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大学数学基礎解説
文献あり

(f/g)'=f'/g'となる例

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ごあいさつ

こんにちは!はっぴーたーんです!

今回は(fg)=fgとなる関数の例を見ていきたいと思います!元ネタはこちらの記事 [1](削除済みなのでアーカイブです)になります〜 [2] [3] もぜひチェックしてみて下さい!

それでは、やっていきましょ〜

本題

まず、今回の問題を改めて正確に述べると次の形になります。

次の関係式を満たす関数fgの組を求めよ:

(fg)=fg .

では、早速この問題を解いていきましょ〜

まず、左辺を商の微分を用いて書き換えると、次の形に直すことが出来ます。

fgfgg2=fg

さらに、両辺の分母を取り払って整理すると次の形に直すことが出来ます。

fggf(g)2=fg2

ここで、関数gを固定することで、この関係式をfに関する微分方程式だと思うことにします。すると、この方程式は次のように解くことが出来ます〜

まず、元の方程式をfについて整理することで、次の形に直すことが出来ます。

ff=(g)2ggg2

この式の両辺を積分することで、次の式が得られます。(以降、断りがなければ、Cは適当な定数を表すこととします)

logf(x)+C=g(y)2g(y)g(y)g(y)2dy

よって、次の結論が得られます。

f(x)=Cexp(g(y)2g(y)g(y)g(y)2dy)

あとは、gに好きな関数を代入することで、いくらでも目的の関数fが得られることになりますが、このままでは少し計算が大変なので、もう少し整理しておきます〜

まず、結論の式の被積分関数は次のように書き換えることが出来ます。

(g)2ggg2=ggggg=gg(1+ggg)=gg+ggg

すると、g(x)/g(x)の項を整理することで、次の式が得られます。

解答

f(x)=Cg(x)exp(g(y)g(y)g(y)dy) .

ここまで整理したら、まあ代入しても良いかな〜という気分になるので、早速g(x)に具体的な関数を代入していきましょ〜!(ただし、以降は簡単のためにC=1で考えます)

g(x)=xa (aR{0}) の場合

このとき,

g(y)g(y)g(y)dy=aya1aya1yady=aaydy=alog(ax)

なので,

f(x)=xaexp(alog(ax))=(xax)a

が解となる. 実際,

(f(x)g(x))=(1(ax)a)=a(ax)a+1

であり,

f(x)g(x)=a(xax)a1(xax)axa1=1(ax)a1(ax)(x)(ax)2=a(ax)a+1

なので, このf(x),g(x)は元の関係式を満たしている.

a=0の場合はg(x)=0となってしまうので除外しています〜

それでは、次の例も見ていきましょ〜

g(x)=eax (aR{1}) の場合

このとき,

g(y)g(y)g(y)dy=aa1dy=aa1x

なので,

f(x)=eaxeaa1x=ea2a1x

が解となる. 実際,

(f(x)g(x))=(eaa1x)=aa1eaa1x

であり,

f(x)g(x)=a2a1ea2a1xaeax=aa1eaa1x

なので, このf(x),g(x)は元の関係式を満たしている.

a=1の場合はg(x)g(x)=0になってしまうので、元の関係式に戻って考えてあげる必要があります〜

まず、元の関係式を整理して分母を払った式を思い出します:

fggf(g)2=fg2

このとき、g(x)=g(x)=exであることから次の関係式が得られます〜

ff=f

これはf=0を意味しているので、(f,g)=(0,ex)が解であることが分かります!

おわりに

いかがでしたか?微分方程式を考えることで、いくらでも具体的を作ることが出来るので嬉しいですね〜

それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜

参考文献

投稿日:20231022
更新日:20231125
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投稿者

北田均・現代数学社『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」(通称「序文と初等的弱解の人」「序文の人」)こと、大類昌俊 (おおるい まさとし, Masatoshi OHRUI) さんと彼のサイト「序文とあとがきの人のブログ」に関する話題をメインに記事を投稿しています! 誹謗中傷や低評価による嫌がらせはお止め下さい。 🧞‍♂️類憐憫令

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