1
大学数学基礎解説
文献あり

完備・全有界・コンパクト

完備化,距離空間
94
0

距離空間

距離位相

Xを集合とする．写像d=dX:X×X→Rが

  1. d(x,y)=0⟺x=y;
  2. d(x,y)=d(y,x);
  3. d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z);

を満たすとき，dをX上の距離（函数）といい，組(X,d)を距離空間という．

X上の距離函数dについて，
0=d(x,x)≤d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) ⇝ 0≤d(x,y)
が成り立つ．

写像
de:R×R→R; (x,y)↦|x−y|
は実数体R上の距離函数である（cf. real命題4）．距離空間(R,de)を（1次元）Euclid空間という．

(X,d)を距離空間とする．各(c,r)∈X×R>0に対して，
B(c;r)=BX(c;r):={x∈X∣d(x,c)<r}
を（中心c，半径rの）開球といい，
B[c;r]=BX[c;r]:={x∈X∣d(x,c)≤r}
を（中心c，半径rの）閉球という．

(X,d)を距離空間とする．このとき開球全体のなす集合
β(d):={B(c;r)⊂X∣(c,r)∈X×R>0}
を開基とするX上の位相が定まる．この位相を（dから定まる）距離位相といいτ(d)で表わす：
U∈τ(d)⟺∀x∈U, ∃(c,r)∈X×R>0, x∈B(c;r)⊂U⟺∀x∈U, ∃s∈R>0, B(x;s)⊂U.

以下，距離空間は距離位相により位相空間と見做す．

  • ひとつ目の⟺は開基の定義．
  • ふたつ目の⟸は明らか：(c,r):=(x,s)とおけばよい．
  • ふたつ目の⟹は次のようにしてわかる：s:=r−d(x,c)∈R>0とおくと，
    d(y,x)<s⟹d(y,c)≤d(y,x)+d(x,c)<s+d(x,c)=r
    より，B(x;s)⊂B(c;r)⊂Uが成り立つ．

β(d)がX上の基底であることを示せばよい（cf. top定義9周辺）．

  1. 任意のx∈Xに対して
    x∈B(x;1)∈β(d)
    が成り立つ．
  2. z∈B(x;r)∩B(y;s)とする．このとき
    t:=min{r−d(z,x),s−d(z,y)}∈R>0
    とおくと，z∈B(z;t)∈β(d)であるから，あとは
    B(z;t)⊂B(x;r)∩B(y;s)
    が成り立つことを示せばよい．そこでw∈B(z;t)とすると，
    d(w,x)≤d(w,z)+d(z,x)<t+d(z,x)≤(r−d(z,x))+d(z,x)=r
    より，w∈B(x,r)が成り立つ．同様にw∈B(y;s)も成り立つ．

距離空間の閉球は（距離位相に関して）閉集合である．

(X,d)を距離空間とし(c,r)∈X×R>0とする．このときX∖B[c;r]∈τ(d)なることを示せばよい．ところで，任意のx∈X∖B[c;r]に対して，s:=d(x,c)−r∈R>0とおくと，
y∈B(x;s)⟹d(y,c)≥d(x,c)−d(x,y)>d(x,c)−s=r
より，B(x;s)⊂X∖B[c;r]が成り立つ．

距離空間は（距離位相に関して）ハウスドルフである．実際，距離空間(X,d)の2点x,y∈X,x≠y,に対して，r:=d(x,y)/2∈R>0とおくと，B(x;r),B(y;r)はそれぞれx,yの開近傍であって，
z∈B(x;r)∩B(y;r)⟹d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)<r+r=d(x,y)
より，
B(x;r)∩B(y;r)=∅
が成り立つ．

距離空間は第1可算空間である．実際，距離空間(X,d)に対して
X→Filter0(X); x↦{B(x;n−1)∣n∈N>0}
が(X,τ(d))の局所開基族を与える（cf. top命題14）．

部分空間

(X,d)を距離空間とし，A⊂Xをその部分集合とする．このとき，写像d|A:=d|(A×A)はA上の距離函数である．距離空間(A,d|A)を距離空間(X,d)の部分空間という．

(X,d)を距離空間，(A,d|A)をその部分空間とする．このとき，A上のふたつの位相，すなわち距離位相τ(d|A)と相対位相τ(d)|Aとは一致する．

β(d|A)⊂β(d)|A⊂τ(d|A)が成り立つことを示せばよい．

  1. 任意の(a,r)∈A×R>0に対して，
    BA(a;r)={x∈A∣d(x,a)<r}=BX(a;r)∩A∈β(d)|A
    が成り立つ．
  2. (x,r)∈X×R>0とする．このとき，任意のa∈BX(x;r)∩Aに対して，s:=r−d(a,x)∈R>0とおくと，
    d|A(y,a)<s⟹d(y,x)≤d(y,a)+d(a,x)=d|A(y,a)+d(a,x)<s+d(a,x)=r
    より，BA(a;s)⊂BX(x;r)∩Aが成り立つ．

連続写像

(X,dX),(Y,dY)を距離空間としf:X→Yを写像とする．任意の(x0,ε)∈X×R>0に対して，δ=δ(x0,ε)∈R>0であって
∀x∈X, dX(x,x0)<δ⟹dY(f(x),f(x0))<ε
が成り立つものが存在するとき，f:(X,dX)→(Y,dY)は連続であるという．

(X,dX),(Y,dY)を距離空間としf:X→Yを写像とする．このとき次は同値である：

  1. f:(X,dX)→(Y,dY)は連続である；
  2. f:(X,τ(dX))→(Y,τ(dY))は連続である．

以下，単に“f:X→Yは連続である”などという．

(i)⟹(ii)

V∈τ(dY)としx0∈f←(V)とする．このときε∈R>0であってBY(f(x0);ε)⊂Vなるものが存在する．よって仮定よりδ∈R>0であって
BX(x0;δ)⊂f←(BY(f(x0);ε))⊂f←(V)
を満たすものが存在する．

(ii)⟹(i)

(x0,ε)∈X×R>0とする．このとき，x0∈f←(BY(f(x0);ε))∈τ(dX)に対して，δ∈R>0であって
BX(x0;δ)⊂f←(BY(f(x0);ε))
を満たすものが存在する．

(X,d)を距離空間とする．このとき次が成り立つ：

  1. 任意のx,y,z,w∈Xに対して
    |d(x,y)−d(z,w)|≤d(x,z)+d(y,w)
    が成り立つ．
  2. 各x∈Xに対して，写像
    dx:X→R; x′↦d(x,x′)
    は連続である．
  1. 距離関数の定義より
    d(x,y)≤d(x,z)+d(z,w)+d(w,y),
    したがって
    d(x,y)−d(z,w)≤d(x,z)+d(y,w)
    が成り立つ．同様に
    d(z,w)−d(x,y)≤d(z,x)+d(w,y)=d(x,z)+d(y,w)
    が成り立つ．
  2. (x0,ε)∈X×R>0とする．このとき，δ:=ε∈R>0とおくと，前段より
    d(x′,x0)<δ⟹|dx(x′)−dx(x0)|=|d(x,x′)−d(x,x0)|≤d(x′,x0)<δ=ε
    が成り立つ．

