset X$$
は稠密部分集合$A \subset X$を含む閉集合であるから，
$$ X = \{x \in X \mid \bar{f}(x) = \bar{f}'(x)\}\ \leadsto\ \bar{f} = \bar{f}'$$
が成り立つ．

（いづれの場合も）$\id_{B}^{Y} \circ f \colon A \to Y$は一様連続写像であるから，unif-conti-extより，一様連続写像$\bar{f} \colon X \to Y$であって$\bar{f}|A = \id_{B}^{Y} \circ f$を満たすものがただひとつ存在する．

1. $f \colon A \to B$が一様同相写像であるとする．
   1. 一様連続写像$\overline{f^{-1}} \colon Y \to X$であって$\overline{f^{-1}}|B = \id_{A}^{X} \circ f^{-1}$を満たすものがただひとつ存在する．
   2. 一様連続写像$\overline{f^{-1}} \circ \bar{f} \colon X \to X$について
      $$ (\overline{f^{-1}} \circ \bar{f})|A = \overline{f^{-1}} \circ \bar{f} \circ \id_{A}^{X} = \overline{f^{-1}} \circ \id_{B}^{Y} \circ f = \id_{A}^{X}= \id_{X}|A$$
      が成り立つので，$\overline{f^{-1}} \circ \bar{f} = \id_{X}$を得る．
   3. 同様に$\bar{f} \circ \overline{f^{-1}} = \id_{Y}$が成り立つ．
   4. よって$\bar{f} \colon X \to Y$は一様同相写像である．
2. $f \colon A \to B$が等長埋め込みであるとする．
   1. $x,x' \in X$とし，$(a_{n})_{n}, (a'_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}}$であって$\lim a_{n} = x, \lim a'_{n} = x'$なるものを取る．
   2. $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$とする．このとき
      $$ |d_{X}(x,x') - d_{Y}(\bar{f}(x),\bar{f}(x')) | < \varepsilon$$
      が成り立つことを示せばよい．
   3. そこで$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
      $$ d_{X}(a_{n_{0}},x) < \frac{\varepsilon}{4},\ d_{X}(a'_{n_{0}},x') < \frac{\varepsilon}{4},$$
      および
      $$ d_{Y}(f(a_{n_{0}}),\bar{f}(x)) < \frac{\varepsilon}{4},\ d_{Y}(f(a'_{n_{0}}),\bar{f}(x')) < \frac{\varepsilon}{4}$$
      を満たすものを取ると，partial-mapより，
      \begin{align} |d_{X}(x,x') - d_{Y}(\bar{f}(x),\bar{f}(x')) | &= |d_{X}(x,x') - d_{X}(a_{n_{0}},a'_{n_{0}}) + d_{Y}(f(a_{n_{0}}),f(a'_{n_{0}})) - d_{Y}(\bar{f}(x),\bar{f}(x')) | \\ &\leq |d_{X}(x,x') - d_{X}(a_{n_{0}},a'_{n_{0}}) | + |d_{Y}(f(a_{n_{0}}),f(a'_{n_{0}})) - d_{Y}(\bar{f}(x),\bar{f}(x')) | \\ &\textcolor{orange}{\leq} d_{X}(x,a_{n_{0}}) + d_{X}(x',a'_{n_{0}}) + d_{Y}(f(a_{n_{0}}),\bar{f}(x)) + d_{Y}(f(a'_{n_{0}}),\bar{f}(x')) \\ &< \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} \\ &= \varepsilon \end{align}
      が成り立つ．

$x_{0} \in X$を固定する．$f,g \in C_{b}(X,Y)$とすると，任意の$x \in X$に対して
\begin{align} d(f(x),g(x)) &\leq d(f(x),f(x_{0})) + d(f(x_{0}),g(x_{0})) + d(g(x_{0}),g(x)) \\ &\leq \diam(f^{\rightarrow}(X)) + d(f(x_{0}),g(x_{0})) + \diam(g^{\rightarrow}(X))\\ \end{align}
が成り立つので，写像$d^{\infty}$が定まる．

1. 任意の$f,g \in C_{b}(X,Y)$に対して，
   \begin{align} d^{\infty}(f,g) = 0 &\iff \forall x \in X,\ d(f(x),g(x)) = 0\\ &\iff \forall x \in X,\ f(x) = g(x) \\ &\iff f = g \end{align}
   が成り立つ．
2. $d^{\infty}(f,g) = d^{\infty}(g,f)$が成り立つことは明らか．
3. $f,g,h \in C_{b}(X,Y)$とする．任意の$x \in X$に対して
   \begin{align} d(f(x),h(x)) &\leq d(f(x),g(x)) + d(g(x),h(x))\\ &\leq d^{\infty}(f,g) + d^{\infty}(g,h) \end{align}
   が成り立つので，
   $$ d^{\infty}(f,h) \leq d^{\infty}(f,g) + d^{\infty}(g,h)$$
   を得る．

