(f/g)'＝f'/g'となる例

ごあいさつ

こんにちは！はっぴーたーんです！

今回は$(\frac{f}{g}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$となる関数の例を見ていきたいと思います！元ネタはこちらの記事 Ohrui（削除済みなのでアーカイブです）になります〜 happy_turn happy_turn2 もぜひチェックしてみて下さい！

それでは、やっていきましょ〜

本題

まず、今回の問題を改めて正確に述べると次の形になります。

では、早速この問題を解いていきましょ〜

まず、左辺を商の微分を用いて書き換えると、次の形に直すことが出来ます。

$$\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$$

さらに、両辺の分母を取り払って整理すると次の形に直すことが出来ます。

$$f^{\prime }g{g}^{\prime }-f(g^{\prime }{)}^2=f^{\prime }{g}^2$$

ここで、関数$g$を固定することで、この関係式を$f$に関する微分方程式だと思うことにします。すると、この方程式は次のように解くことが出来ます〜

まず、元の方程式を$f$について整理することで、次の形に直すことが出来ます。

$$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{(g^{\prime }{)}^2}{g{g}^{\prime }-g^2}$$

この式の両辺を積分することで、次の式が得られます。（以降、断りがなければ、$C$は適当な定数を表すこととします）

$$\log f(x)+C=\int \frac{g^{\prime }(y{)}^2}{g(y)g^{\prime }(y)-g(y{)}^2}dy$$

よって、次の結論が得られます。

$$f(x)=C\exp (\int \frac{g^{\prime }(y{)}^2}{g(y)g^{\prime }(y)-g(y{)}^2}dy)$$

あとは、$g$に好きな関数を代入することで、いくらでも目的の関数$f$が得られることになりますが、このままでは少し計算が大変なので、もう少し整理しておきます〜

まず、結論の式の被積分関数は次のように書き換えることが出来ます。

$$\frac{(g^{\prime }{)}^2}{g{g}^{\prime }-g^2}=\frac{g^{\prime }}{g}\frac{g^{\prime }}{g^{\prime }-g}=\frac{g^{\prime }}{g}(1+\frac{g}{g^{\prime }-g})=\frac{g^{\prime }}{g}+\frac{g^{\prime }}{g^{\prime }-g}$$

すると、$g^{\prime }(x)/g(x)$の項を整理することで、次の式が得られます。

ここまで整理したら、まあ代入しても良いかな〜という気分になるので、早速$g(x)$に具体的な関数を代入していきましょ〜！（ただし、以降は簡単のために$C=1$で考えます）

$a=0$の場合は$g^{\prime }(x)=0$となってしまうので除外しています〜

それでは、次の例も見ていきましょ〜

$a=1$の場合は$g^{\prime }(x)-g(x)=0$になってしまうので、元の関係式に戻って考えてあげる必要があります〜

まず、元の関係式を整理して分母を払った式を思い出します：

$$f^{\prime }g{g}^{\prime }-f(g^{\prime }{)}^2=f^{\prime }{g}^2$$

このとき、$g^{\prime }(x)=g(x)=e^x$であることから次の関係式が得られます〜

$$f^{\prime }-f=f^{\prime }$$

これは$f=0$を意味しているので、$(f,g)=(0,e^x)$が解であることが分かります！

おわりに

いかがでしたか？微分方程式を考えることで、いくらでも具体的を作ることが出来るので嬉しいですね〜

それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