# 交代形式 &&&def $\mathbb{K}$線型空間$V$上の$n$重線型形式$\omega \colon V^{n} \to \mathbb{K}$について $$\TextCenter \omega(\ldots,v,\ldots,v,\ldots) = 0$$ が成り立つとき，$\omega$を$V$上の**$n$次交代形式**という．$V$上の$n$次交代形式全体のなす$\mathbb{K}$線型空間を$\Alt_{n}(V)$で表わす． &&& $n$重線型形式全体のなす集合への$n$次対称群$\mathfrak{S}_{n}$による作用を $$\TextCenter (\sigma \star \omega)(v_{1},\ldots,v_{n}) := \omega(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(n)})$$ で定める（cf. [[action]]例10，例11）．この作用による不動点を**$n$次対称形式**という． &&&lem [skew-sym] $\omega \in \Alt_{n}(V)$とする．このとき，任意の置換$\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$に対して $$\TextCenter \sigma \star \omega = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \omega$$ が成り立つ． &&& &&&prf 互換$\tau_{ij} \in \mathfrak{S}_{n},i0}$と$a_{1},\ldots,a_{n} \in \mathbb{K}$であって $$\TextCenter v_{i} = v_{1}a_{1}+\cdots+v_{i-1}a_{i-1}+v_{i+1}a_{i+1}+\cdots+v_{n}a_{n}$$ を満たすものが存在するので，$\omega_{\beta}$の交代性より， $$\TextCenter \omega_{\beta}(v_{1},\ldots,v_{n}) = \sum_{j\neq i} \omega_{\beta}(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{j},v_{i+1},\ldots,v_{n}) \cdot a_{j} = 0$$ が成り立つ． &&& &&&lem [proportional] $\dim V =1$のとき，線型写像 $$\TextCenter \mathbb{K} \to \End(V):= \Hom(V,V);\ a \mapsto [v \mapsto av]$$ は全単射である． &&& &&&prf $f \in \End(V)$とし，基底$\beta \in V$を取る．このとき$f\beta \in V$に対して$a_{\!f} \in \mathbb{K}$であって $$\TextCenter f\beta = a_{\!f}\beta$$ なるものがただ一つ存在し，任意の$v := \beta a \in V$に対して $$\TextCenter fv = f(\beta a) = (f\beta)a = (a_{\!f}\beta)a = a_{\!f}(\beta a) = a_{\!f}v$$ が成り立つ．よって $$\TextCenter f \mapsto a_{\!f}$$ が逆写像を与える． &&& # 線型変換のトレース &&&lem $f \in \End(V)$とする．このとき，任意の$n$重線型形式$\omega \colon V^{n} \to \mathbb{K}$に対して，写像$V^{n} \to \mathbb{K}$を $$\TextCenter (v_{1},\ldots,v_{n}) \mapsto \sum_{i=1}^{n} \omega(v_{1},\ldots,v_{i-1},fv_{i},v_{i+1},\ldots,v_{n})$$ で定めると，これは$n$重線型形式である．この対応は線型写像 $$\TextCenter D_{\!f}\, \colon \Alt_{n}(V) \to \Alt_{n}(V)$$ を定める： $$\TextCenter D_{\!f}\,\omega(v_{1},\ldots,v_{n}) := \sum_{i=1}^{n} \omega(v_{1},\ldots,v_{i-1},fv_{i},v_{i+1},\ldots,v_{n})$$ &&& &&&prf $\omega \in \Alt_{n}(V)$とし，$v_{i}=v_{j} =:v, i0}$に対して \begin{align}\TextCenter \langle \beta_{i}^{*},f(g\beta_{j}) \rangle &= \left\langle \beta_{i}^{*},f\left(\sum_{k=1}^{n} \beta_{k}\cdot \langle \beta_{k}^{*},g\beta_{j}\rangle\right) \right\rangle\\ &= \sum_{k=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{k} \rangle \cdot \langle \beta_{k}^{*},g\beta_{j} \rangle\\ \end{align} が成り立つ．よって，[[rep-mat-tr]]より， \begin{align}\TextCenter \tr(f\circ g) &= \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*},f(g\beta_{i}) \rangle\\ &= \sum_{i,k} \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{k} \rangle \cdot \langle \beta_{k}^{*},g\beta_{i} \rangle\\ &= \sum_{k,i} \langle \beta_{k}^{*},g\beta_{i} \rangle \cdot \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{k} \rangle\\ &= \sum_{k=1}^{n} \langle \beta_{k}^{*},g(f\beta_{k}) \rangle \\ &= \tr(g \circ f) \end{align} が成り立つ． --- 基底を取らない証明については[こちら](https://math.stackexchange.com/a/311625)を参照せられたい． &&& &&&def 可逆な線型変換全体のなす集合を$\mathrm{GL}(V)$とおく： $$\TextCenter \mathrm{GL}(V) := \{g \in \End(V) \mid \exists\,g' \in\End(V),\ g \circ g' = \id_{V} = g' \circ g\}.$$ $\mathrm{GL}(V)$は写像の合成を積として群をなす．また，作用 $$\TextCenter \End(V) \times \mathrm{GL}(V) \to \End(V);\ (f,g) \mapsto g^{-1}\circ f \circ g$$ が定まる． &&& &&&cor 任意の$(f,g) \in \End(V) \times \mathrm{GL}(V)$に対して $$\TextCenter \tr f = \tr(g^{-1} \circ f \circ g)$$ が成り立つ． &&& &&&lem [base-of-end] 線型変換$\beta_{ij} \in \End(V)$を $$\TextCenter \beta_{ij}v := \beta_{i} \cdot \langle \beta_{j}^{*},v \rangle$$ で定めると，$(\beta_{ij})_{i,j}$は$\End(V)$の基底である．したがって$\dim \End(V) = n^{2}$が成り立つ． &&& &&&prf [1] $f \in \End(V)$とする．このとき，任意の$v \in V$に対して \begin{align}\TextCenter fv &= f\left(\sum_{j=1}^{n} \beta_{j} \cdot \langle \beta_{j}^{*},v \rangle \right) \\ &= \sum_{j=1}^{n} f\beta_{j} \cdot \langle \beta_{j}^{*},v\rangle \\ &= \sum_{j=1}^{n} \left(\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} \cdot \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{j} \rangle \right)\cdot \langle \beta_{j}^{*},v \rangle \\ &= \sum_{i,j} (\beta_{i} \cdot \langle \beta_{j}^{*},v \rangle) \cdot \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{j} \rangle \\ &= \sum_{i,j} \beta_{ij}v \cdot \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{j} \rangle \end{align} が成り立つので， $$\TextCenter f = \sum_{i,j} \beta_{ij}\cdot\langle \beta_{i}^{*},f\beta_{j} \rangle$$ を得る． [2] $f := \sum_{i,j} \beta_{ij}a_{ij} = 0$とする．このとき，各$k \in [n]_{>0}$に対して， $$\TextCenter \beta_{ij}\beta_{k} = \beta_{i} \cdot \langle \beta_{j}^{*},\beta_{k} \rangle = \beta_{i}\delta_{jk}$$ より $$\TextCenter 0 = f\beta_{k} = \sum_{i,j} \beta_{i}\delta_{jk}a_{ij} = \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}a_{ik}$$ が成り立つので， $$\TextCenter a_{1k} = \cdots = a_{nk} = 0$$ を得る． &&& &&&prop [tr-nondeg] 線型写像 $$\TextCenter \widehat{\tr} \colon \End(V) \to \End(V)^{*};\ f \mapsto [g \mapsto \tr(f\circ g)]$$ は全単射である． &&& &&&prf 線型写像$\Psi \colon \End(V)^{*} \to \End(V)$を $$\TextCenter \Psi f^{*} := \sum_{i,j} \beta_{ij} \cdot \langle f^{*}, \beta_{ji} \rangle$$ で定める． [1] $f \in \End(V)$とする．このとき， \begin{align}\TextCenter \langle \widehat{\tr}f, \beta_{ji} \rangle &= \tr(f \circ \beta_{ji}) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \langle \beta_{k}^{*},f\beta_{ji}\beta_{k} \rangle \\ &= \sum_{k=1}^{n} \langle \beta_{k}^{*}, f\beta_{j}\delta_{ik} \rangle \\ &= \langle \beta_{i}^{*}, f\beta_{j} \rangle \end{align} より， $$\TextCenter (\Psi\circ\widehat{\tr})(f) = \sum_{i,j} \beta_{ij} \cdot \langle \widehat{\tr}f,\beta_{ji} \rangle = \sum_{i,j} \beta_{ij} \cdot \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{j} \rangle = f$$ が成り立つ． [2] $f^{*} \in \End(V)^{*}$とする．このとき， $$\TextCenter (\Psi f^{*})\beta_{k} = \sum_{i,j} \beta_{ij}\beta_{k} \cdot \langle f^{*},\beta_{ji} \rangle = \sum_{i,j} \beta_{i}\delta_{jk} \cdot \langle f^{*},\beta_{ji} \rangle = \sum_{i=1}^{n} \beta_{i} \cdot \langle f^{*},\beta_{ki} \rangle$$ より， \begin{align}\TextCenter \langle \widehat{\tr}(\Psi f^{*}),\beta_{k\ell} \rangle &= \tr((\Psi f^{*}) \circ \beta_{k\ell}) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*}, (\Psi f^{*})\beta_{k\ell}\beta_{i} \rangle \\ &= \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*}, (\Psi f^{*})\beta_{k}\delta_{\ell i} \rangle \\ &= \langle \beta_{\ell}^{*},(\Psi f^{*})\beta_{k} \rangle \\ &\textcolor{orange}{=} \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{\ell}^{*},\beta_{i} \rangle \cdot \langle f^{*},\beta_{ki} \rangle \\ &= \langle f^{*},\beta_{k\ell} \rangle \end{align} が成り立つので， $$\TextCenter (\widehat{\tr}\circ\Psi)(f^{*}) = f^{*}$$ を得る． &&& &&&cor 写像 $$\TextCenter \End(V) \times \End(V) \to \mathbb{K};\ (f,g) \mapsto \tr(f \circ g)$$ は非退化対称双線型形式である（cf. [[nondeg]]）． &&& &&&cor 線型写像 $$\TextCenter \tau \colon \mathbb{K} \to \{f^{*} \in \End(V)^{*} \mid \forall f,g \in \End(V),\ \langle f^{*},f\circ g \rangle = \langle f^{*}, g \circ f \rangle\};\ a \mapsto a\cdot\tr$$ は全単射である． &&& &&&prf $f^{*} \in \mathrm{codom}(\tau) \subset \End(V)^{*}$とし，$f := \widehat{\tr}^{-1}(f^{*})$とおく： $$\TextCenter \langle f^{*},g \rangle = \langle \widehat{\tr}f,g \rangle = \tr(f \circ g)$$ 定義より$\tau(a) = \widehat{\tr}(a \cdot \id_{V})$であり， $$\TextCenter a \cdot (\tr \beta_{11}) = a \cdot \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*},\beta_{11}\beta_{i} \rangle = a \cdot \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*},\beta_{1}\delta_{1i} \rangle = a$$ であるから，あとは$f = \tr(f\circ\beta_{11}) \cdot \id_{V}$であることを示せばよい． [1] 任意の$v \in V$に対して $$\TextCenter \beta_{jk}\beta_{\ell i}v = \beta_{jk}(\beta_{\ell} \cdot \langle \beta_{i}^{*},v \rangle) = \beta_{jk}\beta_{\ell} \cdot \langle \beta_{i}^{*},v \rangle = \beta_{j}\delta_{k\ell} \cdot \langle \beta_{i}^{*},v \rangle = \beta_{ji}\delta_{k\ell}v$$ が成り立つ． [2] 仮定より， \begin{align}\TextCenter \tr(f \circ \beta_{ji})\cdot\delta_{k\ell} &= \tr(f \circ (\beta_{ji}\delta_{k\ell}))\\ &= \tr(f \circ (\beta_{jk}\beta_{\ell i}))\\ &= \langle f^{*},\beta_{jk}\circ\beta_{\ell i} \rangle \\ &\textcolor{orange}{=} \langle f^{*},\beta_{\ell i}\circ\beta_{jk} \rangle \\ &= \tr(f\circ(\beta_{\ell i}\beta_{jk})) \\ &= \tr(f \circ \beta_{\ell k})\cdot\delta_{ij} \end{align} が成り立つので， $$\TextCenter \tr(f \circ \beta_{ji}) = \tr(f \circ \beta_{ji})\cdot\delta_{11} = \tr(f \circ \beta_{11})\cdot\delta_{ij}$$ を得る． [3] [[tr-nondeg]]の証明中で見たように $$\TextCenter \tr(f \circ \beta_{ji}) = \langle \widehat{\tr}f,\beta_{ji} \rangle \textcolor{orange}{=} \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{j} \rangle$$ であるから， \begin{align}\TextCenter f &= \sum_{i,j} \beta_{ij} \cdot \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{j} \rangle \\ &= \sum_{i,j} \beta_{ij} \cdot \tr(f \circ \beta_{ji}) \\ &= \sum_{i,j} \beta_{ij} \cdot \tr(f \circ \beta_{11}) \cdot \delta_{ij} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \beta_{ii} \cdot \tr(f \circ \beta_{11}) \\ &= \tr(f \circ \beta_{11}) \cdot \id_{V} \end{align} が成り立つ． &&& &&&prop [transpose-tr] 任意の$f \in \End(V)$に対して，$f$のトレースはその転置写像のトレースに等しい： $$\TextCenter \tr f = \tr f^{\transpose}$$ &&& &&&prf [[double-dual]]より，$\beta^{*}$の双対基底$(\beta_{1}^{**},\ldots,\beta_{n}^{**})$は線型同型写像 $$\TextCenter V \to V^{**};\ v \mapsto [v^{*}\mapsto \langle v^{*},v \rangle]$$ による$\beta$の像なので， $$\TextCenter \langle \beta_{i}^{**}, f^{\transpose}\beta_{j}^{*} \rangle = \langle f^{\transpose}\beta_{j}^{*}, \beta_{i} \rangle = \langle \beta_{j}^{*},f\beta_{i} \rangle$$ が成り立つ．