「十分小さい元」についての修正

111

なにをする？

$ϵ^{2} + ϵ$ が不定

まず、 $ϵ^{2} + x$ を考えてみましょう。( $\forall x \in N S$ )
$ϵ^{2} + x = y$ とおくと、

$\begin{array}{rcl} ϵ^{2} + x & = & y \\ ϵ + E x & = & E y \\ E x & = & E y \\ x & = & y \end{array}$

よって、 $ϵ^{2} + x = x + ϵ^{2} = x$ が導かれます。
$\to ϵ^{2} + ϵ = ϵ$

一方、定義より、 $ϵ + x = x + ϵ = x$ なので、
$\to ϵ^{2} + ϵ = ϵ^{2}$

これだけだと $ϵ^{2} = ϵ$ であれば問題ないようにも思えますが、
それだと $ϵ E = 1_{N S}$ より $E^{2} = E$ となり矛盾です。

根本の問題となる定義要素は以下だと考えられます。

(8) $ϵ + x = x$
(16) $ϵ E = 1_{N S}$

イメージとして $ϵ$ は無視されるほど十分小さい元なので、
・和に対して零元のように振る舞う
・ $ϵ^{2}$ も無視されて良い（が、保存されたほうがそのオーダーを再現できる）
・ $ϵ^{n} + E = E$ になってほしい

定義を以下のように修正します。

無視可能空間

集合 $N S$ が無視可能空間(negligible space)であるとは、 $N S$ 上に以下を満たす二項演算 $+$ と $\cdot$ および $R$ の作用 $\cdot$ が定義されている集合のことである。

$\forall a, b \in R$ , $\forall x, y, z \in N S$

$(x + y) + z = x + (y + z)$
$x + y = y + x$
$(x y) z = x (y z)$
$x y = y x$
$a x = x a$
$1_{N S} \in N S$ が存在して、 $x 1_{N S} = 1_{N S} x = x$
なお、 $a 1_{N S}$ を $a$ と表す
$a + x = x + a$
$ϵ \in N S$ が存在して、 $a + ϵ = a$
$E \in N S$ が存在して、 $a + E = E$
$a (b + x) = a b + a x$
$a (x + y) = a x + a y$
$(a + b) x = a x + b x$
$a ϵ = ϵ a = ϵ$
$a E = E a = \begin{array}{r} {\begin{cases} s g n (a) E, (a \neq 0) \\ E, (a = 0) \end{cases} \end{array}$