トレースとディターミナント

交代形式
線型変換のトレース
附：テンソル積を介したトレースの特徴づけ
線型変換のディターミナント
正方行列のトレースとディターミナント
正方行列のトレース
正方行列のディターミナント
ディターミナントランク
交代行列のパフィアン
定義と例
パフィアンとディターミナント
補遺：双対空間について
双対空間
零化空間
転置写像とそのランク
補遺：表現行列について
矩形行列
線型写像の表現行列
線型変換の表現行列
双線型形式の表現行列
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参考文献

文献あり

トレースとディターミナント

172

交代形式

$K$ 線型空間 $V$ 上の $n$ 重線型形式 $ω : V^{n} \to K$ について
$ω (\dots, v, \dots, v, \dots) = 0$
が成り立つとき， $ω$ を $V$ 上の $n$ 次交代形式という． $V$ 上の $n$ 次交代形式全体のなす $K$ 線型空間を ${Alt}_{n} (V)$ で表わす．

$n$ 重線型形式全体のなす集合への $n$ 次対称群 $S_{n}$ による作用を
$(σ ⋆ ω) (v_{1}, \dots, v_{n}) := ω (v_{σ (1)}, \dots, v_{σ (n)})$
で定める（cf. action例10，例11）．この作用による不動点を $n$ 次対称形式という．

$ω \in {Alt}_{n} (V)$ とする．このとき，任意の置換 $σ \in S_{n}$ に対して
$σ ⋆ ω = sgn (σ) \cdot ω$
が成り立つ．

互換 $τ_{i j} \in S_{n}, i < j,$ に対して
$τ_{i j} ⋆ ω = - ω$
が成り立つことを示せばよい．そこで $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ とすると， $ω$ の交代性より，
$\begin{aligned} 0 & = ω (\dots, v_{i} + v_{j}, \dots, v_{i} + v_{j}, \dots) \\ = ω (\dots, v_{i}, \dots, v_{i}, \dots) + ω (\dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots) + ω (\dots, v_{j}, \dots, v_{i}, \dots) + ω (\dots, v_{j}, \dots, v_{j}, \dots) \\ = ω (\dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots) + ω (\dots, v_{j}, \dots, v_{i}, \dots) \\ = ω (v_{1}, \dots, v_{n}) + (τ_{i j} ⋆ ω) (v_{1}, \dots, v_{n}) \end{aligned}$
が成り立つ．

$\dim V = n$ ならば， $\dim {Alt}_{n} (V) = 1$ である．

$\dim {Alt}_{n} (V) \geq 1$

$V$ の基底 $β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ を取り， $n$ 重線型形式 $ω_{β} : V^{n} \to K$ を
$ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{n}) := \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩$
で定める．（ $ω_{β}$ は， $n$ 個の線型形式 $β_{1}^{*}, \dots, β_{n}^{*}$ の“楔積” $β_{1}^{*} \land \dots \land β_{n}^{*}$ に他ならない．）

$v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ とし， $v_{i} = v_{j}, i < j,$ とする．このとき
$⟨ β_{1}^{*}, v_{τ_{i j} (σ (1))} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{τ_{i j} (σ (n))} ⟩ = ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩$
となるので，
$\begin{aligned} ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{n}) & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ \\ = \sum_{σ \in A_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ + sgn (τ_{i j} \circ σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{τ_{i j} (σ (1))} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{τ_{i j} (σ (n))} ⟩ \\ = \sum_{σ \in A_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ - sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ \\ = 0 \end{aligned}$
が成り立つ．よって $ω_{β} \in {Alt}_{n} (V)$ である．
定義より
$ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) = ⟨ β_{1}^{*}, β_{1} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, β_{n} ⟩ = 1$
が成り立つ．したがって $ω_{β} \neq 0$ である．

$\dim {Alt}_{n} (V) \leq 1$

$ω \in {Alt}_{n} (V)$ とする．このとき $ω$ の交代性より
$\begin{aligned} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) & = ω (\sum_{i_{1} = 1}^{n} β_{i_{1}} \cdot ⟨ β_{i_{1}}^{*}, v_{1} ⟩, \dots, \sum_{i_{n} = 1}^{n} β_{i_{n}} \cdot ⟨ β_{i_{n}}^{*}, v_{n} ⟩) \\ = \sum_{i_{1}, \dots, i_{n}} ω (β_{i_{1}}, \dots, β_{i_{n}}) \cdot ⟨ β_{i_{1}}^{*}, v_{1} ⟩ \dots ⟨ β_{i_{n}}^{*}, v_{n} ⟩ \\ = \sum_{σ \in S_{n}} ω (β_{σ^{- 1} (1)}, \dots, β_{σ^{- 1} (n)}) \cdot ⟨ β_{σ^{- 1} (1)}^{*}, v_{1} ⟩ \dots ⟨ β_{σ^{- 1} (n)}^{*}, v_{n} ⟩ \\ = \sum_{σ \in S_{n}} (σ^{- 1} ⋆ ω) (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ^{- 1}) \cdot ω (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ \\ = ω (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ \\ = ω (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{n}) \end{aligned}$
となるので，
$ω = ω (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot ω_{β}$
が成り立つ．

$n$ 次元線型空間 $V$ の任意の基底 $β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ に対して， $n$ 次交代形式 $ω_{β}$ は
$ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) = 1$
を満たす ${Alt}_{n} (V)$ の基底であり，任意の $ω \in {Alt}_{n} (V)$ に対して
$ω = ω (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot ω_{β}$
が成り立つ．

$β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ を $V$ の基底とし， $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ とする．

$β^{'} := (v_{1}, \dots, v_{n})$ が線型独立である（したがって基底である）ならば，base-of-altより，
$1 = ω_{β^{'}} (v_{1}, \dots, v_{n}) = ω_{β^{'}} (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{n})$
が成り立つので，
$ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{n}) \neq 0$
を得る．
逆に $(v_{1}, \dots, v_{n})$ が線型従属であるとき， $i \in [n]_{> 0}$ と $a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ であって
$v_{i} = v_{1} a_{1} + \dots + v_{i - 1} a_{i - 1} + v_{i + 1} a_{i + 1} + \dots + v_{n} a_{n}$
を満たすものが存在するので， $ω_{β}$ の交代性より，
$ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{n}) = \sum_{j \neq i} ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{j}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}) \cdot a_{j} = 0$
が成り立つ．

$\dim V = 1$ のとき，線型写像
$K \to End (V) := Hom (V, V); a \mapsto [v \mapsto a v]$
は全単射である．

$f \in End (V)$ とし，基底 $β \in V$ を取る．このとき $f β \in V$ に対して $a_{f} \in K$ であって
$f β = a_{f} β$
なるものがただ一つ存在し，任意の $v := β a \in V$ に対して
$f v = f (β a) = (f β) a = (a_{f} β) a = a_{f} (β a) = a_{f} v$
が成り立つ．よって
$f \mapsto a_{f}$
が逆写像を与える．

線型変換のトレース

$f \in End (V)$ とする．このとき，任意の $n$ 重線型形式 $ω : V^{n} \to K$ に対して，写像 $V^{n} \to K$ を
$(v_{1}, \dots, v_{n}) \mapsto \sum_{i = 1}^{n} ω (v_{1}, \dots, v_{i - 1}, f v_{i}, v_{i + 1}, \dots, v_{n})$
で定めると，これは $n$ 重線型形式である．この対応は線型写像
$D_{f} : {Alt}_{n} (V) \to {Alt}_{n} (V)$
を定める：
$D_{f} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) := \sum_{i = 1}^{n} ω (v_{1}, \dots, v_{i - 1}, f v_{i}, v_{i + 1}, \dots, v_{n})$

$ω \in {Alt}_{n} (V)$ とし， $v_{i} = v_{j} =: v, i < j,$ とする．このとき， $ω$ の交代性とskew-symより，
$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} ω (v_{1}, \dots, v_{k - 1}, f v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}) & = ω (\dots, f v, \dots, v, \dots) + ω (\dots, v, \dots, f v, \dots) \\ = ω (\dots, f v, \dots, v, \dots) - ω (\dots, f v, \dots, v, \dots) \\ = 0 \end{aligned}$
が成り立つ．したがって，写像
$D_{f} : {Alt}_{n} (V) \to {Alt}_{n} (V); ω \mapsto D_{f} ω$
が定まる． $D_{f}$ の線型性は明らか．

$V$ を $n$ 次元 $K$ 線型空間とし， $f \in End (V)$ とする．このとき1-dim，proportionalより， $tr f \in K$ であって
$\forall ω \in {Alt}_{n} (V), D_{f} ω = (tr f) \cdot ω$
を満たすものがただ一つ存在する．これを $f$ のトレースという．

$\sum_{i = 1}^{n} ω (v_{1}, \dots, v_{i - 1}, f v_{i}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}) = (tr f) \cdot ω (v_{1}, \dots, v_{n})$

以下， $V$ を $n$ 次元 $K$ 線型空間とする．また， $β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ を $V$ の基底とし， $β^{*} = (β_{1}^{*}, \dots, β_{n}^{*})$ をその双対基底とする．

写像
$tr : End (V) \to K; f \mapsto tr f$
は線型写像である．

$f, g \in End (V)$ とする．このとき，任意の $ω \in {Alt}_{n} (V)$ に対して
$\begin{aligned} D_{f + g} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) & = \sum_{i = 1}^{n} ω (\dots, (f + g) v_{i}, \dots) \\ = \sum_{i = 1}^{n} ω (\dots, f v_{i}, \dots) + ω (\dots, g v_{i}, \dots) \\ = D_{f} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) + D_{g} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) \\ = (tr f + tr g) \cdot ω (v_{1}, \dots, v_{n}) \end{aligned}$
が成り立つので，
$tr (f + g) = tr f + tr g$
を得る．同様に，任意の $(a, f) \in K \times End (V)$ に対して
$tr (a f) = a \cdot (tr f)$
が成り立つ．

任意の $f \in End (V)$ に対して
$tr f = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, f β_{i} ⟩$
が成り立つ．

base-of-altより $ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) = 1$ であるから，
$\begin{aligned} tr f & = (tr f) \cdot ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) \\ = D_{f} ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{i - 1}, f β_{i}, β_{i + 1}, \dots, β_{n}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, β_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{i - 1}^{*}, β_{σ (i - 1)} ⟩ \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{σ (i)} ⟩ \cdot ⟨ β_{i + 1}^{*}, β_{σ (i + 1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, β_{σ (n)} ⟩ \\ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, f β_{i} ⟩ \end{aligned}$
が成り立つ．

任意の $f, g \in End (V)$ に対して
$tr (f \circ g) = tr (g \circ f)$
が成り立つ．

任意の $i, j \in [n]_{> 0}$ に対して
$\begin{aligned} ⟨ β_{i}^{*}, f (g β_{j}) ⟩ & = ⟨ β_{i}^{*}, f (\sum_{k = 1}^{n} β_{k} \cdot ⟨ β_{k}^{*}, g β_{j} ⟩) ⟩ \\ = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, f β_{k} ⟩ \cdot ⟨ β_{k}^{*}, g β_{j} ⟩ \end{aligned}$
が成り立つ．よって，rep-mat-trより，
$\begin{aligned} tr (f \circ g) & = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, f (g β_{i}) ⟩ \\ = \sum_{i, k} ⟨ β_{i}^{*}, f β_{k} ⟩ \cdot ⟨ β_{k}^{*}, g β_{i} ⟩ \\ = \sum_{k, i} ⟨ β_{k}^{*}, g β_{i} ⟩ \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{k} ⟩ \\ = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ β_{k}^{*}, g (f β_{k}) ⟩ \\ = tr (g \circ f) \end{aligned}$
が成り立つ．

基底を取らない証明についてはこちらを参照せられたい．

可逆な線型変換全体のなす集合を $GL (V)$ とおく：
$GL (V) := {g \in End (V) ∣ \exists g^{'} \in End (V), g \circ g^{'} = {id}_{V} = g^{'} \circ g} .$
$GL (V)$ は写像の合成を積として群をなす．また，作用
$End (V) \times GL (V) \to End (V); (f, g) \mapsto g^{- 1} \circ f \circ g$
が定まる．

任意の $(f, g) \in End (V) \times GL (V)$ に対して
$tr f = tr (g^{- 1} \circ f \circ g)$
が成り立つ．