よって，[[rep-mat-tr]]より， $$\TextCenter \tr f = \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{i} \rangle = \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{**}, f^{\transpose}\beta_{i}^{*} \rangle = \tr f^{\transpose}$$ が成り立つ． &&& # 附：テンソル積を介したトレースの特徴づけ $V,W$を線型空間とする．このとき，写像 $$\TextCenter W \times V^{*} \to \Hom(V,W);\ (w,v^{*}) \mapsto [v \mapsto w \cdot \langle v^{*},v \rangle]$$ は双線型写像なので，線型写像 $$\TextCenter \Theta\colon W \otimes V^{*} \to \Hom(V,W)$$ であって $$\TextCenter \Theta(w \otimes v^{*})(v) = w \cdot \langle v^{*},v \rangle$$ を満たすものがただ一つ存在する： $$\TextCenter \xymatrix{ {W \times V^{*}} \ar[r] \ar[rd] & {W \otimes V^{*}} \ar@{.>}[d]^{\Theta}\\ & {\Hom(V,W)} }$$ &&&lem [inv] $V$が有限次元ならば，$\Theta$は全単射である． &&& &&&prf $V$の基底$(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$を取り，その双対基底を$(\beta_{1}^{*},\ldots,\beta_{n}^{*})$とおく．このとき，線型写像 $$\TextCenter \Phi \colon \Hom(V,W) \to W \otimes V^{*}$$ を $$\TextCenter \Phi(f) := \sum_{i=1}^{n} f\beta_{i} \otimes \beta_{i}^{*}$$ で定めると， $$\TextCenter \Phi(\Theta(w\otimes\beta_{j}^{*})) = \sum_{i=1}^{n} (w\cdot\langle \beta_{j}^{*},\beta_{i} \rangle)\otimes\beta_{i}^{*} = w\otimes\beta_{j}^{*},$$ および $$\TextCenter \Theta(\Phi f)(\beta_{j}) = \sum_{i=1}^{n} f\beta_{i}\cdot\langle \beta_{i}^{*},\beta_{j} \rangle = f\beta_{j}$$ が成り立つ．$W\otimes V^{*}, V$はそれぞれ $$\TextCenter \{w\otimes\beta_{j}^{*} \mid w\in W,\ j \in [n]_{>0}\},\ \{\beta_{1},\ldots,\beta_{n}\}$$ で生成されるので， $$\TextCenter \Phi \circ \Theta = \id_{W\otimes V^{*}},\ \Theta\circ\Phi = \id_{\Hom(V,W)}$$ が成り立つ． &&& 写像 $$\TextCenter V\times V^{*} \to \mathbb{K};\ (v,v^{*}) \mapsto \langle v^{*},v \rangle$$ は双線型写像なので，線型写像 $$\TextCenter \mathrm{ev} \colon V\otimes V^{*} \to \mathbb{K}$$ であって $$\TextCenter \mathrm{ev}(v\otimes v^{*}) = \langle v^{*},v \rangle$$ を満たすものがただ一つ存在する： $$\TextCenter \xymatrix{ {V \times V^{*}} \ar[r] \ar[rd] & {V \otimes V^{*}} \ar@{.>}[d]^{\mathrm{ev}}\\ & {\mathbb{K}} }$$ &&&prop $V$を$n$次元$\mathbb{K}$線型空間とする．このとき $$\TextCenter \tr = \mathrm{ev}\circ\Theta^{-1} \colon \End(V) \to V \otimes V^{*} \to \mathbb{K}$$ が成り立つ． &&& &&&prf $V$の基底$(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$を取り，その双対基底を$(\beta_{1}^{*},\ldots,\beta_{n}^{*})$とおく．[[inv]]より $$\TextCenter \Theta^{-1}(f) = \sum_{i=1}^{n} f\beta_{i}\otimes\beta_{i}^{*} $$ であるから，[[rep-mat-tr]]より， $$\TextCenter \mathrm{ev}(\Theta^{-1}(f)) = \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{i} \rangle \textcolor{orange}{=} \tr f$$ が成り立つ． &&& # 線型変換のディターミナント &&&lem $f \in \Hom(V,W)$とする．このとき，任意の$n$重線型形式$\omega \colon W^{n} \to \mathbb{K}$に対して，写像$V^{n} \to \mathbb{K}$を $$\TextCenter (v_{1},\ldots,v_{n}) \mapsto \omega(fv_{1},\ldots,fv_{n})$$ で定めると，これは$n$重線型形式である．この対応は線型写像 $$\TextCenter f^{\wedge} \colon \Alt_{n}(W) \to \Alt_{n}(V)$$ を定める： $$\TextCenter f^{\wedge}\omega(v_{1},\ldots,v_{n}) := \omega(fv_{1},\ldots,fv_{n})$$ &&& &&&def $V$を$n$次元$\mathbb{K}$線型空間とし，$f \in \End(V)$とする．このとき[[1-dim]]，[[proportional]]より，$\det f \in \mathbb{K}$であって $$\TextCenter \forall \omega \in \Alt_{n}(V),\ f^{\wedge}\omega = (\det f) \cdot \omega$$ を満たすものがただ一つ存在する．これを$f$の**ディターミナント**という． &&& &&& $$\TextCenter \omega(fv_{1},\ldots,fv_{n}) = (\det f) \cdot \omega(v_{1},\ldots,v_{n})$$ &&& 以下，$V$を$n$次元$\mathbb{K}$線型空間とする． &&&ex 明らかに $$\TextCenter \det (\id_{V}) = 1,\ \det (\mathrm{const}_{0}) = 0$$ が成り立つ．一般に，$a \in \mathbb{K}$に対して$f_{a} \in \End(V)$を $$\TextCenter f_{a}v:= av$$ で定めると， $$\TextCenter f_{a}^{\wedge}\omega(v_{1},\ldots,v_{n}) = \omega(av_{1},\ldots,av_{n}) = a^{n} \cdot \omega(v_{1},\ldots,v_{n})$$ より， $$\TextCenter \det f_{a} = a^{n}$$ が成り立つ． &&& &&&prop [prod-det] 任意の$f,g \in \End(V)$に対して $$\TextCenter \det(f \circ g) = (\det f) \cdot (\det g)$$ が成り立つ．したがって $$\TextCenter \det (f \circ g) = \det (g \circ f)$$ が成り立つ． &&& &&&prf 任意の$\omega \in \Alt_{n}(V)$に対して \begin{align}\TextCenter (f\circ g)^{\wedge}\omega(v_{1},\ldots,v_{n}) &= \omega(f(gv_{1}),\ldots,f(gv_{n})) \\ &= f^{\wedge}\omega(gv_{1},\ldots,gv_{n}) \\ &= (\det f) \cdot \omega(gv_{1},\ldots,gv_{n}) \\ &= (\det f) \cdot g^{\wedge}\omega(v_{1},\ldots,v_{n}) \\ &= (\det f)\cdot (\det g) \cdot \omega(v_{1},\ldots,v_{n}) \end{align} が成り立つ．よって $$\TextCenter \det(f\circ g) = (\det f)\cdot (\det g)$$ を得る． &&& &&&cor [nonsing] $f \in \End(V)$とする．このとき次は同値である： (R1) $f \in \mathrm{GL}(V)$; (R2) $\det f \neq 0$. &&& &&&prf ### (i)$\implies$(ii) 仮定より，$g \in \End(V)$であって$f \circ g = \id_{V}$なるものが存在する．よって $$\TextCenter (\det f)\cdot (\det g) = \det(f \circ g) = \det(\id_{V}) = 1 \neq 0$$ となるので，$\det f \neq 0$を得る． ### (ii)$\implies$(i) $\beta = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$を$V$の基底とする．このとき $$\TextCenter \omega_{\beta}(f\beta_{1},\ldots,f\beta_{n}) = f^{\wedge}\omega_{\beta}(\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) = (\det f) \cdot \omega_{\beta}(\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) = \det f \neq 0$$ となるので，[[lin-indep]]より$(f\beta_{1},\ldots,f\beta_{n})$は線型独立である．よって$\rank f = n$であるから，$f \in \mathrm{GL}(V)$となる． &&& &&&ex [rep-mat-det] 任意の$f \in \End(V)$に対して，$\omega_{\beta}$の定義より， $$\TextCenter \det f = \omega_{\beta}(f\beta_{1},\ldots,f\beta_{n}) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \langle \beta_{1}^{*},f\beta_{\sigma(1)} \rangle \cdots \langle \beta_{n}^{*},f\beta_{\sigma(n)} \rangle$$ が成り立つ．また， $$\TextCenter \langle \beta_{i}^{**},f^{\transpose}\beta_{j}^{*} \rangle = \langle \beta_{j}^{*},f\beta_{i} \rangle$$ であったから（cf. [[transpose-tr]]）， \begin{align}\TextCenter \det f^{\transpose} &= \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma^{-1}) \cdot \langle \beta_{1}^{**},f^{\transpose}\beta_{\sigma^{-1}(1)}^{*} \rangle \cdots \langle \beta_{n}^{**},f^{\transpose}\beta_{\sigma^{-1}(n)}^{*} \rangle \\ &= \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \langle \beta_{\sigma^{-1}(1)}^{*},f\beta_{1} \rangle \cdots \langle \beta_{\sigma^{-1}(n)}^{*},f\beta_{n} \rangle \\ &= \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \langle \beta_{1}^{*},f\beta_{\sigma(1)} \rangle \cdots \langle \beta_{n}^{*},f\beta_{\sigma(n)} \rangle \\ &= \det f \end{align} が成り立つ． &&& &&&ex $f \in \End(V)$とする．$\lambda \in \mathbb{K}$について $$\TextCenter V(\lambda) := \Ker(f-\lambda\cdot\id_{V}) \neq \{0\}\ ( \iff \det(f-\lambda\cdot\id_{V}) = 0)$$ が成り立つとき，$\lambda$を$f$の**固有値**といい，各$v \in V(\lambda)\smallsetminus \{0\}$を固有値$\lambda$に属する$f$の**固有ベクトル**という． [1] 任意の$\lambda,\mu \in \mathbb{K}$に対して $$\TextCenter \lambda\neq\mu \implies V(\lambda) \cap V(\mu) = \{0\}$$ が成り立つので，$f$の相異なる固有値は高々$n$個である． [2] $V$が$f$の固有ベクトル$\beta_{i} \in V(\lambda_{i})\smallsetminus \{0\}$からなる基底$\beta := (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$を持つとすると，$\omega_{\beta}(\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) = 1$より， \begin{align}\TextCenter \tr f &= D_{\!f}\,\omega_{\beta}(\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \omega_{\beta}(\beta_{1},\ldots,\beta_{i-1},f\beta_{i},\beta_{i+1},\ldots,\beta_{n}) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \omega_{\beta}(\beta_{1},\ldots,\beta_{i-1},\lambda_{i}\beta_{i},\beta_{i+1},\ldots,\beta_{n}) \\ &= \lambda_{1} +\cdots+ \lambda_{n}\\ &\\ \det f &= f^{\wedge}\omega_{\beta}(\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) \\ &= \omega_{\beta}(f\beta_{1},\ldots,f\beta_{n}) \\ &= \omega_{\beta}(\lambda_{1}\beta_{1},\ldots,\lambda_{n}\beta_{n}) \\ &= \lambda_{1}\cdots\lambda_{n}\\ \end{align} が成り立つ． &&& # 正方行列のトレースとディターミナント ## 正方行列のトレース &&&def $n$次正方行列$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$に対して， $$\TextCenter \tr A := \sum_{i=1}^{n} A(i,i)\ (\,= \tr A^{\transpose}\,)$$ を$A$の**トレース**という． &&& &&&ex $f \in \End(V)$とし$\beta=(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$を$V$の基底とする．