点列連続性

(X,d)を距離空間とする．((xn)n,x∞)∈XN×Xについて
limn→∞d(xn,x∞)=0
が成り立つとき（cf. real定義13），点列(xn)nはx∞に収束するといい，
limn→∞xn=x∞, xn→x∞ (n→∞)
などで表わす．しばしば記号limn→∞xnで以てx∞∈Xのことを表わす（cf. lim-unique）．

x∞′∈Xについても
limn→∞d(xn,x∞′)=0
が成り立つとすると，
0≤d(x∞,x∞′)≤d(x∞,xn)+d(xn,x∞′)→0 (n→∞)
より，x∞=x∞′となる．

(X,dX),(Y,dY)を距離空間としf:X→Yを写像とする．このとき次は同値である：

  1. f:X→Yは連続である；
  2. 任意の((xn)n,x∞)∈XN×Xに対して
    limn→∞xn=x∞⟹limn→∞f(xn)=f(x∞)
    が成り立つ．

(i)⟹(ii)

ε∈R>0とする．仮定よりδ∈R>0であって
BX(x∞;δ)⊂f←(BY(f(x∞);ε))
を満たすものが存在する．このδ∈R>0に対して，n0∈Nであって
∀n∈N, n≥n0⟹dX(xn,x∞)<δ
が成り立つものが存在する．よって
∀n∈N, n≥n0⟹dY(f(xn),f(x∞))<ε
が成り立つ．

(ii)⟹(i)

f:X→Yが連続でない，すなわち(x∞,ε∞)∈X×R>0であって
∀δ∈R>0, BX(x∞;δ)⊄f←(BY(f(x∞);ε∞))
を満たすものが存在したと仮定すると，点列(xn)n∈XN>0であって
∀n∈N>0, dX(xn,x∞)<1n, dY(f(xn),f(x∞))≥ε∞
を満たすものが得られるが，これは不合理である．

部分集合の直径

(X,d)を距離空間とする．（非空）部分集合A,A′⊂Xに対して，
dist(A,A′):=inf{d(a,a′)∣a∈A, a′∈A′}
をAとA′との距離といい，
diam⁡(A):=sup{d(x,y)∣x,y∈A}
をAの直径という．diam⁡(A)<∞なるとき，Aを有界集合という．

∃a∈A∩A′≠∅ならば
0≤dist(A,A′)≤d(a,a)=0 ⇝ dist(A,A′)=0
が成り立つ．

(X,d)を距離空間としA,A′⊂Xとする．このとき次が成り立つ：

  1. Cl(A)={x∈X∣∃(an)n∈AN, liman=x}={x∈X∣dist(A,x):=dist(A,{x})=0};
  2. dist(A,A′)=dist(Cl(A),Cl(A′));
  3. A⊂A′⟹diam⁡(A)≤diam⁡(A′);
  4. diam⁡(A)=diam⁡(Cl(A)).
  1. 閉包と最大下界の特徴づけより
    x∈Cl(A)⟺∀B(x;ε)∈β(d), B(x;ε)∩A≠∅⟺∀ε∈R>0, ∃a∈A, d(a,x)<ε⟺∀n∈N>0, ∃an∈A, d(an,x)<1n⟺dist(A,x)=0
    が成り立つ．
  2. A⊂Cl(A),A′⊂Cl(A′)より
    ∀(a,a′)∈A×A′, dist(Cl(A),Cl(A′))≤d(a,a′)
    が成り立つので，
    dist(Cl(A),Cl(A′))≤dist(A,A′)
    を得る．もし等号が成り立たないとすると，x∈Cl(A),x′∈Cl(A′)であって
    d(x,x′)<dist(A,A′)
    なるものが存在する．このとき，ε:=dist(A,A′)−d(x,x′)∈R>0とおくと，(1)より，a∈A,a′∈A′であって
    d(a,x)<ε2, d(a′,x′)<ε2
    を満たすものが存在するが，
    dist(A,A′)≤d(a,a′)≤d(a,x)+d(x,x′)+d(x′,a′)<d(x,x′)+ε2+ε2=d(x,x′)+ε=dist(A,A′)
    となって不合理である．
  3. 任意のx,y∈Aに対して，x,y∈A′より，
    d(x,y)≤diam⁡(A′)
    が成り立つので，diam⁡(A)≤diam⁡(A′)を得る．
  4. A⊂Cl(A)よりdiam⁡(A)≤diam⁡(Cl(A))が成り立つ．もし等号が成り立たないとすると，x,y∈Cl(A)であって
    diam⁡(A)<d(x,y)
    を満たすものが存在する．このとき，ε:=d(x,y)−diam⁡(A)∈R>0とおくと，a,a′∈Aであって
    d(a,x)<ε2, d(a′,y)<ε2
    を満たすものが存在するが，
    diam⁡(A)=d(x,y)−ε≤d(x,a)+d(a,a′)+d(a′,y)−ε<d(a,a′)+ε2+ε2−ε=d(a,a′)≤diam⁡(A)
    となって不合理である．
  1. dist-diam(2)，dist-zeroより
    dist(A,A′)>0⟹Cl(A)∩Cl(A′)=∅
    が成り立つ．
  2. 逆は成り立つとは限らない．実際，R2の部分集合
    {(x,y)∈R2∣xy=0}, {(x,y)∈R2∣xy=1}
    は交わらない閉集合であるが，その距離は0である．

完備・全有界・コンパクト

完備距離空間

(X,d)を距離空間とし(xn)n∈XNとする．任意のε∈R>0に対して，n0∈Nであって
∀n,m∈N, n,m≥n0⟹d(xn,xm)<ε
が成り立つものが存在するとき，点列(xn)nをd-Cauchy列（または単にCauchy列）という．

(X,d)を距離空間とする．このとき次が成り立つ：

  1. 収束列はCauchy列である；
  2. Cauchy列（の像）は有界である；
  3. Cauchy列(xn)n∈XNが，ある点x∞∈Xに収束する部分列を持つならば，(xn)nはx∞に収束する．
  1. limxn=x∞とし，ε∈R>0とする．このときn0∈Nであって
    ∀n∈N, n≥n0⟹d(xn,x∞)<ε2
    が成り立つものが存在する．よって
    ∀n,m∈N, n,m≥n0⟹d(xn,xm)≤d(xn,x∞)+d(x∞,xm)<ε2+ε2=ε
    が成り立つ．
  2. (xn)n∈XNをCauchy列とする．このとき1∈R>0に対して，n0∈Nであって
    ∀n,m∈N, n,m≥n0⟹d(xn,xm)<1
    が成り立つものが存在する．そこで
    M:=max{d(xi,xj)∣i,j∈[n0]}
    とおくと，
    diam⁡({xn∈X∣n∈N})≤M+1<∞
    が成り立つ．
  3. limxφ(n)=x∞とし，ε∈R>0とする．このときn0∈Nであって
    d(xφ(n0),x∞)<ε2,
    および
    ∀n,m∈N, n,m≥n0⟹d(xn,xm)<ε2
    が成り立つものが存在する．したがって，φ(n0)≥n0に注意すると，
    ∀n∈N, n≥n0⟹d(xn,x∞)≤d(xn,xφ(n0))+d(xφ(n0),x∞)<ε2+ε2=ε
    が成り立つことがわかる．
  1. 距離空間(R>0,de|R>0)の点列(n−1)n∈R>0N>0はCauchy列であるが収束列ではない．
  2. 距離空間(R,de)の点列((−1)n)n∈RNは有界だがCauchy列ではない．

