(fg)'＝f'g'となる例
ごあいさつ
こんにちは！はっぴーたーんです！
今回は$(fg)' = f'g'$となる関数の例を見ていきたいと思います！元ネタの記事 Ohrui（削除済みなのでアーカイブです）が削除されてしまったので、元記事では解説されていなかった内容も補完したものとなります〜 happy_turn happy_turn2 もぜひチェックしてみて下さい！
それでは、やっていきましょ〜
本題
まず、今回の問題を改めて正確に述べると次の形になります。
次の関係式を満たす関数$f$と$g$の組を求めよ：
$$(fg)' = f'g'\ .$$
では、早速この問題を解いていきましょ〜
まず、左辺を積の微分を用いて書き換えると、次の形に直すことが出来ます。
$$f'g + fg' = f'g'$$
ここで、関数$g$を固定することで、この関係式を$f$に関する微分方程式だと思うことにします。すると、この方程式は次のように解くことが出来ます〜
まず、元の方程式を$f$について整理することで、次の形に直すことが出来ます。
$$\frac{f'}{f} = \frac{g'}{g' - g}$$
この式の両辺を積分することで、次の式が得られます。（以降、断りがなければ、$C$は適当な定数を表すこととします）
$$\log f(x) + C = \int\frac{g'(y)}{g'(y) - g(y)}\,dy$$
よって、次の結論が得られます〜
$$f(x) = C \exp \left(\int\frac{g'(y)}{g'(y) - g(y)}\,dy \right)$$
商のときに比べて元からシンプルですね！
それでは、早速$g(x)$に具体的な関数を代入していきましょ〜！（ただし、以降は簡単のために$C = 1$で考えます）
このとき,
$$\int\frac{g'(y)}{g'(y) - g(y)}\,dy = \int \frac{a y^{a-1}}{a y^{a-1} - y^a}\, dy = \int \frac{a}{a - y}\, dy = - a\log(a-x)$$
となるので,
$$f(x) = \exp(-a\log(a-x)) = (a-x)^{-a}$$
が解となる. 実際,
\begin{align} (f(x)g(x))' &= \left((a-x)^{-a}x^a\right)' \\ &= a (a-x)^{-a-1} x^{a} + a(a-x)^{-a} x^{a-1} \\ &= a x^{a-1}(a-x)^{-a-1}\left(x + (a-x)\right) \\ &= a^2 x^{a-1}(a-x)^{-a-1} \end{align}
であり,
$$f'(x)g'(x) = (a (a-x)^{-a-1})(a x^{a-1}) = a^2x^{a-1}(a-x)^{-a-1}$$
となるので, この$f(x), g(x)$は元の関係式を満たしている.
それでは、次の例も見ていきましょ〜
このとき,
$$\int\frac{g'(y)}{g'(y) - g(y)}\,dy = \int \frac{a}{a-1}\, dy = \frac{a}{a-1}x$$
なので,
$$f(x) = e^{\frac{a}{a-1}x}$$
が解となる. 実際,
$$(f(x)g(x))' = \left( e^{\left(\frac{a}{a-1} + a\right)x} \right)' = \left( e^{\frac{a+(a^2-a)}{a-1}x} \right)' = \left( e^{\frac{a^2}{a-1}x} \right)' = \frac{a^2}{a-1}e^{\frac{a^2}{a-1}x}$$
であり,
$$f'(x)g'(x) = \left(\frac{a}{a-1}e^{\frac{a}{a-1}x}\right) \left(ae^{ax}\right) = \frac{a^2}{a-1}e^{\frac{a^2}{a-1}x}$$
となるので, この$f(x), g(x)$は元の関係式を満たしている.
$a = 0$（つまり、$g(x) = 1$）の場合は、先ほど同様に$f(x)$は定数関数になります〜
また、$g(x) = 0$の場合は全ての$f(x)$が解を満たします〜
$(f/g)' = f'/g'$の解との関係
今回の$f(x)$の$g(x)$による表示と happy_turn の$f(x)$の$g(x)$による表示をよ〜く見比べて見ると、実は指数部分が全く同じ形をしていることが分かります！
このことは、（$g(x)$による表示を用いなくても）次のように確認することが出来ます〜
関数$f(x)$と$g(x)$が関係式$(f(x)g(x))' = f'(x) g'(x)$を満たすとき, $h(x) := f(x)g(x)$とすると
$$\left(\frac{h(x)}{g(x)}\right)' = \frac{h'(x)}{g'(x)}$$
が成り立つ.
まず, $h(x)/g(x) = f(x)$であることから次が得られる.
$$h'(x) = \left(\frac{h(x)}{g(x)}\right)' g'(x)\ .$$
あとは, 両辺を$g'(x)$で割れば良い.
（証明終）
もちろん、逆も成り立ちます！
関数$f(x)$と$g(x)$が関係式$(f(x)/g(x))' = f'(x)/g'(x)$を満たすとき, $h(x) := f(x)/g(x)$とすると
$$\left(h(x)g(x)\right)' = h'(x)g'(x)$$
が成り立つ.
まず, $h(x)g(x) = f(x)$であることから次が得られる.
$$h'(x) = \frac{(h(x)g(x))'}{g'(x)}\ .$$
あとは, 両辺に$g'(x)$をかければ良い.
（証明終）
つまり、一方の例を見つけることが出来れば、そこからもう一方の例も容易に作れる、ということですね〜
おわりに
いかがでしたか？微分方程式を考えることで、いくらでも具体的を作ることが出来るので嬉しいですね〜
それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜
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