一様分布の期待値と分散、累積分布関数。

Def.

Prop&Proof.

一様分布 $U(a,b)$ の確率密度関数 $p:\mathbb R\to[0,\infty)$ は、
$$ p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\ 0, & x< a\text{ または }x>b \end{cases} $$
である。

1. まず、$X$ が可積分であることを示す。
   $$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}|x|p(x)\,dx &= \int_a^b |x|\frac{1}{b-a}\,dx\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b |x|\,dx \end{aligned} $$
   である。ここで、関数 $x\mapsto |x|$ は閉区間 $[a,b]$ 上で連続である。
   したがって、最大値の定理により、ある $M\ge0$ が存在して、任意の $x\in[a,b]$ に対して
   $$ |x|\le M $$
   が成り立つ。例えば、
   $$ M:=\max\{|a|,|b|\} $$
   とおけばよい。また、仮定より $a< b$ であるから、
   $$ b-a>0 $$
   である。したがって、
   $$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}|x|p(x)\,dx &= \int_a^b |x|\frac{1}{b-a}\,dx\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b |x|\,dx\\ &\le \frac{1}{b-a}M(b-a)\\ &= M< \infty \end{aligned} $$
   である。したがって、
   $$ \mathbb E[|X|] = \int_{-\infty}^{\infty}|x|p(x)\,dx < \infty $$
   である。ゆえに、$X$ は可積分である。
   $ $
2. 次に、期待値を計算する。期待値の定義より、
   $$ \begin{aligned} \mathbb E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}x p(x)\,dx\\ &= \int_a^b x\frac{1}{b-a}\,dx\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b x\,dx\\ &= \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b\\ &= \frac{1}{b-a}\left(\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}\right)\\ &= \frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^2-a^2}{2}\\ &= \frac{1}{b-a}\cdot\frac{(b-a)(b+a)}{2}\\ &= \frac{a+b}{2} \end{aligned} $$
   である。

-以上より、
$$ \mathbb E[X]=\frac{a+b}{2} $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

一様分布 $U(a,b)$ の確率密度関数 $p:\mathbb R\to[0,\infty)$ は、
$$ p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\ 0, & x< a\text{ または }x>b \end{cases} $$
である。

1. まず、$X$ が二乗可積分であることを示す。
   期待値の定義より、
   $$ \begin{aligned} \mathbb E[X^2] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^2p(x)\,dx\\ &= \int_a^b x^2\frac{1}{b-a}\,dx\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b x^2\,dx\\ &= \frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b\\ &= \frac{1}{b-a}\left(\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}\right)\\ &= \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} \end{aligned} $$
   である。ここで、
   $$ b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2) $$
   である。また、$a< b$ より $b-a\neq0$ である。
   したがって、
   $$ \begin{aligned} \mathbb E[X^2] &= \frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3(b-a)}\\ &= \frac{b^2+ab+a^2}{3} \end{aligned} $$
   である。右辺は有限な実数であるから、
   $$ \mathbb E[X^2]<\infty $$
   である。ゆえに、$X$ は二乗可積分である。
   $ $
2. 次に、分散を計算する。
   すでに示した通り、一様分布 $U(a,b)$ に従う確率変数 $X$ の期待値は
   $$ \mathbb E[X]=\frac{a+b}{2} $$
   である。
   また、$X$ は二乗可積分であるから、分散の公式より、
   $$ \mathbb V(X)=\mathbb E[X^2]-(\mathbb E[X])^2 $$
   である(直前の命題)。
   したがって、
   $$ \begin{aligned} \mathbb V(X) &= \mathbb E[X^2]-(\mathbb E[X])^2\\ &= \frac{b^2+ab+a^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\\ &= \frac{b^2+ab+a^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4}\\ &= \frac{4(b^2+ab+a^2)}{12} - \frac{3(a+b)^2}{12}\\ &= \frac{4(b^2+ab+a^2)-3(a+b)^2}{12}\\ &= \frac{4b^2+4ab+4a^2-3(a^2+2ab+b^2)}{12}\\ &= \frac{4b^2+4ab+4a^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}\\ &= \frac{b^2-2ab+a^2}{12}\\ &= \frac{(b-a)^2}{12} \end{aligned} $$
   である。

-以上より、$X$ は二乗可積分であり、
$$ \mathbb V(X)=\frac{(b-a)^2}{12} $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

累積分布関数の定義より、任意の $x\in\mathbb R$ に対して
$$ F_X(x)=\mathbb P(X\le x) $$
である。
また、$X$ は確率密度関数 $f_X$ をもつので、
$$ F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt $$
が成り立つ。
以下、$x$ の範囲で場合分けする。

1. $x< a$ の場合
   このとき、任意の $t\le x$ に対して $t< a$ である。
   したがって、$f_X(t)=0$ である。
   ゆえに、
   $$ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt = \int_{-\infty}^{x}0\,dt = 0 $$
   である。
   $ $
2. $a\le x\le b$ の場合
   このとき、$t< a$ では $f_X(t)=0$ であり、$a\le t\le x$ では
   $$ f_X(t)=\frac{1}{b-a} $$
   である。したがって、
   $$ \begin{aligned} F_X(x) &= \int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt\\ &= \int_a^x\frac{1}{b-a}\,dt\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^x1\,dt\\ &= \frac{1}{b-a}[t]_a^x\\ &= \frac{x-a}{b-a} \end{aligned} $$
   である。
   $ $
3. $x>b$ の場合
   このとき、$t< a$ では $f_X(t)=0$ であり、$a\le t\le b$ では
   $$ f_X(t)=\frac{1}{b-a} $$
   であり、$t>b$ では $f_X(t)=0$ である。
   したがって、
   $$ \begin{aligned} F_X(x) &= \int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt\\ &= \int_a^b\frac{1}{b-a}\,dt\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b1\,dt\\ &= \frac{1}{b-a}[t]_a^b\\ &= \frac{b-a}{b-a}\\ &= 1 \end{aligned} $$
   である。

-以上より、
$$ F_X(x) = \begin{cases} 0, & x< a,\\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x\le b,\\ 1, & x>b \end{cases} $$
が成り立つ。
$$ \Box$$