任意のCauchy列が収束するような距離空間を完備距離空間という．

Euclid空間(R,de)は完備距離空間である（cf. real定理28）．

(X,d)を距離空間としA⊂Xとする．このとき次が成り立つ：

  1. (X,d)が完備でありA⊂Xが閉集合ならば，(A,d|A)は完備である；
  2. (A,d|A)が完備ならば，A⊂Xは閉集合である．
  1. (an)n∈ANをd|A-Cauchy列とする．このとき(an)n∈XNはd-Cauchy列であるから，dist-diamより，
    limn→∞an∈Cl(A)=A
    が成り立つ．
  2. x∈Cl(A)とする．このとき，dist-diamより，点列(an)n∈ANであって
    limn→∞d(an,x)=0
    なるものが存在する．conv-cauchy-bddより(an)nはd-Cauchy列，したがってd|A-Cauchy列であるから，仮定よりa∞∈Aであって
    limn→∞d|A(an,a∞)=0
    なるものが存在する．ところで
    0≤d(x,a∞)≤d(x,an)+d|A(an,a∞)→0 (n→∞)
    となるので，x=a∞∈Aを得る．

完備性の特徴づけ

(X,d)を距離空間とする．このとき次は同値である：

  1. (X,d)は完備である；
  2. 非空閉集合からなる任意の減少列(Fn)n∈τc(d)Nであってlimn→∞diam⁡(Fn)=0なるものに対して，⋂nFn≠∅が成り立つ．

⋂nFnは高々1点しか含まない．実際，⋂nFnが2点x,yを含むとすると，
0<d(x,y)≤diam⁡(Fn)→0 (n→∞)
となって不合理である．

(i)⟹(ii)

  1. Fn≠∅より，点列(xn)n∈XNであって
    ∀n∈N, xn∈Fn
    を満たすものが存在する．
  2. まづ(xn)nがCauchy列であることを示す．そこでε∈R>0とすると，limdiam⁡(Fn)=0より，n0∈Nであってdiam⁡(Fn0)<εなるものが存在するので，任意のn,m∈Nに対して
    n,m≥n0⟹xn∈Fn⊂Fn0, xm∈Fm⊂Fn0⟹d(xn,xm)≤diam⁡(Fn0)<ε
    が成り立つ．
  3. よって，(X,d)の完備性より，x∞∈Xであってlimxn=x∞なるものが存在する．あとはx∞∈⋂nFnが成り立つことを示せばよい．
  4. もしn1∈Nであってx∞∉Fn1なるものが存在したとすると，dist-diamよりdist(Fn1,x∞)>0であるから，limxn=x∞より，n2≥n1であって
    d(xn2,x∞)<dist(Fn1,x∞)
    を満たすものが存在する．ところがこのとき
    xn2∈Fn2⊂Fn1 ⇝ dist(Fn1,x∞)≤d(xn2,x∞)<dist(Fn1,x∞)
    となって不合理である．

(ii)⟹(i)

  1. (xn)n∈XNをCauchy列とする．各n∈Nに対して
    Fn:=Cl({xm∈X∣m≥n})
    とおくと，(Fn)nは非空閉集合からなる減少列である．
  2. 任意のε∈R>0に対して，n0∈Nであって
    ∀n,m∈N, n,m≥n0⟹d(xn,xm)<ε2
    が成り立つものが存在するので，dist-diamより，
    n≥n0⟹0≤diam⁡(Fn)≤diam⁡(Fn0)=diam⁡({xm∣m≥n0})≤ε2<ε
    が成り立つ．
  3. 仮定より，x∞∈⋂nFnが取れる．あとはlimxn=x∞なることを示せばよいが，それは
    0≤d(xn,x∞)≤diam⁡(Fn)→0 (n→∞)
    より明らかである．

(X,d)を距離空間とする．このとき次は同値である：

  1. (X,d)は完備である；
  2. 有限交叉性を持つ任意の閉集合族(Fλ)λ∈τc(d)Λであってinf{diam⁡(Fλ)∣λ∈Λ}=0なるものに対して，⋂λFλ≠∅が成り立つ．

(i)⟹(ii)

  1. 各n∈N>0に対して，λn∈Λであってdiam⁡(Fλn)<n−1なるものが取れる．そこで
    Fn′:=Fλ1∩⋯∩Fλn
    とおくと，Fn′⊂Xは非空閉集合であって
    Fn+1′⊂Fn′, diam⁡(Fn′)≤diam⁡(Fλn)<1n
    が成り立つ．よってnestよりx∞∈Xであって⋂nFn′={x∞}なるものが存在する．あとはx∞∈⋂λFλが成り立つことを示せば十分である．
  2. λ∈Λとする．このとき(Fn′∩Fλ)nは非空閉集合からなる減少列であって
    0≤diam⁡(Fn′∩Fλ)≤diam⁡(Fn′)→0 (n→∞)
    が成り立つ．よって，ふたたびnestより
    ∅≠⋂n∈N>0Fn′∩Fλ=(⋂n∈N>0Fn′)∩Fλ={x∞}∩Fλ
    が成り立つので，x∞∈Fλを得る．

(ii)⟹(i)

nestより明らか．

全有界距離空間

(X,d)を距離空間とする．任意のε∈R>0に対して，開被覆(B(x;ε))x∈τ(d)Xが有限部分被覆を持つとき，(X,d)を全有界距離空間という．

(X,d)を距離空間としA⊂Xとする．このとき次は同値である：

  1. (A,d|A)は全有界である；
  2. 任意のε∈R>0に対して，Aの開被覆(B(x;ε))x∈τ(d)Xは有限部分被覆を持つ．

以下，単に“A⊂Xは全有界である”などという．

(i)⟹(ii)

ε∈R>0とする．仮定より，有限集合A0⊂Aであって
A=⋃a∈A0BA(a;ε)
を満たすものが存在する．よって，有限集合A0⊂Xについて
A⊂⋃x∈A0B(x;ε)
が成り立つ．

(ii)⟹(i)

ε∈R>0とする．仮定より，有限個の点x0,…,xn∈Xであって
A⊂⋃i∈[n]B(xi;ε/2)
を満たすものが存在する．任意のi∈[n]に対してB(xi;ε/2)∩A≠∅が成り立つとしてよい．そこで各i∈[n]に対してai∈B(xi;ε/2)∩Aを取ると，
A=⋃i∈[n]BA(ai;ε)
が成り立つ．実際，a∈Aとすると，i∈[n]であってa∈B(xi;ε/2)なるものが存在するので，
d|A(a,ai)=d(a,ai)≤d(a,xi)+d(xi,ai)<ε2+ε2=ε
より，a∈BA(ai;ε)が成り立つ．

(X,d)を距離空間としA⊂Xとする．このとき次が成り立つ：

  1. (X,d)が全有界ならば，A⊂Xも全有界である；
  2. A⊂Xが全有界ならば，Cl(A)⊂Xも全有界である．
  1. 明らか．
  2. ε∈R>0とする．仮定より，有限個の点x0,…,xn∈Xであって
    A⊂⋃i∈[n]B(xi;ε/2)
    を満たすものが存在する．よって
    Cl(A)⊂⋃i∈[n]Cl(B(xi;ε/2))⊂⋃i∈[n]B[xi;ε/2]⊂⋃i∈[n]B(xi;ε)
    が成り立つ．