このとき[[rep-mat-tr]]より $$\TextCenter \tr f = \sum_{i=1}^{n} \langle \beta_{i}^{*},f\beta_{i} \rangle = \sum_{i=1}^{n} [f\colon\beta/\beta](i,i) = \tr [f\colon\beta/\beta]$$ が成り立つ．したがって，線型変換のトレースはその表現行列のトレースに等しい．とくに，$n$次正方行列$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$に対して $$\TextCenter \tr A = \tr [f_{A}\colon\epsilon/\epsilon] = \tr f_{A}$$ が成り立つ． &&& &&&ex 任意の$n$次正方行列$A,B \in \mathbb{K}^{n\times n}$に対して，[[comm]]より， $$\TextCenter \tr (AB) = \tr f_{AB} = \tr(f_{A} \circ f_{B}) = \tr (f_{B} \circ f_{A}) = \tr f_{BA} = \tr (BA)$$ が成り立つ．よって，任意の$(A,B) \in \mathbb{K}^{n \times n} \times \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n})$に対して $$\TextCenter \tr　A = \tr (B^{-1}AB)$$ が成り立つ． &&& &&&prop [trace] 線型写像 $$\TextCenter \widehat{\tr} \colon \mathbb{K}^{n\times n} \to \Hom(\mathbb{K}^{n \times n},\mathbb{K});\ A \mapsto [X \mapsto \tr(AX)]$$ は全単射である． &&& &&&prf （同じことの繰り返しになるけれど） $E_{ji}:= \epsilon_{ji} \in \mathbb{K}^{n \times n}$を**行列単位**という： $$\TextCenter E_{ji}(k,\ell) = \langle \epsilon_{k}^{*},E_{ji}\epsilon_{\ell} \rangle = \langle \epsilon_{k}^{*},\epsilon_{j}\delta_{i\ell} \rangle = \delta_{jk}\delta_{i\ell}.$$ 線型写像$\Psi \colon \Hom(\mathbb{K}^{n \times n},\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^{n \times n}$を $$\TextCenter (\Psi f)(i,j) := fE_{ji}$$ で定める． [1] $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$とする．このとき， $$\TextCenter \tr (AE_{ji}) = \sum_{\ell=1}^{n} (AE_{ji})(\ell,\ell) = \sum_{\ell=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} A(\ell,k) \delta_{jk}\delta_{i\ell} = A(i,j)$$ より， $$\TextCenter \Psi(\widehat{\tr} A) = A$$ が成り立つ． [2] $f \in \Hom(\mathbb{K}^{n \times n},\mathbb{K})$とする．このとき， $$\TextCenter \widehat{\tr}(\Psi f)(E_{k\ell}) = \tr((\Psi f)E_{k\ell}) = (\Psi f)(\ell,k) = fE_{k\ell}$$ より， $$\TextCenter \widehat{\tr}(\Psi f) = f$$ が成り立つ． &&& &&&cor 線型写像 $$\TextCenter \tau \colon \mathbb{K} \to \{f \in \Hom(\mathbb{K}^{n \times n},\mathbb{K}) \mid \forall X,Y \in \mathbb{K}^{n \times n},\ f(XY) = f(YX)\};\ a \mapsto a\cdot\tr$$ は全単射である． &&& &&&prf $f \in \mathrm{codom}(\tau) \subset \Hom(\mathbb{K}^{n \times n},\mathbb{K})$とし，$A := \widehat{\tr}^{-1}(f)$とおく： $$\TextCenter f(X) = \widehat{\tr}(A)(X) = \tr(AX)$$ 定義より$\tau(a) = \widehat{\tr}(aE_{n})$であるから，あとは$A = a_{11}E_{n}$であることを示せばよい．行列単位$E_{jk},E_{\ell i}$に対して $$\TextCenter E_{jk}E_{\ell i} = E_{ji}\delta_{k\ell}$$ が成り立つので，仮定より \begin{align}\TextCenter a_{ij}\delta_{k\ell} &= \tr (AE_{ji}\delta_{k\ell})\\ &= \tr (AE_{jk}E_{\ell i})\\ &= f(E_{jk}E_{\ell i})\\ &\textcolor{orange}{=} f(E_{\ell i}E_{jk})\\ &= \tr(AE_{\ell k}\delta_{ij}) \\ &= a_{k\ell}\delta_{ij} \end{align} が成り立つことがわかる．よって $$\TextCenter a_{ij} = a_{ij}\delta_{11} = a_{11}\delta_{ij}$$ となるので，$A = a_{11}E_{n}$が成り立つ． &&& &&&ex Frobenius inner product 写像 $$\TextCenter \mathbb{R}^{n \times m} \times \mathbb{R}^{n \times m} \to \mathbb{R};\ (A,B) \mapsto \tr (AB^{\transpose}) =: \langle A \,|\, B \rangle$$ は正定値対称双線型形式，すなわち$\mathbb{R}^{n \times m}$上の内積である．実際， [1] 双線型性は明らか． [2] 任意の$A,B \in \mathbb{R}^{n \times m}$に対して， $$\TextCenter \langle B \,|\, A \rangle = \tr (BA^{\transpose}) = \tr ((BA^{\transpose})^{\transpose}) = \tr (AB^{\transpose}) = \langle A \,|\, B \rangle$$ が成り立つ． [3] 一般に $$\TextCenter (AB^{\transpose})(i,j) = \sum_{k=1}^{m}A(i,k)B^{\transpose}(k,j) = \sum_{k=1}^{m} A(i,k)B(j,k)$$ であるから，任意の$A \in \mathbb{R}^{n \times m}$に対して $$\TextCenter \langle A \,|\, A \rangle = \tr (AA^{\transpose}) = \sum_{i,k} A(i,k)A(i,k) \geq 0$$ が成り立つ．よって， $$\TextCenter A \neq 0 \iff \langle A \,|\, A \rangle > 0$$ が成り立つ．とくに$m = 1$のとき， $$\TextCenter \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R};\ (x,y) \mapsto \langle x \,|\, y \rangle = \tr(xy^{\transpose}) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}$$ となる． &&& &&&ex 同様にして， $$\TextCenter \mathbb{C}^{n \times m} \times \mathbb{C}^{n \times m} \to \mathbb{C};\ (A,B) \mapsto \tr (AB^{*})$$ が$\mathbb{C}^{n \times m}$上のHermite内積であることがわかる． &&& ## 正方行列のディターミナント &&&def $n$次正方行列$A = [a_{ij}]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{n \times n}$に対して， $$\TextCenter \det A := \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)}$$ を$A$の**ディターミナント**という． &&& &&&ex [det-2] $2$次正方行列 $$\TextCenter A:= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$ のディターミナントは $$\TextCenter \det A = ad - bc$$ で与えられる． &&& &&&ex $f \in \End(V)$とし$\beta = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$を$V$の基底とする．このとき[[rep-mat-det]]より \begin{align}\TextCenter \det f &= \omega_{\beta}(f\beta_{1},\ldots,f\beta_{n}) \\ &= \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \langle \beta_{1}^{*},f\beta_{\sigma(1)} \rangle \cdots \langle \beta_{n}^{*},f\beta_{\sigma(n)} \rangle \\ &= \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot [f\colon\beta/\beta](1,\sigma(1)) \cdots [f\colon\beta/\beta](n,\sigma(n)) \\ &= \det [f\colon\beta/\beta] \end{align} が成り立つ．したがって，線型変換のディターミナントはその表現行列のディターミナントに等しい．とくに，$n$次正方行列$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$に対して $$\TextCenter \det A = \det [f_{A}\colon \epsilon/\epsilon] = \det f_{A}$$ が成り立つ．たとえば： $$\TextCenter \det O_{n} = 0,\ \det E_{n} = 1.$$ &&& &&&ex [det-of-mat] (1) [[rep-mat-det]]より， $$\TextCenter \det A = \det f_{A} = \det f_{A}^{\transpose} = \det A^{\transpose}$$ が成り立つ． (2) [[prod-det]]より， $$\TextCenter \det (AB) = \det f_{AB} = \det (f_{A}\circ f_{B}) = (\det f_{A})\cdot(\det f_{B}) = (\det A)\cdot(\det B)$$ が成り立つ． (3) [[nonsing]]より， $$\TextCenter A \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n}) \iff \det A \neq 0$$ が成り立つ．したがって，$A \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n})$のとき $$\TextCenter \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1}$$ となる． &&& &&&ex $\omega_{\beta}$の定義より， $$\TextCenter \omega_{\beta}(v_{1},\ldots,v_{n}) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \langle \beta_{1}^{*},v_{\sigma(1)} \rangle \cdots \langle \beta_{n}^{*},v_{\sigma(n)} \rangle = \det [\langle \beta_{i}^{*},v_{j} \rangle]_{(i,j)}$$ が成り立つ．とくに，$\beta$から$\gamma$への基底変換行列$[\gamma/\beta]$について $$\TextCenter \gamma = \beta \cdot \left[\frac{\gamma}{\beta}\right]\ \leadsto\ \omega_{\beta}(\gamma_{1},\ldots,\gamma_{n}) = \det \left[\frac{\gamma}{\beta}\right]$$ となるので，[[base-of-alt]]より， $$\TextCenter \omega_{\beta} = \det \left[\frac{\gamma}{\beta}\right] \cdot \omega_{\gamma}$$ が成り立つ．ところで，$\beta^{*}$から$\gamma^{*}$への基底変換行列について$[\gamma^{*}/\beta^{*}] = [\beta/\gamma]^{\transpose}$が成り立つので，上の等式は $$\TextCenter \gamma_{1}^{*}\wedge\cdots\wedge\gamma_{n}^{*} = \det\left[\frac{\gamma^{*}}{\beta^{*}}\right] \cdot \beta_{1}^{*}\wedge\cdots\wedge\beta_{n}^{*}$$ とも書ける． &&& &&&ex 定義より $$\TextCenter \det A = \omega_{\epsilon}(A\epsilon_{1},\ldots,A\epsilon_{n})$$ であるから，[[lin-indep]]より， $$\TextCenter \det A \neq 0 \iff (A\epsilon_{1},\ldots,A\epsilon_{n}):\text{lin. indep.}$$ が成り立つ．また，同一視 $$\TextCenter \mathbb{K}^{n \times n} \cong (\mathbb{K}^{n})^{n};\ A \mapsto (A\epsilon_{1},\ldots,A\epsilon_{n})$$ により$\det = \omega_{\epsilon} \in \Alt_{n}(\mathbb{K}^{n})$と見做すと，任意の$\omega \in \Alt_{n}(\mathbb{K}^{n})$に対して $$\TextCenter \omega = \omega(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}) \cdot \det$$ が成り立つ（cf. [[base-of-alt]]）． &&& &&&prop [det-diag] $n_{i}$次正方行列$A_{n_{i}} \in \mathbb{K}^{n_{i} \times n_{i}}$を対角に並べた正方行列 $$\TextCenter A_{n_{i}}\oplus\cdots\oplus A_{n_{k}} := \begin{bmatrix} A_{n_{1}} &&\\ & \ddots &\\ &&A_{n_{k}} \end{bmatrix}$$ のディターミナントについて， $$\TextCenter \det(A_{n_{1}}\oplus\cdots\oplus A_{n_{k}}) = (\det A_{n_{1}}) \cdots (\det A_{n_{k}})$$ が成り立つ． &&& &&&prf $k =2,n_{1}:=n,n_{2}:=m$の場合に示せば十分である． [1] $n$重線型形式$\omega \colon (\mathbb{K}^{n})^{n} = \mathbb{K}^{n \times n} \to \mathbb{K}$を $$\TextCenter \omega(A_{n}\epsilon_{1},\ldots,A_{n}\epsilon_{n}) := \det \begin{bmatrix} A_{n} & \\ & E_{m} \end{bmatrix}$$ で定める．