【相対論】Birkhoffの定理

局所的に座標$ \{y^0,y^1,y^2,y^3\}$があり、$ L$の各leafがこの座標に関して$ (y^0,y^1)$が一定となるようにできる。各leafを$ L_{(y^0,y^1)}$と書く。

あるleaf$ L_{(y_0^0,y_0^1)}$に対して、$ p=(y_0^0,y_0^1,y_0^2,y_0^3)\in L_{(y_0^0,y_0^1)}$を通り$ L_{(y_0^0,y_0^1)}$に直交する測地線を$ c:I\to M$とする。$ G$の作用が作るKillingベクトル場を$ X$とすると、$ g(\dot c,X)_p=0$であり、また測地線とKillingベクトル場の内積はその測地線上で一定であるから、$ g(\dot c,X)_{c(t)}=0$である。$ X$は各leafに接しており、$ G$は各leafに推移的に作用するから$ c$は各leaf$ L_{(y^0,y^1)}$に直交する。

$ p\in L_{(y_0^0,y_0^1)}$を通り、$ L_{(y_0^0,y_0^1)}$に直交する測地線の集合が定める２次元の部分多様体を$ L^\perp_{(y_0^2,y_0^3)}$とする。上で示したことにより$ L^\perp_{(y_0^2,y_0^3)}$は各leaf$ L_{(y^0,y^1)}$に直交する。$ L_{(y_0^0,y_0^1)}$上で各$ (y^2,y^3)$に対して$ L^\perp_{(y^2,y^3)}$を作るとnullでない２次元部分多様体のfoliation$ L^\perp$が得られる。

$ L$の各leaf上で一定となる独立な２つの関数$ \{x^0,x^1\}$は$ L^\perp$の各leaf上の座標となる。$ L^\perp$の各leaf上で一定となる独立な２つの関数$ \{x^2,x^3\}$は$ L$の各leaf上の座標となる。さらに$ \{x^0,x^1,x^2,x^3\}$がMの適当な開近傍の座標となる。
以下、$ i,j,k\in\{0,1\},a,b\in\{2,3\},\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}$などとする。$ L^\perp_{(x^2,x^3)}$上の誘導計量を$ h$、$ L_{(x^0,x^1)}$上の誘導計量を$ \gamma$とすると$ g=h+\gamma$となる。

$ G$は$ G$の各軌道に制限しても等長変換群として作用しているから、$ \mathcal{L}_Xg=0,\mathcal{L}_X\gamma=0$より$ \mathcal{L}_Xh=0$である。また$ G$の作用の作るKillingベクトル場は$ X=X^2\partial_2+X^3\partial_3$（$ X^2,X^3$は適当な関数）と表されるので
$$ 0=\mathcal{L}_Xh_{ij}=X(h_{ij})+h_{i\mu}\partial_jX^\mu+h_{\mu j}\partial_iX^\mu=X(h_{ij})+h_{ik}\partial_jX^k+h_{k j}\partial_iX^k=X(h_{ij}) $$
となる。$ G$が推移的に作用することを考えると$ h_{ij}$は$ x^2,x^3$に依存せず、$ h=h_{ij}(x^0,x^1)dx^idx^j$となる。さらに$ x^0,x^1$を適当に取り換えることで
$$ h=-\epsilon e^{2\lambda}(dx^0)^2+e^{2\nu}(dx^1)^2 $$
としてよい( ２次元擬リーマン多様体の計量の対角化座標について )。

各leaf$ L_{(x^0,x^1)}$は２次元定曲率空間であり、$ G$の等質空間であることから曲率の正、負、０は全てのleaf$ L_{(x^0,x^1)}$で同一である（曲率は$G$のLie環で決まる）。よって$ d\sigma^2$を断面曲率が$ k=+1,0,-1$のいずれかの計量とするとき、$ \gamma=r(x^0,x^1)^2d\sigma^2$と表される。$ x^2,x^3$を適当に取ることで
$ d\sigma^2=(dx^2)^2+\epsilon f(x^2)^2(dx^3)^2$
$ f(x^2)=\begin{cases}\sin(x^2)\ (k=1) \\ x^2\ (k=0) \\ \sinh(x^2)\ (k=-1)\end{cases}$
と表される。ただし$ G$の軌道がspacelikeのとき$ \epsilon=1$、timelikeのとき$ \epsilon=-1$とする。また$ x^0,x^1$の構成の仕方から$ ||\nabla r||^2\ne0$のときは$ x^1=r$と取ることが可能である。
Warped積多様体の曲率 の断面曲率の公式より
$$ K=\frac{k}{r^2}-\frac{||\nabla r||^2}{r^2} $$
であるから、$||\nabla r||^2=0$となることがありえない（もしそうなら$r$が定数となり$K$も定数となってしまう）。よって$x^1=r$とできる。

$ i,j,k\in\{0,1\},a,b\in\{2,3\},\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}$などとする。
$ F=E\theta^0\wedge\theta^1+F_{ia}\theta^i\wedge\theta^a+B\theta^2\wedge\theta^3$とおく。

