二項関係 ⑩
Def.
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$R$ が反射的であるとは、
$$
\forall a\in A\ ((a,a)\in R)
$$
が成り立つことをいう。
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$a,b\in A$ に対して、
$$
aRb
$$
とは
$$
(a,b)\in R
$$
を意味する。特に、$a\in A$ に対して、
$$
aRa
\quad \Longleftrightarrow\quad
(a,a)\in R
$$
である。したがって、
$$
R\text{ が反射的である}
\ \Longleftrightarrow\
\forall a\in A\ (aRa)
$$
である。
- 等号関係$=$
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ \Delta_A:=\{(a,b)\in A\times A\mid a=b\} $$
で定める。
このとき、任意の $a\in A$ に対して、等号$=$は
$$ a=a $$
であるから、
$$ (a,a)\in R $$
が成り立つ。したがって、$R$ は反射的である。
$ $ - 通常の大小関係 $\le$
$\mathbb R$ 上の二項関係 $\le$ を考える。すなわち、
$$ R_{\le}:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid x\le y\} $$
について、任意の $x\in\mathbb R$ に対して
$$ x\le x $$
が成り立つ。
したがって、$\le$ は $\mathbb R$ 上の反射的な二項関係である。
$ $ - 包含関係 $\subseteq$
$X$ を集合とし、$\mathcal P(X)$ 上の二項関係 $\subseteq$ を考える。すなわち、
$$ R_{\subseteq}:=\{(A,B)\in\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)\mid A\subseteq B\} $$
について、任意の $A\in\mathcal P(X)$ に対して
$$ A\subseteq A $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
したがって、$\subseteq$ は $\mathcal P(X)$ 上の反射的な二項関係である。
$ $ - 整除関係
$\mathbb N_{\ge1}$ 上の二項関係 $\mid$ を考える。すなわち、
$$ R_{\mid}:=\{(a,b)\in\mathbb N_{\ge1}\times\mathbb N_{\ge1}\mid a\mid b\} $$
について、$a,b\in\mathbb N_{\ge1}$ に対して、$a\mid b$ とは、ある $k\in\mathbb N_{\ge1}$ が存在して
$$ b=ak $$
と書けることをいう。
任意の $a\in\mathbb N_{\ge1}$ に対して
$$ a=a\cdot 1 $$
であるから、
$$ a\mid a $$
が成り立つ。
したがって、整除関係 $\mid$ は $\mathbb N_{\ge1}$ 上の反射的な二項関係である。
$ $ - 空集合上の空関係
$A=\varnothing$ とし、$R=\varnothing\subseteq A\times A$ とする。
このとき、反射性の条件は
$$ \forall a\in\varnothing\ ((a,a)\in R) $$
である。これは空虚に真である。
したがって、空集合上の空関係 $\varnothing$ は反射的である。
$ $ - 全体関係
$A$ を集合とする。このとき、$R=A\times A$ は $A$ 上の反射的な関係である。
実際、任意に $a\in A$ をとる。
このとき、$a\in A$ かつ $a\in A$ であるから、直積の定義より
$$ (a,a)\in R=A\times A $$
が成り立つ。したがって、
$$ \forall a\in A\ ((a,a)\in R) $$
が成り立つ。
ゆえに、全体関係 $A\times A$ は反射的である。
$ $
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$R$ が対称的であるとは、
$$
\forall a\in A\ \forall b\in A\ \bigl((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\bigr)
$$
が成り立つことをいう。
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$a,b\in A$ に対して、
$$
aRb
$$
とは
$$
(a,b)\in R
$$
を意味する。したがって、
$$
R\text{ が対称的である}
\ \Longleftrightarrow\
\forall a\in A\ \forall b\in A\ (aRb\Rightarrow bRa)
$$
である。
対称性は、$a$ から $b$ へ関係が成り立つならば、逆向きに $b$ から $a$ へも関係が成り立つ、という性質である。
つまり、対称性は
$$