明らかに$\omega \in \Alt_{n}(\mathbb{K}^{n})$であるから， $$\TextCenter \det \begin{bmatrix} A_{n}&\\ & E_{m} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} E_{n} & \\ & E_{m} \end{bmatrix} \cdot \det A_{n} = \det A_{n}$$ が成り立つ． [2] 同様に， $$\TextCenter \det \begin{bmatrix} E_{n}&\\ & A_{m} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} E_{n} & \\ & E_{m} \end{bmatrix} \cdot \det A_{m} = \det A_{m}$$ が成り立つ． [3] ところで $$\TextCenter A_{n}\oplus A_{m} = \begin{bmatrix} A_{n} & \\ & A_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{n} & \\ & E_{m} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} E_{n} & \\ & A_{m} \end{bmatrix}$$ が成り立つ．以上より $$\TextCenter \det(A_{n}\oplus A_{m}) = (\det A_{n}) \cdot (\det A_{m})$$ を得る． &&& ## ディターミナントランク &&&def $A \in \mathbb{K}^{n \times m}$とし，単調増加写像$[k]_{>0} \to [n]_{>0},\,[r]_{>0} \to [m]_{>0}$の像をそれぞれ$I \subset [n]_{>0},\,J \subset [m]_{>0}$とおく．合成写像 $$\TextCenter [k]_{>0} \times [r]_{>0} \to [n]_{>0} \times [m]_{>0} \xrightarrow{A} \mathbb{K}$$ を$A$の**小行列**といい$A_{I,J} \in \mathbb{K}^{k \times r}$で表わす． &&& &&&ex [rank] $A \in \mathbb{K}^{n \times m}$とし，$r := \rank A$とおく．このとき$J:= \{j_{1},\ldots,j_{r}\} \subset [m]_{>0}$であって $$\TextCenter (A\epsilon_{j_{1}},\ldots,A\epsilon_{j_{r}}):\text{lin. indep.}$$ なるものが存在する．したがって行列$A' := A_{[n]_{>0},J} \in \mathbb{K}^{n \times r}$について$\rank A' = r$が成り立つので，$I \subset [n]_{>0},\#I = r,$であって $$\TextCenter \rank A_{I,J} = \rank A'_{I,[r]_{>0}} = r\ \leadsto\ \det A_{I,J} \neq 0$$ なるものが存在する． &&& &&&def 行列$A \in \mathbb{K}^{n \times m}$に対して， $$\TextCenter \det\rank A := \max\{k \in \mathbb{N} \mid \exists\,I,J,\ \#I = \#J = k,\ \det A_{I,J} \neq 0\}$$ を$A$の**ディターミナントランク**という． &&& &&&prop [det-rank] 任意の$A \in \mathbb{K}^{n \times m}$に対して $$\TextCenter \rank A = \det\rank A$$ が成り立つ． &&& &&&prf $\rank A \leq \det\rank A$なることは既に見た．一方，$d := \det\rank A$とおくと，$I \subset [n]_{>0},J \subset [m]_{>0},\#I = \#J = d,$であって$\det A_{I,J} \neq 0$なるものが存在する．そこで$J = \{j_{1},\ldots,j_{d}\}$とおくと，$\rank A_{I,J} = d$より， $$\TextCenter (A\epsilon_{j_{1}},\ldots,A\epsilon_{j_{d}}):\text{lin. indep.}$$ が成り立つので，$d \leq \rank A$を得る． &&& &&&ex 任意の行列$A \in \mathbb{K}^{n \times m}$に対して $$\TextCenter \rank A \leq r \iff \forall I = \{i_{1},\ldots,i_{r+1}\},\forall J = \{j_{1},\ldots,j_{r+1}\},\ \det A_{I,J} = 0$$ が成り立つ．実際，[[det-rank]]より$\implies$がしたがい，[[rank]]と同様にして$\impliedby$（の対偶）が成り立つことがわかる． &&& &&&ex ディターミナントの連続性と上例より $$\TextCenter R(r) := \{A \in \mathbb{R}^{n \times m} \mid \rank A \leq r\} = \bigcap \{(\det\circ\mathrm{pr}_{I,J})^{\leftarrow}(\{0\}) \mid I \subset [n]_{>0},J \subset [m]_{>0},\ \#I = \#J = r+1\} \subset \mathbb{R}^{n \times m}$$ は閉集合であり，したがって $$\TextCenter \{A \in \mathbb{R}^{n \times m} \mid \rank A = \min\{n,m\}\} = \mathbb{R}^{n \times m} \smallsetminus R(\min\{n,m\}-1) \subset \mathbb{R}^{n \times m}$$ は開集合である． &&& # 交代行列のパフィアン &&&lem [nondeg] $V$を$n$次元$\mathbb{K}$線型空間とし，$\omega \colon V \times V \to \mathbb{K}$を$V$上の対称双線型形式または交代双線型形式とする．このとき次は同値である： (R1) $\omega$は**非退化**である，すなわち線型写像 $$\TextCenter \hat{\omega} \colon V \to V^{*};\ v \mapsto [v' \mapsto \omega(v,v')]$$ は全単射である； (R2) $V$の任意の基底$(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$に対して，正方行列$[\omega(\beta_{i},\beta_{j})]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{n \times n}$は可逆である； (R3) $V$の基底$(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$であって，正方行列$[\omega(\beta_{i},\beta_{j})]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{n \times n}$が可逆となるようなものが存在する． &&& &&&prf 仮定より $$\TextCenter \omega(u,v) = 0 \iff \omega(v,u) = 0$$ が成り立つことに注意する． ### (i)$\implies$(ii) $(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$を$V$の基底とし，$A := [\omega(\beta_{i},\beta_{j})]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{n \times n}$とおく．このとき，$x := \sum_{j} \epsilon_{j}x_{j} \in \mathbb{K}^{n}$に対して \begin{align}\TextCenter Ax &= \sum_{j=1}^{n} A\epsilon_{j}x_{j} \\ &= \sum_{j=1}^{n} \left(\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}\cdot\omega(\beta_{i},\beta_{j})\right) \cdot x_{j} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i} \cdot \left(\sum_{j=1}^{n} \omega(\beta_{i},\beta_{j})x_{j}\right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i} \cdot \omega(\beta_{i},v) \\ \end{align} が成り立つ．ただし$v:= \sum_{j}\beta_{j}x_{j} \in V$とおいた．よって \begin{align}\TextCenter Ax = 0 &\implies \forall i,\ \omega(\beta_{i},v) = 0\\ &\implies \forall i,\ \hat{\omega}(v)(\beta_{i}) = \omega(v,\beta_{i}) = 0 \\ &\implies \hat{\omega}(v) = 0 \\ &\implies v = \sum_{j=1}^{n} \beta_{j}x_{j} = 0 \\ &\implies \forall j,\ x_{j} = 0 \\ &\implies x = \sum_{j=1}^{n} \epsilon_{j}x_{j} = 0 \end{align} が成り立つので，$\Ker(A) = \{0\}$を得る．したがって$A$は可逆である． ### (ii)$\implies$(iii) 明らか． ### (iii)$\implies$(i) $V$のある基底$(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$に対して，$A := [\omega(\beta_{i},\beta_{j})]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{n \times n}$が可逆であるとする．このとき \begin{align}\TextCenter v := \sum_{j=1}^{n} \beta_{j}x_{j} \in \Ker(\hat{\omega}) &\implies \forall i,\ \hat{\omega}(v)(\beta_{i}) = 0 \\ &\implies A \left(\sum_{j=1}^{n} \epsilon_{j}x_{j}\right) = \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}\cdot \omega(\beta_{i},v) = 0 \\ &\implies \sum_{j=1}^{n} \epsilon_{j}x_{j} = 0 \\ &\implies \forall j,\ x_{j} = 0 \\ &\implies v = \sum_{j=1}^{n} \beta_{j} x_{j} = 0 \end{align} が成り立つので，$\Ker(\hat{\omega}) = \{0\}$を得る．いま$\dim V = n = \dim V^{*}$であるから，$\hat{\omega}$は全単射である． &&& ## 定義と例以下，$\mathbb{K}$を標数$0$の体とする． &&&def $n$次正方行列$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$に対して，双線型形式$\omega_{A} \colon \mathbb{K}^{n} \times \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$を $$\TextCenter \omega_{A}(\epsilon_{i},\epsilon_{j}) := A(i,j)$$ で定める． &&& &&&ex [[nondeg]]，[[det-of-mat]]より $$\TextCenter \omega_{A}:\text{nondegenerate} \iff \det A \neq 0$$ が成り立つ． &&& &&&def $n$次正方行列$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$について，$\omega_{A} \in \Alt_{2}(\mathbb{K}^{n})$となるとき，$A$を**交代行列**という． &&& &&&rem $A = [a_{ij}]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{n \times n}$とする．このとき，任意の$v := \sum_{i} \epsilon_{i}x_{i} \in \mathbb{K}^{n}$に対して \begin{align}\TextCenter \omega_{A}(v,v) &= \sum_{i,j} \omega_{A}(\epsilon_{i},\epsilon_{j}) \cdot x_{i}x_{j} \\ &= \sum_{i,j} a_{ij} \cdot x_{i}x_{j} \\ &= \sum_{i0},\ \sigma(2i-1)<\sigma(2i)$$ を満たすものをただ一つ含むので，このような元からなる$\mathfrak{S}_{2n}/\mathfrak{T}$の完全代表系$\mathfrak{Q}_{2n}$が取れる．よって， \begin{align}\TextCenter \pf A &= \frac{1}{n!\cdot 2^{n}} \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)} \\ &= \frac{1}{n!\cdot 2^{n}} \sum_{\sigma\in \mathfrak{Q}_{2n}} \sum_{\tau\in \mathfrak{T}} \mathrm{sgn}(\sigma\circ\tau) \cdot a_{\sigma(\tau(1)),\sigma(\tau(2))} \cdots a_{\sigma(\tau(2n-1)),\sigma(\tau(2n))} \\ &= \frac{1}{n!\cdot 2^{n}} \cdot 2^{n} \sum_{\sigma\in \mathfrak{Q}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)} \\ &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma\in \mathfrak{Q}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)} \\ \end{align} が成り立つ． ### Step 2. $\sigma_{n} \in \mathfrak{S}_{n}$を \begin{align}\TextCenter 2i-1 &\mapsto 2\sigma_{n}(i)-1\\ 2i &\mapsto 2\sigma_{n}(i) \end{align} なる$\mathfrak{S}_{2n}$の元と見做して$\sigma_{2n} \in \mathfrak{S}_{2n}$で表わす．この同一視の下で，作用 $$\TextCenter \mathfrak{Q}_{2n} \times \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{Q}_{2n};\ (\sigma,\sigma_{n}) \mapsto \sigma\circ\sigma_{2n}$$ が定まり，$\mathfrak{Q}_{2n}/\mathfrak{S}_{n}$の完全代表系として$\mathfrak{P}_{2n}$が取れる．各$\sigma_{2n} \in \mathfrak{S}_{2n}$は偶置換であり，任意の$(\sigma,\sigma_{n}) \in \mathfrak{P}_{2n} \times \mathfrak{S}_{n}$に対して $$\TextCenter a_{\sigma(\sigma_{2n}(1)),\sigma(\sigma_{2n}(2))}\cdots a_{\sigma(\sigma_{2n}(2n-1)),\sigma(\sigma_{2n}(2n))} = a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)}$$ が成り立つ．よって \begin{align}\TextCenter \pf A &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma\in \mathfrak{Q}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)} \\ &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma\in \mathfrak{P}_{2n}} \sum_{\sigma_{n}\in \mathfrak{S}_{n}} \mathrm{sgn}(\sigma\circ\sigma_{2n}) \cdot a_{\sigma(\sigma_{2n}(1)),\sigma(\sigma_{2n}(2))} \cdots a_{\sigma(\sigma_{2n}(2n-1)),\sigma(\sigma_{2n}(2n))} \\ &= \frac{1}{n!} \cdot n! \sum_{\sigma\in \mathfrak{P}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)} \\ &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{P}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)} \\ \end{align} が成り立つ． &&& &&&rem 上の証明より， $$\TextCenter \#\mathfrak{P}_{2n} = \frac{\#\mathfrak{Q}_{2n}}{\#\mathfrak{S}_{n}} = \frac{1}{n!} \cdot \frac{\#\mathfrak{S}_{2n}}{\#\mathfrak{T}} = \frac{(2n)!