線型変換 $β_{i j} \in End (V)$ を
$β_{i j} v := β_{i} \cdot ⟨ β_{j}^{*}, v ⟩$
で定めると， $(β_{i j})_{i, j}$ は $End (V)$ の基底である．したがって $\dim End (V) = n^{2}$ が成り立つ．

$f \in End (V)$ とする．このとき，任意の $v \in V$ に対して
$\begin{aligned} f v & = f (\sum_{j = 1}^{n} β_{j} \cdot ⟨ β_{j}^{*}, v ⟩) \\ = \sum_{j = 1}^{n} f β_{j} \cdot ⟨ β_{j}^{*}, v ⟩ \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} β_{i} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩) \cdot ⟨ β_{j}^{*}, v ⟩ \\ = \sum_{i, j} (β_{i} \cdot ⟨ β_{j}^{*}, v ⟩) \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩ \\ = \sum_{i, j} β_{i j} v \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩ \end{aligned}$
が成り立つので，
$f = \sum_{i, j} β_{i j} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩$
を得る．
$f := \sum_{i, j} β_{i j} a_{i j} = 0$ とする．このとき，各 $k \in [n]_{> 0}$ に対して，
$β_{i j} β_{k} = β_{i} \cdot ⟨ β_{j}^{*}, β_{k} ⟩ = β_{i} δ_{j k}$
より
$0 = f β_{k} = \sum_{i, j} β_{i} δ_{j k} a_{i j} = \sum_{i = 1}^{n} β_{i} a_{i k}$
が成り立つので，
$a_{1 k} = \dots = a_{n k} = 0$
を得る．

線型写像
$\hat{tr} : End (V) \to End (V)^{*}; f \mapsto [g \mapsto tr (f \circ g)]$
は全単射である．

線型写像 $Ψ : End (V)^{*} \to End (V)$ を
$Ψ f^{*} := \sum_{i, j} β_{i j} \cdot ⟨ f^{*}, β_{j i} ⟩$
で定める．

$f \in End (V)$ とする．このとき，
$\begin{aligned} ⟨ \hat{tr} f, β_{j i} ⟩ & = tr (f \circ β_{j i}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ β_{k}^{*}, f β_{j i} β_{k} ⟩ \\ = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ β_{k}^{*}, f β_{j} δ_{i k} ⟩ \\ = ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩ \end{aligned}$
より，
$(Ψ \circ \hat{tr}) (f) = \sum_{i, j} β_{i j} \cdot ⟨ \hat{tr} f, β_{j i} ⟩ = \sum_{i, j} β_{i j} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩ = f$
が成り立つ．
$f^{*} \in End (V)^{*}$ とする．このとき，
$(Ψ f^{*}) β_{k} = \sum_{i, j} β_{i j} β_{k} \cdot ⟨ f^{*}, β_{j i} ⟩ = \sum_{i, j} β_{i} δ_{j k} \cdot ⟨ f^{*}, β_{j i} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} β_{i} \cdot ⟨ f^{*}, β_{k i} ⟩$
より，
$\begin{aligned} ⟨ \hat{tr} (Ψ f^{*}), β_{k ℓ} ⟩ & = tr ((Ψ f^{*}) \circ β_{k ℓ}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, (Ψ f^{*}) β_{k ℓ} β_{i} ⟩ \\ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, (Ψ f^{*}) β_{k} δ_{ℓ i} ⟩ \\ = ⟨ β_{ℓ}^{*}, (Ψ f^{*}) β_{k} ⟩ \\ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{ℓ}^{*}, β_{i} ⟩ \cdot ⟨ f^{*}, β_{k i} ⟩ \\ = ⟨ f^{*}, β_{k ℓ} ⟩ \end{aligned}$
が成り立つので，
$(\hat{tr} \circ Ψ) (f^{*}) = f^{*}$
を得る．

写像
$End (V) \times End (V) \to K; (f, g) \mapsto tr (f \circ g)$
は非退化対称双線型形式である（cf. nondeg）．

線型写像
$τ : K \to {f^{*} \in End (V)^{*} ∣ \forall f, g \in End (V), ⟨ f^{*}, f \circ g ⟩ = ⟨ f^{*}, g \circ f ⟩}; a \mapsto a \cdot tr$
は全単射である．

$f^{*} \in codom (τ) \subset End (V)^{*}$ とし， $f := {\hat{tr}}^{- 1} (f^{*})$ とおく：
$⟨ f^{*}, g ⟩ = ⟨ \hat{tr} f, g ⟩ = tr (f \circ g)$
定義より $τ (a) = \hat{tr} (a \cdot {id}_{V})$ であり，
$a \cdot (tr β_{11}) = a \cdot \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, β_{11} β_{i} ⟩ = a \cdot \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, β_{1} δ_{1 i} ⟩ = a$
であるから，あとは $f = tr (f \circ β_{11}) \cdot {id}_{V}$ であることを示せばよい．

任意の $v \in V$ に対して
$β_{j k} β_{ℓ i} v = β_{j k} (β_{ℓ} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, v ⟩) = β_{j k} β_{ℓ} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, v ⟩ = β_{j} δ_{k ℓ} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, v ⟩ = β_{j i} δ_{k ℓ} v$
が成り立つ．
仮定より，
$\begin{aligned} tr (f \circ β_{j i}) \cdot δ_{k ℓ} & = tr (f \circ (β_{j i} δ_{k ℓ})) \\ = tr (f \circ (β_{j k} β_{ℓ i})) \\ = ⟨ f^{*}, β_{j k} \circ β_{ℓ i} ⟩ \\ = ⟨ f^{*}, β_{ℓ i} \circ β_{j k} ⟩ \\ = tr (f \circ (β_{ℓ i} β_{j k})) \\ = tr (f \circ β_{ℓ k}) \cdot δ_{i j} \end{aligned}$
が成り立つので，
$tr (f \circ β_{j i}) = tr (f \circ β_{j i}) \cdot δ_{11} = tr (f \circ β_{11}) \cdot δ_{i j}$
を得る．
tr-nondegの証明中で見たように
$tr (f \circ β_{j i}) = ⟨ \hat{tr} f, β_{j i} ⟩ = ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩$
であるから，
$\begin{aligned} f & = \sum_{i, j} β_{i j} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, f β_{j} ⟩ \\ = \sum_{i, j} β_{i j} \cdot tr (f \circ β_{j i}) \\ = \sum_{i, j} β_{i j} \cdot tr (f \circ β_{11}) \cdot δ_{i j} \\ = \sum_{i = 1}^{n} β_{i i} \cdot tr (f \circ β_{11}) \\ = tr (f \circ β_{11}) \cdot {id}_{V} \end{aligned}$
が成り立つ．

任意の $f \in End (V)$ に対して， $f$ のトレースはその転置写像のトレースに等しい：
$tr f = tr f^{T}$

double-dualより， $β^{*}$ の双対基底 $(β_{1}^{* *}, \dots, β_{n}^{* *})$ は線型同型写像
$V \to V^{* *}; v \mapsto [v^{*} \mapsto ⟨ v^{*}, v ⟩]$
による $β$ の像なので，
$⟨ β_{i}^{* *}, f^{T} β_{j}^{*} ⟩ = ⟨ f^{T} β_{j}^{*}, β_{i} ⟩ = ⟨ β_{j}^{*}, f β_{i} ⟩$
が成り立つ．よって，rep-mat-trより，
$tr f = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, f β_{i} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{* *}, f^{T} β_{i}^{*} ⟩ = tr f^{T}$
が成り立つ．

附：テンソル積を介したトレースの特徴づけ

$V, W$ を線型空間とする．このとき，写像
$W \times V^{*} \to Hom (V, W); (w, v^{*}) \mapsto [v \mapsto w \cdot ⟨ v^{*}, v ⟩]$
は双線型写像なので，線型写像
$Θ : W \otimes V^{*} \to Hom (V, W)$
であって
$Θ (w \otimes v^{*}) (v) = w \cdot ⟨ v^{*}, v ⟩$
を満たすものがただ一つ存在する：
$W \times V^{*} W \otimes V^{*} Θ Hom (V, W)$

$V$ が有限次元ならば， $Θ$ は全単射である．

$V$ の基底 $(β_{1}, \dots, β_{n})$ を取り，その双対基底を $(β_{1}^{*}, \dots, β_{n}^{*})$ とおく．このとき，線型写像
$Φ : Hom (V, W) \to W \otimes V^{*}$
を
$Φ (f) := \sum_{i = 1}^{n} f β_{i} \otimes β_{i}^{*}$
で定めると，
$Φ (Θ (w \otimes β_{j}^{*})) = \sum_{i = 1}^{n} (w \cdot ⟨ β_{j}^{*}, β_{i} ⟩) \otimes β_{i}^{*} = w \otimes β_{j}^{*},$
および
$Θ (Φ f) (β_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} f β_{i} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, β_{j} ⟩ = f β_{j}$
が成り立つ． $W \otimes V^{*}, V$ はそれぞれ
${w \otimes β_{j}^{*} ∣ w \in W, j \in [n]_{> 0}}, {β_{1}, \dots, β_{n}}$
で生成されるので，
$Φ \circ Θ = {id}_{W \otimes V^{*}}, Θ \circ Φ = {id}_{Hom (V, W)}$
が成り立つ．

写像
$V \times V^{*} \to K; (v, v^{*}) \mapsto ⟨ v^{*}, v ⟩$
は双線型写像なので，線型写像
$ev : V \otimes V^{*} \to K$
であって
$ev (v \otimes v^{*}) = ⟨ v^{*}, v ⟩$
を満たすものがただ一つ存在する：
$V \times V^{*} V \otimes V^{*} ev K$

$V$ を $n$ 次元 $K$ 線型空間とする．このとき
$tr = ev \circ Θ^{- 1} : End (V) \to V \otimes V^{*} \to K$
が成り立つ．

$V$ の基底 $(β_{1}, \dots, β_{n})$ を取り，その双対基底を $(β_{1}^{*}, \dots, β_{n}^{*})$ とおく．invより
$Θ^{- 1} (f) = \sum_{i = 1}^{n} f β_{i} \otimes β_{i}^{*}$
であるから，rep-mat-trより，
$ev (Θ^{- 1} (f)) = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, f β_{i} ⟩ = tr f$
が成り立つ．

線型変換のディターミナント

$f \in Hom (V, W)$ とする．このとき，任意の $n$ 重線型形式 $ω : W^{n} \to K$ に対して，写像 $V^{n} \to K$ を
$(v_{1}, \dots, v_{n}) \mapsto ω (f v_{1}, \dots, f v_{n})$
で定めると，これは $n$ 重線型形式である．この対応は線型写像
$f^{\land} : {Alt}_{n} (W) \to {Alt}_{n} (V)$
を定める：
$f^{\land} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) := ω (f v_{1}, \dots, f v_{n})$

$V$ を $n$ 次元 $K$ 線型空間とし， $f \in End (V)$ とする．このとき1-dim，proportionalより， $\det f \in K$ であって
$\forall ω \in {Alt}_{n} (V), f^{\land} ω = (\det f) \cdot ω$
を満たすものがただ一つ存在する．これを $f$ のディターミナントという．

$ω (f v_{1}, \dots, f v_{n}) = (\det f) \cdot ω (v_{1}, \dots, v_{n})$

以下， $V$ を $n$ 次元 $K$ 線型空間とする．

明らかに
$\det ({id}_{V}) = 1, \det ({const}_{0}) = 0$
が成り立つ．一般に， $a \in K$ に対して $f_{a} \in End (V)$ を
$f_{a} v := a v$
で定めると，
$f_{a}^{\land} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) = ω (a v_{1}, \dots, a v_{n}) = a^{n} \cdot ω (v_{1}, \dots, v_{n})$
より，
$\det f_{a} = a^{n}$
が成り立つ．

任意の $f, g \in End (V)$ に対して
$\det (f \circ g) = (\det f) \cdot (\det g)$
が成り立つ．したがって
$\det (f \circ g) = \det (g \circ f)$
が成り立つ．

任意の $ω \in {Alt}_{n} (V)$ に対して
$\begin{aligned} (f \circ g)^{\land} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) & = ω (f (g v_{1}), \dots, f (g v_{n})) \\ = f^{\land} ω (g v_{1}, \dots, g v_{n}) \\ = (\det f) \cdot ω (g v_{1}, \dots, g v_{n}) \\ = (\det f) \cdot g^{\land} ω (v_{1}, \dots, v_{n}) \\ = (\det f) \cdot (\det g) \cdot ω (v_{1}, \dots, v_{n}) \end{aligned}$
が成り立つ．よって
$\det (f \circ g) = (\det f) \cdot (\det g)$
を得る．

$f \in End (V)$ とする．このとき次は同値である：

$f \in GL (V)$ ;
$\det f \neq 0$ .