(a,b)\in R
$$
が成り立つときに、必ず
$$
(b,a)\in R
$$
も成り立つことを要求する。
ただし、最初から
$$
(a,b)\in R
$$
が成り立たない場合には、条件文
$$
(a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R
$$
は真である。
- 等号から定まる関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $\Delta_A$ を
$$ \Delta_A:=\{(a,b)\in A\times A\mid a=b\} $$
で定める。
任意の $a,b\in A$ に対して、$(a,b)\in\Delta_A$ とする。
このとき、$\Delta_A$ の定義より
$$ a=b $$
である。等号の対称性より
$$ b=a $$
であるから、
$$ (b,a)\in\Delta_A $$
が成り立つ。
したがって、$\Delta_A$ は対称的である。
$ $ - 実数上の差の絶対値で定まる関係
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid |x-y|\le 1\} $$
で定める。
任意の $x,y\in\mathbb R$ に対して、$(x,y)\in R$ とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ |x-y|\le 1 $$
である。
絶対値の性質より
$$ |y-x|=|x-y| $$
であるから、
$$ |y-x|\le 1 $$
が成り立つ。
したがって、
$$ (y,x)\in R $$
である。ゆえに、$R$ は対称的である。
$ $ - 合同関係
$n\in\mathbb N_{\ge1}$ を固定する。
$\mathbb Z$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\mid n\mid (a-b)\} $$
で定める。
任意の $a,b\in\mathbb Z$ に対して、$(a,b)\in R$ とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ n\mid(a-b) $$
である。
したがって、ある $k\in\mathbb Z$ が存在して
$$ a-b=nk $$
と書ける。
このとき、
$$ b-a=-(a-b)=-nk=n(-k) $$
であり、$-k\in\mathbb Z$ であるから、
$$ n\mid(b-a) $$
が成り立つ。
したがって、
$$ (b,a)\in R $$
である。
ゆえに、$R$ は対称的である。
$ $ - 空関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\varnothing $$
で定める。
任意の $a,b\in A$ に対して、
$$ (a,b)\in R $$
は成り立たない。
したがって、条件文
$$ (a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R $$
は常に真である。
ゆえに、空関係 $\varnothing$ は対称的である。
$ $ - 全体関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=A\times A $$
で定める。
任意の $a,b\in A$ に対して、$(a,b)\in R$ とする。
このとき、$a,b\in A$ であるから、直積の定義より
$$ (b,a)\in A\times A $$
が成り立つ。
したがって、
$$ (b,a)\in R $$
である。
ゆえに、全体関係 $A\times A$ は対称的である。
$ $
- 通常の大小関係 $\le$ は対称的ではない
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid x\le y\} $$
で定める。
このとき、
$$ 1\le 2 $$
であるから、
$$ (1,2)\in R $$
である。
しかし、
$$ 2\le 1 $$
は成り立たないので、
$$ (2,1)\notin R $$
である。
したがって、$R$ は対称的ではない。
$ $ - 整除関係 $\mid$ は対称的ではない
$\mathbb N_{\ge1}$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in\mathbb N_{\ge1}\times\mathbb N_{\ge1}\mid a\mid b\} $$
で定める。
このとき、
$$ 2\mid 4 $$
であるから、
$$ (2,4)\in R $$
である。
しかし、
$$ 4\nmid 2 $$
であるから、
$$ (4,2)\notin R $$
である。
したがって、整除関係 $\mid$ は $\mathbb N_{\ge1}$ 上で対称的ではない。
$ $
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$R$ が反対称的であるとは、
$$
\forall a\in A\ \forall b\in A\ \bigl(((a,b)\in R\land (b,a)\in R)\Rightarrow a=b\bigr)
$$
が成り立つことをいう。
