(f±g)'＝f'±g'となる例

微分積分,解析学,微分積分学

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タイトルオチです！こちらの記事 Ohrui（削除済みなのでアーカイブです）と happy_turn happy_turn2 も是非チェックして下さい〜

本題

高校でも習うように（微分可能な）関数の組は全て、この例になっています。

流石に何も説明しないのは良くないと思うので、一応証明はしておきたいと思います！

$f, g$を点$a \in \mathbb R$の近傍で定義された実数値関数とする. このとき, $f$と$g$が共に点$a$で微分可能ならば, $f \pm g$も点$a$で微分可能であり,

$$(f \pm g)’(a) = f’(a) \pm g’(a)$$

となる.

\begin{align} f’(a) \pm g’(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \pm \lim_{h \to 0} \frac{g(a+h) - g(a)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \pm \frac{g(a+h) - g(a)}{h} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(f(a+h) - f(a)) \pm (g(a+h) - g(a))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(f(a+h) \pm g(a+h)) - (f(a) \pm g(a))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(f \pm g)(a+h) - (f \pm g)(a)}{h} \\ &= (f \pm g)’(a). \end{align}
（証明終）