(f/g)'＝f'/g'となる例
ごあいさつ
こんにちは！はっぴーたーんです！
今回は$(\frac{f}{g})' = \frac{f'}{g'}$となる関数の例を見ていきたいと思います！元ネタはこちらの記事 Ohrui（削除済みなのでアーカイブです）になります〜 happy_turn happy_turn2 もぜひチェックしてみて下さい！
それでは、やっていきましょ〜
本題
まず、今回の問題を改めて正確に述べると次の形になります。
次の関係式を満たす関数$f$と$g$の組を求めよ：
$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'}{g'}\ .$$
では、早速この問題を解いていきましょ〜
まず、左辺を商の微分を用いて書き換えると、次の形に直すことが出来ます。
$$\frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{f'}{g'}$$
さらに、両辺の分母を取り払って整理すると次の形に直すことが出来ます。
$$f'gg' - f(g')^2 = f'g^2$$
ここで、関数$g$を固定することで、この関係式を$f$に関する微分方程式だと思うことにします。すると、この方程式は次のように解くことが出来ます〜
まず、元の方程式を$f$について整理することで、次の形に直すことが出来ます。
$$\frac{f'}{f} = \frac{(g')^2}{gg' - g^2}$$
この式の両辺を積分することで、次の式が得られます。（以降、断りがなければ、$C$は適当な定数を表すこととします）
$$\log f(x) + C = \int\frac{g'(y)^2}{g(y)g'(y) - g(y)^2}\,dy$$
よって、次の結論が得られます。
$$f(x) = C \exp \left(\int\frac{g'(y)^2}{g(y)g'(y) - g(y)^2}\,dy \right)$$
あとは、$g$に好きな関数を代入することで、いくらでも目的の関数$f$が得られることになりますが、このままでは少し計算が大変なので、もう少し整理しておきます〜
まず、結論の式の被積分関数は次のように書き換えることが出来ます。
$$\frac{(g')^2}{gg' - g^2} = \frac{g'}{g}\frac{g'}{g' - g} = \frac{g'}{g}\left(1 + \frac{g}{g' - g}\right) = \frac{g'}{g} + \frac{g'}{g' - g}$$
すると、$g'(x)/g(x)$の項を整理することで、次の式が得られます。
$$f(x) = C g(x) \exp \left(\int\frac{g'(y)}{g'(y) - g(y)}\,dy \right)\ .$$
ここまで整理したら、まあ代入しても良いかな〜という気分になるので、早速$g(x)$に具体的な関数を代入していきましょ〜！（ただし、以降は簡単のために$C = 1$で考えます）
このとき,
$$\int\frac{g'(y)}{g'(y) - g(y)}\,dy = \int \frac{a y^{a-1}}{a y^{a-1} - y^a}\, dy = \int \frac{a}{a - y}\, dy = - a\log(a-x)$$
なので,
$$f(x) = x^a \exp(-a\log(a-x)) = \left(\frac{x}{a-x}\right)^a$$
が解となる. 実際,
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \left(\frac{1}{(a-x)^{a}}\right)' = \frac{a}{(a-x)^{a+1}}$$
であり,
$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{a\left(\frac{x}{a-x}\right)^{a-1} \left(\frac{x}{a-x}\right)'}{ax^{a-1}} = \frac{1}{(a-x)^{a-1}}\frac{(a-x)- (-x)}{(a-x)^2} = \frac{a}{(a-x)^{a+1}}$$
なので, この$f(x), g(x)$は元の関係式を満たしている.
$a = 0$の場合は$g'(x) = 0$となってしまうので除外しています〜
それでは、次の例も見ていきましょ〜
このとき,
$$\int\frac{g'(y)}{g'(y) - g(y)}\,dy = \int \frac{a}{a-1}\, dy = \frac{a}{a-1}x$$
なので,
$$f(x) = e^{ax} e^{\frac{a}{a-1}x} = e^{\frac{a^2}{a-1}x}$$
が解となる. 実際,
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \left(e^{\frac{a}{a-1}x}\right)' = \frac{a}{a-1}e^{\frac{a}{a-1}x}$$
であり,
$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{\frac{a^2}{a-1}e^{\frac{a^2}{a-1}x}}{ae^{ax}} = \frac{a}{a-1}e^{\frac{a}{a-1}x}$$
なので, この$f(x), g(x)$は元の関係式を満たしている.
$a = 1$の場合は$g'(x) - g(x) = 0$になってしまうので、元の関係式に戻って考えてあげる必要があります〜
まず、元の関係式を整理して分母を払った式を思い出します：
$$f'gg' - f(g')^2 = f'g^2$$
このとき、$g'(x) = g(x) = e^x$であることから次の関係式が得られます〜
$$f' - f = f'$$
これは$f = 0$を意味しているので、$(f, g) = (0, e^x)$が解であることが分かります！
おわりに
いかがでしたか？微分方程式を考えることで、いくらでも具体的を作ることが出来るので嬉しいですね〜
それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜
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