}{n!\cdot 2^{n}}$$ を得る． &&& &&&ex [pf-ex] (1) 交代行列 $$\TextCenter A_{2} := \begin{bmatrix} 0 & a_{12} \\ -a_{12} & 0 \end{bmatrix}$$ に対して，$\mathfrak{P}_{2} = \{\id\}$より， $$\TextCenter \pf A_{2} = a_{12}$$ が成り立つ． (2) 交代行列 $$\TextCenter A_{4} := \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \end{bmatrix}$$ に対して，$\mathfrak{P}_{4} = \{\id,(23),(243)\}$より， $$\TextCenter \pf A_{4} = a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}$$ が成り立つ． (3) $2n$次交代行列 $$\TextCenter \Delta(a_{12},a_{34},\ldots,a_{2n-1,2n}) := \begin{bmatrix} 0&a_{12}\\-a_{12}&0 \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} 0&a_{34}\\-a_{34}&0 \end{bmatrix}\oplus \cdots\oplus \begin{bmatrix} 0&a_{2n-1,2n}\\-a_{2n-1,2n}&0 \end{bmatrix} $$ に対して， $$\TextCenter \pf \Delta(a_{12},a_{34},\ldots,a_{2n-1,2n}) = a_{12}a_{34}\cdots a_{2n-1,2n}$$ が成り立つ． (4) 交代行列$A = [a_{ij}]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$とスカラー$a \in \mathbb{K}$とに対して， \begin{align}\TextCenter \pf(aA) &= \sum_{\sigma\in \mathfrak{P}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot (aa_{\sigma(1),\sigma(2)}) \cdots (aa_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)}) \\ &= a^{n} \sum_{\sigma\in \mathfrak{P}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{\sigma(1),\sigma(2)} \cdots a_{\sigma_{2n-1},\sigma(2n)} \\ &= a^{n} \cdot \pf A \end{align} が成り立つ．とくに $$\TextCenter \pf A^{\transpose} = \pf(-A) = (-1)^{n} \cdot \pf A$$ が成り立つ． &&& ## パフィアンとディターミナント &&&prop [pf-transpose] 任意の交代行列$A \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$と正方行列$B \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$とに対して，$A \bullet B := B^{\transpose}AB \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$は交代行列であり，そのパフィアンについて $$\TextCenter \pf(A \bullet B) = (\pf A) \cdot (\det B)$$ が成り立つ． &&& &&&prf ### Step 0. $A$の交代性より $$\TextCenter B^{\transpose}AB + (B^{\transpose}AB)^{\transpose} = B^{\transpose}AB + B^{\transpose}A^{\transpose}B = B^{\transpose}(A+A^{\transpose})B = B^{\transpose}O_{2n}B = O_{2n}$$ となるので，$B^{\transpose}AB = A \bullet B$は交代行列である． ### Step 1. $B^{\wedge}\omega_{A} = \omega_{B^{\transpose}AB}$が成り立つ： \begin{align}\TextCenter \omega_{A}(B\epsilon_{i},B\epsilon_{j}) &= \omega_{A}\left(\sum_{k=1}^{2n} \epsilon_{k} \cdot B(k,i), \sum_{\ell=1}^{2n} \epsilon_{\ell} \cdot B(\ell,j)\right) \\ &= \sum_{k,\ell} B(k,i) \cdot \omega_{A}(\epsilon_{k},\epsilon_{\ell}) \cdot B(\ell,j) \\ &= \sum_{k,\ell} B(k,i)A(k,\ell)B(\ell,j)\\ &= \sum_{k,\ell} B^{\transpose}(i,k)A(k,\ell)B(\ell,j) \\ &= (B^{\transpose}AB)(i,j) \\ &= \omega_{B^{\transpose}AB}(\epsilon_{i},\epsilon_{j}) \end{align} ### Step 2. $B^{\wedge}\Omega_{A} = \Omega_{B^{\transpose}AB}$が成り立つ： \begin{align}\TextCenter \Omega_{A}(B\epsilon_{1},\ldots,B\epsilon_{2n}) &= \frac{1}{2^{n}} \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \omega_{A}(B\epsilon_{\sigma(1)},B\epsilon_{\sigma(2)}) \cdots \omega_{A}(B\epsilon_{\sigma(2n-1)},B\epsilon_{\sigma(2n)}) \\ &= \frac{1}{2^{n}} \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \omega_{B^{\transpose}AB}(\epsilon_{\sigma(1)},\epsilon_{\sigma(2)}) \cdots \omega_{B^{\transpose}AB}(\epsilon_{\sigma(2n-1)},\sigma(2n)) \\ &= \Omega_{B^{\transpose}AB}(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{2n}) \end{align} ### Step 3. よって[[base-of-alt]]より \begin{align}\TextCenter n! \cdot (\pf A) \cdot (\det B) &= n! \cdot (\pf A) \cdot \omega_{\epsilon}(B\epsilon_{1},\ldots,B\epsilon_{2n}) \\ &= \Omega_{A}(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{2n}) \cdot \omega_{\epsilon}(B\epsilon_{1},\ldots,B\epsilon_{2n}) \\ &\textcolor{orange}{=} \Omega_{A}(B\epsilon_{1},\ldots,B\epsilon_{2n}) \\ &= \Omega_{B^{\transpose}AB}(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{2n}) \\ &= n! \cdot \pf(B^{\transpose}AB) \end{align} となるので， $$\TextCenter \pf(A \bullet B) = (\pf A) \cdot (\det B)$$ が成り立つ．（$B^{\wedge}\Omega_{A} = (\det B) \cdot \Omega_{A}$を用いてもよい．） &&& &&&prop [pf-det] 任意の交代行列$A \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$に対して $$\TextCenter (\pf A)^{2} = \det A$$ が成り立つ． &&& &&&prf ### Step 0. $A=O_{2n}$のとき，[[pf-expansion]]より $$\TextCenter (\pf A)^{2} \textcolor{orange}{=} 0 = \det A$$ が成り立つ． ### Step 1. 以下，$A \neq O_{2n}$とする．このとき，$i,j \in [2n]_{>0}$であって $$\TextCenter \widehat{\omega_{A}}(\epsilon_{i})(\epsilon_{j}) = \omega_{A}(\epsilon_{i},\epsilon_{j}) = A(i,j) \neq 0$$ なるものが存在する．したがって$\Ker(\widehat{\omega_{A}}) \neq \mathbb{K}^{2n}$であるから，非自明な部分空間$W_{0}^{\perp_{-1}} \subset \mathbb{K}^{2n}$であって $$\TextCenter \mathbb{K}^{2n} = W_{0}^{\perp_{-1}} \oplus \Ker(\widehat{\omega_{A}})$$ を満たすものが存在する． [1] $\beta_{1} \in W_{0}^{\perp_{-1}} \smallsetminus \{0\}$を取る．このとき，$\beta_{1} \notin \Ker(\widehat{\omega_{A}})$より$v \in V$であって $$\TextCenter \omega_{A}(\beta_{1},v) = \widehat{\omega_{A}}(\beta_{1})(v) \neq 0$$ なるものが存在するので，$\beta_{2} \in W_{0}^{\perp_{-1}}$であって$\omega_{A}(\beta_{1},\beta_{2}) = 1$を満たすものが得られる． [2] そこで \begin{align}\TextCenter W_{1} &:= \mathrm{Span}(\beta_{1},\beta_{2}) \\ W_{1}^{\perp_{0}} &:= \{w \in W_{0}^{\perp_{-1}} \mid \forall w_{1} \in W_{1},\ \omega_{A}(w,w_{1}) = 0\} \end{align} とおくと， $$\TextCenter W_{0}^{\perp_{-1}} = W_{1} \oplus W_{1}^{\perp_{0}}$$ が成り立つ： [R1] $w := \beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2} \in W_{1} \cap W_{1}^{\perp_{0}}$とすると， \begin{align}\TextCenter 0 &= \omega_{A}(w,\beta_{1}) = \omega_{A}(\beta_{2},\beta_{1})x_{2} = -x_{2}\\ 0 &= \omega_{A}(w,\beta_{2}) = \omega_{A}(\beta_{1},\beta_{2})x_{1} = x_{1} \end{align} より，$w = 0$が成り立つ． [R2] 任意の$w \in W_{0}^{\perp_{-1}}$に対して， $$\TextCenter w = (\beta_{1} \cdot \omega_{A}(w,\beta_{2}) - \beta_{2}\cdot \omega_{A}(w,\beta_{1})) + (w - \beta_{1}\cdot\omega_{A}(w,\beta_{2})+\beta_{2}\cdot\omega_{A}(w,\beta_{1})) \in W_{1} + W_{1}^{\perp_{0}}$$ が成り立つ．よって $$\TextCenter \mathbb{K}^{2n} = W_{1} \oplus W_{1}^{\perp_{0}} \oplus \Ker(\widehat{\omega_{A}})$$ が成り立つ． [1] $W_{1}^{\perp_{0}} \neq \{0\}$とすると，$\beta_{3} \in W_{1}^{\perp_{0}} \smallsetminus \{0\}$が取れるが，このとき，$\beta_{3} \notin \Ker(\widehat{\omega_{A}})$より$v \in V$であって $$\TextCenter \omega_{A}(\beta_{3},v) = \widehat{\omega_{A}}(\beta_{3})(v) \neq 0$$ なるものが存在するので，$\beta_{4} \in W_{1}^{\perp_{0}}$であって$\omega_{A}(\beta_{3},\beta_{4}) = 1$を満たすものが得られる． [2] そこで \begin{align}\TextCenter W_{2} &:= \mathrm{Span}(\beta_{3},\beta_{4}) \\ W_{2}^{\perp_{1}} &:= \{w \in W_{1}^{\perp_{0}} \mid \forall w_{2} \in W_{2},\ \omega_{A}(w,w_{2}) = 0\} \end{align} とおくと，同様にして $$\TextCenter W_{1}^{\perp_{0}} = W_{2} \oplus W_{2}^{\perp_{1}}$$ が成り立つことがわかる．よって $$\TextCenter \mathbb{K}^{2n} = W_{1} \oplus W_{2} \oplus W_{2}^{\perp_{1}} \oplus \Ker(\widehat{\omega_{A}})$$ が成り立つ．以下，これを繰り返すことで，線型独立なベクトル$\beta_{1},\ldots,\beta_{2m} \in \mathbb{K}^{2n}$であって， $$\TextCenter \mathbb{K}^{2n} = \mathrm{Span}(\beta_{1},\beta_{2}) \oplus\cdots\oplus \mathrm{Span}(\beta_{2m-1},\beta_{2m}) \oplus \Ker(\widehat{\omega_{A}})$$ を満たすものが存在することがわかる．よって，$\mathbb{K}^{2n}$の基底$\beta = (\beta_{1},\ldots,\beta_{2m},\beta_{2m+1},\ldots,\beta_{2n})$であって， $$\TextCenter [\omega_{A}(\beta_{i},\beta_{j})]_{(i,j)} = \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$$ なるものが存在する．$\beta$を行列$B \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$と見做すと，この等式は $$\TextCenter B^{\transpose}AB = \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$$ を意味する．実際，[[pf-transpose]]の証明より， $$\TextCenter B^{\transpose}AB = [\omega_{B^{\transpose}AB}(\epsilon_{i},\epsilon_{j})]_{(i,j)} \textcolor{orange}{=} [\omega_{A}(B\epsilon_{i},B\epsilon_{j})]_{(i,j)} = [\omega_{A}(\beta_{i},\beta_{j})]_{(i,j)} = \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$$ が成り立つ． ### Step 2. [[det-of-mat]]より$\det B \neq 0$であるから，$C:= B^{-1}$とおくと， $$\TextCenter A = C^{\transpose}\Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)C = \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0) \bullet C$$ が成り立つ．