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$a,b\in A$ に対して、
$$
aRb
$$
とは
$$
(a,b)\in R
$$
を意味する。
したがって、
$$
R\text{ が反対称的である}
\ \Longleftrightarrow\
\forall a\in A\ \forall b\in A\ ((aRb\land bRa)\Rightarrow a=b)
$$
である。
反対称性は、$a$ から $b$ へ関係が成り立ち、さらに逆向きに $b$ から $a$ へも関係が成り立つならば、$a$ と $b$ は同じ元でなければならない、という性質である。
つまり、反対称性は
$$
(a,b)\in R
\quad\text{かつ}\quad
(b,a)\in R
$$
が同時に成り立つときに、必ず
$$
a=b
$$
が成り立つことを要求する。
言い換えると、$a\neq b$ である異なる $2$ つの元については、
$$
(a,b)\in R
\quad\text{かつ}\quad
(b,a)\in R
$$
が同時には成り立たない。
反対称的であることは、対称的でないことを意味するわけではない。
反対称性は、
$$
(a,b)\in R\land (b,a)\in R
$$
が成り立つならば
$$
a=b
$$
である、という条件である。
したがって、$a=b$ の場合には、
$$
(a,a)\in R
$$
が成り立つことは反対称性に反しない。
- 等号から定まる関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $\Delta_A$ を
$$ \Delta_A:=\{(a,b)\in A\times A\mid a=b\} $$
で定める。
任意の $a,b\in A$ に対して、
$$ (a,b)\in\Delta_A\land(b,a)\in\Delta_A $$
とする。
このとき、特に
$$ (a,b)\in\Delta_A $$
であるから、$\Delta_A$ の定義より
$$ a=b $$
が成り立つ。
したがって、$\Delta_A$ は反対称的である。
$ $ - 通常の大小関係 $\le$
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid x\le y\} $$
で定める。
任意の $x,y\in\mathbb R$ に対して、
$$ (x,y)\in R\land(y,x)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ x\le y\land y\le x $$
である。
実数の大小関係 $\le$ の反対称性より
$$ x=y $$
が成り立つ。
したがって、$R$ は反対称的である。
$ $ - 包含関係 $\subseteq$
$X$ を集合とし、$\mathcal P(X)$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(A,B)\in\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)\mid A\subseteq B\} $$
で定める。
任意の $A,B\in\mathcal P(X)$ に対して、
$$ (A,B)\in R\land(B,A)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ A\subseteq B\land B\subseteq A $$
である。
集合の外延性より
$$ A=B $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
したがって、$R$ は反対称的である。
$ $ - 整除関係 $\mid$
$\mathbb N_{\ge1}$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in\mathbb N_{\ge1}\times\mathbb N_{\ge1}\mid a\mid b\} $$
で定める。
任意の $a,b\in\mathbb N_{\ge1}$ に対して、
$$ (a,b)\in R\land(b,a)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ a\mid b\land b\mid a $$
である。
したがって、ある $k,l\in\mathbb N_{\ge1}$ が存在して
$$ b=ak,\qquad a=bl $$
と書ける。
これらを代入すると、
$$ a=bl=(ak)l=a(kl) $$
である。
$a\in\mathbb N_{\ge1}$ であるから、$a\neq0$ である。よって
$$ 1=kl $$
である。
$k,l\in\mathbb N_{\ge1}$ より、
$$ k=1,\qquad l=1 $$
である。
したがって、
$$ b=a $$
が成り立つ。
ゆえに、$R$ は反対称的である。
$ $ - 空関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\varnothing $$
で定める。
任意の $a,b\in A$ に対して、
$$ (a,b)\in R\land(b,a)\in R $$
は成り立たない。
したがって、条件文
$$ \bigl((a,b)\in R\land(b,a)\in R\bigr)\Rightarrow a=b $$