(i) $⟹$ (ii)

仮定より， $g \in End (V)$ であって $f \circ g = {id}_{V}$ なるものが存在する．よって
$(\det f) \cdot (\det g) = \det (f \circ g) = \det ({id}_{V}) = 1 \neq 0$
となるので， $\det f \neq 0$ を得る．

(ii) $⟹$ (i)

$β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ を $V$ の基底とする．このとき
$ω_{β} (f β_{1}, \dots, f β_{n}) = f^{\land} ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) = (\det f) \cdot ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) = \det f \neq 0$
となるので，lin-indepより $(f β_{1}, \dots, f β_{n})$ は線型独立である．よって $rank f = n$ であるから， $f \in GL (V)$ となる．

任意の $f \in End (V)$ に対して， $ω_{β}$ の定義より，
$\det f = ω_{β} (f β_{1}, \dots, f β_{n}) = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, f β_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, f β_{σ (n)} ⟩$
が成り立つ．また，
$⟨ β_{i}^{* *}, f^{T} β_{j}^{*} ⟩ = ⟨ β_{j}^{*}, f β_{i} ⟩$
であったから（cf. transpose-tr），
$\begin{aligned} \det f^{T} & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ^{- 1}) \cdot ⟨ β_{1}^{* *}, f^{T} β_{σ^{- 1} (1)}^{*} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{* *}, f^{T} β_{σ^{- 1} (n)}^{*} ⟩ \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{σ^{- 1} (1)}^{*}, f β_{1} ⟩ \dots ⟨ β_{σ^{- 1} (n)}^{*}, f β_{n} ⟩ \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, f β_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, f β_{σ (n)} ⟩ \\ = \det f \end{aligned}$
が成り立つ．

$f \in End (V)$ とする． $λ \in K$ について
$V (λ) := Ker (f - λ \cdot {id}_{V}) \neq {0} (⟺ \det (f - λ \cdot {id}_{V}) = 0)$
が成り立つとき， $λ$ を $f$ の固有値といい，各 $v \in V (λ) ∖ {0}$ を固有値 $λ$ に属する $f$ の固有ベクトルという．

任意の $λ, μ \in K$ に対して
$λ \neq μ ⟹ V (λ) \cap V (μ) = {0}$
が成り立つので， $f$ の相異なる固有値は高々 $n$ 個である．
$V$ が $f$ の固有ベクトル $β_{i} \in V (λ_{i}) ∖ {0}$ からなる基底 $β := (β_{1}, \dots, β_{n})$ を持つとすると， $ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) = 1$ より，
$\begin{aligned} tr f & = D_{f} ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{i - 1}, f β_{i}, β_{i + 1}, \dots, β_{n}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{i - 1}, λ_{i} β_{i}, β_{i + 1}, \dots, β_{n}) \\ = λ_{1} + \dots + λ_{n} \\ \det f & = f^{\land} ω_{β} (β_{1}, \dots, β_{n}) \\ = ω_{β} (f β_{1}, \dots, f β_{n}) \\ = ω_{β} (λ_{1} β_{1}, \dots, λ_{n} β_{n}) \\ = λ_{1} \dots λ_{n} \end{aligned}$
が成り立つ．

正方行列のトレースとディターミナント

正方行列のトレース

$n$ 次正方行列 $A \in K^{n \times n}$ に対して，
$tr A := \sum_{i = 1}^{n} A (i, i) (= tr A^{T})$
を $A$ のトレースという．

$f \in End (V)$ とし $β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ を $V$ の基底とする．このときrep-mat-trより
$tr f = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ β_{i}^{*}, f β_{i} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} [f : β / β] (i, i) = tr [f : β / β]$
が成り立つ．したがって，線型変換のトレースはその表現行列のトレースに等しい．とくに， $n$ 次正方行列 $A \in K^{n \times n}$ に対して
$tr A = tr [f_{A} : ϵ / ϵ] = tr f_{A}$
が成り立つ．

任意の $n$ 次正方行列 $A, B \in K^{n \times n}$ に対して，commより，
$tr (A B) = tr f_{A B} = tr (f_{A} \circ f_{B}) = tr (f_{B} \circ f_{A}) = tr f_{B A} = tr (B A)$
が成り立つ．よって，任意の $(A, B) \in K^{n \times n} \times GL (K^{n})$ に対して
$tr A = tr (B^{- 1} A B)$
が成り立つ．

線型写像
$\hat{tr} : K^{n \times n} \to Hom (K^{n \times n}, K); A \mapsto [X \mapsto tr (A X)]$
は全単射である．

（同じことの繰り返しになるけれど）

$E_{j i} := ϵ_{j i} \in K^{n \times n}$ を行列単位という：
$E_{j i} (k, ℓ) = ⟨ ϵ_{k}^{*}, E_{j i} ϵ_{ℓ} ⟩ = ⟨ ϵ_{k}^{*}, ϵ_{j} δ_{i ℓ} ⟩ = δ_{j k} δ_{i ℓ} .$

線型写像 $Ψ : Hom (K^{n \times n}, K) \to K^{n \times n}$ を
$(Ψ f) (i, j) := f E_{j i}$
で定める．

$A \in K^{n \times n}$ とする．このとき，
$tr (A E_{j i}) = \sum_{ℓ = 1}^{n} (A E_{j i}) (ℓ, ℓ) = \sum_{ℓ = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} A (ℓ, k) δ_{j k} δ_{i ℓ} = A (i, j)$
より，
$Ψ (\hat{tr} A) = A$
が成り立つ．
$f \in Hom (K^{n \times n}, K)$ とする．このとき，
$\hat{tr} (Ψ f) (E_{k ℓ}) = tr ((Ψ f) E_{k ℓ}) = (Ψ f) (ℓ, k) = f E_{k ℓ}$
より，
$\hat{tr} (Ψ f) = f$
が成り立つ．

線型写像
$τ : K \to {f \in Hom (K^{n \times n}, K) ∣ \forall X, Y \in K^{n \times n}, f (X Y) = f (Y X)}; a \mapsto a \cdot tr$
は全単射である．

$f \in codom (τ) \subset Hom (K^{n \times n}, K)$ とし， $A := {\hat{tr}}^{- 1} (f)$ とおく：
$f (X) = \hat{tr} (A) (X) = tr (A X)$
定義より $τ (a) = \hat{tr} (a E_{n})$ であるから，あとは $A = a_{11} E_{n}$ であることを示せばよい．

行列単位 $E_{j k}, E_{ℓ i}$ に対して
$E_{j k} E_{ℓ i} = E_{j i} δ_{k ℓ}$
が成り立つので，仮定より
$\begin{aligned} a_{i j} δ_{k ℓ} & = tr (A E_{j i} δ_{k ℓ}) \\ = tr (A E_{j k} E_{ℓ i}) \\ = f (E_{j k} E_{ℓ i}) \\ = f (E_{ℓ i} E_{j k}) \\ = tr (A E_{ℓ k} δ_{i j}) \\ = a_{k ℓ} δ_{i j} \end{aligned}$
が成り立つことがわかる．よって
$a_{i j} = a_{i j} δ_{11} = a_{11} δ_{i j}$
となるので， $A = a_{11} E_{n}$ が成り立つ．

Frobenius inner product

写像
$R^{n \times m} \times R^{n \times m} \to R; (A, B) \mapsto tr (A B^{T}) =: ⟨ A | B ⟩$
は正定値対称双線型形式，すなわち $R^{n \times m}$ 上の内積である．実際，

双線型性は明らか．
任意の $A, B \in R^{n \times m}$ に対して，
$⟨ B | A ⟩ = tr (B A^{T}) = tr {((B A^{T})}^{T}) = tr (A B^{T}) = ⟨ A | B ⟩$
が成り立つ．
一般に
$(A B^{T}) (i, j) = \sum_{k = 1}^{m} A (i, k) B^{T} (k, j) = \sum_{k = 1}^{m} A (i, k) B (j, k)$
であるから，任意の $A \in R^{n \times m}$ に対して
$⟨ A | A ⟩ = tr (A A^{T}) = \sum_{i, k} A (i, k) A (i, k) \geq 0$
が成り立つ．よって，
$A \neq 0 ⟺ ⟨ A | A ⟩ > 0$
が成り立つ．

とくに $m = 1$ のとき，
$R^{n} \times R^{n} \to R; (x, y) \mapsto ⟨ x | y ⟩ = tr (x y^{T}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$
となる．

同様にして，
$C^{n \times m} \times C^{n \times m} \to C; (A, B) \mapsto tr (A B^{*})$
が $C^{n \times m}$ 上のHermite内積であることがわかる．

正方行列のディターミナント

$n$ 次正方行列 $A = [a_{i j}]_{(i, j)} \in K^{n \times n}$ に対して，
$\det A := \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot a_{1, σ (1)} \dots a_{n, σ (n)}$
を $A$ のディターミナントという．

$2$ 次正方行列
$A := [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$
のディターミナントは
$\det A = a d - b c$
で与えられる．

$f \in End (V)$ とし $β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ を $V$ の基底とする．このときrep-mat-detより
$\begin{aligned} \det f & = ω_{β} (f β_{1}, \dots, f β_{n}) \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, f β_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, f β_{σ (n)} ⟩ \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot [f : β / β] (1, σ (1)) \dots [f : β / β] (n, σ (n)) \\ = \det [f : β / β] \end{aligned}$
が成り立つ．したがって，線型変換のディターミナントはその表現行列のディターミナントに等しい．とくに， $n$ 次正方行列 $A \in K^{n \times n}$ に対して
$\det A = \det [f_{A} : ϵ / ϵ] = \det f_{A}$
が成り立つ．たとえば：
$\det O_{n} = 0, \det E_{n} = 1.$

rep-mat-detより，
$\det A = \det f_{A} = \det f_{A}^{T} = \det A^{T}$
が成り立つ．
prod-detより，
$\det (A B) = \det f_{A B} = \det (f_{A} \circ f_{B}) = (\det f_{A}) \cdot (\det f_{B}) = (\det A) \cdot (\det B)$
が成り立つ．
nonsingより，
$A \in GL (K^{n}) ⟺ \det A \neq 0$
が成り立つ．したがって， $A \in GL (K^{n})$ のとき
$\det (A^{- 1}) = (\det A)^{- 1}$
となる．

$ω_{β}$ の定義より，
$ω_{β} (v_{1}, \dots, v_{n}) = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \cdot ⟨ β_{1}^{*}, v_{σ (1)} ⟩ \dots ⟨ β_{n}^{*}, v_{σ (n)} ⟩ = \det [⟨ β_{i}^{*}, v_{j} ⟩]_{(i, j)}$
が成り立つ．とくに， $β$ から $γ$ への基底変換行列 $[γ / β]$ について
$γ = β \cdot [\frac{γ}{β}] ⇝ ω_{β} (γ_{1}, \dots, γ_{n}) = \det [\frac{γ}{β}]$
となるので，base-of-altより，
$ω_{β} = \det [\frac{γ}{β}] \cdot ω_{γ}$
が成り立つ．ところで， $β^{*}$ から $γ^{*}$ への基底変換行列について $[γ^{*} / β^{*}] = [β / γ]^{T}$ が成り立つので，上の等式は
$γ_{1}^{*} \land \dots \land γ_{n}^{*} = \det [\frac{γ^{*}}{β^{*}}] \cdot β_{1}^{*} \land \dots \land β_{n}^{*}$
とも書ける．

定義より
$\det A = ω_{ϵ} (A ϵ_{1}, \dots, A ϵ_{n})$
であるから，lin-indepより，
$\det A \neq 0 ⟺ (A ϵ_{1}, \dots, A ϵ_{n}) : lin. indep.$
が成り立つ．また，同一視
$K^{n \times n} ≅ (K^{n})^{n}; A \mapsto (A ϵ_{1}, \dots, A ϵ_{n})$
により $\det = ω_{ϵ} \in {Alt}_{n} (K^{n})$ と見做すと，任意の $ω \in {Alt}_{n} (K^{n})$ に対して
$ω = ω (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{n}) \cdot \det$
が成り立つ（cf. base-of-alt）．