よって，[[det-of-mat]]，[[pf-transpose]]より， \begin{align}\TextCenter \det A &= (\det C^{\transpose}) \cdot (\det\Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)) \cdot (\det C) \\ &= (\det C)^{2} \cdot (\det\Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0))\\ &\\ \pf A &= \pf(\Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)\bullet C) \\ &= (\pf \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)) \cdot (\det C) \end{align} が成り立つ． ### Step 2-1. $\Ker(\widehat{\omega_{A}}) = 0$のとき，[[det-diag]]，[[det-2]]，[[pf-ex]]より $$\TextCenter \det \Delta(1,\ldots,1) = 1 = \pf \Delta(1,\ldots,1)$$ となるので， $$\TextCenter (\pf A)^{2} = (\det C)^{2} = \det A$$ が成り立つ． ### Step 2-2. $\Ker(\widehat{\omega_{A}}) \neq 0$のとき，$\det$の多重線型性と[[pf-ex]]より $$\TextCenter \det \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0) = 0 = \pf \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$$ となるので， $$\TextCenter (\pf A)^{2} = 0 = \det A$$ が成り立つ． &&& 上の証明から次が得られる： &&&cor [canonical-form] 任意の交代行列$A \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$に対して，可逆行列$B \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{2n})$であって $$\TextCenter B^{\transpose}AB = \Delta(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$$ を満たすものが存在する． &&& &&&ex 有限次元$\mathbb{K}$線型空間$V$上の非退化交代双線型形式$\omega \colon V \times V \to \mathbb{K}$を$V$上の**シンプレクティック形式**といい，組$(V,\omega)$を**シンプレクティック線型空間**という．シンプレクティック線型空間$(V,\omega)$に対して，[[pf-det]]の証明と同様の議論を行なうことで，基底$(\beta_{1},\ldots,\beta_{2n})$であって $$\TextCenter [\omega(\beta_{i},\beta_{j})]_{(i,j)} = \Delta(1,\ldots,1) =:\Delta \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$$ を満たすものが存在することがわかる．とくにシンプレクティック線型空間は偶数次元である（[[nondeg]]，[[det-of-odd-alt]]からもわかる）． &&& &&&ex $\det\Delta = 1$より，交代行列$\Delta \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$は可逆であるから，$\omega_{\Delta} \in \Alt_{2}(\mathbb{K}^{2n})$は$\mathbb{K}^{2n}$上のシンプレクティック形式である． &&& &&&ex 正方行列$A \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$について $$\TextCenter A^{\transpose}\Delta A = \Delta$$ が成り立つとき，$A$を（シンプレクティック形式$\omega_{\Delta}$に関する）**シンプレクティック行列**といい，$A \in \mathrm{Symp}(\Delta)$で表わす．たとえば$E_{2n} \in \mathrm{Symp}(\Delta)$である．ところで， $$\TextCenter A^{\wedge}\omega_{\Delta} = \omega_{\Delta\bullet A} = \omega_{A^{\transpose} \Delta A}$$ であったから， $$\TextCenter A \in \mathrm{Symp}(\Delta) \iff A^{\wedge}\omega_{\Delta} = \omega_{\Delta}$$ が成り立つ． (1) [[pf-ex]]より$\pf \Delta = 1$であるから，任意の$A \in \mathrm{Symp}(\Delta)$に対して，[[pf-transpose]]より， $$\TextCenter \det A = (\pf \Delta) \cdot (\det A) \textcolor{orange}{=} \pf(\Delta \bullet A) = \pf\Delta = 1 \neq 0$$ が成り立つ．したがって$\mathrm{Symp}(\Delta)$は行列の積に関して（$\mathrm{GL}(\mathbb{K}^{2n})$の部分）群をなす： [R1] $A,B \in \mathrm{Symp}(\Delta) \implies (AB)^{\wedge}\omega_{\Delta} = B^{\wedge}A^{\wedge}\omega_{\Delta} = B^{\wedge}\omega_{\Delta} = \omega_{\Delta}$; [R2] $A^{\wedge}\omega_{\Delta} = \omega_{\Delta} \implies \omega_{\Delta} = (A^{-1})^{\wedge}A^{\wedge}\omega_{\Delta} = (A^{-1})^{\wedge}\omega_{\Delta}$. (2) $\Delta^{\transpose}\Delta=E_{2n} = \Delta\Delta^{\transpose}$であるから，$\Delta,\Delta^{\transpose} \in \mathrm{Symp}(\Delta)$となる． (3) 任意の$A \in \mathrm{Symp}(\Delta)$に対して，$\Delta^{-1} = \Delta^{\transpose} = -\Delta$より $$\TextCenter A\Delta A^{\transpose} = \Delta^{-1}(A^{\transpose})^{-1}\cdot(A^{\transpose}\Delta A)\cdot \Delta A^{\transpose} = \Delta^{-1}(A^{\transpose})^{-1} \cdot \Delta \cdot \Delta A^{\transpose} = \Delta$$ となるので，$A^{\transpose} \in \mathrm{Symp}(\Delta)$が成り立つ． (4) 可逆行列$B \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{2n})$に対して， $$\TextCenter (B^{-1}AB)^{\transpose} \cdot (B^{\transpose}\Delta B) \cdot (B^{-1}AB) = B^{\transpose}\cdot (A^{\transpose}\Delta A ) \cdot B$$ が成り立つので，$\mathrm{Symp}(\Delta)$と$\mathrm{Symp}(\Delta \bullet B)$とは群同型である： $$\TextCenter \mathrm{Symp}(\Delta) \to \mathrm{Symp}(\Delta \bullet B);\ A \mapsto B^{-1}AB.$$ (5) 可逆行列$S \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{2n})$を $$\TextCenter S\epsilon_{i} := \begin{cases} \epsilon_{2i-1} &, 1\leq i \leq n\\ \epsilon_{2(i-n)} &, n+1 \leq i \leq 2n \end{cases}$$ によって定める（cf. [[det-of-mat]]）．さらに，$2n$次交代行列$\Delta_{S} \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$を $$\TextCenter \Delta_{S} := \begin{bmatrix} O_{n}& E_{n}\\-E_{n}& O_{n} \end{bmatrix}$$ で定める．このとき \begin{align}\TextCenter \Delta(i,j) &= \omega_{\Delta_{S}}(S^{-1}\epsilon_{i},S^{-1}\epsilon_{j})\\ &= (S^{-1})^{\wedge}\omega_{\Delta_{S}}(\epsilon_{i},\epsilon_{j}) \\ &= \omega_{\Delta_{S}\bullet S^{-1}}(\epsilon_{i},\epsilon_{j}) \\ &= (\Delta_{S}\bullet S^{-1})(i,j) \end{align} より，$\Delta = \Delta_{S}\bullet S^{-1}$，したがって$\Delta \bullet S = \Delta_{S}$となる．群$\mathrm{Symp}(\Delta_{S})$のことを**シンプレクティック群**といい，とくに$\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K})$で表わす． (6) 単にシンプレクティック群（resp. シンプレクティック行列）といった場合，$\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$（resp. $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$の元）のことを指すっぽい． &&& &&&prop 任意の正方行列$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$に対して， $$\TextCenter A_{\mathrm{alt}} := \begin{bmatrix} O_{n} & A\\-A^{\transpose} & O_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{K}^{2n \times 2n}$$ とおくと， $$\TextCenter \pf A_{\mathrm{alt}} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \det A$$ が成り立つ． &&& &&&prf 上例の可逆行列$S \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{2n})$に対応する置換を$\sigma_{S} \in \mathfrak{S}_{2n}$とおく： $$\TextCenter \sigma_{S} := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n & n+1 & n+2 & \cdots & 2n-1 & 2n \\ 1 & 3 & 5 & \cdots & 2n-1 & 2 & 4 & \cdots & 2n-2 & 2n \end{pmatrix}$$ このとき，$S\epsilon_{j} = \epsilon_{\sigma_{S}(j)}$より， \begin{align}\TextCenter \det S &= \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \langle \epsilon_{1}^{*},\epsilon_{\sigma_{S}(\sigma(1))} \rangle \cdots \langle \epsilon_{2n}^{*},\epsilon_{\sigma_{S}(\sigma(2n))} \rangle \\ &= \mathrm{sgn}(\sigma_{S}^{-1}) \\ &= \mathrm{sgn}(\sigma_{S}) \\ &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \end{align} が成り立つ（cf. [[sgn]]命題2）．いま， \begin{align}\TextCenter \Delta_{S} \bullet (A^{\transpose}\oplus E_{n}) &= \begin{bmatrix} A & \\ & E_{n} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} & E_{n}\\ -E_{n}& \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A^{\transpose} & \\ & E_{n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & \\ & E_{n} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} & E_{n}\\ -A^{\transpose}& \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} & A \\ -A^{\transpose} & \end{bmatrix}\\ &= A_{\mathrm{alt}} \end{align} が成り立つので，[[pf-det]]，[[det-diag]]，[[pf-ex]]，[[det-of-mat]]より， \begin{align}\TextCenter \pf A_{\mathrm{alt}} &= \pf(\Delta_{S}\bullet(A^{\transpose}\oplus E_{n})) \\ &= \pf(\Delta \bullet S) \cdot \det(A^{\transpose}\oplus E_{n}) \\ &= (\pf\Delta) \cdot (\det S) \cdot (\det A^{\transpose})\cdot (\det E_{n}) \\ &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \det A \end{align} を得る． &&& # 補遺：双対空間について ## 双対空間 &&&def $\mathbb{K}$線型空間$V$に対して，$\mathbb{K}$線型空間 $$\TextCenter V^{*} := \Hom(V,\mathbb{K})$$ を$V$の**双対空間**という．各$(v^{*},v) \in V^{*} \times V$に対して $$\TextCenter \langle v^{*},v \rangle := v^{*}(v) \in \mathbb{K}$$ とおく． &&& &&&lem [dual-base] $\dim V = n$とし，$\beta = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$をその基底とする．このとき，線型写像$\beta_{i}^{*} \colon V \to \mathbb{K}$を $$\TextCenter \langle \beta_{i}^{*},\beta_{j} \rangle := \delta_{ij} := \begin{cases} 1 &, i=j\\ 0 &, i \neq j \end{cases}$$ で定めると，$\beta^{*} := (\beta_{1}^{*},\ldots,\beta_{n}^{*})$は$V^{*}$の基底となる．これを$\beta$の**双対基底**という．とくに$\dim V^{*} = \dim V$である． &&& &&&prf [1] $v^{*} \in V^{*}$とする．このとき，任意の$v := \sum_{i}\beta_{i}x_{i} \in V$に対して \begin{align}\TextCenter \langle v^{*},v \rangle &= \sum_{i=1}^{n} \langle v^{*},\beta_{i} \rangle \cdot x_{i} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \langle v^{*},\beta_{i} \rangle \cdot \langle \beta_{i}^{*},v \rangle \\ &= \left\langle \sum_{i=1}^{n} \langle v^{*},\beta_{i} \rangle\cdot \beta_{i}^{*},v \right\rangle \end{align} が成り立つので， $$\TextCenter v^{*} = \sum_{i=1}^{n} \langle v^{*},\beta_{i} \rangle \cdot \beta_{i}^{*}$$ を得る． [2] $v^{*} := \sum_{i} a_{i}\beta_{i}^{*} = 0$とする．このとき，任意の$j \in [n]_{>0}$に対して $$\TextCenter 0 = \langle v^{*},\beta_{j} \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot \langle \beta_{i}^{*},\beta_{j} \rangle = a_{j}$$ が成り立つ． &&& &&&prop [double-dual] $\dim V = n$とする．このとき，線型写像 $$\TextCenter \widehat{\mathrm{ev}} \colon V \to V^{**};\ v \mapsto [v^{*} \mapsto \langle v^{*},v \rangle]$$ は全単射である． &&& &&&prf $V$の基底$\beta$を取り，$\beta^{*}$をその双対基底とする．[[dual-base]]より $$\TextCenter \dim V^{**} = \dim V^{*} = \dim V = n$$ であるから，$\widehat{\mathrm{ev}}$が単射であることを示せばよい．そこで$v \in \Ker(\widehat{\mathrm{ev}})$とすると，任意の$i \in [n]_{>0}$に対して $$\TextCenter \langle \beta_{i}^{*},v \rangle = \widehat{\mathrm{ev}}(v)(\beta_{i}^{*}) = 0$$ が成り立つので， $$\TextCenter v = \sum_{i=1}^{n} \beta_{i} \cdot \langle \beta_{i}^{*},v \rangle = 0$$ を得る． &&& ## 零化空間 &&&def 線型空間$V$の部分空間$W \subset V$に対して，双対空間$V^{*}$の部分空間 $$\TextCenter W^{\perp} := \{v^{*} \in V^{*} \mid \forall w \in W,\ \langle v^{*},w \rangle = 0\}$$ を$W$の**零化空間**という． &&& &&&lem [ann] $V$を有限次元線型空間とする．