微積演習 (4)

1. $a \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$ とする。このとき，以下の不定積分をそれぞれ求めよ。
   \begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \ \ \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} \, dx \, \boldsymbol{,} \quad \int \dfrac{x^{2}}{ \sqrt{a^{2} - x^{2}} } \, dx \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \textsf{(b)} \ \ \int \sqrt{a^{2} + x^{2}} \, dx \, \boldsymbol{,} \quad \int \dfrac{x^{2}}{ \sqrt{a^{2} + x^{2}} } \, dx \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align}
2. 定積分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{2y}^{2} 4 e^{x^{2}} \, dx \, dy$ の値を求めよ。

1. $\displaystyle \left( A_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} \, \boldsymbol{,} \ \ \left( \Omega_{\lambda} \right)_{\lambda > 0} $ を集合族とする。このとき，以下の問いに答えよ。
   \begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \ \ \textsf{ $\left( A_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ の 上極限 $\limsup_{n \to \infty} A_{n}$ と 下極限 $\liminf_{n \to \infty} A_{n}$ の定義を書け。 } \\[5pt] & \textsf{(b)} \ \ \textsf{ $\left( \Omega_{\lambda} \right)_{\lambda > 0}$ の 上極限 $\limsup_{\lambda \to +0} \, \Omega_{\lambda}$ と 下極限 $\liminf_{\lambda \to +0} \, \Omega_{\lambda}$ の定義を書け。 } \\[5pt] & \textsf{(c)} \ \ \textsf{包含関係} \\[5pt] &{\hphantom{\textsf{(c)}}{\ \ }} \begin{aligned} &{\qquad} \liminf_{n \to \infty} A_{n} \subset \limsup_{n \to \infty} A_{n} \, \boldsymbol{,} \qquad \liminf_{\lambda \to +0} \, \Omega_{\lambda} \subset \limsup_{\lambda \to +0} \, \Omega_{\lambda} \\[5pt] & \textsf{をそれぞれ示せ。} \end{aligned} \end{aligned} \end{align}
2. $\left( X ,\, \mathcal{T} \right)$ を位相空間とし，$D \subset X$ とする。このとき，$D$ が連結であることの定義を書け。

$A ,\, B$ を位相空間内の空でないコンパクト部分集合とし，$f \, \boldsymbol{:} \, A \times B \to \mathbb{R}$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

1. 不等式
   \begin{align} \qquad \begin{aligned} \max_{x \in A} \min_{y \in B} f( x ,\, y ) \leq \min_{y \in B} \max_{x \in A} f ( x ,\, y ) \end{aligned} \end{align}
   が成り立つことを示せ。
   ${}$

2. $\textsf{[\,鞍点定理\,]}\quad$ $a \in A \boldsymbol{,} \ \ b \in B$ とする。このとき，2 条件
   \begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \ \ \textsf{任意の $x \in A \boldsymbol{,} \ \ y \in B$ に対して} \boldsymbol{,} \ \ f ( x ,\, b ) \leq f ( a ,\, b ) \leq f ( a ,\, y ) \ \boldsymbol{;} \\[10pt] & \textsf{(b)} \ \ \max_{x \in A} f ( x ,\, b ) = f ( a ,\, b ) = \min_{y \in B} f ( a ,\, y ) \end{aligned} \end{align}
   は同値であることを示せ。
   ${}$

3. $\textsf{[\,ミニマックス定理の半分\,]}\quad$ 鞍点の存在条件
   \begin{align} \qquad \begin{aligned} & \textsf{ある $x^{*} \in A \boldsymbol{,} \ \ y^{*} \in B$ が存在して} \boldsymbol{,} \ \ \\[5pt] & \textsf{任意の $x \in A \boldsymbol{,} \ \ y \in B$ に対して} \boldsymbol{,} \ \ f ( x ,\, y^{*} ) \leq f ( x^{*} ,\, y^{*} ) \leq f ( x^{*} ,\, y ) \end{aligned} \end{align}
   を仮定する。このとき，
   \begin{align} \qquad \begin{aligned} \max_{x \in A} \min_{y \in B} f( x ,\, y ) = f ( x^{*} ,\, y^{*} ) = \min_{y \in B} \max_{x \in A} f ( x ,\, y ) \end{aligned} \end{align}
   が成り立つことを示せ。