$n_{i}$ 次正方行列 $A_{n_{i}} \in K^{n_{i} \times n_{i}}$ を対角に並べた正方行列
$A_{n_{i}} \oplus \dots \oplus A_{n_{k}} := [\begin{matrix} A_{n_{1}} \\ ⋱ \\ A_{n_{k}} \end{matrix}]$
のディターミナントについて，
$\det (A_{n_{1}} \oplus \dots \oplus A_{n_{k}}) = (\det A_{n_{1}}) \dots (\det A_{n_{k}})$
が成り立つ．

$k = 2, n_{1} := n, n_{2} := m$ の場合に示せば十分である．

$n$ 重線型形式 $ω : (K^{n})^{n} = K^{n \times n} \to K$ を
$ω (A_{n} ϵ_{1}, \dots, A_{n} ϵ_{n}) := \det [\begin{matrix} A_{n} \\ E_{m} \end{matrix}]$
で定める．明らかに $ω \in {Alt}_{n} (K^{n})$ であるから，
$\det [\begin{matrix} A_{n} \\ E_{m} \end{matrix}] = \det [\begin{matrix} E_{n} \\ E_{m} \end{matrix}] \cdot \det A_{n} = \det A_{n}$
が成り立つ．
同様に，
$\det [\begin{matrix} E_{n} \\ A_{m} \end{matrix}] = \det [\begin{matrix} E_{n} \\ E_{m} \end{matrix}] \cdot \det A_{m} = \det A_{m}$
が成り立つ．
ところで
$A_{n} \oplus A_{m} = [\begin{matrix} A_{n} \\ A_{m} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{n} \\ E_{m} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} E_{n} \\ A_{m} \end{matrix}]$
が成り立つ．

以上より
$\det (A_{n} \oplus A_{m}) = (\det A_{n}) \cdot (\det A_{m})$
を得る．

ディターミナントランク

$A \in K^{n \times m}$ とし，単調増加写像 $[k]_{> 0} \to [n]_{> 0}, [r]_{> 0} \to [m]_{> 0}$ の像をそれぞれ $I \subset [n]_{> 0}, J \subset [m]_{> 0}$ とおく．合成写像
$[k]_{> 0} \times [r]_{> 0} \to [n]_{> 0} \times [m]_{> 0} \overset{A}{\to} K$
を $A$ の小行列といい $A_{I, J} \in K^{k \times r}$ で表わす．

$A \in K^{n \times m}$ とし， $r := rank A$ とおく．このとき $J := {j_{1}, \dots, j_{r}} \subset [m]_{> 0}$ であって
$(A ϵ_{j_{1}}, \dots, A ϵ_{j_{r}}) : lin. indep.$
なるものが存在する．したがって行列 $A^{'} := A_{[n]_{> 0}, J} \in K^{n \times r}$ について $rank A^{'} = r$ が成り立つので， $I \subset [n]_{> 0}, # I = r,$ であって
$rank A_{I, J} = rank A_{I, [r]_{> 0}}^{'} = r ⇝ \det A_{I, J} \neq 0$
なるものが存在する．

行列 $A \in K^{n \times m}$ に対して，
$\det rank A := max {k \in N ∣ \exists I, J, # I = # J = k, \det A_{I, J} \neq 0}$
を $A$ のディターミナントランクという．

任意の $A \in K^{n \times m}$ に対して
$rank A = \det rank A$
が成り立つ．

$rank A \leq \det rank A$ なることは既に見た．一方， $d := \det rank A$ とおくと， $I \subset [n]_{> 0}, J \subset [m]_{> 0}, # I = # J = d,$ であって $\det A_{I, J} \neq 0$ なるものが存在する．そこで $J = {j_{1}, \dots, j_{d}}$ とおくと， $rank A_{I, J} = d$ より，
$(A ϵ_{j_{1}}, \dots, A ϵ_{j_{d}}) : lin. indep.$
が成り立つので， $d \leq rank A$ を得る．

任意の行列 $A \in K^{n \times m}$ に対して
$rank A \leq r ⟺ \forall I = {i_{1}, \dots, i_{r + 1}}, \forall J = {j_{1}, \dots, j_{r + 1}}, \det A_{I, J} = 0$
が成り立つ．実際，det-rankより $⟹$ がしたがい，rankと同様にして $⟸$ （の対偶）が成り立つことがわかる．

ディターミナントの連続性と上例より
$R (r) := {A \in R^{n \times m} ∣ rank A \leq r} = ⋂ {(\det \circ {pr}_{I, J})^{\leftarrow} ({0}) ∣ I \subset [n]_{> 0}, J \subset [m]_{> 0}, # I = # J = r + 1} \subset R^{n \times m}$
は閉集合であり，したがって
${A \in R^{n \times m} ∣ rank A = min {n, m}} = R^{n \times m} ∖ R (min {n, m} - 1) \subset R^{n \times m}$
は開集合である．

交代行列のパフィアン

$V$ を $n$ 次元 $K$ 線型空間とし， $ω : V \times V \to K$ を $V$ 上の対称双線型形式または交代双線型形式とする．このとき次は同値である：

$ω$ は非退化である，すなわち線型写像
$\hat{ω} : V \to V^{*}; v \mapsto [v^{'} \mapsto ω (v, v^{'})]$
は全単射である；
$V$ の任意の基底 $(β_{1}, \dots, β_{n})$ に対して，正方行列 $[ω (β_{i}, β_{j})]_{(i, j)} \in K^{n \times n}$ は可逆である；
$V$ の基底 $(β_{1}, \dots, β_{n})$ であって，正方行列 $[ω (β_{i}, β_{j})]_{(i, j)} \in K^{n \times n}$ が可逆となるようなものが存在する．

仮定より
$ω (u, v) = 0 ⟺ ω (v, u) = 0$
が成り立つことに注意する．

(i) $⟹$ (ii)

$(β_{1}, \dots, β_{n})$ を $V$ の基底とし， $A := [ω (β_{i}, β_{j})]_{(i, j)} \in K^{n \times n}$ とおく．このとき， $x := \sum_{j} ϵ_{j} x_{j} \in K^{n}$ に対して
$\begin{aligned} A x & = \sum_{j = 1}^{n} A ϵ_{j} x_{j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} \cdot ω (β_{i}, β_{j})) \cdot x_{j} \\ = \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} \cdot (\sum_{j = 1}^{n} ω (β_{i}, β_{j}) x_{j}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} \cdot ω (β_{i}, v) \end{aligned}$
が成り立つ．ただし $v := \sum_{j} β_{j} x_{j} \in V$ とおいた．よって
$\begin{aligned} A x = 0 & ⟹ \forall i, ω (β_{i}, v) = 0 \\ ⟹ \forall i, \hat{ω} (v) (β_{i}) = ω (v, β_{i}) = 0 \\ ⟹ \hat{ω} (v) = 0 \\ ⟹ v = \sum_{j = 1}^{n} β_{j} x_{j} = 0 \\ ⟹ \forall j, x_{j} = 0 \\ ⟹ x = \sum_{j = 1}^{n} ϵ_{j} x_{j} = 0 \end{aligned}$
が成り立つので， $Ker (A) = {0}$ を得る．したがって $A$ は可逆である．

(ii) $⟹$ (iii)

明らか．

(iii) $⟹$ (i)

$V$ のある基底 $(β_{1}, \dots, β_{n})$ に対して， $A := [ω (β_{i}, β_{j})]_{(i, j)} \in K^{n \times n}$ が可逆であるとする．このとき
$\begin{aligned} v := \sum_{j = 1}^{n} β_{j} x_{j} \in Ker (\hat{ω}) & ⟹ \forall i, \hat{ω} (v) (β_{i}) = 0 \\ ⟹ A (\sum_{j = 1}^{n} ϵ_{j} x_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} \cdot ω (β_{i}, v) = 0 \\ ⟹ \sum_{j = 1}^{n} ϵ_{j} x_{j} = 0 \\ ⟹ \forall j, x_{j} = 0 \\ ⟹ v = \sum_{j = 1}^{n} β_{j} x_{j} = 0 \end{aligned}$
が成り立つので， $Ker (\hat{ω}) = {0}$ を得る．いま $\dim V = n = \dim V^{*}$ であるから， $\hat{ω}$ は全単射である．

定義と例

以下， $K$ を標数 $0$ の体とする．

$n$ 次正方行列 $A \in K^{n \times n}$ に対して，双線型形式 $ω_{A} : K^{n} \times K^{n} \to K$ を
$ω_{A} (ϵ_{i}, ϵ_{j}) := A (i, j)$
で定める．

nondeg，det-of-matより
$ω_{A} : nondegenerate ⟺ \det A \neq 0$
が成り立つ．

$n$ 次正方行列 $A \in K^{n \times n}$ について， $ω_{A} \in {Alt}_{2} (K^{n})$ となるとき， $A$ を交代行列という．

$A = [a_{i j}]_{(i, j)} \in K^{n \times n}$ とする．このとき，任意の $v := \sum_{i} ϵ_{i} x_{i} \in K^{n}$ に対して
$\begin{aligned} ω_{A} (v, v) & = \sum_{i, j} ω_{A} (ϵ_{i}, ϵ_{j}) \cdot x_{i} x_{j} \\ = \sum_{i, j} a_{i j} \cdot x_{i} x_{j} \\ = \sum_{i < j} (a_{i j} + a_{j i}) \cdot x_{i} x_{j} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} \cdot x_{i}^{2} \end{aligned}$
が成り立つ．

$ω_{A} \in {Alt}_{2} (K^{n})$ のとき，
$0 = ω_{A} (ϵ_{k}, ϵ_{k}) = a_{k k}$
であり， $k < ℓ$ に対して
$0 = ω_{A} (ϵ_{k} + ϵ_{ℓ}, ϵ_{k} + ϵ_{ℓ}) = a_{k ℓ} + a_{ℓ k}$
が成り立つので，
$A + A^{T} = O_{n}$
となる．
逆に， $A + A^{T} = O_{n}$ のとき，明らかに $ω_{A} \in {Alt}_{2} (K^{n})$ が成り立つ．

任意の奇数次交代行列 $A \in K^{n}$ に対して，
$\det A = \det (- A^{T}) = (- 1)^{n} \det A^{T} = - \det A$
より， $\det A = 0$ が成り立つ．

$A \in K^{2 n \times 2 n}$ を交代行列とする．このとき， $2 n$ 重線型形式 $Ω_{A} : (K^{2 n})^{2 n} \to K$ を
$Ω_{A} (v_{1}, \dots, v_{2 n}) := \frac{1}{2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot ω_{A} (v_{σ (1)}, v_{σ (2)}) \dots ω_{A} (v_{σ (2 n - 1)}, v_{σ (2 n)})$
で定めると，これは交代形式である．

（ $Ω_{A}$ は $n$ 個の交代双線型形式 $ω_{A}$ の“楔積” $ω_{A} \land \dots \land ω_{A}$ に他ならない．）

任意の互換 $τ_{i j} \in S_{2 n}$ に対して
$\begin{aligned} (τ_{i j} ⋆ Ω_{A}) (v_{1}, \dots, v_{2 n}) & = Ω_{A} (v_{τ_{i j} (1)}, \dots, v_{τ_{i j} (2 n)}) \\ = \frac{1}{2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot ω_{A} (v_{τ_{i j} (σ (1))}, v_{τ_{i j} (σ (2))}) \dots ω_{A} (v_{τ_{i j} (σ (2 n - 1))}, v_{τ_{i j} (σ (2 n))}) \\ = - \frac{1}{2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (τ_{i j} \circ σ) \cdot ω_{A} (v_{τ_{i j} (σ (1))}, v_{τ_{i j} (σ (2))}) \dots ω_{A} (v_{τ_{i j} (σ (2 n - 1))}, v_{τ_{i j} (σ (2 n))}) \\ = - Ω_{A} (v_{1}, \dots, v_{2 n}) \end{aligned}$
が成り立つ．よって $v_{i} = v_{j} =: v, i < j,$ のとき
$Ω_{A} (\dots, v, \dots, v, \dots) = (τ_{i j} ⋆ Ω_{A}) (\dots, v, \dots, v, \dots) = - Ω_{A} (\dots, v, \dots, v, \dots)$
より
$Ω_{A} (\dots, v, \dots, v, \dots) = 0$
が成り立つので， $Ω_{A}$ は交代形式である．

交代行列 $A \in K^{2 n \times 2 n}$ に対して，
$pf A := \frac{Ω_{A} (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{2 n})}{n!} \in K$
を $A$ のパフィアンという．

任意の交代行列 $A = [a_{i j}]_{(i, j)} \in K^{2 n \times 2 n}$ に対して，
$pf A = \sum_{σ \in P_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)}$
が成り立つ．ただし
$P_{2 n} := {σ \in S_{2 n} ∣ σ (2 i - 1) < σ (2 i), σ (1) < σ (3) < \dots < σ (2 n - 1)}$
である．

Step 0.