このとき，任意の部分空間$W \subset V$に対して $$\TextCenter \dim W + \dim W^{\perp} = \dim V$$ が成り立つ．さらに，同一視$V \cong V^{**}$の下で $$\TextCenter W = (W^{\perp})^{\perp}$$ が成り立つ． &&& &&&prf [1] $W$の基底$(\beta_{1},\ldots,\beta_{m})$を延長して得られる$V$の基底を$(\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$とし，その双対基底を$(\beta_{1}^{*},\ldots,\beta_{n}^{*})$とする．このとき \begin{align}\TextCenter v^{*} \in W^{\perp} &\iff \forall j \in [m]_{>0},\ \langle v^{*},\beta_{j} \rangle = 0 \\ &\iff v^{*} = \sum_{i=m+1}^{n} \langle v^{*},\beta_{i} \rangle \cdot \beta_{i}^{*} \\ \end{align} より， $$\TextCenter W^{\perp} = \mathrm{Span}(\beta_{m+1}^{*},\ldots,\beta_{n}^{*})$$ が成り立つ．よって $$\TextCenter \dim W + \dim W^{\perp} = m + (n-m) = n = \dim V$$ を得る． [2] 明らかに $$\TextCenter W \subset (W^{\perp})^{\perp}$$ が成り立つ．また，前段より \begin{align}\TextCenter \dim W &= \dim V - \dim W^{\perp} \\ &= \dim V^{*} - \dim W^{\perp} \\ &= (\dim W^{\perp} + \dim (W^{\perp})^{\perp}) - \dim W^{\perp} \\ &= \dim (W^{\perp})^{\perp} \end{align} が成り立つので， $$\TextCenter W = (W^{\perp})^{\perp}$$ を得る． &&& ## 転置写像とそのランク &&&def 線型写像$f \colon V \to W$に対して，線型写像 $$\TextCenter W^{*} \to V^{*};\ w^{*} \mapsto w^{*} \circ f$$ を$f$の**転置写像**，**双対写像**などといい$f^{\transpose}$で表わす： $$\TextCenter \langle f^{\transpose}w^{*},v \rangle = \langle w^{*},fv \rangle$$ &&& &&&prop [rank-of-dual-map] $V,W$を有限次元線型空間とし，$f \colon V \to W$を線型写像とする．このとき， $$\TextCenter \rank f = \rank f^{\transpose}$$ が成り立つ． &&& &&&prf 転置写像$f^{\transpose} \colon W^{*} \to V^{*}$の定義より \begin{align}\TextCenter w^{*} \in \Ker(f^{\transpose}) &\iff \forall v \in V,\ \langle f^{\transpose}w^{*},v \rangle = 0 \\ &\iff \forall v \in V,\ \langle w^{*},fv \rangle = 0 \\ &\iff w^{*} \in (\Im(f))^{\perp} \end{align} が成り立つ．よって，[[ann]]より $$\TextCenter \Im(f) = (\Ker(f^{\transpose}))^{\perp}$$ を得るので，[[ann]]と次元定理より， $$\TextCenter \rank f = \dim \Im(f) = \dim (\Ker(f^{\transpose}))^{\perp} = \dim W^{*} - \dim \Ker(f^{\transpose}) = \rank f^{\transpose}$$ が成り立つ． &&& # 補遺：表現行列について ## 矩形行列 (1) $U$を集合とし$V$を線型空間とする．このとき，写像集合 $$\TextCenter V^{U} := \{f \mid f\colon U \to V\}$$ は \begin{align}\TextCenter (f+g)(u) &:= f(u)+g(u)\\ (f\cdot a)(u) &:= f(u)\cdot a \end{align} により線型空間の構造を持つ． (2) 正整数$n,m \in \mathbb{Z}_{>0}$に対して，線型空間$\mathbb{K}^{n \times m} := \mathbb{K}^{[n]_{>0}\times[m]_{>0}}$の元を**（矩形）行列**という． [1] とくに$n=m$なるとき，**（$n$次）正方行列**という． [2] 行列$A \in \mathbb{K}^{n \times m}$に対して，$A(i,j) \in \mathbb{K}$をその**$(i,j)$成分**という．また， $$\TextCenter (i,j) \mapsto a_{ij} \in \mathbb{K}$$ なる行列を$[a_{ij}]_{(i,j)}$と書く． [3] 行列$A \in \mathbb{K}^{n \times m}$に対して，その**転置行列**$A^{\transpose} \in \mathbb{K}^{m \times n}$を $$\TextCenter A^{\transpose}(i,j) := A(j,i)$$ で定める． (3) 線型空間$\mathbb{K}^{n} := \mathbb{K}^{n\times 1}$の元$\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}$を $$\TextCenter \epsilon_{i}(j,1) := \delta_{ij}$$ で定めると，$(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})$は$\mathbb{K}^{n}$の基底をなす．これを$\mathbb{K}^{n}$の**標準基底**という． (4) 行列$A \in \mathbb{K}^{n\times m}$に対して，線型写像$f_{A} \colon \mathbb{K}^{m} \to \mathbb{K}^{n}$が $$\TextCenter \epsilon'_{j} \mapsto \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i} \cdot A(i,j)$$ により定まる．対応 $$\TextCenter \mathbb{K}^{n \times m} \to \Hom(\mathbb{K}^{m},\mathbb{K}^{n});\ A \mapsto f_{A}$$ は線型写像であり， $$\TextCenter f \mapsto [\langle \epsilon_{i}^{*},f\epsilon'_{j} \rangle]_{(i,j)}$$ が逆写像を与える． [1] 恒等写像$\id \in \Hom(\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}^{n})$に対応する行列を**単位行列**といい$E_{n}$で表わす． [2] 零写像$\mathrm{const}_{0} \in \Hom(\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}^{m})$に対応する行列を**零行列**といい$O_{m,n}$で表わす．また，$O_{n} := O_{n,n}$とおく． (5) 行列の**積**を $$\TextCenter \mathbb{K}^{n \times m} \times \mathbb{K}^{m \times \ell} \to \mathbb{K}^{n\times \ell};\ (A,B) \mapsto [\langle \epsilon_{i}^{*},f_{A}(f_{B}\epsilon''_{j}) \rangle]_{(i,j)} =: AB$$ で定める．したがって，定義により $$\TextCenter f_{AB} = f_{A} \circ f_{B}$$ である．線型写像$f_{A},f_{B}$の定義より \begin{align}\TextCenter f_{A}(f_{B}\epsilon''_{j}) &= f_{A}\left(\sum_{k=1}^{m} \epsilon'_{k} \cdot B(k,j)\right) \\ &= \sum_{k=1}^{m} f_{A}\epsilon'_{k} \cdot B(k,j) \\ &= \sum_{k=1}^{m} \left(\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i} \cdot A(i,k)\right) \cdot B(k,j) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i} \cdot \left(\sum_{k=1}^{m} A(i,k)B(k,j)\right) \end{align} となるので，積$AB$の$(i,j)$成分は $$\TextCenter (AB)(i,j) = \sum_{k=1}^{m} A(i,k)B(k,j)$$ で与えられる． (6) 大抵の場合，行列$A$に対応する線型写像も同じ記号$A$で表わす． ## 線型写像の表現行列 (1) $\dim V = n$とする．このとき， [1] $V$の任意の基底$\beta = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})$に対して，線型写像 $$\TextCenter L_{\beta} \colon \mathbb{K}^{n} \to V;\ \epsilon_{i} \mapsto \beta_{i}$$ は全単射である． [2] 逆に，任意の線型同型写像$f \colon \mathbb{K}^{n} \to V$に対して，$(f\epsilon_{1},\ldots,f\epsilon_{n})$は$V$の基底である． (2) $\dim V = n,\dim W = m$とし，$\beta,\beta'$をそれぞれ$V,W$の基底とする．線型写像$f \colon V \to W$に対して，行列 $$\TextCenter L_{\beta'}^{-1} \circ f \circ L_{\beta} \in \Hom(\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}^{m}) \cong \mathbb{K}^{m \times n}$$ を，$f$の$(\beta,\beta')$に関する**表現行列**といい$[f\colon\beta/\beta']$で表わす： $$\TextCenter \xymatrix{ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rr]^{[f\colon\beta/\beta']} \ar[dd]_{L_{\beta}}^{\cong} && {\mathbb{K}^{m}} \ar[dd]^{L_{\beta'}}_{\cong} \\ \\ {V} \ar[rr]_{f} && {W} }$$ 等式$f \circ L_{\beta} = L_{\beta'}\circ[f\colon\beta/\beta']$をしばしば $$\TextCenter (f\beta_{1},\ldots,f\beta_{n}) = (\beta'_{1},\ldots,\beta'_{m}) \cdot \left[f\colon\frac{\beta}{\beta'}\right]$$ と表わす．ところで，表現行列の$(i,j)$成分は \begin{align}\TextCenter [f\colon\beta/\beta'](i,j) &= \langle {\epsilon'_{i}}^{*},(L_{\beta'}^{-1}\circ f \circ L_{\beta})\epsilon_{j} \rangle \\ &= \langle {\epsilon'_{i}}^{*},L_{\beta'}^{-1}(f\beta_{j}) \rangle \\ &= \left\langle {\epsilon'_{i}}^{*},L_{\beta'}^{-1}\left(\sum_{k=1}^{m} \beta'_{k} \cdot \langle {\beta'_{k}}^{*},f\beta_{j} \rangle\right) \right\rangle \\ &= \sum_{k=1}^{m} \langle {\epsilon'_{i}}^{*},\epsilon'_{k} \rangle \cdot \langle {\beta'_{k}}^{*},f\beta_{j} \rangle \\ &= \langle {\beta'_{i}}^{*},f\beta_{j} \rangle \\ \end{align} で与えられる．したがって上の等式表記は“行列”間の等式として正当化される． [1] $v := \sum_{i}\beta_{i} x_{i} \in V$とする．このとき，線型写像$\mathbb{K} \to V;\ 1 \mapsto v$の$(1,\beta)$に関する表現行列についての上の等式は（左辺の括弧を省いて） $$\TextCenter v = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$$ と書ける．“縦ベクトル”$[v/\beta]:= [x_{i}]_{(i,1)} = L_{\beta}^{-1}(v) \in \mathbb{K}^{n}$を，$v$の$\beta$に関する**座標**，**成分**などという． [2] ベクトル$v \in V,\,fv \in W$の座標について，$[f\colon\beta/\beta'] \circ L_{\beta}^{-1} = L_{\beta'}^{-1} \circ f$より， $$\TextCenter \left[f\colon\frac{\beta}{\beta'}\right] \cdot \left[\frac{v}{\beta}\right] = \left[\frac{fv}{\beta'}\right]$$ が成り立つ． [3] 転置写像$f^{\transpose} \colon W^{*} \to V^{*}$の表現行列について， $$\TextCenter \langle \beta_{i}^{**},f^{\transpose}{\beta'_{j}}^{*} \rangle = \langle f^{\transpose}{\beta'_{j}}^{*},\beta_{i} \rangle = \langle {\beta'_{j}}^{*},f\beta_{i} \rangle = [f\colon\beta/\beta'](j,i)$$ より， $$\TextCenter \left[f^{\transpose}\colon\frac{{\beta'}^{*}}{\beta^{*}}\right] = \left[f\colon\frac{\beta}{\beta'}\right]^{\transpose}$$ が成り立つ． [4] 行列$A \in \mathbb{K}^{m \times n}$に対応する線型写像$f_{A} \colon \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{m}$の$(\epsilon,\epsilon')$に関する表現行列は$A$に等しい： $$\TextCenter [f_{A}\colon\epsilon/\epsilon'] = [\langle {\epsilon'_{i}}^{*},f_{A}\epsilon_{j} \rangle]_{(i,j)} = A$$ したがって$f_{A}^{\transpose}$の$({\epsilon'}^{*},\epsilon^{*})$に関する表現行列は$A^{\transpose}$であるから，[[rank-of-dual-map]]より \begin{align}\TextCenter \text{``column rank of $A$"} := \rank A &:= \rank f_{A} \\ &\textcolor{orange}{=} \rank f_{A}^{\transpose} \\ &= \rank f_{A^{\transpose}} = \rank A^{\transpose} =: \text{``row rank of $A$"} \end{align} が成り立つ． (3) 恒等変換$\id_{V} \colon V \to V$の$(\beta_{\mathrm{new}},\beta_{\mathrm{old}})$に関する表現行列を$\beta_{\mathrm{old}}$から$\beta_{\mathrm{new}}$への**基底変換行列**といい$[\beta_{\mathrm{new}}/\beta_{\mathrm{old}}]$で表わす： $$\TextCenter \xymatrix{ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rr]^{[\beta_{\mathrm{new}}/\beta_{\mathrm{old}}]} \ar[dd]_{L_{\beta_{\mathrm{new}}}}^{\cong} && {\mathbb{K}^{n}} \ar[dd]^{L_{\beta_{\mathrm{old}}}}_{\cong} \\ \\ {V} \ar[rr]_{\id_{V}} && {V} }$$ [1] 等式$L_{\beta_{\mathrm{new}}} = L_{\beta_{\mathrm{old}}} \circ [\beta_{\mathrm{new}}/\beta_{\mathrm{old}}]$は $$\TextCenter \beta_{\mathrm{new}} = \beta_{\mathrm{old}} \cdot \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]$$ と書ける． [2] ベクトル$v \in V$の座標について，$[\beta_{\mathrm{new}}/\beta_{\mathrm{old}}] \circ L_{\beta_{\mathrm{new}}}^{-1} = L_{\beta_{\mathrm{old}}}^{-1}$より， $$\TextCenter \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]\cdot\left[\frac{v}{\beta_{\mathrm{new}}}\right] = \left[\frac{v}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]$$ が成り立つ． [3] 線型変換$f \colon V \to V$を$(\beta_{\mathrm{old}})_{i} \mapsto (\beta_{\mathrm{new}})_{i}$で定めると，$f \circ L_{\beta_{\mathrm{old}}} = L_{\beta_{\mathrm{new}}}$より， $$\TextCenter \left[f\colon\frac{\beta_{\mathrm{old}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right] = L_{\beta_{\mathrm{old}}}^{-1} \circ f \circ L_{\beta_{\mathrm{old}}} = L_{\beta_{\mathrm{old}}}^{-1} \circ L_{\beta_{\mathrm{new}}} = \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]$$ が成り立つ． [4] $\id_{V}^{\transpose} = \id_{V^{*}}$であるから， $$\TextCenter \left[\frac{\beta_{\mathrm{old}}^{*}}{\beta_{\mathrm{new}}^{*}}\right] = \left[\id_{V}^{\transpose}\colon\frac{\beta_{\mathrm{old}}^{*}}{\beta_{\mathrm{new}}^{*}}\right] = \left[\id_{V}\colon\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]^{\transpose} = \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]^{\transpose}$$ が成り立つ． (4) 表現行列と基底変換行列との間の関係は下図のようになる： $$\TextCenter \xymatrix{ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rrrrr]^{[f\colon\beta_{\mathrm{new}}/\beta'_{\mathrm{new}}]} \ar[dddd]_{[\beta_{\mathrm{new}}/\beta_{\mathrm{old}}]} \ar[ddrr]^{L_{\beta_{\mathrm{new}}}}_{\cong} && & &&{\mathbb{K}^{m}} \ar[dddd]^{[\beta'_{\mathrm{new}}/\beta'_{\mathrm{old}}]} \ar[ddll]_{L_{\beta'_{\mathrm{new}}}}^{\cong} \\ \\ &&{V} \ar[r]^{f} & {W} && \\ \\ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rrrrr]_{[f\colon\beta_{\mathrm{old}}/\beta'_{\mathrm{old}}]} \ar[uurr]_{L_{\beta_{\mathrm{old}}}}^{\cong} &&&&& {\mathbb{K}^{m}} \ar[uull]^{L_{\beta'_{\mathrm{old}}}}_{\cong} }$$ (5) 作用$\mathbb{K}^{m\times n} \times (\mathrm{GL}(\mathbb{K}^{m}) \times \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n})) \to \mathbb{K}^{m \times n}$が $$\TextCenter (A,(Q,P)) \mapsto Q^{-1}AP$$ により定まる． [1] この作用により$\mathbb{K}^{m \times n}$上の同値関係が定まる． [2] 線型写像$f \colon V \to W$の表現行列は互いに同値である： $$\TextCenter \left[f\colon\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta'_{\mathrm{new}}}\right] = \left[\frac{\beta'_{\mathrm{new}}}{\beta'_{\mathrm{old}}}\right]^{-1} \cdot \left[f\colon\frac{\beta_{\mathrm{old}}}{\beta'_{\mathrm{old}}}\right] \cdot \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right] \left(\,= \left[\frac{\beta'_{\mathrm{old}}}{\beta'_{\mathrm{new}}}\right] \cdot \left[f\colon\frac{\beta_{\mathrm{old}}}{\beta'_{\mathrm{old}}}\right] \cdot \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]\,\right)$$ [3] 逆に，$f$の表現行列$[f\colon\beta/\beta']$と同値な行列はまた$f$の表現行列である．実際，$(Q,P) \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{m}) \times \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n})$に対して，$V,W$の基底$\gamma,\gamma'$をそれぞれ $$\TextCenter \gamma_{j} := L_{\beta}P\epsilon_{j},\ \gamma'_{i} := L_{\beta'}Q\epsilon'_{i}$$ で定めると，以下の可換図式が得られる： $$\TextCenter \xymatrix{ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rrrrr]^{[f\colon\gamma/\gamma']} \ar[dddd]_{P} \ar[ddrr]^{L_{\gamma}}_{\cong} && & &&{\mathbb{K}^{m}} \ar[dddd]^{Q} \ar[ddll]_{L_{\gamma'}}^{\cong} \\ \\ &&{V} \ar[r]^{f} & {W} && \\ \\ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rrrrr]_{[f\colon\beta/\beta']} \ar[uurr]_{L_{\beta}}^{\cong} &&&&& {\mathbb{K}^{m}} \ar[uull]^{L_{\beta'}}_{\cong} }$$ [4] ところで，$\rank f = r$とすると，次元定理より$V,W$の基底$\gamma,\gamma'$であって $$\TextCenter \left[f\colon\frac{\gamma}{\gamma'}\right] = E_{r}\oplus O_{m-r,n-r}$$ となるものが存在する．とくに，$f = f_{A} \colon \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{m}$のとき，$\gamma,\gamma'$から定まる可逆行列を$P,Q$とすると， $$\TextCenter Q^{-1}AP = \left[\frac{\gamma'}{\epsilon'}\right]^{-1} \cdot \left[f_{A}\colon\frac{\epsilon}{\epsilon'}\right]\cdot \left[\frac{\gamma}{\epsilon}\right] = \left[f_{A}\colon\frac{\gamma}{\gamma'}\right] = E_{r}\oplus O_{m-r,n-r}$$ が成り立つ． ## 線型変換の表現行列 (1) $\beta$を$V$の基底とする．線型変換$f \in \End(V)$の$(\beta,\beta)$に関する表現行列を，$f$の$\beta$に関する**表現行列**という． (2) 作用$\mathbb{K}^{n \times n} \times \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n}) \to \mathbb{K}^{n \times n}$が $$\TextCenter (A,P) \mapsto P^{-1}AP$$ により定まる． [1] この作用により$\mathbb{K}^{n \times n}$上の同値関係（**相似関係**）が定まる． [2] 線型変換$f \colon V \to V$の表現行列は互いに相似である： $$\TextCenter \left[f\colon\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{new}}}\right] = \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]^{-1} \cdot \left[f\colon\frac{\beta_{\mathrm{old}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right] \cdot \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right] $$ [3] 逆に，$f$の表現行列$[f\colon\beta/\beta]$と相似な行列はまた$f$の表現行列である．実際，$P \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n})$に対して，$V$の基底$\gamma$を $$\TextCenter \gamma_{j} := L_{\beta}P\epsilon_{j}$$ で定めると，以下の可換図式が得られる： $$\TextCenter \xymatrix{ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rrrrr]^{[f\colon\gamma/\gamma]} \ar[dddd]_{P} \ar[ddrr]^{L_{\gamma}}_{\cong} && & &&{\mathbb{K}^{n}} \ar[dddd]^{P} \ar[ddll]_{L_{\gamma}}^{\cong} \\ \\ &&{V} \ar[r]^{f} & {V} && \\ \\ {\mathbb{K}^{n}} \ar[rrrrr]_{[f\colon\beta/\beta]} \ar[uurr]_{L_{\beta}}^{\cong} &&&&& {\mathbb{K}^{n}} \ar[uull]^{L_{\beta}}_{\cong} }$$ [4] 線型変換にとっての“よい基底”を見つけることは，行列の相似関係の下での“標準形”を見つけることに他ならない． ## 双線型形式の表現行列 (1) $\beta,\beta'$を$V,W$の基底とする．双線型形式$\omega \colon V \times W \to \mathbb{K}$に対して，行列$[\omega(\beta,\beta')] := [\omega(\beta_{i},\beta'_{j})]_{(i,j)} \in \mathbb{K}^{n \times m}$を，$\omega$の$(\beta,\beta')$に関する**表現行列**という． (2) 作用$\mathbb{K}^{n \times m} \times (\mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n}) \times \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{m})) \to \mathbb{K}^{n \times m}$が $$\TextCenter (A,(P,Q)) \mapsto P^{\transpose}AQ$$ により定まる． [1] この作用により$\mathbb{K}^{n \times m}$上の同値関係が定まる． [2] 双線型形式$\omega \colon V \times W \to \mathbb{K}$の表現行列は互いに同値である．実際，$P:= [\gamma/\beta],\, Q:= [\gamma'/\beta']$とおくと， \begin{align}\TextCenter \omega(\gamma_{i},\gamma'_{j}) &= \omega\left(\sum_{k=1}^{n} \beta_{k} \cdot P(k,i), \sum_{\ell=1}^{m} \beta'_{\ell} \cdot Q(\ell,j)\right) \\ &= \sum_{k,\ell} P(k,i) \cdot \omega(\beta_{k},\beta'_{\ell}) \cdot Q(\ell,j) \\ &= \sum_{k,\ell} P^{\transpose}(i,k)\cdot\omega(\beta_{k},\beta'_{\ell})\cdot Q(\ell,j) \\ \end{align} より， $$\TextCenter [\omega(\gamma,\gamma')] = \left[\frac{\gamma}{\beta}\right]^{\transpose} \cdot [\omega(\beta,\beta')] \cdot \left[\frac{\gamma'}{\beta'}\right]$$ が成り立つ． [3] 逆に，$\omega$の表現行列$A := [\omega(\beta,\beta')]$と同値な行列はまた$\omega$の表現行列である．実際，$(P,Q) \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n}) \times \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{m})$に対して，$V,W$の基底$\gamma,\gamma'$をそれぞれ $$\TextCenter \gamma_{i} := L_{\beta}P\epsilon_{i},\ \gamma'_{j} := L_{\beta'}Q\epsilon'_{j}$$ で定めると， $$\TextCenter [\omega(\gamma,\gamma')] = P^{\transpose}AQ$$ が成り立つ． (4) $\beta$を$V$の基底とする．双線型形式$\omega \colon V \times V \to \mathbb{K}$の$(\beta,\beta)$に関する表現行列を，$\omega$の$\beta$に関する**表現行列**という． (5) 作用$\mathbb{K}^{n \times n} \times \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n}) \to \mathbb{K}^{n \times n}$が $$\TextCenter (A,P) \mapsto P^{\transpose}AP$$ により定まる． [1] この作用により$\mathbb{K}^{n \times n}$上の同値関係（**合同関係**）が定まる． [2] 双線型形式$\omega \colon V \times V \to \mathbb{K}$の表現行列は互いに合同である： $$\TextCenter [\omega(\beta_{\mathrm{new}},\beta_{\mathrm{new}})] = \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]^{\transpose} \cdot [\omega(\beta_{\mathrm{old}},\beta_{\mathrm{old}})] \cdot \left[\frac{\beta_{\mathrm{new}}}{\beta_{\mathrm{old}}}\right]$$ [3] 逆に，$\omega$の表現行列$A := [\omega(\beta,\beta)]$と合同な行列はまた$\omega$の表現行列である．実際，$P \in \mathrm{GL}(\mathbb{K}^{n})$に対して，$V$の基底$\gamma$を $$\TextCenter \gamma_{i} := L_{\beta}P\epsilon_{i}$$ で定めると， $$\TextCenter [\omega(\gamma,\gamma)] = P^{\transpose}AP$$ が成り立つ． [4] 双線型形式にとっての“よい基底”を見つけることは，行列の合同関係の下での“標準形”を見つけることに他ならない． # 更新履歴 - 2024/12/09：「補遺：表現行列について」に加筆しました．

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