は常に真である。
ゆえに、空関係 $\varnothing$ は反対称的である。
$ $ - 狭義の大小関係 $<$
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid x< y\} $$
で定める。
任意の $x,y\in\mathbb R$ に対して、
$$ (x,y)\in R\land(y,x)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ x< y\land y< x $$
である。
しかし、実数の大小関係において
$$ x< y\land y< x $$
は成り立たない。
したがって、前件
$$ (x,y)\in R\land(y,x)\in R $$
は常に偽である。
よって、条件文
$$ \bigl((x,y)\in R\land(y,x)\in R\bigr)\Rightarrow x=y $$
は常に真である。
ゆえに、$R$ は反対称的である。
$ $
- 実数上の差の絶対値で定まる関係
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid |x-y|\le1\} $$
で定める。
このとき、
$$ |0-1|=1\le1 $$
であるから、
$$ (0,1)\in R $$
である。
また、
$$ |1-0|=1\le1 $$
であるから、
$$ (1,0)\in R $$
である。
しかし、
$$ 0\neq1 $$
である。
したがって、
$$ (0,1)\in R\land(1,0)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ 0=1 $$
は成り立たない。
ゆえに、$R$ は反対称的ではない。
$ $ - 合同関係
$n\in\mathbb N$ とし、$n\ge2$ とする。
$\mathbb Z$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\mid n\mid(a-b)\} $$
で定める。
このとき、
$$ n\mid(0-n) $$
であるから、
$$ (0,n)\in R $$
である。
また、
$$ n\mid(n-0) $$
であるから、
$$ (n,0)\in R $$
である。
しかし、$n\ge2$ より
$$ 0\neq n $$
である。
したがって、
$$ (0,n)\in R\land(n,0)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ 0=n $$
は成り立たない。
ゆえに、$R$ は反対称的ではない。
$ $ - 全体関係
$A:=\{1,2\}$ とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=A\times A $$
で定める。
このとき、
$$ (1,2)\in R $$
であり、また
$$ (2,1)\in R $$
である。
しかし、
$$ 1\neq2 $$
である。
したがって、
$$ (1,2)\in R\land(2,1)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ 1=2 $$
は成り立たない。
ゆえに、$R$ は反対称的ではない。
$ $ - 同じ余りをもつ関係
$\mathbb Z$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\mid a-b\text{ は偶数である}\} $$
で定める。
このとき、
$$ 1-3=-2 $$
は偶数であるから、
$$ (1,3)\in R $$
である。
また、
$$ 3-1=2 $$
は偶数であるから、
$$ (3,1)\in R $$
である。
しかし、
$$ 1\neq3 $$
である。
したがって、
$$ (1,3)\in R\land(3,1)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ 1=3 $$
は成り立たない。
ゆえに、$R$ は反対称的ではない。
$ $
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$R$ が推移的であるとは、
$$
\forall a\in A\ \forall b\in A\ \forall c\in A\ \bigl(((a,b)\in R\land(b,c)\in R)\Rightarrow(a,c)\in R\bigr)
$$
が成り立つことをいう。
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$a,b\in A$ に対して、
$$
aRb
$$
とは
$$
(a,b)\in R
$$
を意味する。
したがって、
$$
R\text{ が推移的である}
\ \Longleftrightarrow\
\forall a\in A\ \forall b\in A\ \forall c\in A\ ((aRb\land bRc)\Rightarrow aRc)
$$
である。
推移性は、$a$ から $b$ へ関係が成り立ち、さらに $b$ から $c$ へ関係が成り立つならば、$a$ から $c$ へも関係が成り立つ、という性質である。
つまり、推移性は
$$
(a,b)\in R
\quad\text{かつ}\quad