$Ω_{A}, ω_{A}$ の定義より
$\begin{aligned} pf A & = \frac{Ω_{A} (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{2 n})}{n!} \\ = \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot ω_{A} (ϵ_{σ (1)}, ϵ_{σ (2)}) \dots ω_{A} (ϵ_{σ (2 n - 1)}, ϵ_{σ (2 n)}) \\ = \frac{1}{n! \cdot 2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)} \end{aligned}$
となる．

Step 1.

部分群
$T := ⟨ τ_{1, 2}, τ_{3, 4}, \dots, τ_{2 n - 1, 2 n} ⟩ < S_{2 n}$
による $S_{2 n}$ への積作用 $S_{2 n} \times T \to S_{2 n}$ を考える．

$T$ の生成元は互いに可換な位数 $2$ の元なので， $# T = 2^{n}$ である．
$A$ が交代行列であることより，任意の $σ \in S_{2 n}$ に対して
$sgn (σ \circ τ_{2 i - 1, 2 i}) \cdot a_{σ (τ_{2 i - 1, 2 i} (1)), σ (τ_{2 i - 1, 2 i} (2))} \dots a_{σ (τ_{2 i - 1, 2 i} (2 n - 1)), σ (τ_{2 i - 1, 2 i} (2 n))} = sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)}$
が成り立つ．
各軌道は， $σ \in S_{2 n}$ であって
$\forall i \in [n]_{> 0}, σ (2 i - 1) < σ (2 i)$
を満たすものをただ一つ含むので，このような元からなる $S_{2 n} / T$ の完全代表系 $Q_{2 n}$ が取れる．

よって，
$\begin{aligned} pf A & = \frac{1}{n! \cdot 2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)} \\ = \frac{1}{n! \cdot 2^{n}} \sum_{σ \in Q_{2 n}} \sum_{τ \in T} sgn (σ \circ τ) \cdot a_{σ (τ (1)), σ (τ (2))} \dots a_{σ (τ (2 n - 1)), σ (τ (2 n))} \\ = \frac{1}{n! \cdot 2^{n}} \cdot 2^{n} \sum_{σ \in Q_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)} \\ = \frac{1}{n!} \sum_{σ \in Q_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)} \end{aligned}$
が成り立つ．

Step 2.

$σ_{n} \in S_{n}$ を
$\begin{aligned} 2 i - 1 & \mapsto 2 σ_{n} (i) - 1 \\ 2 i & \mapsto 2 σ_{n} (i) \end{aligned}$
なる $S_{2 n}$ の元と見做して $σ_{2 n} \in S_{2 n}$ で表わす．この同一視の下で，作用
$Q_{2 n} \times S_{n} \to Q_{2 n}; (σ, σ_{n}) \mapsto σ \circ σ_{2 n}$
が定まり， $Q_{2 n} / S_{n}$ の完全代表系として $P_{2 n}$ が取れる．各 $σ_{2 n} \in S_{2 n}$ は偶置換であり，任意の $(σ, σ_{n}) \in P_{2 n} \times S_{n}$ に対して
$a_{σ (σ_{2 n} (1)), σ (σ_{2 n} (2))} \dots a_{σ (σ_{2 n} (2 n - 1)), σ (σ_{2 n} (2 n))} = a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)}$
が成り立つ．よって
$\begin{aligned} pf A & = \frac{1}{n!} \sum_{σ \in Q_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)} \\ = \frac{1}{n!} \sum_{σ \in P_{2 n}} \sum_{σ_{n} \in S_{n}} sgn (σ \circ σ_{2 n}) \cdot a_{σ (σ_{2 n} (1)), σ (σ_{2 n} (2))} \dots a_{σ (σ_{2 n} (2 n - 1)), σ (σ_{2 n} (2 n))} \\ = \frac{1}{n!} \cdot n! \sum_{σ \in P_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)} \\ = \sum_{σ \in P_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)} \end{aligned}$
が成り立つ．

上の証明より，
$# P_{2 n} = \frac{# Q_{2 n}}{# S_{n}} = \frac{1}{n!} \cdot \frac{# S_{2 n}}{# T} = \frac{(2 n)!}{n! \cdot 2^{n}}$
を得る．

交代行列
$A_{2} := [\begin{matrix} 0 & a_{12} \\ - a_{12} & 0 \end{matrix}]$
に対して， $P_{2} = {id}$ より，
$pf A_{2} = a_{12}$
が成り立つ．
交代行列
$A_{4} := [\begin{matrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ - a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ - a_{13} & - a_{23} & 0 & a_{34} \\ - a_{14} & - a_{24} & - a_{34} & 0 \end{matrix}]$
に対して， $P_{4} = {id, (23), (243)}$ より，
$pf A_{4} = a_{12} a_{34} - a_{13} a_{24} + a_{14} a_{23}$
が成り立つ．
$2 n$ 次交代行列
$Δ (a_{12}, a_{34}, \dots, a_{2 n - 1, 2 n}) := [\begin{matrix} 0 & a_{12} \\ - a_{12} & 0 \end{matrix}] \oplus [\begin{matrix} 0 & a_{34} \\ - a_{34} & 0 \end{matrix}] \oplus \dots \oplus [\begin{matrix} 0 & a_{2 n - 1, 2 n} \\ - a_{2 n - 1, 2 n} & 0 \end{matrix}]$
に対して，
$pf Δ (a_{12}, a_{34}, \dots, a_{2 n - 1, 2 n}) = a_{12} a_{34} \dots a_{2 n - 1, 2 n}$
が成り立つ．
交代行列 $A = [a_{i j}]_{(i, j)} \in K^{2 n \times 2 n}$ とスカラー $a \in K$ とに対して，
$\begin{aligned} pf (a A) & = \sum_{σ \in P_{2 n}} sgn (σ) \cdot (a a_{σ (1), σ (2)}) \dots (a a_{σ (2 n - 1), σ (2 n)}) \\ = a^{n} \sum_{σ \in P_{2 n}} sgn (σ) \cdot a_{σ (1), σ (2)} \dots a_{σ_{2 n - 1}, σ (2 n)} \\ = a^{n} \cdot pf A \end{aligned}$
が成り立つ．とくに
$pf A^{T} = pf (- A) = (- 1)^{n} \cdot pf A$
が成り立つ．

パフィアンとディターミナント

任意の交代行列 $A \in K^{2 n \times 2 n}$ と正方行列 $B \in K^{2 n \times 2 n}$ とに対して， $A ∙ B := B^{T} A B \in K^{2 n \times 2 n}$ は交代行列であり，そのパフィアンについて
$pf (A ∙ B) = (pf A) \cdot (\det B)$
が成り立つ．

Step 0.

$A$ の交代性より
$B^{T} A B + (B^{T} A B)^{T} = B^{T} A B + B^{T} A^{T} B = B^{T} (A + A^{T}) B = B^{T} O_{2 n} B = O_{2 n}$
となるので， $B^{T} A B = A ∙ B$ は交代行列である．

Step 1.

$B^{\land} ω_{A} = ω_{B^{T} A B}$ が成り立つ：
$\begin{aligned} ω_{A} (B ϵ_{i}, B ϵ_{j}) & = ω_{A} (\sum_{k = 1}^{2 n} ϵ_{k} \cdot B (k, i), \sum_{ℓ = 1}^{2 n} ϵ_{ℓ} \cdot B (ℓ, j)) \\ = \sum_{k, ℓ} B (k, i) \cdot ω_{A} (ϵ_{k}, ϵ_{ℓ}) \cdot B (ℓ, j) \\ = \sum_{k, ℓ} B (k, i) A (k, ℓ) B (ℓ, j) \\ = \sum_{k, ℓ} B^{T} (i, k) A (k, ℓ) B (ℓ, j) \\ = (B^{T} A B) (i, j) \\ = ω_{B^{T} A B} (ϵ_{i}, ϵ_{j}) \end{aligned}$

Step 2.

$B^{\land} Ω_{A} = Ω_{B^{T} A B}$ が成り立つ：
$\begin{aligned} Ω_{A} (B ϵ_{1}, \dots, B ϵ_{2 n}) & = \frac{1}{2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot ω_{A} (B ϵ_{σ (1)}, B ϵ_{σ (2)}) \dots ω_{A} (B ϵ_{σ (2 n - 1)}, B ϵ_{σ (2 n)}) \\ = \frac{1}{2^{n}} \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot ω_{B^{T} A B} (ϵ_{σ (1)}, ϵ_{σ (2)}) \dots ω_{B^{T} A B} (ϵ_{σ (2 n - 1)}, σ (2 n)) \\ = Ω_{B^{T} A B} (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{2 n}) \end{aligned}$

Step 3.

よってbase-of-altより
$\begin{aligned} n! \cdot (pf A) \cdot (\det B) & = n! \cdot (pf A) \cdot ω_{ϵ} (B ϵ_{1}, \dots, B ϵ_{2 n}) \\ = Ω_{A} (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{2 n}) \cdot ω_{ϵ} (B ϵ_{1}, \dots, B ϵ_{2 n}) \\ = Ω_{A} (B ϵ_{1}, \dots, B ϵ_{2 n}) \\ = Ω_{B^{T} A B} (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{2 n}) \\ = n! \cdot pf (B^{T} A B) \end{aligned}$
となるので，
$pf (A ∙ B) = (pf A) \cdot (\det B)$
が成り立つ．（ $B^{\land} Ω_{A} = (\det B) \cdot Ω_{A}$ を用いてもよい．）

任意の交代行列 $A \in K^{2 n \times 2 n}$ に対して
$(pf A)^{2} = \det A$
が成り立つ．

Step 0.

$A = O_{2 n}$ のとき，pf-expansionより
$(pf A)^{2} = 0 = \det A$
が成り立つ．

Step 1.

以下， $A \neq O_{2 n}$ とする．このとき， $i, j \in [2 n]_{> 0}$ であって
$\hat{ω_{A}} (ϵ_{i}) (ϵ_{j}) = ω_{A} (ϵ_{i}, ϵ_{j}) = A (i, j) \neq 0$
なるものが存在する．したがって $Ker (\hat{ω_{A}}) \neq K^{2 n}$ であるから，非自明な部分空間 $W_{0}^{⊥_{- 1}} \subset K^{2 n}$ であって
$K^{2 n} = W_{0}^{⊥_{- 1}} \oplus Ker (\hat{ω_{A}})$
を満たすものが存在する．

$β_{1} \in W_{0}^{⊥_{- 1}} ∖ {0}$ を取る．このとき， $β_{1} \notin Ker (\hat{ω_{A}})$ より $v \in V$ であって
$ω_{A} (β_{1}, v) = \hat{ω_{A}} (β_{1}) (v) \neq 0$
なるものが存在するので， $β_{2} \in W_{0}^{⊥_{- 1}}$ であって $ω_{A} (β_{1}, β_{2}) = 1$ を満たすものが得られる．
そこで
$\begin{aligned} W_{1} & := Span (β_{1}, β_{2}) \\ W_{1}^{⊥_{0}} & := {w \in W_{0}^{⊥_{- 1}} ∣ \forall w_{1} \in W_{1}, ω_{A} (w, w_{1}) = 0} \end{aligned}$
とおくと，
$W_{0}^{⊥_{- 1}} = W_{1} \oplus W_{1}^{⊥_{0}}$
が成り立つ：
1. $w := β_{1} x_{1} + β_{2} x_{2} \in W_{1} \cap W_{1}^{⊥_{0}}$ とすると，
  $\begin{aligned} 0 & = ω_{A} (w, β_{1}) = ω_{A} (β_{2}, β_{1}) x_{2} = - x_{2} \\ 0 & = ω_{A} (w, β_{2}) = ω_{A} (β_{1}, β_{2}) x_{1} = x_{1} \end{aligned}$
  より， $w = 0$ が成り立つ．
2. 任意の $w \in W_{0}^{⊥_{- 1}}$ に対して，
  $w = (β_{1} \cdot ω_{A} (w, β_{2}) - β_{2} \cdot ω_{A} (w, β_{1})) + (w - β_{1} \cdot ω_{A} (w, β_{2}) + β_{2} \cdot ω_{A} (w, β_{1})) \in W_{1} + W_{1}^{⊥_{0}}$
  が成り立つ．