関数 $f \, \boldsymbol{:} \, ( 0 ,\, \infty ) \to \mathbb{R}$ が，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} \textsf{任意の $x ,\, y \in (0, \infty)$ に対して} \boldsymbol{,} \ \ f ( x y ) = f(x) f(y) \end{aligned} \end{align}
を満たすとする。このとき，以下の問いに答えよ。

1. 任意の $x > 0$ に対して $f(x) \geq 0$ となることを示せ。

2. ある $x_{0} > 0$ が存在して $f(x_{0}) \neq 0$ ならば，任意の $x > 0$ に対して $f(x) > 0$ となることを示せ。

3. 関数 $g \, \boldsymbol{:} \, ( 0 ,\, \infty ) \to \mathbb{R}$ が，2 条件
   \begin{align} \quad \begin{aligned} & \textsf{(a)} \quad \textsf{$g$ は $\left( 0 ,\, \infty \right)$ 上で連続} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \textsf{(b)} \quad \textsf{任意の $x ,\, y \in (0, \infty)$ に対して} \boldsymbol{,} \ \ g(xy) = g(x) + g(y) \end{aligned} \end{align}
   を満たすとする。また，$c := g (e)$ と置く。このとき，
   \begin{align} \qquad \begin{aligned} \textsf{任意の $x > 0$ に対して} \boldsymbol{,} \ \ g(x) = c \log{x} \end{aligned} \end{align}
   が成り立つことを示せ。

4. 関数 $f$ が，2 条件
   \begin{align} \quad \begin{aligned} & \textsf{(c)} \quad \textsf{$f$ は $\left( 0 ,\, \infty \right)$ 上で連続} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \textsf{(d)} \quad f (1) \neq 0 \end{aligned} \end{align}
   を満たすとする。また，$\alpha := \log{ f(e) }$ と置く。このとき，
   \begin{align} \qquad \begin{aligned} \textsf{任意の $x > 0$ に対して} \boldsymbol{,} \ \ f(x) = x^{\alpha} \end{aligned} \end{align}
   が成り立つことを示せ。

$N$ を正の整数，$\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ を有界領域，$\lambda \geq 1$ とし，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} g \in C^{0} ( \partial \Omega ) \, \boldsymbol{,} \qquad M := \max_{\partial \Omega} g \geq 0 \end{aligned} \end{align}
とする。また，関数 $u \, \boldsymbol{:} \, \overline{\Omega} \to \mathbb{R}$ が，3 条件
\begin{align} \quad & \begin{aligned} \textsf{(a)} \quad u \in C^{2} ( \Omega ) \cap C^{0} ( \overline{\Omega} ) \ \boldsymbol{;} \end{aligned} \\[7.5pt] & \begin{aligned} \textsf{(b)} \quad \textsf{$\Omega$ 上で} \ \ u \not \equiv M \ \boldsymbol{;} \end{aligned} \\[5pt] & \begin{aligned} \textsf{(c)} \quad \left\{ \begin{array}{ll} \Delta u (x) = \left\{ u (x) \right\}^{\lambda} &{\ \ } \left( \, \forall \, x \in \Omega \, \right) \\[2.5pt] u (x) = g (x) &{\ \ } \left( \, \forall \, x \in \partial \Omega \, \right) \\ \end{array} \right. \end{aligned} \end{align}
を満たすとする。（ここで，$\overline{\Omega}$ は $\mathbb{R}^{N}$ 内における $\Omega$ の閉包，$\partial \Omega$ は $\Omega$ の境界である。）このとき，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} \textsf{任意の $x \in \Omega$ に対して} \boldsymbol{,} \quad u (x) < M \end{aligned} \end{align}
となることを示せ。