(b,c)\in R
$$
が同時に成り立つときに、必ず
$$
(a,c)\in R
$$
が成り立つことを要求する。
ただし、
$$
(a,b)\in R\land(b,c)\in R
$$
が成り立たない場合には、条件文
$$
\bigl((a,b)\in R\land(b,c)\in R\bigr)\Rightarrow(a,c)\in R
$$
は真である(空虚に真)。
- 等号から定まる関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $\Delta_A$ を
$$ \Delta_A:=\{(a,b)\in A\times A\mid a=b\} $$
で定める。
任意の $a,b,c\in A$ に対して、
$$ (a,b)\in\Delta_A\land(b,c)\in\Delta_A $$
とする。
このとき、$\Delta_A$ の定義より
$$ a=b\land b=c $$
である。
等号の推移性より
$$ a=c $$
が成り立つ。
したがって、
$$ (a,c)\in\Delta_A $$
である。
ゆえに、$\Delta_A$ は推移的である。
$ $ - 通常の大小関係 $\le$
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid x\le y\} $$
で定める。
任意の $x,y,z\in\mathbb R$ に対して、
$$ (x,y)\in R\land(y,z)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ x\le y\land y\le z $$
である。
実数の大小関係 $\le$ の推移性より
$$ x\le z $$
が成り立つ。
したがって、
$$ (x,z)\in R $$
である。
ゆえに、$R$ は推移的である。
$ $ - 狭義の大小関係 $<$
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid x< y\} $$
で定める。
任意の $x,y,z\in\mathbb R$ に対して、
$$ (x,y)\in R\land(y,z)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ x< y\land y< z $$
である。
実数の大小関係 $<$ の推移性より
$$ x< z $$
が成り立つ。
したがって、
$$ (x,z)\in R $$
である。
ゆえに、$R$ は推移的である。
$ $ - 包含関係 $\subseteq$
$X$ を集合とし、$\mathcal P(X)$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(A,B)\in\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)\mid A\subseteq B\} $$
で定める。
任意の $A,B,C\in\mathcal P(X)$ に対して、
$$ (A,B)\in R\land(B,C)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ A\subseteq B\land B\subseteq C $$
である。
包含関係 $\subseteq$ の推移性より
$$ A\subseteq C $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
したがって、
$$ (A,C)\in R $$
である。
ゆえに、$R$ は推移的である。
$ $ - 整除関係 $\mid$
$\mathbb N_{\ge1}$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in\mathbb N_{\ge1}\times\mathbb N_{\ge1}\mid a\mid b\} $$
で定める。
任意の $a,b,c\in\mathbb N_{\ge1}$ に対して、
$$ (a,b)\in R\land(b,c)\in R $$
とする。
このとき、$R$ の定義より
$$ a\mid b\land b\mid c $$
である。
したがって、ある $k,l\in\mathbb N_{\ge1}$ が存在して
$$ b=ak,\qquad c=bl $$
と書ける。
これらを代入すると、
$$ c=bl=(ak)l=a(kl) $$
である。
$k,l\in\mathbb N_{\ge1}$ であるから、
$$ kl\in\mathbb N_{\ge1} $$
である。
したがって、
$$ a\mid c $$
が成り立つ。
ゆえに、
$$ (a,c)\in R $$
である。
したがって、整除関係 $\mid$ は $\mathbb N_{\ge1}$ 上で推移的である。
$ $ - 空関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\varnothing $$
で定める。
任意の $a,b,c\in A$ に対して、
$$ (a,b)\in R\land(b,c)\in R $$
は成り立たない。
したがって、条件文
$$ \bigl((a,b)\in R\land(b,c)\in R\bigr)\Rightarrow(a,c)\in R $$
は常に真である。