(X,d)を距離空間とする．このとき次は同値である：

  1. (X,d)は全有界である；
  2. 任意のε∈R>0に対して，有限（開）被覆(Xi)i∈[n]であって
    ∀i∈[n], diam⁡(Xi)≤ε
    を満たすものが存在する；
  3. 任意のε∈R>0に対して，有限集合Xfin⊂Xであって
    ∀x∈X, dist(Xfin,x)<ε
    を満たすものが存在する．

(i)⟹(ii)

ε∈R>0とする．このとき仮定より有限個の点x0,…,xn∈Xであって
X=⋃i∈[n]B(xi;ε/2)
を満たすものが存在する．そこでXi:=B(xi;ε/2)とおくと，(Xi)i∈[n]はXの有限被覆であって，
∀x,y∈Xi, d(x,y)≤d(x,xi)+d(xi,y)<ε2+ε2=ε
より，diam⁡(Xi)≤εが成り立つ．

(ii)⟹(iii)

ε∈R>0とする．仮定より，非空部分集合からなる有限被覆(Xi)i∈[n]であって
diam⁡(Xi)≤ε2
を満たすものが存在する．各i∈[n]に対してxi∈Xiを取り，
Xfin:={x0,…,xn}
とおく．このとき，任意のx∈Xに対して，i∈[n]であってx∈Xiなるものが存在するので，
dist(Xfin,x)≤d(xi,x)≤diam⁡(Xi)≤ε2<ε
が成り立つ．

(iii)⟹(i)

ε∈R>0とする．このとき
X=⋃x∈XfinB(x;ε)
が成り立つことを示せばよい．ところで，x∈Xとすると，Xfinの有限性よりx0∈Xfinであってdist(Xfin,x)=d(x0,x)なるものが存在するので，
d(x,x0)=dist(Xfin,x)<ε,
すなわちx∈B(x0;ε)が成り立つ．

全有界距離空間は可算開基を持つ．

(X,d)を全有界距離空間とする．

  1. 各n∈N>0に対して，有限集合Xn⊂Xであって
    X=⋃x∈XnB(x;n−1)
    を満たすものが存在する．
  2. そこで
    βn:={B(x;n−1)∈τ(d)∣x∈Xn}
    とおくと，
    β:=⋃n∈N>0βn⊂τ(d)
    は可算集合である．
  3. x∈U∈τ(d)とする．このときs∈R>0であってB(x;s)⊂Uなるものが存在し，さらにn∈N>0であって2/n<sなるものが取れる．いま
    x∈X=⋃y∈XnB(y;n−1) ⇝ ∃xn∈Xn, x∈B(xn;n−1)
    となるので，
    d(z,xn)<1n⟹d(z,x)≤d(z,xn)+d(xn,x)<1n+1n=2n<s
    より
    x∈B(xn;n−1)⊂B(x;s)⊂U
    が成り立つ．

非可算無限集合に離散距離
d0(x,y):={0x=y1x≠y
を入れた空間は，有界だが全有界ではない．

全有界性の特徴づけ

(X,d)を全有界距離空間とする．このとき，任意の(x∙,ε)∈XN×R>0に対して
I(x∙,ε):={φ∈NN∣φ:increasing, diam⁡((x∙∘φ)→(N))≤ε}≠∅
が成り立つ．したがって写像Ψ:XN×R>0→NNであって
Ψ(x∙,ε)∈I(x∙,ε)
なるものが存在する．

(x∙,ε)∈XN×R>0とする．(X,d)の全有界性より，有限集合A⊂Xであって
X=⋃a∈AB(a;ε/2)
を満たすものが存在する．このとき
N=⋃a∈Ax∙←(B(a;ε/2))
より，a∞∈Aであって#x∙←(B(a∞;ε/2))=∞なるものが存在する．よって，app-incrより，単調増加写像φ:N→Nであってφ→(N)=x∙←(B(a∞;ε/2))なるものが存在する．このφについて
diam⁡((x∙∘φ)→(N))≤diam⁡(B(a∞;ε/2))≤ε
が成り立つ．

(X,d)を距離空間とする．このとき次は同値である：

  1. (X,d)は全有界である；
  2. (X,d)の任意の点列はCauchy部分列を持つ．

(i)⟹(ii)

x∙∈XNとする．

  1. 写像Φ:⋃n(NN)N<n→NNを
    {Φ(∅):=idNn=0Φ((ψ0,…,ψn−1)):=Ψ(x∙∘ψ0∘⋯∘ψn−1,n−1)n>0
    で定める．このとき写像φ∙:N→NNであって
    ∀n∈N, φn=Φ(φ∙|N<n)
    を満たすものが（ただひとつ）存在する（cf. real定理8）．写像Ψの定義より各φn:N→Nは単調増加であることに注意する（cf. incr）．
  2. 写像φ:N→Nを
    φ(n):=φ0∘⋯∘φn(n)
    で定めると，これは単調増加写像である．実際，n,m∈N,n<m,とすると，φn+1∘⋯∘φmの単調増加性より
    n<m≤φn+1∘⋯∘φm(m)
    となるので，
    φ(n)=φ0∘⋯∘φn(n)<φ0∘⋯∘φn(m)≤φ0∘⋯∘φm(m)=φ(m)
    が成り立つ．
  3. 部分列x∙∘φ:N→XがCauchy列であることを示す．そこでε∈R>0とし，n0∈N>0であってn0−1<εなるものを取る．このとき任意のn,m∈N>n0に対して，
    n′:=φn0+1∘⋯∘φn(n), m′:=φn0+1∘⋯∘φm(m)
    とおくと，
    φn0=Ψ(x∙∘φ0∘⋯∘φn0−1,n0−1)∈I(x∙∘φ0∘⋯∘φn0−1,n0−1)
    より，
    d(xφ(n),xφ(m))=d(xφ0∘⋯∘φn(n),xφ0∘⋯∘φm(m))=d(xφ0∘⋯∘φn0(n′),xφ0∘⋯∘φn0(m′))≤diam⁡((x∙∘φ0∘⋯∘φn0)→(N))≤1n0<ε
    が成り立つ．

(ii)⟹(i)

対偶を示す．そこで(X,d)が全有界でないとすると，ε0∈R>0であって(B(x;ε0))x∈τ(d)Xが有限部分被覆を持たないようなものが存在する．このとき(X∖B(x;ε0))x∈τc(d)Xは有限交叉性を持つ部分集合族なので，app-fipより，点列(xn)n∈XNであって
∀n∈N, xn+1∈⋂i∈[n]X∖B(xi;ε0)=X∖⋃i∈[n]B(xi;ε0)
を満たすものが存在する．ところで任意のn,m∈Nに対して
n>m⟹xn∉B(xm;ε0)⟹d(xn,xm)≥ε0
が成り立つので，点列(xn)nはCauchy部分列を持ち得ない．

コンパクト⟹完備かつ全有界

コンパクト距離空間は完備かつ全有界である．

(X,d)をコンパクト距離空間とすると，nest-fipより(X,d)は完備であり，定義より(X,d)は全有界である．

完備かつ全有界⟺点列コンパクト

(X,d)を距離空間とする．このとき次は同値である：

  1. (X,d)は完備かつ全有界である；
  2. (X,d)は点列コンパクトである．

(i)⟹(ii)