よって
$K^{2 n} = W_{1} \oplus W_{1}^{⊥_{0}} \oplus Ker (\hat{ω_{A}})$
が成り立つ．

$W_{1}^{⊥_{0}} \neq {0}$ とすると， $β_{3} \in W_{1}^{⊥_{0}} ∖ {0}$ が取れるが，このとき， $β_{3} \notin Ker (\hat{ω_{A}})$ より $v \in V$ であって
$ω_{A} (β_{3}, v) = \hat{ω_{A}} (β_{3}) (v) \neq 0$
なるものが存在するので， $β_{4} \in W_{1}^{⊥_{0}}$ であって $ω_{A} (β_{3}, β_{4}) = 1$ を満たすものが得られる．
そこで
$\begin{aligned} W_{2} & := Span (β_{3}, β_{4}) \\ W_{2}^{⊥_{1}} & := {w \in W_{1}^{⊥_{0}} ∣ \forall w_{2} \in W_{2}, ω_{A} (w, w_{2}) = 0} \end{aligned}$
とおくと，同様にして
$W_{1}^{⊥_{0}} = W_{2} \oplus W_{2}^{⊥_{1}}$
が成り立つことがわかる．

よって
$K^{2 n} = W_{1} \oplus W_{2} \oplus W_{2}^{⊥_{1}} \oplus Ker (\hat{ω_{A}})$
が成り立つ．以下，これを繰り返すことで，線型独立なベクトル $β_{1}, \dots, β_{2 m} \in K^{2 n}$ であって，
$K^{2 n} = Span (β_{1}, β_{2}) \oplus \dots \oplus Span (β_{2 m - 1}, β_{2 m}) \oplus Ker (\hat{ω_{A}})$
を満たすものが存在することがわかる．よって， $K^{2 n}$ の基底 $β = (β_{1}, \dots, β_{2 m}, β_{2 m + 1}, \dots, β_{2 n})$ であって，
$[ω_{A} (β_{i}, β_{j})]_{(i, j)} = Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$
なるものが存在する． $β$ を行列 $B \in K^{2 n \times 2 n}$ と見做すと，この等式は
$B^{T} A B = Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$
を意味する．実際，pf-transposeの証明より，
$B^{T} A B = [ω_{B^{T} A B} (ϵ_{i}, ϵ_{j})]_{(i, j)} = [ω_{A} (B ϵ_{i}, B ϵ_{j})]_{(i, j)} = [ω_{A} (β_{i}, β_{j})]_{(i, j)} = Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$
が成り立つ．

Step 2.

det-of-matより $\det B \neq 0$ であるから， $C := B^{- 1}$ とおくと，
$A = C^{T} Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0) C = Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0) ∙ C$
が成り立つ．よって，det-of-mat，pf-transposeより，
$\begin{aligned} \det A & = (\det C^{T}) \cdot (\det Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)) \cdot (\det C) \\ = (\det C)^{2} \cdot (\det Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)) \\ pf A & = pf (Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0) ∙ C) \\ = (pf Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)) \cdot (\det C) \end{aligned}$
が成り立つ．

Step 2-1.

$Ker (\hat{ω_{A}}) = 0$ のとき，det-diag，det-2，pf-exより
$\det Δ (1, \dots, 1) = 1 = pf Δ (1, \dots, 1)$
となるので，
$(pf A)^{2} = (\det C)^{2} = \det A$
が成り立つ．

Step 2-2.

$Ker (\hat{ω_{A}}) \neq 0$ のとき， $\det$ の多重線型性とpf-exより
$\det Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0) = 0 = pf Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$
となるので，
$(pf A)^{2} = 0 = \det A$
が成り立つ．

上の証明から次が得られる：

任意の交代行列 $A \in K^{2 n \times 2 n}$ に対して，可逆行列 $B \in GL (K^{2 n})$ であって
$B^{T} A B = Δ (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$
を満たすものが存在する．

有限次元 $K$ 線型空間 $V$ 上の非退化交代双線型形式 $ω : V \times V \to K$ を $V$ 上のシンプレクティック形式といい，組 $(V, ω)$ をシンプレクティック線型空間という．シンプレクティック線型空間 $(V, ω)$ に対して，pf-detの証明と同様の議論を行なうことで，基底 $(β_{1}, \dots, β_{2 n})$ であって
$[ω (β_{i}, β_{j})]_{(i, j)} = Δ (1, \dots, 1) =: Δ \in K^{2 n \times 2 n}$
を満たすものが存在することがわかる．とくにシンプレクティック線型空間は偶数次元である（nondeg，det-of-odd-altからもわかる）．

$\det Δ = 1$ より，交代行列 $Δ \in K^{2 n \times 2 n}$ は可逆であるから， $ω_{Δ} \in {Alt}_{2} (K^{2 n})$ は $K^{2 n}$ 上のシンプレクティック形式である．

正方行列 $A \in K^{2 n \times 2 n}$ について
$A^{T} Δ A = Δ$
が成り立つとき， $A$ を（シンプレクティック形式 $ω_{Δ}$ に関する）シンプレクティック行列といい， $A \in Symp (Δ)$ で表わす．たとえば $E_{2 n} \in Symp (Δ)$ である．ところで，
$A^{\land} ω_{Δ} = ω_{Δ ∙ A} = ω_{A^{T} Δ A}$
であったから，
$A \in Symp (Δ) ⟺ A^{\land} ω_{Δ} = ω_{Δ}$
が成り立つ．

pf-exより $pf Δ = 1$ であるから，任意の $A \in Symp (Δ)$ に対して，pf-transposeより，
$\det A = (pf Δ) \cdot (\det A) = pf (Δ ∙ A) = pf Δ = 1 \neq 0$
が成り立つ．したがって $Symp (Δ)$ は行列の積に関して（ $GL (K^{2 n})$ の部分）群をなす：
1. $A, B \in Symp (Δ) ⟹ (A B)^{\land} ω_{Δ} = B^{\land} A^{\land} ω_{Δ} = B^{\land} ω_{Δ} = ω_{Δ}$ ;
2. $A^{\land} ω_{Δ} = ω_{Δ} ⟹ ω_{Δ} = (A^{- 1})^{\land} A^{\land} ω_{Δ} = (A^{- 1})^{\land} ω_{Δ}$ .
$Δ^{T} Δ = E_{2 n} = Δ Δ^{T}$ であるから， $Δ, Δ^{T} \in Symp (Δ)$ となる．
任意の $A \in Symp (Δ)$ に対して， $Δ^{- 1} = Δ^{T} = - Δ$ より
$A Δ A^{T} = Δ^{- 1} (A^{T})^{- 1} \cdot (A^{T} Δ A) \cdot Δ A^{T} = Δ^{- 1} (A^{T})^{- 1} \cdot Δ \cdot Δ A^{T} = Δ$
となるので， $A^{T} \in Symp (Δ)$ が成り立つ．
可逆行列 $B \in GL (K^{2 n})$ に対して，
$(B^{- 1} A B)^{T} \cdot (B^{T} Δ B) \cdot (B^{- 1} A B) = B^{T} \cdot (A^{T} Δ A) \cdot B$
が成り立つので， $Symp (Δ)$ と $Symp (Δ ∙ B)$ とは群同型である：
$Symp (Δ) \to Symp (Δ ∙ B); A \mapsto B^{- 1} A B .$
可逆行列 $S \in GL (K^{2 n})$ を
$S ϵ_{i} := {\begin{cases} ϵ_{2 i - 1} & , 1 \leq i \leq n \\ ϵ_{2 (i - n)} & , n + 1 \leq i \leq 2 n \end{cases}$
によって定める（cf. det-of-mat）．さらに， $2 n$ 次交代行列 $Δ_{S} \in K^{2 n \times 2 n}$ を
$Δ_{S} := [\begin{matrix} O_{n} & E_{n} \\ - E_{n} & O_{n} \end{matrix}]$
で定める．このとき
$\begin{aligned} Δ (i, j) & = ω_{Δ_{S}} (S^{- 1} ϵ_{i}, S^{- 1} ϵ_{j}) \\ = (S^{- 1})^{\land} ω_{Δ_{S}} (ϵ_{i}, ϵ_{j}) \\ = ω_{Δ_{S} ∙ S^{- 1}} (ϵ_{i}, ϵ_{j}) \\ = (Δ_{S} ∙ S^{- 1}) (i, j) \end{aligned}$
より， $Δ = Δ_{S} ∙ S^{- 1}$ ，したがって $Δ ∙ S = Δ_{S}$ となる．群 $Symp (Δ_{S})$ のことをシンプレクティック群といい，とくに $Sp (2 n, K)$ で表わす．
単にシンプレクティック群（resp. シンプレクティック行列）といった場合， $Sp (2 n, R)$ （resp. $Sp (2 n, R)$ の元）のことを指すっぽい．

任意の正方行列 $A \in K^{n \times n}$ に対して，
$A_{alt} := [\begin{matrix} O_{n} & A \\ - A^{T} & O_{n} \end{matrix}] \in K^{2 n \times 2 n}$
とおくと，
$pf A_{alt} = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} \det A$
が成り立つ．

上例の可逆行列 $S \in GL (K^{2 n})$ に対応する置換を $σ_{S} \in S_{2 n}$ とおく：
$σ_{S} := (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n & n + 1 & n + 2 & \dots & 2 n - 1 & 2 n \\ 1 & 3 & 5 & \dots & 2 n - 1 & 2 & 4 & \dots & 2 n - 2 & 2 n \end{matrix})$
このとき， $S ϵ_{j} = ϵ_{σ_{S} (j)}$ より，
$\begin{aligned} \det S & = \sum_{σ \in S_{2 n}} sgn (σ) \cdot ⟨ ϵ_{1}^{*}, ϵ_{σ_{S} (σ (1))} ⟩ \dots ⟨ ϵ_{2 n}^{*}, ϵ_{σ_{S} (σ (2 n))} ⟩ \\ = sgn (σ_{S}^{- 1}) \\ = sgn (σ_{S}) \\ = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} \end{aligned}$
が成り立つ（cf. sgn命題2）．いま，
$\begin{aligned} Δ_{S} ∙ (A^{T} \oplus E_{n}) & = [\begin{array}{c} A \\ E_{n} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} E_{n} \\ - E_{n} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} A^{T} \\ E_{n} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} A \\ E_{n} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} E_{n} \\ - A^{T} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} A \\ - A^{T} \end{array}] \\ = A_{alt} \end{aligned}$
が成り立つので，pf-det，det-diag，pf-ex，det-of-matより，
$\begin{aligned} pf A_{alt} & = pf (Δ_{S} ∙ (A^{T} \oplus E_{n})) \\ = pf (Δ ∙ S) \cdot \det (A^{T} \oplus E_{n}) \\ = (pf Δ) \cdot (\det S) \cdot (\det A^{T}) \cdot (\det E_{n}) \\ = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} \det A \end{aligned}$
を得る．

補遺：双対空間について

双対空間

$K$ 線型空間 $V$ に対して， $K$ 線型空間
$V^{*} := Hom (V, K)$
を $V$ の双対空間という．各 $(v^{*}, v) \in V^{*} \times V$ に対して
$⟨ v^{*}, v ⟩ := v^{*} (v) \in K$
とおく．

$\dim V = n$ とし， $β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ をその基底とする．このとき，線型写像 $β_{i}^{*} : V \to K$ を
$⟨ β_{i}^{*}, β_{j} ⟩ := δ_{i j} := {\begin{cases} 1 & , i = j \\ 0 & , i \neq j \end{cases}$
で定めると， $β^{*} := (β_{1}^{*}, \dots, β_{n}^{*})$ は $V^{*}$ の基底となる．これを $β$ の双対基底という．とくに $\dim V^{*} = \dim V$ である．