$ G$の作用が作るKillingベクトル場を$ X$とする。このとき、
$ \mathcal{L}_X\theta^i=\iota_Xd\theta^i=0$であり、また$ \mathcal{L}_X\theta^i=0,g(e_i,e_a)=0$より$ \mathcal{L}_X\theta^a=A^a_{~~b}\theta^b$となる。
またこのとき$ 0=Xg(e_a,e_b)=(\mathcal{L}_X\theta^a)(e_b)+(\mathcal{L}_X\theta^b)(e_a)=A^a_b+A^b_a$が成り立つ。

次に
\begin{align} \mathcal{L}_XF&=X(E)\theta^0\wedge\theta^1+X(F_{ia})\theta^i\wedge\theta^a+F_{ia}A^a_b\theta^i\wedge\theta^b+X(B)\theta^2\wedge\theta^3\\ &=X(E)\theta^0\wedge\theta^1+(X(F_{ia})+F_{ib}A^b_a)\theta^i\wedge\theta^a+X(B)\theta^2\wedge\theta^3=0 \end{align}
であるから、$ E=E(x^0,x^1),B=B(x^0,x^1)$となる。
また任意の点$ p\in U$に対して$ X$を$ p$の固定部分群の生成するKillingベクトル場とすると、$ X_p=0$であるから、上の式の第二項は
$ 0=X_pF_{ia}(p)+F_{ib}(p)A^b_a(p)=F_{ib}(p)A^b_a(p)$
であり、
$ L_X\theta^2=\iota_X(dr\wedge dx^2)+drX(x^2)+rd(X(x^2))=rd(X(x^2))=r\partial_3(X(x^2))dx^3\ne0$
であるから、行列$A^b_a(p)$は正則であり、$ F_{ib}(p)=0$となる。
よって
$ F=E\theta^0\wedge\theta^1+B\theta^2\wedge\theta^3$
となる。

さらに$ x^1=r$のとき
\begin{align} dF=&\partial_0Bdx^0\wedge\theta^2\wedge\theta^3+\partial_1Bdr\wedge\theta^2\wedge\theta^3+Bdr\wedge dx^2\wedge \theta^3\\ &-B\theta^2\wedge(fdr\wedge dx^3+rdf\wedge dx^3)\\ &=\partial_0Bdx^0\wedge\theta^2\wedge\theta^3+\partial_1Bdr\wedge\theta^2\wedge\theta^3+\frac{2B}{r}dr\wedge \theta^2\wedge \theta^3=0 \end{align}
となるから、
$ \partial_0B=0,\partial_rB+\frac{2}{r}B=0$
となり、
$ B=\frac{Q_m}{r^2}$
が得られる。
また$ d*F=d(B\theta^0\wedge\theta^1-E\theta^2\wedge\theta^3)=0$より同様にして
$ E=\frac{Q_e}{r^2}$
となる。

$\{\theta^i\}$に関して、
\begin{align} T^{em}-\frac{1}{2}tr(T^{em})g=\frac{e^2}{2r^4}{\rm diag}(1,-1,1,1),\ e^2=Q_e^2+Q_m^2 \end{align}
であるから、 Warped積多様体の曲率 の例より
$$ {}^M{\rm Ric}_{tr}=\frac{2}{r}\partial_t\nu=0 $$
となるから、$\nu=\nu(r)$である。さらに
\begin{align} {}^M{\rm Ric}_{tt}&=K(g_B)_{tt}-\frac{2}{r}H^r_{tt}\\ {}^M{\rm Ric}_{rr}&=K(g_B)_{rr}-\frac{2}{r}H^r_{rr} \end{align}
より
\begin{align} ({}^M{\rm Ric})^t_t-({}^M{\rm Ric})^r_r&=-\frac{2}{r}((H^r)^t_t-(H^r)^r_r)=-\frac{2}{r}(e^{-2\nu}\partial_r\lambda+e^{-2\nu}\partial_r\nu)\\ &=-\frac{2}{r}e^{-2\nu}\partial_r(\lambda+\nu)=0 \end{align}
であるから、$\lambda(t,r)+\nu(r)$は$t$のみの関数でなければならないからこれは定数である。座標$t$を適当に取り換えればこの定数は0としてよいから$\lambda=-\nu$である。
さらに
\begin{align} {}^M{\rm Ric}^\theta_\theta&=\frac{1}{r^2}(k-r\Delta r-||\nabla r||^2)\\ &=\frac{1}{r^2}\left(k-re^{-2\nu}\partial_r(\lambda-\nu)-e^{-2\nu}\right)\\ &=k-\partial_r(re^{2\lambda}) =\frac{e^2}{2r^4}+\Lambda \end{align}
となり、これは$r$で積分でき、積分定数を$-2m$とすると
\begin{align} re^{2\lambda}&=\int\left(k-\frac{e^2}{2r^2}-\Lambda r^2\right)dr=kr+\frac{e^2}{2r}-\frac{1}{3}\Lambda r^3-2m\\ e^{2\lambda}&=k-\frac{2m}{r}+\frac{e^2}{2r^2}-\frac{1}{3}\Lambda r^2 \end{align}
を得る。