ゆえに、空関係 $\varnothing$ は推移的である。
$ $ - 全体関係
$A$ を集合とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=A\times A $$
で定める。
任意の $a,b,c\in A$ に対して、
$$ (a,b)\in R\land(b,c)\in R $$
とする。
このとき、$a,c\in A$ であるから、直積の定義より
$$ (a,c)\in A\times A $$
である。
したがって、
$$ (a,c)\in R $$
である。
ゆえに、全体関係 $A\times A$ は推移的である。
$ $
- 実数上の差の絶対値で定まる関係
$\mathbb R$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid |x-y|\le1\} $$
で定める。
このとき、
$$ |0-1|=1\le1 $$
であるから、
$$ (0,1)\in R $$
である。
また、
$$ |1-2|=1\le1 $$
であるから、
$$ (1,2)\in R $$
である。
しかし、
$$ |0-2|=2>1 $$
であるから、
$$ (0,2)\notin R $$
である。
したがって、
$$ (0,1)\in R\land(1,2)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ (0,2)\in R $$
は成り立たない。
ゆえに、$R$ は推移的ではない。
$ $ - 隣り合う整数である関係
$\mathbb Z$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\mid b=a+1\} $$
で定める。
このとき、
$$ 1=0+1 $$
であるから、
$$ (0,1)\in R $$
である。
また、
$$ 2=1+1 $$
であるから、
$$ (1,2)\in R $$
である。
しかし、
$$ 2\neq0+1 $$
であるから、
$$ (0,2)\notin R $$
である。
したがって、
$$ (0,1)\in R\land(1,2)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ (0,2)\in R $$
は成り立たない。
ゆえに、$R$ は推移的ではない。
$ $ - 異なるという関係
$A:=\{1,2,3\}$ とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(a,b)\in A\times A\mid a\neq b\} $$
で定める。
このとき、
$$ 1\neq2 $$
であるから、
$$ (1,2)\in R $$
である。
また、
$$ 2\neq1 $$
であるから、
$$ (2,1)\in R $$
である。
しかし、
$$ 1=1 $$
であるから、
$$ (1,1)\notin R $$
である。
したがって、
$$ (1,2)\in R\land(2,1)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ (1,1)\in R $$
は成り立たない。ゆえに、$R$ は推移的ではない。
$ $ - 有限集合上の具体的な関係
$A:=\{1,2,3\}$ とし、$A$ 上の二項関係 $R$ を
$$ R:=\{(1,2),(2,3)\} $$
で定める。
このとき、
$$ (1,2)\in R $$
であり、また
$$ (2,3)\in R $$
である。
しかし、
$$ (1,3)\notin R $$
である。
したがって、
$$ (1,2)\in R\land(2,3)\in R $$
であるにもかかわらず、
$$ (1,3)\in R $$
は成り立たない。
ゆえに、$R$ は推移的ではない。
$ $
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$a,b\in A$ が $R$ に関して比較可能であるとは、
$$
(a,b)\in R\lor (b,a)\in R
$$
が成り立つことをいう。
記号 $aRb$ を用いれば、
$$
a\text{ と }b\text{ が }R\text{ に関して比較可能である}
\Longleftrightarrow
aRb\lor bRa
$$
である。
上の定義では、$a=b$ の場合も含めている。
このとき、$a$ と $a$ が $R$ に関して比較可能であることは
$$
aRa
$$
が成り立つことと同値である。
したがって、任意の同じ元同士まで比較可能であることを要求すると、反射性も含む条件になる。
$A$ を集合とし、$R\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
$R$ が比較可能律を満たすとは、任意の異なる $2$ 元 $a,b\in A$ について、$a$ と $b$ が $R$ に関して比較可能であることをいう。
すなわち、
$$
\forall a\in A\ \forall b\in A\
\bigl(a\neq b\Rightarrow ((a,b)\in R\lor (b,a)\in R)\bigr)
$$
が成り立つことをいう。
記号 $aRb$ を用いれば、
$$
R\text{ が比較可能律を満たす}
\Longleftrightarrow
\forall a\in A\ \forall b\in A\