(xn)n∈XNとする．いま(X,d)は全有界なのでtot-bdd-sub-cauchyより(xn)nはCauchy部分列を持つが，(X,d)の完備性よりこの部分列は収束する．

(ii)⟹(i)

  1. (xn)n∈XNをCauchy列とすると，仮定より(xn)nは収束部分列を持つので，conv-cauchy-bddより(xn)nは収束する．よって(X,d)は完備である．
  2. (xn)n∈XNとすると，仮定より(xn)nは収束部分列，したがってCauchy部分列を持つ．よって(X,d)は全有界である（cf. tot-bdd-sub-cauchy）．

点列コンパクト⟹コンパクト

(X,d)を点列コンパクト距離空間とする．このとき，任意の開被覆(Uλ)λ∈τ(d)Λに対して，ε∈R>0であって(B(x;ε))x∈τ(d)Xが(Uλ)λの細分となるようなものが存在する．

(Uλ)λ∈τ(d)Λとする．補題の主張が成り立たないとすると，各n∈N>0に対して，xn∈Xであって
∀λ∈Λ, B(xn;n−1)⊄Uλ
を満たすものが存在する．仮定より，点列(xn)n∈XN>0は収束部分列を(xφ(n))n持つ．そこでx∞:=limxφ(n)とおくと，(Uλ)λがXの開被覆であることおよび距離位相の定義よりλ∞∈Λおよびε∞∈R>0であってB(x∞;ε∞)⊂Uλ∞なるものが存在する．このときn0∈N>0であって
∀n∈N, n≥n0⟹d(xφ(n),x∞)<ε∞2
が成り立つものを取りn1:=max{n0,⌊2/ε∞⌋+1}∈N>0とおくと，
d(x,xφ(n1))<1φ(n1)⟹d(x,x∞)≤d(x,xφ(n1))+d(xφ(n1),x∞)<1φ(n1)+ε∞2≤1n1+ε∞2≤ε∞2+ε∞2=ε∞
より
B(xφ(n1);φ(n1)−1)⊂B(x∞;ε∞)⊂Uλ∞
となるが，これはxφ(n1)の取り方に反する．

点列コンパクト距離空間はコンパクトである．

(X,d)を点列コンパクト距離空間とし，(Uλ)λ∈τ(d)Λをその開被覆とする．このとき，refineより，ε∈R>0であって
∀x∈X, ∃λx∈Λ, B(x;ε)⊂Uλx
を満たすものが存在する．いまcompl-tot-bdd-seq-cptより(X,d)は全有界なので，その開被覆(B(x;ε))x∈τ(d)Xに対して，有限個の点x0,…,xn∈Xであって
X=⋃i∈[n]B(xi;ε)⊂⋃i∈[n]Uλxi⊂X
を満たすものが存在する．よって(Uλ)λは有限部分被覆を持つ．

固有距離空間の場合

任意の有界閉集合がコンパクトとなるような距離空間を固有距離空間という．

固有距離空間は完備である．

(xn)nを固有距離空間のCauchy列とする．このとき，conv-cauchy-bdd，dist-diamよりA:=Cl({xn∣n∈N})は有界閉集合ゆえコンパクト，したがって点列コンパクトであるから，Aの点列(xn)nは収束部分列を持つ．よってconv-cauchy-bddより(xn)nは収束する．

(X,d)を距離空間とし，部分集合A⊂Xについての以下の4条件を考える：

  1. A⊂Xはコンパクトである；
  2. A⊂Xは相対コンパクトである；
  3. A⊂Xは全有界である；
  4. A⊂Xは有界である．

このとき，

  1. (i)⟹(ii)⟹(iii)⟹(iv)が成り立つ；
  2. (X,d)が完備距離空間ならば，(iii)⟹(ii)が成り立つ；
  3. (X,d)が固有距離空間ならば，(iv)⟹(ii)が成り立つ．

(i)⟹(ii)

ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合なので
Cl(A)=A⊂X
はコンパクトである．

(ii)⟹(iii)

コンパクト距離空間(Cl(A),d|Cl(A))は全有界なので，tot-bdd-subよりA⊂Cl(A)は全有界である．よってA⊂Xは全有界である．

(iii)⟹(iv)

Aは有限個の有界集合で覆えるので有界である．

(2)

A⊂Xが全有界ならば，compl-cl，tot-bdd-subよりCl(A)は完備かつ全有界であるから，コンパクトである．

(3)

A⊂Xが有界ならば，dist-diamよりCl(A)⊂Xは有界閉集合ゆえコンパクトである．

(X,d)を完備距離空間としA⊂Xとする．このとき次は同値である：

  1. A⊂Xは相対コンパクトである；
  2. A⊂Xは全有界である．

(X,d)を固有距離空間としA⊂Xとする．このとき次は同値である：

  1. A⊂Xは相対コンパクトである；
  2. A⊂Xは有界である．

まとめ：定義あるいは特徴づけ

開被覆による

  1. (X,τ(d))はコンパクト；
  2. 任意の開被覆が有限部分被覆を持つ．
  1. (X,d)は全有界；
  2. 任意のε∈R>0に対して，開被覆(B(x;ε))x∈τ(d)Xが有限部分被覆を持つ．

有限交叉性による

  1. (X,τ(d))はコンパクト；
  2. 有限交叉性を持つ任意の閉集合族(Fλ)λ∈τc(d)Λに対して
    ⋂λ∈ΛFλ≠∅
    が成り立つ．
  1. (X,d)は完備；
  2. 有限交叉性を持つ任意の閉集合族(Fλ)λ∈τc(d)Λに対して
    inf{diam⁡(Fλ)∣λ∈Λ}=0⟹⋂λ∈ΛFλ≠∅
    が成り立つ（cf. nest-fip）．

点列による

  1. (X,d)は点列コンパクト；
  2. 任意の点列が収束部分列を持つ．
  1. (X,d)は完備；
  2. 任意のCauchy列が収束する．
  1. (X,d)は全有界；
  2. 任意の点列がCauchy部分列を持つ（cf. tot-bdd-sub-cauchy）．

距離空間の完備化

一様連続写像

(X,dX),(Y,dY)を距離空間としf:X→Yを写像とする．任意のε∈R>0に対して，δ∈R>0であって
dX(x,x′)<δ⟹dY(f(x),f(x′))<ε
が成り立つものが存在するとき，fを一様連続写像という．さらに，一様連続写像g:Y→Xであってg∘f=idX,f∘g=idYを満たすものが存在するとき，fを一様同相写像という．

  1. 一様連続写像は連続写像である．
  2. 一様連続写像の合成はまた一様連続である．

(X,dX),(Y,dY)を距離空間，A⊂Xとし，f:X→Yを一様連続写像とする．このとき次が成り立つ：

  1. A⊂Xが全有界ならば，f→(A)⊂Yは全有界である；
  2. (Y,dY)が完備距離空間であるとき，A⊂Xが相対コンパクトならば，f→(A)⊂Yは相対コンパクトである；
  3. (X,dX)が固有距離空間であり(Y,dY)が完備距離空間であるとき，A⊂Xが有界ならば，f→(A)⊂Yは相対コンパクトである．
  1. ε∈R>0とする．fの一様連続性よりδ∈R>0であって
    dX(x,x′)<δ⟹dY(f(x),f(x′))<ε
    が成り立つものが存在する．このδ∈R>0に対して，A⊂Xの全有界性より，有限個の点x0,…,xn∈Xであって
    A⊂⋃i∈[n]BX(xi;δ)
    を満たすものが存在する．このとき
    f→(A)⊂⋃i∈[n]f→(BX(xi;δ))⊂⋃i∈[n]BY(f(xi);ε)
    が成り立つ．よってf→(A)⊂Yは全有界である．
  2. rel-cpt-bddと前段より
    A⊂X:relatively compact⟹A⊂X:totally bounded⟹f→(A)⊂Y:totally bounded⟹f→(A)⊂Y:relatively compact
    が成り立つ．
  3. 同様に
    A⊂X:bounded⟹A⊂X:relatively compact⟹f→(A)⊂Y:relatively compact
    が成り立つ．