$v^{*} \in V^{*}$ とする．このとき，任意の $v := \sum_{i} β_{i} x_{i} \in V$ に対して
$\begin{aligned} ⟨ v^{*}, v ⟩ & = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v^{*}, β_{i} ⟩ \cdot x_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v^{*}, β_{i} ⟩ \cdot ⟨ β_{i}^{*}, v ⟩ \\ = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v^{*}, β_{i} ⟩ \cdot β_{i}^{*}, v ⟩ \end{aligned}$
が成り立つので，
$v^{*} = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v^{*}, β_{i} ⟩ \cdot β_{i}^{*}$
を得る．
$v^{*} := \sum_{i} a_{i} β_{i}^{*} = 0$ とする．このとき，任意の $j \in [n]_{> 0}$ に対して
$0 = ⟨ v^{*}, β_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, β_{j} ⟩ = a_{j}$
が成り立つ．

$\dim V = n$ とする．このとき，線型写像
$\hat{ev} : V \to V^{* *}; v \mapsto [v^{*} \mapsto ⟨ v^{*}, v ⟩]$
は全単射である．

$V$ の基底 $β$ を取り， $β^{*}$ をその双対基底とする．dual-baseより
$\dim V^{* *} = \dim V^{*} = \dim V = n$
であるから， $\hat{ev}$ が単射であることを示せばよい．そこで $v \in Ker (\hat{ev})$ とすると，任意の $i \in [n]_{> 0}$ に対して
$⟨ β_{i}^{*}, v ⟩ = \hat{ev} (v) (β_{i}^{*}) = 0$
が成り立つので，
$v = \sum_{i = 1}^{n} β_{i} \cdot ⟨ β_{i}^{*}, v ⟩ = 0$
を得る．

零化空間

線型空間 $V$ の部分空間 $W \subset V$ に対して，双対空間 $V^{*}$ の部分空間
$W^{⊥} := {v^{*} \in V^{*} ∣ \forall w \in W, ⟨ v^{*}, w ⟩ = 0}$
を $W$ の零化空間という．

$V$ を有限次元線型空間とする．このとき，任意の部分空間 $W \subset V$ に対して
$\dim W + \dim W^{⊥} = \dim V$
が成り立つ．さらに，同一視 $V ≅ V^{* *}$ の下で
$W = (W^{⊥})^{⊥}$
が成り立つ．

$W$ の基底 $(β_{1}, \dots, β_{m})$ を延長して得られる $V$ の基底を $(β_{1}, \dots, β_{n})$ とし，その双対基底を $(β_{1}^{*}, \dots, β_{n}^{*})$ とする．このとき
$\begin{aligned} v^{*} \in W^{⊥} & ⟺ \forall j \in [m]_{> 0}, ⟨ v^{*}, β_{j} ⟩ = 0 \\ ⟺ v^{*} = \sum_{i = m + 1}^{n} ⟨ v^{*}, β_{i} ⟩ \cdot β_{i}^{*} \end{aligned}$
より，
$W^{⊥} = Span (β_{m + 1}^{*}, \dots, β_{n}^{*})$
が成り立つ．よって
$\dim W + \dim W^{⊥} = m + (n - m) = n = \dim V$
を得る．
明らかに
$W \subset (W^{⊥})^{⊥}$
が成り立つ．また，前段より
$\begin{aligned} \dim W & = \dim V - \dim W^{⊥} \\ = \dim V^{*} - \dim W^{⊥} \\ = (\dim W^{⊥} + \dim (W^{⊥})^{⊥}) - \dim W^{⊥} \\ = \dim (W^{⊥})^{⊥} \end{aligned}$
が成り立つので，
$W = (W^{⊥})^{⊥}$
を得る．

転置写像とそのランク

線型写像 $f : V \to W$ に対して，線型写像
$W^{*} \to V^{*}; w^{*} \mapsto w^{*} \circ f$
を $f$ の転置写像，双対写像などといい $f^{T}$ で表わす：
$⟨ f^{T} w^{*}, v ⟩ = ⟨ w^{*}, f v ⟩$

$V, W$ を有限次元線型空間とし， $f : V \to W$ を線型写像とする．このとき，
$rank f = rank f^{T}$
が成り立つ．

転置写像 $f^{T} : W^{*} \to V^{*}$ の定義より
$\begin{aligned} w^{*} \in Ker (f^{T}) & ⟺ \forall v \in V, ⟨ f^{T} w^{*}, v ⟩ = 0 \\ ⟺ \forall v \in V, ⟨ w^{*}, f v ⟩ = 0 \\ ⟺ w^{*} \in (Im (f))^{⊥} \end{aligned}$
が成り立つ．よって，annより
$Im (f) = (Ker (f^{T}))^{⊥}$
を得るので，annと次元定理より，
$rank f = \dim Im (f) = \dim (Ker (f^{T}))^{⊥} = \dim W^{*} - \dim Ker (f^{T}) = rank f^{T}$
が成り立つ．

補遺：表現行列について

矩形行列

$U$ を集合とし $V$ を線型空間とする．このとき，写像集合
$V^{U} := {f ∣ f : U \to V}$
は
$\begin{aligned} (f + g) (u) & := f (u) + g (u) \\ (f \cdot a) (u) & := f (u) \cdot a \end{aligned}$
により線型空間の構造を持つ．
正整数 $n, m \in Z_{> 0}$ に対して，線型空間 $K^{n \times m} := K^{[n]_{> 0} \times [m]_{> 0}}$ の元を（矩形）行列という．
1. とくに $n = m$ なるとき，（ $n$ 次）正方行列という．
2. 行列 $A \in K^{n \times m}$ に対して， $A (i, j) \in K$ をその $(i, j)$ 成分という．また，
  $(i, j) \mapsto a_{i j} \in K$
  なる行列を $[a_{i j}]_{(i, j)}$ と書く．
3. 行列 $A \in K^{n \times m}$ に対して，その転置行列 $A^{T} \in K^{m \times n}$ を
  $A^{T} (i, j) := A (j, i)$
  で定める．
線型空間 $K^{n} := K^{n \times 1}$ の元 $ϵ_{1}, \dots, ϵ_{n}$ を
$ϵ_{i} (j, 1) := δ_{i j}$
で定めると， $(ϵ_{1}, \dots, ϵ_{n})$ は $K^{n}$ の基底をなす．これを $K^{n}$ の標準基底という．
行列 $A \in K^{n \times m}$ に対して，線型写像 $f_{A} : K^{m} \to K^{n}$ が
$ϵ_{j}^{'} \mapsto \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} \cdot A (i, j)$
により定まる．対応
$K^{n \times m} \to Hom (K^{m}, K^{n}); A \mapsto f_{A}$
は線型写像であり，
$f \mapsto [⟨ ϵ_{i}^{*}, f ϵ_{j}^{'} ⟩]_{(i, j)}$
が逆写像を与える．
1. 恒等写像 $id \in Hom (K^{n}, K^{n})$ に対応する行列を単位行列といい $E_{n}$ で表わす．
2. 零写像 ${const}_{0} \in Hom (K^{n}, K^{m})$ に対応する行列を零行列といい $O_{m, n}$ で表わす．また， $O_{n} := O_{n, n}$ とおく．
行列の積を
$K^{n \times m} \times K^{m \times ℓ} \to K^{n \times ℓ}; (A, B) \mapsto [⟨ ϵ_{i}^{*}, f_{A} (f_{B} ϵ_{j}^{″}) ⟩]_{(i, j)} =: A B$
で定める．したがって，定義により
$f_{A B} = f_{A} \circ f_{B}$
である．線型写像 $f_{A}, f_{B}$ の定義より
$\begin{aligned} f_{A} (f_{B} ϵ_{j}^{″}) & = f_{A} (\sum_{k = 1}^{m} ϵ_{k}^{'} \cdot B (k, j)) \\ = \sum_{k = 1}^{m} f_{A} ϵ_{k}^{'} \cdot B (k, j) \\ = \sum_{k = 1}^{m} (\sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} \cdot A (i, k)) \cdot B (k, j) \\ = \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} \cdot (\sum_{k = 1}^{m} A (i, k) B (k, j)) \end{aligned}$
となるので，積 $A B$ の $(i, j)$ 成分は
$(A B) (i, j) = \sum_{k = 1}^{m} A (i, k) B (k, j)$
で与えられる．
大抵の場合，行列 $A$ に対応する線型写像も同じ記号 $A$ で表わす．

