大学数学基礎解説

「十分大きい元」と「十分小さい元」に関するメモ

集合論,無視可能空間

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導入

こんにちは～

続きが出ました↓
「十分小さい元」についての修正

工学の現場ではその数が十分大きいとき（あるいは十分小さいとき）に、周辺の値を無視することがよくあります。
それをもとに新しい集合を定義してどうなるかを観察します。

無視可能空間

集合 $N S$ が無視可能空間(negligible space)であるとは、 $N S$ 上に以下を満たす二項演算 $+$ と $\cdot$ および $R$ の作用 $\cdot$ が定義されている集合のことである。

$\forall a, b \in R$ , $\forall x, y, z \in N S$

$(x + y) + z = x + (y + z)$
$x + y = y + x$
$(x y) z = x (y z)$
$x y = y x$
$a x = x a$
$1_{N S} \in N S$ が存在して、 $x 1_{N S} = 1_{N S} x = x$
なお、 $a 1_{N S}$ を $a$ と表す
$a + x = x + a$
$ϵ \in N S$ が存在して、 $x + ϵ = x$
$E \in N S$ が存在して、 $a + E = E$
$a (b + x) = a b + a x$
$a (x + y) = a x + a y$
$(a + b) x = a x + b x$
$a ϵ = ϵ a = ϵ$
$a E = E a = \begin{array}{r} {\begin{cases} s g n (a) E, (a \neq 0) \\ E, (a = 0) \end{cases} \end{array}$
$0 + x = x$
$ϵ E = 1_{N S}$

※いわゆる記号の暴力というもので、 $N S$ 上の二項演算としての $\cdot$ と $R$ の作用 $\cdot$ を混同していることに注意

$N S$ 上の元 $E, ϵ$ をそれぞれ 大無視可能元、小無視可能元と呼ぶことにしましょう。
ここで、 $E, ϵ$ は実数でないことに注意します。

感想

・定義長すぎて気持ち悪い
・無駄とか矛盾がどっかにないか心配
・ $ϵ, E$ はただ一つか？

わかること

定義からすぐにわかることが色々あります。

和と差について

$E + E = E$
$E - E = E$
$ϵ + E = E$
$ϵ - E = - E$
$ϵ + ϵ = ϵ$
$ϵ - ϵ = ϵ$

(1)について、 $E + E = (1 + 1) E = E$
(2)について、 $E - E = 0 E = E$
(4)について、 $ϵ - E = - (ϵ + E) = - E$
(6)について、 $ϵ - ϵ = ϵ + (- 1) ϵ = ϵ + ϵ = ϵ$

逆元

$- E = E$
$- ϵ = ϵ$
$E^{- 1} = ϵ$
$ϵ^{- 1} = E$

(1)について
$E - E = E$ より、
$E - E - E = E - E$
$(1 - 2) E = E$
$- E = E$

(2)について
$- ϵ = (- 1) ϵ = ϵ$

無視可能元の唯一性

$ϵ \neq E$
$E^{2} \neq E$
$E, ϵ \neq 1_{N S}$

(1)について
$ϵ = E$ と仮定すると、
$a + E = a + ϵ = a$ となり、定義(9)に矛盾

(2)について
$E^{2} = E$ と仮定すると、
$E^{2} E^{- 1} = E E^{- 1}$
$E = 1_{N S}$
$ϵ E = ϵ 1_{N S}$
$1_{N S} = ϵ$
より $E = ϵ = 1_{N S}$ となり矛盾

予想

N S

全体の構造

集合 $N S$ は「 $ϵ^{n}, E^{n}$ ( $n$ :自然数), $r 1_{N S}$ ( $r$ :実数)」で全てである。

N S

上の順序

$ϵ, E$ の次数をもとに $N S$ は全順序集合になる

まとめ

一旦この辺にしておく。なんとなく理想通りの集合が作れた、かも？
ではまた～

投稿日：2024年3月27日

更新日：2024年3月28日

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投稿者

甘くないなっぽー

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