有界集合の一様連続像は有界とは限らない．実際，離散距離空間(Z,d0)からEuclid空間の部分空間(Z,de|Z)への連続写像idZは一様連続であるが（δ:=2−1と取ればよい），有界集合Zの像は有界ではない．

一様連続写像の拡張

(X,dX),(Y,dY)を距離空間，A⊂Xとし，f:X→Yを連続写像とする．このとき次が成り立つ：

  1. fが一様連続ならば，f|Aも一様連続である；
  2. f|Aが一様連続ならば，f|Cl(A)は一様連続である．
  1. 定義より明らか．
  2. ε∈R>0とする．仮定よりδ∈R>0であって
    ∀a,a′∈A, dX(a,a′)<δ⟹dY(f(a),f(a′))<ε3
    が成り立つものが存在する．
    1. x,x′∈Cl(A),dX(x,x′)<δ,とし，点列(an)n,(an′)n∈ANであってliman=x,liman′=x′なるものを取る（cf. dist-diam）．
    2. n0∈Nであって
      dX(an0,x)<δ−dX(x,x′)2, dX(an0′,x′)<δ−dX(x,x′)2,
      および
      dY(f(an0),f(x))<ε3, dY(f(an0′),f(x′))<ε3
      を満たすものが存在する（cf. seq-conti）．
    3. したがって
      dX(an0,an0′)≤dX(an0,x)+dX(x,x′)+dX(x′,an0′)<δ−dX(x,x′)2+dX(x,x′)+δ−dX(x,x′)2=δ
      となるので，
      dY(f(x),f(x′))≤dY(f(x),f(an0))+dY(f(an0),f(an0′))+dY(f(an0′),f(x′))<ε3+ε3+ε3=ε
      が成り立つ．

(X,dX),(Y,dY)を距離空間とし，f:X→Yを一様連続写像とする．このとき次が成り立つ：

  1. (xn)n∈XNがdX-Cauchy列ならば，(f(xn))n∈YNはdY-Cauchy列である；
  2. (Y,dY)が完備であるとき，任意の点列(xn)n,(xn′)n∈XNに対して，
    limn→∞xn=limn→∞xn′⟹limn→∞f(xn)=limn→∞f(xn′)
    が成り立つ．
  1. ε∈R>0とする．fの一様連続性よりδ∈R>0であって
    dX(x,x′)<δ⟹dY(f(x),f(x′))<ε
    が成り立つものが存在する．このδ∈R>0に対して，n0∈Nであって
    ∀n,m∈N, n,m≥n0⟹dX(xn,xm)<δ
    が成り立つものが存在する．よって
    ∀n,m∈N, n,m≥n0⟹dY(f(xn),f(xm))<ε
    が成り立つ．
  2. x∞:=limxn=limxn′とおく．収束列はCauchy列であるから（cf. conv-cauchy-bdd），前段と(Y,dY)の完備性より
    limn→∞f(xn), limn→∞f(xn′)∈Y
    が定まるが，seq-contiより
    limn→∞f(xn)=f(x∞)=limn→∞f(xn′)
    が成り立つ．

(X,dX)を距離空間，A⊂Xをその稠密部分集合とし，(Y,dY)を完備距離空間とする．このとき，任意の一様連続写像f:A→Yに対して，一様連続写像f¯:X→Yであってf¯|A=fを満たすものがただひとつ存在する．

f¯の定義

dist-diam，unif-conti-cauchyより，写像f¯:X=Cl(A)→Yを
f¯(limn→∞an):=limn→∞f(an)
で定めることができる．明らかにf¯|A=fが成り立つ．

f¯の一様連続性

unif-conti-subよりf¯が連続であることを示せば十分である．そこで(x0,ε)∈X×R>0とし，点列(an)n∈ANであってliman=x0なるものを取る．

  1. fの一様連続性よりδA∈R>0であって
    ∀a,a′∈A, dX(a,a′)<δA⟹dY(f(a),f(a′))<ε3
    が成り立つものが存在する．そこでδ:=δA/3∈R>0とおく．
  2. x′=liman′∈BX(x0;δ)とする．このとき，n0∈Nであって
    dX(an0,x0)<δ, dX(an0′,x′)<δ,
    および
    dY(f(an0),f¯(x0))<ε3, dY(f(an0′),f¯(x′))<ε3
    を満たすものを取ると，
    dX(an0,an0′)≤dX(an0,x0)+dX(x0,x′)+dX(x′,an0′)<δ+δ+δ=δA
    より
    dY(f(an0),f(an0′))<ε3
    となるので，
    dY(f¯(x′),f¯(x0))≤dY(f¯(x′),f(an0′))+dY(f(an0′),f(an0))+dY(f(an0),f¯(x0))<ε3+ε3+ε3=ε
    が成り立つ．

f¯の一意性

一様連続写像f¯′:X→Yがf¯′|A=fを満たすとすると，Yのハウスドルフ性より
{x∈X∣f¯(x)=f¯′(x)}=(f¯Δf¯′)←(ΔY)⊂X
は稠密部分集合A⊂Xを含む閉集合であるから，
X={x∈X∣f¯(x)=f¯′(x)} ⇝ f¯=f¯′
が成り立つ．

等長写像

(X,dX),(Y,dY)を距離空間とし，f:X→Yを写像とする．任意のx,x′∈Xに対して
dX(x,x′)=dY(f(x),f(x′))
が成り立つとき，fを等長埋め込みという．さらに，等長埋め込みg:Y→Xであってg∘f=idX,f∘g=idYを満たすものが存在するとき，fを等長（同型）写像という．

  1. 等長埋め込みは単射である．実際，f(x)=f(x′)とすると，
    dX(x,x′)=dY(f(x),f(x′))=0
    より，x=x′を得る．
  2. 等長埋め込みは一様連続である．実際，任意のε∈R>0に対して，δ:=ε∈R>0と取ると，
    dX(x,x′)<δ⟹dY(f(x),f(x′))=dX(x,x′)<δ=ε
    が成り立つ．
  3. 等長埋め込みは位相的埋め込みである．実際，上と同様にして，全単射連続写像ff→(X):X→f→(X)の逆写像が一様連続であることがわかる．
  4. 全射等長埋め込みは等長同型写像であり，等長同型写像は一様同相写像である．
  5. 等長埋め込みの合成はまた等長埋め込みである．

(X,dX),(Y,dY)を完備距離空間とし，A⊂X,B⊂Yをそれぞれの稠密部分集合とする．このとき，任意の一様同相写像（resp. 等長埋め込み；等長同型写像）f:A→Bに対して，一様同相写像（resp. 等長埋め込み；等長同型写像）f¯:X→Yであってf¯∘idAX=idBY∘fを満たすものがただひとつ存在する：
Xf¯YAidAXfBidBY

