佐武線型124ページ辺りのこと
$V$を$n$次元（複素）内積空間とし，$\beta = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$をその正規直交基底とする．このとき
$$
\{\text{ONB of $V$}\} = \beta \cdot \mathrm{U}(n)$$
が成り立つ．
$\gamma = (\gamma_{1},\ldots,\gamma_{n})$を$V$の基底とし，線型変換$f \colon V \to V$を$f(\beta_{j}) \coloneqq \gamma_{j}$で定める．このとき，$f$の$\beta$に関する表現行列は，$\beta$から$\gamma$への基底変換行列に等しい（cf.
別記事：補遺
）：
$$
\left[f:\frac{\beta}{\beta}\right] = \left[\frac{\gamma}{\beta}\right] \eqqcolon P.$$
よって，satake定理III.11より，
$$
\gamma:\text{ONB} \iff f:\text{unitary} \iff P \in \mathrm{U}(n)$$
が成り立つ．
- $\{\text{ONB of $\mathbb{R}^{n}$}\} = \epsilon \cdot \mathrm{O}(n)$;
- $\{\text{ONB of $\mathbb{C}^{n}$}\} = \epsilon \cdot \mathrm{U}(n)$.
$\mathbb{C}$線型空間$V$を$\mathbb{R}$線型空間と見做したものを$V_{\mathbb{R}}$と書くことにする．このとき次が成り立つ：
- $\beta_{1},\ldots,\beta_{n} \in V$に対して，$\beta \coloneqq (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$が$V$の基底であるためには，
$$ \beta_{\mathbb{R}} \coloneqq (\beta_{1},\ldots,\beta_{n},\beta_{1}\sqrt{-1},\ldots,\beta_{n}\sqrt{-1})$$
が$V_{\mathbb{R}}$の基底であることが必要かつ十分である． - $V$の（Hermite）内積$(\cdot,\cdot)$に対して，
$$ (x,y)_{\mathbb{R}} \coloneqq \Re(x,y) = \frac{(x,y)+(y,x)}{2}$$
は$V_{\mathbb{R}}$の内積である． - $\beta$が$(V,(\cdot,\cdot))$の正規直交基底であるためには，$\beta_{\mathbb{R}}$が$(V_{\mathbb{R}},(\cdot,\cdot)_{\mathbb{R}})$の正規直交基底であることが必要かつ十分である．
- $x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n} \in \mathbb{R}$に対して
$$ \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}\cdot(x_{i}+\sqrt{-1}y_{i}) = \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}\cdot x_{i} + \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}\sqrt{-1} \cdot y_{i}$$
が成り立つことからしたがう． - 明らか．
- まづ，
$$ (x,y\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} = \frac{(x,y\sqrt{-1})+(y\sqrt{-1},x)}{2} = \frac{(x,y)-(y,x)}{2\sqrt{-1}} = \Im(x,y)$$
より，
$$ (x,y) = (x,y)_{\mathbb{R}} + \sqrt{-1}(x,y\sqrt{-1})_{\mathbb{R}}$$
が成り立つことに注意する．- $\beta$が$(V,(\cdot,\cdot))$の正規直交基底ならば，
\begin{align} \delta_{ij} = (\beta_{i},\beta_{j}) = (\beta_{i},\beta_{j})_{\mathbb{R}} + \sqrt{-1}(\beta_{i},\beta_{j}\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} &\quad\leadsto\quad (\beta_{i},\beta_{j})_{\mathbb{R}} = \delta_{ij},\ (\beta_{i},\beta_{j}\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} = 0 \\ \delta_{ij} = (\beta_{i}\sqrt{-1},\beta_{j}\sqrt{-1}) = (\beta_{i}\sqrt{-1},\beta_{j}\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} - \sqrt{-1}(\beta_{i}\sqrt{-1},\beta_{j})_{\mathbb{R}} &\quad\leadsto\quad (\beta_{i}\sqrt{-1},\beta_{j}\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} = \delta_{ij},\ (\beta_{i}\sqrt{-1},\beta_{j})_{\mathbb{R}} = 0 \end{align}
が成り立つ． - $\beta_{\mathbb{R}}$が$(V_{\mathbb{R}},(\cdot,\cdot)_{\mathbb{R}})$の正規直交基底ならば，
$$ (\beta_{i},\beta_{j}) = (\beta_{i},\beta_{j})_{\mathbb{R}} + \sqrt{-1}(\beta_{i},\beta_{j}\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} = (\beta_{i},\beta_{j})_{\mathbb{R}} = \delta_{ij}$$
が成り立つ．
- $\beta$が$(V,(\cdot,\cdot))$の正規直交基底ならば，
線型変換$f \colon V \to V$を$V_{\mathbb{R}}$上の線型変換と見做したものを$f_{\mathbb{R}}$で表わすことにする．このとき，明らかに
$$
f \colon V \to V:\text{unitary} \implies f_{\mathbb{R}} \colon V_{\mathbb{R}} \to V_{\mathbb{R}}:\text{orthogonal}$$
が成り立ち，逆に$f_{\mathbb{R}} \colon V_{\mathbb{R}} \to V_{\mathbb{R}}$が直交変換ならば
\begin{align}
(f(x),f(y))
&= (f_{\mathbb{R}}(x),f_{\mathbb{R}}(y))_{\mathbb{R}} + \sqrt{-1}(f_{\mathbb{R}}(x),f_{\mathbb{R}}(y)\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} \\
&= (x,y)_{\mathbb{R}} + \sqrt{-1}(f_{\mathbb{R}}(x),f_{\mathbb{R}}(y\sqrt{-1}))_{\mathbb{R}} \\
&= (x,y)_{\mathbb{R}} + \sqrt{-1}(x,y\sqrt{-1})_{\mathbb{R}} \\
&= (x,y)
\end{align}
が成り立つ．
$A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}$に対して，
$$
A+\sqrt{-1}B \in \mathrm{U}(n) \iff \begin{bmatrix}
A & -B \\ B & A
\end{bmatrix} \in \mathrm{O}(2n)$$
が成り立つ．
複素内積空間$(\mathbb{C}^{n},(\cdot,\cdot))$上の線型変換$f$を
$$
f(\epsilon_{j}) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}\cdot(a_{ij}+\sqrt{-1}b_{ij}) = \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}\cdot a_{ij} + \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}\sqrt{-1} \cdot b_{ij}$$
で定めると，
$$
\left[f:\frac{\epsilon}{\epsilon}\right] = A+\sqrt{-1}B$$
であり，
$$
f(\epsilon_{j}\sqrt{-1}) = f(\epsilon_{j})\sqrt{-1} = \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i} \cdot (-b_{ij}) + \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}\sqrt{-1} \cdot a_{ij}$$より
$$
\left[f_{\mathbb{R}}:\frac{\epsilon_{\mathbb{R}}}{\epsilon_\mathbb{R}}\right] = \begin{bmatrix}
A & -B \\ B & A
\end{bmatrix}$$
となる．よって，satake定理III.11より，
\begin{align}
A+\sqrt{-1}B \in \mathrm{U}(n)
&\iff f \colon \mathbb{C}^{n} \to \mathbb{C}^{n}:\text{unitary} \\
&\iff f_{\mathbb{R}} \colon (\mathbb{C}^{n})_{\mathbb{R}} \to (\mathbb{C}^{n})_{\mathbb{R}}:\text{orthogonal} \\
&\iff \begin{bmatrix}
A & -B \\ B & A
\end{bmatrix} \in \mathrm{O}(2n)
\end{align}
が成り立つ．