\bigl(a\neq b\Rightarrow (aRb\lor bRa)\bigr)
$$
である。
次の条件
$$
\forall a\in A\ \forall b\in A\
\bigl(a\neq b\Rightarrow (aRb\lor bRa)\bigr)
$$
は、異なる $2$ 元だけを比較する条件である。
一方、次の条件
$$
\forall a\in A\ \forall b\in A\
(aRb\lor bRa)
$$
は、$a=b$ の場合も含む。
したがって、$a=b$ とすると
$$
aRa
$$
が必要になる。つまり、
$$
\forall a\in A\ \forall b\in A\
(aRb\lor bRa)
$$
は、比較可能律に加えて反射性も含む条件である。
- $\mathbb R$ 上の大小関係 $\le$
$\mathbb R$ 上の二項関係 $\le$ を考える。
例えば、
$$ 2\le 5 $$
であるから、$2$ と $5$ は $\le$ に関して比較可能である。
また、
$$ 5\le 2 $$
は成り立たないが、比較可能であるためには一方が成り立てば十分である。
したがって、$2$ と $5$ は比較可能である。
より一般に、任意の $x,y\in\mathbb R$ に対して
$$ x\le y\lor y\le x $$
が成り立つ。
したがって、$\mathbb R$ 上の大小関係 $\le$ では、任意の $2$ 元が比較可能である。
$ $ - $\mathbb C$ 上の等号 $=$
$\mathbb C$ 上の二項関係 $=$ を考える。
例えば、
$$ 1+i=1+i $$
であるから、$1+i$ と $1+i$ は $=$ に関して比較可能である。
一方、
$$ 1+i\neq 2+i $$
であるから、
$$ 1+i=2+i $$
も
$$ 2+i=1+i $$
も成り立たない。
したがって、$1+i$ と $2+i$ は $=$ に関して比較可能ではない。
このように、$\mathbb C$ 上の等号では、同じ元同士だけが比較可能である。
$ $ - $\mathbb C$ 上の絶対値による関係
$\mathbb C$ 上の二項関係 $R$ を
$$ zRw\Longleftrightarrow |z|\le |w| $$
で定める。
例えば、
$$ |1+i|=\sqrt{2},\qquad |2|=2 $$
であり、
$$ \sqrt{2}\le 2 $$
であるから、
$$ (1+i)R2 $$
が成り立つ。
したがって、$1+i$ と $2$ は $R$ に関して比較可能である。
より一般に、任意の $z,w\in\mathbb C$ に対して、$|z|,|w|\in\mathbb R$ であり、実数の大小関係より
$$ |z|\le |w|\lor |w|\le |z| $$
が成り立つ。
したがって、この関係 $R$ では、任意の $2$ つの複素数が比較可能である。
$ $ - $\mathbb N_{\ge1}$ 上の整除関係 $\mid$
$\mathbb N_{\ge1}$ 上の二項関係 $\mid$ を考える。
例えば、
$$ 2\mid 6 $$
であるから、$2$ と $6$ は $\mid$ に関して比較可能である。
一方、
$$ 2\nmid 3 $$
かつ
$$ 3\nmid 2 $$
であるから、$2$ と $3$ は $\mid$ に関して比較可能ではない。
したがって、整除関係 $\mid$ では、比較可能な元の組もあれば、比較可能でない元の組もある。
$ $ - $\mathcal P(\{1,2\})$ 上の包含関係 $\subseteq$
$\mathcal P(\{1,2\})$ 上の二項関係 $\subseteq$ を考える。
例えば、
$$ \varnothing\subseteq \{1\} $$
であるから、$\varnothing$ と $\{1\}$ は $\subseteq$ に関して比較可能である。
また、
$$ \{1\}\subseteq \{1,2\} $$
であるから、$\{1\}$ と $\{1,2\}$ も比較可能である。
一方、
$$ \{1\}\nsubseteq \{2\} $$
かつ
$$ \{2\}\nsubseteq \{1\} $$
であるから、$\{1\}$ と $\{2\}$ は $\subseteq$ に関して比較可能ではない。
したがって、包含関係 $\subseteq$ では、すべての $2$ 元が比較可能であるとは限らない。
$ $ - $\mathbb R^2$ 上の辞書式順序
$\mathbb R^2$ 上の二項関係 $\preceq$ を
$$ (x_1,x_2)\preceq (y_1,y_2) \Longleftrightarrow x_1< y_1\lor (x_1=y_1\land x_2\le y_2) $$
で定める。
例えば、
$$ (1,100)\preceq (2,0) $$
である。
なぜなら、
$$ 1<2 $$
だからである。
したがって、$(1,100)$ と $(2,0)$ は $\preceq$ に関して比較可能である。
また、
$$ (1,3)\preceq (1,5) $$
である。
なぜなら、第 $1$ 成分が等しく、
$$ 3\le 5 $$
だからである。
この辞書式順序では、任意の $2$ 元が比較可能である。
$ $
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