（いづれの場合も）idBY∘f:A→Yは一様連続写像であるから，unif-conti-extより，一様連続写像f¯:X→Yであってf¯|A=idBY∘fを満たすものがただひとつ存在する．

  1. f:A→Bが一様同相写像であるとする．
    1. 一様連続写像f−1―:Y→Xであってf−1―|B=idAX∘f−1を満たすものがただひとつ存在する．
    2. 一様連続写像f−1―∘f¯:X→Xについて
      (f−1―∘f¯)|A=f−1―∘f¯∘idAX=f−1―∘idBY∘f=idAX=idX|A
      が成り立つので，f−1―∘f¯=idXを得る．
    3. 同様にf¯∘f−1―=idYが成り立つ．
    4. よってf¯:X→Yは一様同相写像である．
  2. f:A→Bが等長埋め込みであるとする．
    1. x,x′∈Xとし，(an)n,(an′)n∈ANであってliman=x,liman′=x′なるものを取る．
    2. ε∈R>0とする．このとき
      |dX(x,x′)−dY(f¯(x),f¯(x′))|<ε
      が成り立つことを示せばよい．
    3. そこでn0∈Nであって
      dX(an0,x)<ε4, dX(an0′,x′)<ε4,
      および
      dY(f(an0),f¯(x))<ε4, dY(f(an0′),f¯(x′))<ε4
      を満たすものを取ると，partial-mapより，
      |dX(x,x′)−dY(f¯(x),f¯(x′))|=|dX(x,x′)−dX(an0,an0′)+dY(f(an0),f(an0′))−dY(f¯(x),f¯(x′))|≤|dX(x,x′)−dX(an0,an0′)|+|dY(f(an0),f(an0′))−dY(f¯(x),f¯(x′))|≤dX(x,an0)+dX(x′,an0′)+dY(f(an0),f¯(x))+dY(f(an0′),f¯(x′))<ε4+ε4+ε4+ε4=ε
      が成り立つ．

完備化の存在と一意性：準備

Xを位相空間，(Y,d)を距離空間とし，XからYへの有界連続写像全体のなす集合をCb(X,Y)とおく：
Cb(X,Y):={f:X→Y∣f:continuous, diam⁡(f→(X))<∞}.
このとき，写像d∞:Cb(X,Y)×Cb(X,Y)→Rを
d∞(f,g):=sup{d(f(x),g(x))∣x∈X}
で定めると，これは距離函数である．

x0∈Xを固定する．f,g∈Cb(X,Y)とすると，任意のx∈Xに対して
d(f(x),g(x))≤d(f(x),f(x0))+d(f(x0),g(x0))+d(g(x0),g(x))≤diam⁡(f→(X))+d(f(x0),g(x0))+diam⁡(g→(X))
が成り立つので，写像d∞が定まる．

  1. 任意のf,g∈Cb(X,Y)に対して，
    d∞(f,g)=0⟺∀x∈X, d(f(x),g(x))=0⟺∀x∈X, f(x)=g(x)⟺f=g
    が成り立つ．
  2. d∞(f,g)=d∞(g,f)が成り立つことは明らか．
  3. f,g,h∈Cb(X,Y)とする．任意のx∈Xに対して
    d(f(x),h(x))≤d(f(x),g(x))+d(g(x),h(x))≤d∞(f,g)+d∞(g,h)
    が成り立つので，
    d∞(f,h)≤d∞(f,g)+d∞(g,h)
    を得る．

Xを位相空間とし(Y,d)を完備距離空間とする．このとき(Cb(X,Y),d∞)は完備距離空間である．

(fn)n∈Cb(X,Y)Nをd∞-Cauchy列とする．各x∈Xに対して，
d(fn(x),fm(x))≤d∞(fn,fm)
より，(fn(x))n∈YNはd-Cauchy列であるから，(Y,d)の完備性より
f(x):=limn→∞fn(x)∈Y
が定まる．

fの連続性

V∈τ(d)とし，x0∈f←(V)とする．このとき，開近傍U∈τ(x0,X)であってU⊂f←(V)なるものが存在することを示せばよい．

  1. f(x0)∈V∈τ(d)より，ε∈R>0であってB(f(x0);ε)⊂Vなるものが存在する．
  2. ε/3∈R>0に対して，n0∈Nであって
    ∀n,m∈N, n,m≥n0⟹d∞(fn,fm)<ε3
    が成り立つものが存在する．よって各(x,m)∈X×N≥n0に対して
    f(x)=limn→∞fn(x)∈Cl(B(fm(x);ε/3))⊂B[fm(x);ε/3]
    が成り立つ．
  3. 写像fn0:X→Yのx0∈Xにおける連続性より，開近傍U∈τ(x0,X)であって
    U⊂fn0←(B(fn0(x0);ε/3))
    を満たすものが存在する．
  4. よって，任意のx∈Uに対して
    d(f(x),f(x0))≤d(f(x),fn0(x))+d(fn0(x),fn0(x0))+d(fn0(x0),f(x0))<ε3+ε3+ε3=ε
    が成り立つので，
    U⊂f←(B(f(x0);ε))⊂f←(V)
    を得る．

fの有界性

上記[2]と同様にして，n∈Nであって
∀x∈X, d(f(x),fn(x))≤1
を満たすものが存在することがわかる．したがって，任意のx,x′∈Xに対して
d(f(x),f(x′))≤d(f(x),fn(x))+d(fn(x),fn(x′))+d(fn(x′),f(x′))≤1+diam⁡(fn→(X))+1
が成り立つので，
diam⁡(f→(X))≤diam⁡(fn→(X))+2<∞
を得る．よってf∈Cb(X,Y)となる．

(fn)nがfに収束すること

任意のε∈R>0に対して，上記[2]と同様にして，n0∈Nであって
∀n∈N, n≥n0⟹0≤d∞(fn,f)≤ε2<ε
が成り立つものが存在することがわかる．

任意の位相空間Xに対して，Cb(X):=Cb(X,R)は距離de∞に関して完備である．

完備化の存在と一意性：証明

(X,d)を距離空間とする．完備距離空間(c(X),dc(X))と等長埋め込みιX:X→c(X)であってCl(ιX→(X))=c(X)なるものとの組((c(X),dc(X)),ιX)を，距離空間(X,d)の完備化という．

任意の距離空間に対して，その完備化が等長同型なものを除いてただひとつ存在する．

( Fréchet–Kuratowski )

(X,d)を距離空間とする．

存在

  1. x0∈Xを固定する．各x∈Xに対して，連続写像Dx:X→Rを
    Dx(x′):=dx(x′)−dx0(x′)=d(x,x′)−d(x0,x′)
    で定める（cf. partial-map）．
  2. 任意のx′,x″∈Xに対して
    |Dx(x′)−Dx(x″)|≤|Dx(x′)|+|Dx(x″)|=|d(x,x′)−d(x0,x′)|+|d(x,x″)−d(x0,x″)|≤d(x,x0)+d(x,x0)
    が成り立つので，Dx:X→Rは有界である．
  3. よって，写像
    D:X→Cb(X); x↦Dx
    が定まる．
  4. Dが等長埋め込みであることを示す．そこでx,x′∈Xとすると，任意のx″∈Xに対して
    |Dx(x″)−Dx′(x″)|=|(d(x,x″)−d(x0,x″))−(d(x′,x″)−d(x0,x″))|=|d(x,x″)−d(x′,x″)|≤d(x,x′)=|d(x,x)−d(x′,x)|=|Dx(x)−Dx′(x)|≤de∞(Dx,Dx′)
    が成り立つので，
    d(x,x′)=de∞(D(x),D(x′))
    を得る．
  5. c(X):=Cl(D→(X))とおくと，これは完備距離空間(Cb(X),de∞)の閉集合ゆえ完備であり（cf. compl-cl），写像
    ιX:=Dc(X):X→c(X)
    は等長埋め込みであってCl(ιX→(X))=c(X)を満たす．