$(f_{n})_{n} \in C_{b}(X,Y)^{\mathbb{N}}$を$d^{\infty}$-Cauchy列とする．各$x \in X$に対して，
$$ d(f_{n}(x),f_{m}(x)) \leq d^{\infty}(f_{n},f_{m})$$
より，$(f_{n}(x))_{n} \in Y^{\mathbb{N}}$は$d$-Cauchy列であるから，$(Y,d)$の完備性より
$$ f(x) := \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) \in Y$$
が定まる．

$f$の連続性

$V \in \tau(d)$とし，$x_{0} \in f^{\leftarrow}(V)$とする．このとき，開近傍$U \in \tau(x_{0},X)$であって$U \subset f^{\leftarrow}(V)$なるものが存在することを示せばよい．

1. $f(x_{0}) \in V \in \tau(d)$より，$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$であって$B(f(x_{0});\varepsilon) \subset V$なるものが存在する．
2. $\varepsilon/3 \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m \geq n_{0} \implies d^{\infty}(f_{n},f_{m}) < \frac{\varepsilon}{3}$$
   が成り立つものが存在する．よって各$(x,m) \in X \times \mathbb{N}_{\geq n_{0}}$に対して
   $$ f(x) = \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) \in \cl(B(f_{m}(x);\varepsilon/3)) \subset B[f_{m}(x);\varepsilon/3]$$
   が成り立つ．
3. 写像$f_{n_{0}} \colon X \to Y$の$x_{0} \in X$における連続性より，開近傍$U \in \tau(x_{0},X)$であって
   $$ U \subset f_{n_{0}}^{\leftarrow}(B(f_{n_{0}}(x_{0});\varepsilon/3))$$
   を満たすものが存在する．
4. よって，任意の$x \in U$に対して
   \begin{align} d(f(x),f(x_{0})) &\leq d(f(x),f_{n_{0}}(x)) + d(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(x_{0})) + d(f_{n_{0}}(x_{0}),f(x_{0})) \\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3}\\ &= \varepsilon \end{align}
   が成り立つので，
   $$ U \subset f^{\leftarrow}(B(f(x_{0});\varepsilon)) \subset f^{\leftarrow}(V)$$
   を得る．

$f$の有界性

上記[2]と同様にして，$n \in \mathbb{N}$であって
$$ \forall x \in X,\ d(f(x),f_{n}(x)) \leq 1$$
を満たすものが存在することがわかる．したがって，任意の$x,x' \in X$に対して
\begin{align} d(f(x),f(x')) &\leq d(f(x),f_{n}(x)) + d(f_{n}(x),f_{n}(x')) + d(f_{n}(x'),f(x'))\\ &\leq 1 + \diam(f_{n}^{\rightarrow}(X)) + 1 \end{align}
が成り立つので，
$$ \diam(f^{\rightarrow}(X)) \leq \diam(f_{n}^{\rightarrow}(X)) + 2 < \infty$$
を得る．よって$f \in C_{b}(X,Y)$となる．

$(f_{n})_{n}$が$f$に収束すること

任意の$\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，上記[2]と同様にして，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq n_{0} \implies 0\leq d^{\infty}(f_{n},f) \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$
が成り立つものが存在することがわかる．

$(X,d)$を距離空間とする．

存在

1. $x_{0} \in X$を固定する．各$x \in X$に対して，連続写像$D_{x} \colon X \to \mathbb{R}$を
   $$ D_{x}(x') := d_{x}(x') - d_{x_{0}}(x') = d(x,x') - d(x_{0},x')$$
   で定める（cf. partial-map）．
2. 任意の$x',x'' \in X$に対して
   \begin{align} |D_{x}(x') - D_{x}(x'') | &\leq |D_{x}(x')| + |D_{x}(x'')| \\ &= |d(x,x') - d(x_{0},x') | + | d(x,x'') - d(x_{0},x'') | \\ &\leq d(x,x_{0}) + d(x,x_{0}) \end{align}
   が成り立つので，$D_{x} \colon X \to \mathbb{R}$は有界である．
3. よって，写像
   $$ D \colon X \to C_{b}(X);\ x \mapsto D_{x}$$
   が定まる．
4. $D$が等長埋め込みであることを示す．そこで$x,x' \in X$とすると，任意の$x'' \in X$に対して
   \begin{align} |D_{x}(x'') - D_{x'}(x'')| &= |(d(x,x'') - d(x_{0},x'')) - (d(x',x'') - d(x_{0},x'')) | \\ &= |d(x,x'') - d(x',x'') | \\ &\leq d(x,x') \\ &= |d(x,x) - d(x',x)| \\ &= |D_{x}(x) - D_{x'}(x) | \\ &\leq d_{e}^{\infty}(D_{x},D_{x'}) \end{align}
   が成り立つので，
   $$ d(x,x') = d_{e}^{\infty}(D(x),D(x'))$$
   を得る．
5. $\mathsf{c}(X) := \cl(D^{\rightarrow}(X))$とおくと，これは完備距離空間$(C_{b}(X),d_{e}^{\infty})$の閉集合ゆえ完備であり（cf. compl-cl），写像
   $$ \iota_{X} := D^{\mathsf{c}(X)} \colon X \to \mathsf{c}(X)$$
   は等長埋め込みであって$\cl(\iota_{X}^{\rightarrow}(X)) = \mathsf{c}(X)$を満たす．

