(fg)'＝f'g'となる例

ごあいさつ

こんにちは！はっぴーたーんです！

今回は$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$となる関数の例を見ていきたいと思います！元ネタの記事 [1]（削除済みなのでアーカイブです）が削除されてしまったので、元記事では解説されていなかった内容も補完したものとなります〜 [2] [3] もぜひチェックしてみて下さい！

それでは、やっていきましょ〜

本題

まず、今回の問題を改めて正確に述べると次の形になります。

では、早速この問題を解いていきましょ〜

まず、左辺を積の微分を用いて書き換えると、次の形に直すことが出来ます。

$$f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$$

ここで、関数$g$を固定することで、この関係式を$f$に関する微分方程式だと思うことにします。すると、この方程式は次のように解くことが出来ます〜

まず、元の方程式を$f$について整理することで、次の形に直すことが出来ます。

$$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{g^{\prime }}{g^{\prime }-g}$$

この式の両辺を積分することで、次の式が得られます。（以降、断りがなければ、$C$は適当な定数を表すこととします）

$$\log f(x)+C=\int \frac{g^{\prime }(y)}{g^{\prime }(y)-g(y)}dy$$

よって、次の結論が得られます〜

商のときに比べて元からシンプルですね！

それでは、早速$g(x)$に具体的な関数を代入していきましょ〜！（ただし、以降は簡単のために$C=1$で考えます）

それでは、次の例も見ていきましょ〜

$a=0$（つまり、$g(x)=1$）の場合は、先ほど同様に$f(x)$は定数関数になります〜

また、$g(x)=0$の場合は全ての$f(x)$が解を満たします〜

$(f/g{)}^{\prime }=f^{\prime }/g^{\prime }$の解との関係

今回の$f(x)$の$g(x)$による表示と [2] の$f(x)$の$g(x)$による表示をよ〜く見比べて見ると、実は指数部分が全く同じ形をしていることが分かります！

このことは、（$g(x)$による表示を用いなくても）次のように確認することが出来ます〜

もちろん、逆も成り立ちます！

つまり、一方の例を見つけることが出来れば、そこからもう一方の例も容易に作れる、ということですね〜

おわりに

いかがでしたか？微分方程式を考えることで、いくらでも具体的を作ることが出来るので嬉しいですね〜

それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