一意性

((Xi,di),ιi),i∈{1,2},が(X,d)の完備化であるとする．このとき
f:=ι2ι2→(X)∘(ι1ι1→(X))−1:ι1→(X)→ι2→(X)
は完備距離空間の稠密部分集合のあいだの等長同型写像であるから，isometry-extより，等長同型写像f¯:X1→X2であってf¯∘idι1→(X)X1=idι2→(X)X2∘fを満たすものがただひとつ存在する．このf¯について，明らかにf¯∘ι1=ι2が成り立つ：
X1f¯X2ι1→(X)fι2→(X)Xι1idXXι2

(X,dX),(Y,dY)を距離空間とし，f:X→Yを一様連続写像（resp. 等長埋め込み）とする．このとき，一様連続写像（resp. 等長埋め込み）c(f):c(X)→c(Y)であって，c(f)∘ιX=ιY∘fを満たすものがただひとつ存在する：
c(X)c(f)c(Y)XιXfYιY

仮定より
ιY∘f∘(ιXιX→(X))−1:ιX→(X)→c(Y)
は一様連続写像（resp. 等長埋め込み）である．よって，unif-conti-ext（resp. isometry-ext）より，一様連続写像（resp. 等長埋め込み）c(f):c(X)→c(Y)であって
c(f)∘idιX→(X)c(X)=ιY∘f∘(ιXιX→(X))−1,
すなわち
c(f)∘ιX=ιY∘f
を満たすものがただひとつ存在する．

完備化・全有界・コンパクト

(X,d)を距離空間とする．このとき次は同値である：

  1. (X,d)は全有界である；
  2. (c(X),τ(dc(X)))はコンパクトである．

(i)⟹(ii)

unif-conti-img，rel-cpt-iff-tot-bddよりc(X)=Cl(ιX→(X))はコンパクトである．

(ii)⟹(i)

仮定より(c(X),dc(X))は全有界であるから，その部分集合と等長同型な(X,d)も全有界である（cf. tot-bdd-sub，unif-conti-img）．

補遺：ある単調増加写像の存在について

任意の無限部分集合X⊂Nに対して，単調増加写像φ:N→Nであってφ→(N)=Xなるものが存在する．

写像φ:N→Nを
φ(0):=minX;φ(n+1):=min(X∖{φ(0),…,φ(n)});
で“定めればよい”（cf. real定理8）．

Step 1.

空集合∅∈Fin(X):={A⊂X∣#A<∞}と写像
min~:Fin(X)→Fin(X); A↦A∪{min(X∖A)}
とに対して，写像min~∅:N→Fin(X)であって
min~∅(0)=∅;min~∅(n+1)=min~(min~∅(n));
を満たすものがただひとつ存在する（cf. real定理7）．そこで写像φ:N→Nを
φ(n):=min(X∖min~∅(n))
で定める．

Step 2.

n∈Nとする．このとき，任意のk∈N>0に対して
min~∅(n+k)=min~∅(n)∪{φ(n),…,φ(n+k−1)}
が成り立つことを示す．

  1. 写像min~∅の定義より
    min~∅(n+1)=min~∅(n)∪{min(X∖min~∅(n))}=min~∅(n)∪{φ(n)}
    が成り立つ．
  2. 前段と帰納法の仮定より，
    min~∅(n+(k+1))=min~∅((n+k)+1)=min~∅(n+k)∪{φ(n+k)}=min~∅(n)∪{φ(n),…,φ(n+k−1)}∪{φ(n+k)}=min~∅(n)∪{φ(n),…,φ(n+(k+1)−1)}
    が成り立つ．

Step 3.

写像φは単調増加である．実際，n,m∈N,n<m,とすると
min~∅(n)⊂min~∅(n)∪{φ(n),…,φ(m−1)}=min~∅(m)
より
φ(n)=min(X∖min~∅(n))<min(X∖min~∅(m))=φ(m)
が成り立つ．

Step 4.

  1. 明らかにφ→(N)⊂Xが成り立つ．
  2. もしX∖φ→(N)≠∅であるとすると，x0:=min(X∖φ→(N))が定まる．そこで
    X<x0:={x∈X∣x<x0}⊂φ→(N)
    を考えると，φ(0)=minX∈X<x0よりk:=#X<x0∈N>0であり，φの単調増加性と要素数の比較により
    {φ(0),…,φ(k−1)}=X<x0
    が成り立つことがわかる．ところでこの左辺はmin~∅(k)に等しいので，
    φ(k)=min(X∖min~∅(k))=min{x∈X∣x≥x0}=x0
    となってx0∈X∖φ→(N)の取り方に反する．

補遺：ある点列の存在について

Xを非空集合とし(Ax)x∈Xを有限交叉性を持つXの部分集合族とする．このとき点列(xn)n∈XNであって
∀n∈N, xn+1∈Ax0∩⋯∩Axn
を満たすものが存在する．

仮定より
∀F∈Fin(X), ⋂x∈FAx≠∅
が成り立つので，写像Ψ:Fin(X)→Xであって
∀F∈Fin(X), Ψ(F)∈⋂x∈FAx
なるものが存在する．そこで写像Φ:⋃nXN<n→Xを
Φ(ξ:N<n→X):=Ψ({ξ(0),…,ξ(n−1)})
で定めると，real定理8より，点列(xn)n∈XNであって
∀n∈N, xn+1=Φ((x0,…,xn))=Ψ({x0,…,xn})∈Ax0∩⋯∩Axn
を満たすものが（ただひとつ）存在する．

参考文献

[1]
J. Dugundji, Topology
[2]
森田紀一, 位相空間論, 岩波書店
投稿日：1月18日
更新日：1月30日
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

うすい
56
11868
位相空間論に興味があります．

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中
うすい
完備・全有界・コンパクト
  1. 距離空間
  2. 距離位相
  3. 部分空間
  4. 連続写像
  5. 点列連続性
  6. 部分集合の直径
  7. 完備・全有界・コンパクト
  8. 完備距離空間
  9. 完備性の特徴づけ
  10. 全有界距離空間
  11. 全有界性の特徴づけ
  12. コンパクト⟹完備かつ全有界
  13. 完備かつ全有界⟺点列コンパクト
  14. 点列コンパクト⟹コンパクト
  15. 固有距離空間の場合
  16. まとめ：定義あるいは特徴づけ
  17. 距離空間の完備化
  18. 一様連続写像
  19. 一様連続写像の拡張
  20. 等長写像
  21. 完備化の存在と一意性：準備
  22. 完備化の存在と一意性：証明
  23. 完備化・全有界・コンパクト
  24. 補遺：ある単調増加写像の存在について
  25. 補遺：ある点列の存在について
  26. 参考文献