一意性

$((X_{i},d_{i}),\iota_{i}),i\in\{1,2\},$が$(X,d)$の完備化であるとする．このとき
$$ f:= \iota_{2}^{\iota_{2}^{\rightarrow}(X)} \circ (\iota_{1}^{\iota_{1}^{\rightarrow}(X)})^{-1} \colon \iota_{1}^{\rightarrow}(X) \to \iota_{2}^{\rightarrow}(X)$$
は完備距離空間の稠密部分集合のあいだの等長同型写像であるから，isometry-extより，等長同型写像$\bar{f} \colon X_{1} \to X_{2}$であって$\bar{f} \circ \id_{\iota_{1}^{\rightarrow}(X)}^{X_{1}} = \id_{\iota_{2}^{\rightarrow}(X)}^{X_{2}} \circ f$を満たすものがただひとつ存在する．この$\bar{f}$について，明らかに$\bar{f} \circ \iota_{1} = \iota_{2}$が成り立つ：
$$ \xymatrix{ {X_{1}} \ar@{.>}[r]^{\bar{f}} & {X_{2}} \\ {\iota_{1}^{\rightarrow}(X)} \ar[u] \ar[r]^{f} & {\iota_{2}^{\rightarrow}(X)} \ar[u]\\ {X} \ar@/^2pc/[uu]^{\iota_{1}} \ar[u] \ar[r]_{\id_{X}} & {X} \ar@/_2pc/[uu]_{\iota_{2}} \ar[u] }$$

仮定より
$$ \iota_{Y} \circ f \circ (\iota_{X}^{\iota_{X}^{\rightarrow}(X)})^{-1} \colon \iota_{X}^{\rightarrow}(X) \to \mathsf{c}(Y)$$
は一様連続写像（resp. 等長埋め込み）である．よって，unif-conti-ext（resp. isometry-ext）より，一様連続写像（resp. 等長埋め込み）$\mathsf{c}(f) \colon \mathsf{c}(X) \to \mathsf{c}(Y)$であって
$$ \mathsf{c}(f) \circ \id_{\iota_{X}^{\rightarrow}(X)}^{\mathsf{c}(X)} = \iota_{Y} \circ f \circ (\iota_{X}^{\iota_{X}^{\rightarrow}(X)})^{-1},$$
すなわち
$$ \mathsf{c}(f) \circ \iota_{X} = \iota_{Y} \circ f$$
を満たすものがただひとつ存在する．

(i)$\implies$(ii)

unif-conti-img，rel-cpt-iff-tot-bddより$\mathsf{c}(X) = \cl(\iota_{X}^{\rightarrow}(X))$はコンパクトである．

(ii)$\implies$(i)

仮定より$(\mathsf{c}(X),d_{\mathsf{c}(X)})$は全有界であるから，その部分集合と等長同型な$(X,d)$も全有界である（cf. tot-bdd-sub，unif-conti-img）．

写像$\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$を
\begin{align} \varphi(0) &:= \min X;\\ \varphi(n+1) &:= \min(X \smallsetminus \{\varphi(0),\ldots,\varphi(n)\}); \end{align}
で“定めればよい”．

Step 1.

空集合$\varnothing \in \mathrm{Fin}(X) := \{A \subset X \mid \#A < \infty\}$と写像
$$ \widetilde{\min} \colon \mathrm{Fin}(X) \to \mathrm{Fin}(X);\ A \mapsto A \cup \{\min(X\smallsetminus A)\}$$
とに対して，写像$\widetilde{\min}_{\varnothing} \colon \mathbb{N} \to \mathrm{Fin}(X)$であって
\begin{align} \widetilde{\min}_{\varnothing}(0) &= \varnothing;\\ \widetilde{\min}_{\varnothing}(n+1) &= \widetilde{\min}(\widetilde{\min}_{\varnothing}(n)); \end{align}
を満たすものがただひとつ存在する（cf. real定理7）．そこで写像$\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$を
$$ \varphi(n) := \min(X \smallsetminus \widetilde{\min}_{\varnothing}(n))$$
で定める．

Step 2.

