Hermite多項式の4つの積の積分

Hermite多項式は
\begin{align} H_n(x)&=n!\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\frac{(-1)^k}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k} \end{align}
によって表される直交多項式である. その直交性は
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx&=\sqrt{\pi} 2^nn!\delta_{m,n} \end{align}
となる. 前の記事 で, 超球多項式の線形化公式を示し, その系としてHermite多項式の線形化公式
\begin{align} H_m(x)H_n(x)&=m!n!\sum_{0\leq k}\frac{2^k}{k!(m-k)!(n-k)!}H_{m+n-2k}(x) \end{align}
を得た. 今回はHermite多項式の4つの積の積分
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}H_k(x)H_l(x)H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx \end{align}
について考えたいと思う.

導出

まず, 線形化公式
\begin{align} H_k(x)H_l(x)&=k!l!\sum_{0\leq i}\frac{2^i}{i!(k-i)!(l-i)!}H_{k+l-2i}(x)\\ H_m(x)H_n(x)&=m!n!\sum_{0\leq j}\frac{2^j}{j!(m-j)!(n-j)!}H_{m+n-2j}(x) \end{align}
の両辺に$e^{-x^2}$を掛けて$(-\infty,\infty)$で積分すると, 直交性から
\begin{align} &\int_{-\infty}^{\infty}H_k(x)H_l(x)H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx\\ &=k!l!m!n!\sum_{0\leq i,j}\frac{2^i}{i!(k-i)!(l-i)!}\frac{2^j}{j!(m-j)!(n-j)!}\sqrt{\pi}2^{m+n-2j}(m+n-2j)!\delta_{k+l-2i,m+n-2j} \end{align}
となる. ここで, $k+l$と$m+n$の偶奇が異なるとき, これは$0$である. 以下, 偶奇が同じであり, $m+n\leq k+l$であるとする. $k+l-2i=m+n-2j$を$i$に関して解くと, $i=j+\frac{k+l-m-n}2$となる. これより,
\begin{align} &\frac 1{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}H_k(x)H_l(x)H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx\\ &=k!l!m!n!\sum_{0\leq j\leq \frac{m+n}2}\frac{2^{j+(k+l-m-n)/2}}{\left(j+\frac{k+l-m-n}2\right)!\left(\frac{m+n+k-l}2-j\right)!\left(\frac{m+n+l-k}2-j\right)!}\frac{2^j}{j!(m-j)!(n-j)!}2^{m+n-2j}(m+n-2j)!\\ &=2^{(k+l+m+n)/2}k!l!m!n!\sum_{0\leq j\leq \frac{m+n}2}\frac{(m+n-2j)!}{\left(j+\frac{k+l-m-n}2\right)!\left(\frac{m+n+k-l}2-j\right)!\left(\frac{m+n+l-k}2-j\right)!j!(m-j)!(n-j)!}\\ &=\frac{2^{(k+l+m+n)/2}k!l!(m+n)!}{\left(\frac{k+l-m-n}{2}\right)!\left(\frac{m+n+k-l}2\right)!\left(\frac{m+n+l-k}2\right)!}\sum_{0\leq j\leq \frac{m+n}2}\frac{\left(\frac{l-k-m-n}2,\frac{k-l-m-n}2,-m,-n\right)_j}{j!\left(1+\frac{k+l-m-n}2\right)_j(-m-n)_{2j}}\\ &=\frac{2^{(k+l+m+n)/2}k!l!(m+n)!}{\left(\frac{k+l-m-n}{2}\right)!\left(\frac{m+n+k-l}2\right)!\left(\frac{m+n+l-k}2\right)!}\F43{\frac{l-k-m-n}2,\frac{k-l-m-n}2,-m,-n}{1+\frac{k+l-m-n}2,-\frac{m+n}2,\frac{1-m-n}2}{\frac 14}\\ \end{align}
が得られる. まとめると以下のようになる.

この和は$j$をずらして
\begin{align} &\sum_{0\leq j\leq \frac{m+n}2}\frac{(m+n-2j)!}{\left(j+\frac{k+l-m-n}2\right)!\left(\frac{m+n+k-l}2-j\right)!\left(\frac{m+n+l-k}2-j\right)!j!(m-j)!(n-j)!}\\ &=\sum_{0\leq j\leq \frac{k+l+m+n}2}\frac{(k+l+m+n-2j)!}{\left(j-\frac{k+l}2\right)!\left(j-\frac{m+n}2\right)!\left(\frac{m+n}2+k-j\right)!\left(\frac{m+n}2+l-j\right)!\left(\frac{k+l}2+m-j\right)!\left(\frac{k+l}2+n-j\right)!}\\ \end{align}
と書くと若干対称的な形になるが, $k,l,m,n$の4つの変数に関して対称な形というわけではない.

${}_4F_3$の変換公式

定理1においてさらに$k+n\leq m+l$も成り立っているとき, 右辺は$k,m$の入れ替えによって不変である. つまり
\begin{align} &\frac{2^{(k+l+m+n)/2}k!l!(m+n)!}{\left(\frac{k+l-m-n}{2}\right)!\left(\frac{m+n+k-l}2\right)!\left(\frac{m+n+l-k}2\right)!}\F43{\frac{l-k-m-n}2,\frac{k-l-m-n}2,-m,-n}{1+\frac{k+l-m-n}2,-\frac{m+n}2,\frac{1-m-n}2}{\frac 14}\\ &=\frac{2^{(k+l+m+n)/2}m!l!(k+n)!}{\left(\frac{m+l-k-n}{2}\right)!\left(\frac{m+n+k-l}2\right)!\left(\frac{k+n+l-m}2\right)!}\F43{\frac{l-k-m-n}2,\frac{m-l-k-n}2,-k,-n}{1+\frac{m+l-k-n}2,-\frac{k+n}2,\frac{1-k-n}2}{\frac 14} \end{align}
となる. これを整理すると, 以下の${}_4F_3$の変換公式が得られる.

これは一見して${}_4F_3$の非自明な変換公式を与えているように見える.

4乗の場合

$k=l=m=n$の場合, 定理1は
\begin{align} \frac 1{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}H_n(x)^4e^{-x^2}\,dx&=2^{2n}n!^4\sum_{k=0}^n\frac{(2n-2k)!}{k!^2(n-k)!^4}\\ &=2^{2n}n!^2\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\\ &=2^{2n}n!^2\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}{k} \end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.

ここに現れている数列
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
は Zagier's sporadic sequences の1つであり, 上の表示は Laguerre多項式の積分によるFranel数の表示
\begin{align} \int_0^{\infty}L_n(x)^3e^{-x}\,dx&=(-1)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^3 \end{align}
の類似と言えるかもしれない. このように直交多項式の冪の積分にsporadic sequencesが現れるという現象はかなり面白いと思ったので, 詳しく調べていきたいところである.