線型写像の表現行列

$\dim V = n$ とする．このとき，
1. $V$ の任意の基底 $β = (β_{1}, \dots, β_{n})$ に対して，線型写像
  $L_{β} : K^{n} \to V; ϵ_{i} \mapsto β_{i}$
  は全単射である．
2. 逆に，任意の線型同型写像 $f : K^{n} \to V$ に対して， $(f ϵ_{1}, \dots, f ϵ_{n})$ は $V$ の基底である．
$\dim V = n, \dim W = m$ とし， $β, β^{'}$ をそれぞれ $V, W$ の基底とする．線型写像 $f : V \to W$ に対して，行列
$L_{β^{'}}^{- 1} \circ f \circ L_{β} \in Hom (K^{n}, K^{m}) ≅ K^{m \times n}$
を， $f$ の $(β, β^{'})$ に関する表現行列といい $[f : β / β^{'}]$ で表わす：
$K^{n} [f : β / β^{'}] L_{β} ≅ K^{m} L_{β^{'}} ≅ V f W$
等式 $f \circ L_{β} = L_{β^{'}} \circ [f : β / β^{'}]$ をしばしば
$(f β_{1}, \dots, f β_{n}) = (β_{1}^{'}, \dots, β_{m}^{'}) \cdot [f : \frac{β}{β^{'}}]$
と表わす．ところで，表現行列の $(i, j)$ 成分は
$\begin{aligned} [f : β / β^{'}] (i, j) & = ⟨ {ϵ_{i}^{'}}^{*}, (L_{β^{'}}^{- 1} \circ f \circ L_{β}) ϵ_{j} ⟩ \\ = ⟨ {ϵ_{i}^{'}}^{*}, L_{β^{'}}^{- 1} (f β_{j}) ⟩ \\ = ⟨ {ϵ_{i}^{'}}^{*}, L_{β^{'}}^{- 1} (\sum_{k = 1}^{m} β_{k}^{'} \cdot ⟨ {β_{k}^{'}}^{*}, f β_{j} ⟩) ⟩ \\ = \sum_{k = 1}^{m} ⟨ {ϵ_{i}^{'}}^{*}, ϵ_{k}^{'} ⟩ \cdot ⟨ {β_{k}^{'}}^{*}, f β_{j} ⟩ \\ = ⟨ {β_{i}^{'}}^{*}, f β_{j} ⟩ \end{aligned}$
で与えられる．したがって上の等式表記は“行列”間の等式として正当化される．
1. $v := \sum_{i} β_{i} x_{i} \in V$ とする．このとき，線型写像 $K \to V; 1 \mapsto v$ の $(1, β)$ に関する表現行列についての上の等式は（左辺の括弧を省いて）
  $v = (β_{1}, \dots, β_{n}) \cdot [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$
  と書ける．“縦ベクトル” $[v / β] := [x_{i}]_{(i, 1)} = L_{β}^{- 1} (v) \in K^{n}$ を， $v$ の $β$ に関する座標，成分などという．
2. ベクトル $v \in V, f v \in W$ の座標について， $[f : β / β^{'}] \circ L_{β}^{- 1} = L_{β^{'}}^{- 1} \circ f$ より，
  $[f : \frac{β}{β^{'}}] \cdot [\frac{v}{β}] = [\frac{f v}{β^{'}}]$
  が成り立つ．
3. 転置写像 $f^{T} : W^{*} \to V^{*}$ の表現行列について，
  $⟨ β_{i}^{* *}, f^{T} {β_{j}^{'}}^{*} ⟩ = ⟨ f^{T} {β_{j}^{'}}^{*}, β_{i} ⟩ = ⟨ {β_{j}^{'}}^{*}, f β_{i} ⟩ = [f : β / β^{'}] (j, i)$
  より，
  $[f^{T} : \frac{{β^{'}}^{*}}{β^{*}}] = {[f : \frac{β}{β^{'}}]}^{T}$
  が成り立つ．
4. 行列 $A \in K^{m \times n}$ に対応する線型写像 $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ の $(ϵ, ϵ^{'})$ に関する表現行列は $A$ に等しい：
  $[f_{A} : ϵ / ϵ^{'}] = [⟨ {ϵ_{i}^{'}}^{*}, f_{A} ϵ_{j} ⟩]_{(i, j)} = A$
  したがって $f_{A}^{T}$ の $({ϵ^{'}}^{*}, ϵ^{*})$ に関する表現行列は $A^{T}$ であるから，rank-of-dual-mapより
  $\begin{aligned} “column rank of A " := rank A & := rank f_{A} \\ = rank f_{A}^{T} \\ = rank f_{A^{T}} = rank A^{T} =: “row rank of A " \end{aligned}$
  が成り立つ．
恒等変換 ${id}_{V} : V \to V$ の $(β_{new}, β_{old})$ に関する表現行列を $β_{old}$ から $β_{new}$ への基底変換行列といい $[β_{new} / β_{old}]$ で表わす：
$K^{n} [β_{new} / β_{old}] L_{β_{new}} ≅ K^{n} L_{β_{old}} ≅ V {id}_{V} V$
1. 等式 $L_{β_{new}} = L_{β_{old}} \circ [β_{new} / β_{old}]$ は
  $β_{new} = β_{old} \cdot [\frac{β_{new}}{β_{old}}]$
  と書ける．
2. ベクトル $v \in V$ の座標について， $[β_{new} / β_{old}] \circ L_{β_{new}}^{- 1} = L_{β_{old}}^{- 1}$ より，
  $[\frac{β_{new}}{β_{old}}] \cdot [\frac{v}{β_{new}}] = [\frac{v}{β_{old}}]$
  が成り立つ．
3. 線型変換 $f : V \to V$ を $(β_{old})_{i} \mapsto (β_{new})_{i}$ で定めると， $f \circ L_{β_{old}} = L_{β_{new}}$ より，
  $[f : \frac{β_{old}}{β_{old}}] = L_{β_{old}}^{- 1} \circ f \circ L_{β_{old}} = L_{β_{old}}^{- 1} \circ L_{β_{new}} = [\frac{β_{new}}{β_{old}}]$
  が成り立つ．
4. ${id}_{V}^{T} = {id}_{V^{*}}$ であるから，
  $[\frac{β_{old}^{*}}{β_{new}^{*}}] = [{id}_{V}^{T} : \frac{β_{old}^{*}}{β_{new}^{*}}] = {[{id}_{V} : \frac{β_{new}}{β_{old}}]}^{T} = {[\frac{β_{new}}{β_{old}}]}^{T}$
  が成り立つ．
表現行列と基底変換行列との間の関係は下図のようになる：
$K^{n} [f : β_{new} / β_{new}^{'}] [β_{new} / β_{old}] L_{β_{new}} ≅ K^{m} [β_{new}^{'} / β_{old}^{'}] L_{β_{new}^{'}} ≅ V f W K^{n} [f : β_{old} / β_{old}^{'}] L_{β_{old}} ≅ K^{m} L_{β_{old}^{'}} ≅$
作用 $K^{m \times n} \times (GL (K^{m}) \times GL (K^{n})) \to K^{m \times n}$ が
$(A, (Q, P)) \mapsto Q^{- 1} A P$
により定まる．
1. この作用により $K^{m \times n}$ 上の同値関係が定まる．
2. 線型写像 $f : V \to W$ の表現行列は互いに同値である：
  $[f : \frac{β_{new}}{β_{new}^{'}}] = {[\frac{β_{new}^{'}}{β_{old}^{'}}]}^{- 1} \cdot [f : \frac{β_{old}}{β_{old}^{'}}] \cdot [\frac{β_{new}}{β_{old}}] (= [\frac{β_{old}^{'}}{β_{new}^{'}}] \cdot [f : \frac{β_{old}}{β_{old}^{'}}] \cdot [\frac{β_{new}}{β_{old}}])$
3. 逆に， $f$ の表現行列 $[f : β / β^{'}]$ と同値な行列はまた $f$ の表現行列である．実際， $(Q, P) \in GL (K^{m}) \times GL (K^{n})$ に対して， $V, W$ の基底 $γ, γ^{'}$ をそれぞれ
  $γ_{j} := L_{β} P ϵ_{j}, γ_{i}^{'} := L_{β^{'}} Q ϵ_{i}^{'}$
  で定めると，以下の可換図式が得られる：
  $K^{n} [f : γ / γ^{'}] P L_{γ} ≅ K^{m} Q L_{γ^{'}} ≅ V f W K^{n} [f : β / β^{'}] L_{β} ≅ K^{m} L_{β^{'}} ≅$
4. ところで， $rank f = r$ とすると，次元定理より $V, W$ の基底 $γ, γ^{'}$ であって
  $[f : \frac{γ}{γ^{'}}] = E_{r} \oplus O_{m - r, n - r}$
  となるものが存在する．とくに， $f = f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ のとき， $γ, γ^{'}$ から定まる可逆行列を $P, Q$ とすると，
  $Q^{- 1} A P = {[\frac{γ^{'}}{ϵ^{'}}]}^{- 1} \cdot [f_{A} : \frac{ϵ}{ϵ^{'}}] \cdot [\frac{γ}{ϵ}] = [f_{A} : \frac{γ}{γ^{'}}] = E_{r} \oplus O_{m - r, n - r}$
  が成り立つ．

線型変換の表現行列

$β$ を $V$ の基底とする．線型変換 $f \in End (V)$ の $(β, β)$ に関する表現行列を， $f$ の $β$ に関する表現行列という．
作用 $K^{n \times n} \times GL (K^{n}) \to K^{n \times n}$ が
$(A, P) \mapsto P^{- 1} A P$
により定まる．
1. この作用により $K^{n \times n}$ 上の同値関係（相似関係）が定まる．
2. 線型変換 $f : V \to V$ の表現行列は互いに相似である：
  $[f : \frac{β_{new}}{β_{new}}] = {[\frac{β_{new}}{β_{old}}]}^{- 1} \cdot [f : \frac{β_{old}}{β_{old}}] \cdot [\frac{β_{new}}{β_{old}}]$
3. 逆に， $f$ の表現行列 $[f : β / β]$ と相似な行列はまた $f$ の表現行列である．実際， $P \in GL (K^{n})$ に対して， $V$ の基底 $γ$ を
  $γ_{j} := L_{β} P ϵ_{j}$
  で定めると，以下の可換図式が得られる：
  $K^{n} [f : γ / γ] P L_{γ} ≅ K^{n} P L_{γ} ≅ V f V K^{n} [f : β / β] L_{β} ≅ K^{n} L_{β} ≅$
4. 線型変換にとっての“よい基底”を見つけることは，行列の相似関係の下での“標準形”を見つけることに他ならない．

双線型形式の表現行列

$β, β^{'}$ を $V, W$ の基底とする．双線型形式 $ω : V \times W \to K$ に対して，行列 $[ω (β, β^{'})] := [ω (β_{i}, β_{j}^{'})]_{(i, j)} \in K^{n \times m}$ を， $ω$ の $(β, β^{'})$ に関する表現行列という．
作用 $K^{n \times m} \times (GL (K^{n}) \times GL (K^{m})) \to K^{n \times m}$ が
$(A, (P, Q)) \mapsto P^{T} A Q$
により定まる．
1. この作用により $K^{n \times m}$ 上の同値関係が定まる．
2. 双線型形式 $ω : V \times W \to K$ の表現行列は互いに同値である．実際， $P := [γ / β], Q := [γ^{'} / β^{'}]$ とおくと，
  $\begin{aligned} ω (γ_{i}, γ_{j}^{'}) & = ω (\sum_{k = 1}^{n} β_{k} \cdot P (k, i), \sum_{ℓ = 1}^{m} β_{ℓ}^{'} \cdot Q (ℓ, j)) \\ = \sum_{k, ℓ} P (k, i) \cdot ω (β_{k}, β_{ℓ}^{'}) \cdot Q (ℓ, j) \\ = \sum_{k, ℓ} P^{T} (i, k) \cdot ω (β_{k}, β_{ℓ}^{'}) \cdot Q (ℓ, j) \end{aligned}$
  より，
  $[ω (γ, γ^{'})] = {[\frac{γ}{β}]}^{T} \cdot [ω (β, β^{'})] \cdot [\frac{γ^{'}}{β^{'}}]$
  が成り立つ．
3. 逆に， $ω$ の表現行列 $A := [ω (β, β^{'})]$ と同値な行列はまた $ω$ の表現行列である．実際， $(P, Q) \in GL (K^{n}) \times GL (K^{m})$ に対して， $V, W$ の基底 $γ, γ^{'}$ をそれぞれ
  $γ_{i} := L_{β} P ϵ_{i}, γ_{j}^{'} := L_{β^{'}} Q ϵ_{j}^{'}$
  で定めると，
  $[ω (γ, γ^{'})] = P^{T} A Q$
  が成り立つ．
$β$ を $V$ の基底とする．双線型形式 $ω : V \times V \to K$ の $(β, β)$ に関する表現行列を， $ω$ の $β$ に関する表現行列という．
作用 $K^{n \times n} \times GL (K^{n}) \to K^{n \times n}$ が
$(A, P) \mapsto P^{T} A P$
により定まる．
1. この作用により $K^{n \times n}$ 上の同値関係（合同関係）が定まる．
2. 双線型形式 $ω : V \times V \to K$ の表現行列は互いに合同である：
  $[ω (β_{new}, β_{new})] = {[\frac{β_{new}}{β_{old}}]}^{T} \cdot [ω (β_{old}, β_{old})] \cdot [\frac{β_{new}}{β_{old}}]$
3. 逆に， $ω$ の表現行列 $A := [ω (β, β)]$ と合同な行列はまた $ω$ の表現行列である．実際， $P \in GL (K^{n})$ に対して， $V$ の基底 $γ$ を
  $γ_{i} := L_{β} P ϵ_{i}$
  で定めると，
  $[ω (γ, γ)] = P^{T} A P$
  が成り立つ．
4. 双線型形式にとっての“よい基底”を見つけることは，行列の合同関係の下での“標準形”を見つけることに他ならない．

更新履歴

2024/12/09：「補遺：表現行列について」に加筆しました．

参考文献

[1]

Paul R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces (second edition) , Dover

[2]

S. Mac Lane and G. Birkhoff, Algebra (third edition) , AMS Chelsea Pub.

[3]

Katsumi Nomizu, Fundamentals of Linear Algebra (second edition) , Chelsea Pub. Co.

[4]

有馬哲, 線型代数入門, 東京図書

[5]

佐武一郎, 線型代数学, 裳華房

[6]

岡田聡一, Pfaffian Identities and Their Applications, 閲覧日 2024年12月5日, https://www.jstage.jst.go.jp/article/repsympo/2012/0/2012_69/_article/-char/ja

[7]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Mon Dec 09 2024

[8]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Mon Dec 09 2024

投稿日：2024年12月8日

更新日：2024年12月9日

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トレースとディターミナント

交代形式
線型変換のトレース
附：テンソル積を介したトレースの特徴づけ
線型変換のディターミナント
正方行列のトレースとディターミナント
正方行列のトレース
正方行列のディターミナント
ディターミナントランク
交代行列のパフィアン
定義と例
パフィアンとディターミナント
補遺：双対空間について
双対空間
零化空間
転置写像とそのランク
補遺：表現行列について
矩形行列
線型写像の表現行列
線型変換の表現行列
双線型形式の表現行列
更新履歴
参考文献

トレースとディターミナント

交代形式

dim⁡Altn(V)≥1

dim⁡Altn(V)≤1

線型変換のトレース

附：テンソル積を介したトレースの特徴づけ

線型変換のディターミナント

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

正方行列のトレースとディターミナント

正方行列のトレース

正方行列のディターミナント

ディターミナントランク

交代行列のパフィアン

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(iii)

(iii)⟹(i)

定義と例

Step 0.

Step 1.

Step 2.

パフィアンとディターミナント

Step 0.

Step 1.

Step 2.

Step 3.

Step 0.

Step 1.

Step 2.

Step 2-1.

Step 2-2.

補遺：双対空間について

双対空間

零化空間

転置写像とそのランク

補遺：表現行列について

矩形行列

線型写像の表現行列

線型変換の表現行列

双線型形式の表現行列

更新履歴

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$\dim {Alt}_{n} (V) \geq 1$

$\dim {Alt}_{n} (V) \leq 1$

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (iii)

(iii) $⟹$ (i)