$n \in \mathbb{N}$とする．このとき，任意の$k \in \mathbb{N}_{>0}$に対して
$$ \widetilde{\min}_{\varnothing}(n+k) = \widetilde{\min}_{\varnothing}(n) \cup \{\varphi(n),\ldots,\varphi(n+k-1)\}$$
が成り立つことを示す．

1. 写像$\widetilde{\min}_{\varnothing}$の定義より
   $$ \widetilde{\min}_{\varnothing}(n+1) = \widetilde{\min}_{\varnothing}(n) \cup \{\min(X \smallsetminus \widetilde{\min}_{\varnothing}(n))\} = \widetilde{\min}_{\varnothing}(n) \cup \{\varphi(n)\}$$
   が成り立つ．
2. 前段と帰納法の仮定より，
   \begin{align} \widetilde{\min}_{\varnothing}(n+(k+1)) &= \widetilde{\min}_{\varnothing}((n+k)+1)\\ &= \widetilde{\min}_{\varnothing}(n+k) \cup \{\varphi(n+k)\}\\ &= \widetilde{\min}_{\varnothing}(n) \cup \{\varphi(n),\ldots,\varphi(n+k-1)\} \cup \{\varphi(n+k)\}\\ &= \widetilde{\min}_{\varnothing}(n) \cup \{\varphi(n),\ldots,\varphi(n+(k+1)-1)\} \end{align}
   が成り立つ．

Step 3.

写像$\varphi$は単調増加である．実際，$n,m \in \mathbb{N},n < m,$とすると
$$ \widetilde{\min}_{\varnothing}(n) \subset \widetilde{\min}_{\varnothing}(n) \cup \{\varphi(n),\ldots,\varphi(m-1)\} = \widetilde{\min}_{\varnothing}(m)$$
より
$$ \varphi(n) = \min(X \smallsetminus \widetilde{\min}_{\varnothing}(n)) < \min(X \smallsetminus \widetilde{\min}_{\varnothing}(m)) = \varphi(m)$$
が成り立つ．

Step 4.

1. 明らかに$\varphi^{\rightarrow}(\mathbb{N}) \subset X$が成り立つ．
2. もし$X \smallsetminus \varphi^{\rightarrow}(\mathbb{N}) \neq \varnothing$であるとすると，$x_{0} := \min(X \smallsetminus \varphi^{\rightarrow}(\mathbb{N})) \in X$が定まる．そこで
   $$ X_{< x_{0}} := \{x \in X \mid x < x_{0}\} \subset \varphi^{\rightarrow}(\mathbb{N})$$
   を考えると，$\varphi(0) = \min X \in X_{< x_{0}}$より$k:= \# X_{< x_{0}} \in \mathbb{N}_{>0}$であり，$\varphi$の単調増加性と要素数の比較により
   $$ \{\varphi(0),\ldots,\varphi(k-1)\} = X_{< x_{0}}$$
   が成り立つことがわかる．ところでこの左辺は$\widetilde{\min}_{\varnothing}(k)$に等しいので，
   $$ \varphi(k) = \min(X \smallsetminus \widetilde{\min}_{\varnothing}(k)) = \min\{x \in X \mid x \geq x_{0}\} = x_{0}$$
   となって$x_{0} \in X$の取り方に反する．

仮定より
$$ \forall F \in \mathrm{Fin}(X),\ \bigcap_{x \in F} A_{x} \neq \varnothing$$
が成り立つので，写像$\Psi \colon \mathrm{Fin}(X) \to X$であって
$$ \forall F \in \mathrm{Fin}(X),\ \Psi(F) \in \bigcap_{x\in F} A_{x}$$
なるものが存在する．そこで写像$\Phi \colon \bigcup_{n} X^{\mathbb{N}_{< n}} \to X$を
$$ \Phi(\xi \colon \mathbb{N}_{< n} \to X) := \Psi(\{\xi_{0},\ldots,\xi_{n-1}\})$$
で定めると，real定理8より，点列$(x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$であって
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ x_{n+1} = \Phi((x_{0},\ldots,x_{n})) = \Psi(\{x_{0},\ldots,x_{n}\}) \in A_{x_{0}} \cap\cdots\cap A_{x_{n}}$$
を満たすものが（ただひとつ）存在する．