「十分大きい元」と「十分小さい元」に関するメモ
導入
こんにちは～
続きが出ました↓
「十分小さい元」についての修正
工学の現場ではその数が十分大きいとき（あるいは十分小さいとき）に、周辺の値を無視することがよくあります。
それをもとに新しい集合を定義してどうなるかを観察します。
集合$NS$が無視可能空間(negligible space)であるとは、$NS$上に以下を満たす二項演算$+$と$\cdot $および$\mathbb{R}$の作用$\cdot$が定義されている集合のことである。
$\forall a, b \in \mathbb{R}$, $\forall x, y, z \in NS$
- $(x + y) + z = x + (y + z)$
- $x + y = y + x$
- $(x y) z = x (y z)$
- $x y = y x$
- $a x = x a$
- $1_{NS} \in NS$が存在して、 $x 1_{NS} = 1_{NS} x = x$
なお、$ a 1_{NS}$を$a$と表す - $a + x = x + a$
- $\eps \in NS$が存在して、$x + \eps = x$
- $E \in NS$が存在して、$a + E = E$
- $a(b + x) = a b + a x $
- $a(x + y) = a x + a y $
- $(a + b)x = a x + b x$
- $a \eps = \eps a = \eps$
- $a E = E a = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} sgn(a)E \space ,(a \neq 0) \\ E \space ,(a = 0) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
- $0 + x = x$
- $\eps E = 1_{NS}$
※いわゆる記号の暴力というもので、$NS$上の二項演算としての$\cdot$と$\mathbb{R}$の作用$\cdot$を混同していることに注意
$NS$上の元$E, \epsilon{}$をそれぞれ 大無視可能元、小無視可能元と呼ぶことにしましょう。
ここで、$E, \epsilon{}$は実数でないことに注意します。
感想
・定義長すぎて気持ち悪い
・無駄とか矛盾がどっかにないか心配
・$\eps, E$はただ一つか？
わかること
定義からすぐにわかることが色々あります。
- $E + E = E$
- $E - E = E$
- $\eps + E = E$
- $\eps - E = -E$
- $\eps+ \epsilon = \epsilon $
- $\eps - \eps = \eps $
(1)について、$E + E = (1+1)E = E$
(2)について、$E - E = 0E = E$
(4)について、$\eps - E = -(\eps + E) = -E$
(6)について、$\eps - \eps = \eps + (-1)\eps = \eps + \eps = \eps $
- $-E = E$
- $-\eps = \eps$
- $E^{-1} = \eps$
- $\eps^{-1}=E$
(1)について
$E-E = E$より、
$E-E-E = E-E$
$(1-2)E = E$
$-E = E$
(2)について
$-\eps = (-1)\eps = \eps$
- $\eps \neq E$
- $E^2 \neq E$
- $E, \eps \neq 1_{NS}$
(1)について
$\eps = E $と仮定すると、
$a + E = a + \eps = a$となり、定義(9)に矛盾
(2)について
$E^2 = E$と仮定すると、
$E^2 E^{-1} = E E^{-1}$
$E = 1_{NS}$
$\eps E = \eps1_{NS}$
$1_{NS} = \eps$
より$E = \eps = 1_{NS}$となり矛盾
予想
集合$NS$は「$\eps^{n}, E^{n}$($n$:自然数),$r1_{NS}$($r$:実数)」で全てである。
$\eps, E$の次数をもとに$NS$は全順序集合になる
まとめ
一旦この辺にしておく。なんとなく理想通りの集合が作れた、かも？
ではまた～