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大学数学基礎解説
文献あり

保型形式入門:Γ\ℍの位相

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はじめに

 この記事では 前回の記事 に引き続き保型形式の基礎理論について要所を掻い摘んで解説していきます。

商空間ΓH

 ΓHには自然な写像
π:HΓHzΓz
による商位相、つまり
{VΓHπ1(V)H}
を開集合系とする位相を入れることができる。
 多くの場合ΓHはコンパクトにはならないが、これにΓの尖点を付け加えるとコンパクト化できることがある。そのことについての事実を簡単に紹介しておこう。

Hの位相

 Fuchs群Γに対しその尖点全体の集合をPΓR{}とし
H=HPΓ
とおく。この集合に対し次のような基本近傍系によって位相を定める。
Ul={zHIm(z)>l},Ul=Ul{}
とおいておく。

  1. zHに対してはzHにおける基本近傍系を取る。
  2. xPΓに対してはσx=なるσSL2(R)を取り
    {σ1Ull>0}
    を基本近傍系として取る(σ1Ulは実軸でxと接する円の内部を表す)。

 ΓHにも作用するので商空間ΓHを考えることができる。

ハウスドルフ性について

 任意のx,yHに対しそれぞれの開近傍U,Vであって
γUVγx=y(γΓ)
を満たすようなものが存在する。

  前々回の記事 の定理3より任意のx,yHの近傍U0,V0であって
{γΓγU0V0}
が有限集合となるようなものが取れる。このとき
{γΓγU0V0}={γ1,γ2,,γn}
とおき、必要に応じて順番を入れ替えることで
γkxy(1km),γkx=y(m<kn)
としてよい。
 いま(Hのハウスドルフ性から)1kmに対しγkx,yの近傍Uk,VkであってUkVk=なるものを取り
U=U0γ11U1γm1Um,V=V0V1Vm
とおくと
γUVγ{γm+1,,γn}γx=y
が成り立つ。

 ΓHはハウスドルフである。

 HからΓHへの自然な写像をπとおく。いま任意のx,yHに対し補題のような開近傍U,Vを取ると
π1(π(U))=γΓγU
よりπ(U),π(V)はそれぞれπ(x),π(y)の開近傍となる。また
π(U)π(V)γΓ,γUVγΓ,γx=yπ(x)=π(y)
が成り立つのでΓHはハウスドルフであることがわかる。

 ΓHについても概ね同様にしてハウスドルフであることが示せるが、具体的に確かめるには少し手間がかかるためここでは特に解説しない。ただ補題1の系として得られる次の主張は後でも何度か使うので紹介しておく。

 任意のzHに対しその近傍Uであって
γUUγz=z(γΓ)
を満たすようなものが存在する。

 補題1のようなU,Vx=y=zに対して取ると、UVは主張を満たす。

コンパクト性について

 ΓHをコンパクトにするΓのことを第一種のFuchs群と言う。
 補題3を使うとコンパクト性の必要条件として次のようなことがわかる。

 HからΓHへの自然な写像をπとおいたとき、Hにおける楕円点/尖点zΓHにおける像π(z)ΓH楕円点/尖点という。またΓHの楕円点でも尖点でもない点を通常点という。

 Γが第一種のFuchs群ならΓHの楕円点および尖点は有限個である。

 任意のzHに対し補題3のような近傍Uzを取る。このときUzがあるγw=wなる固定点wを含んだとするとUzの取り方からγz=zでもあるが、γH上で二つ個以上の固定点を持たないのでw=zとなる。特にUzは高々一つしか固定点を持たない。
 またΓH=zHπ(Uz)からコンパクト性よりΓH=k=1nπ(Uzk)とできるので主張を得る。

 またコンパクト性の必要十分条件として次のような非常に強力な定理が知られている。なおその証明については非常に煩雑であるためここでは紹介しない。

(Siegel)

 Γの基本領域をΩとおいたとき、Γが第一種のFuchs群であることと
v(ΓH)=v(Ω):=Ωdxdyy2<
が成り立つことは同値である。

 例えばΓ=SL2(Z)に対する基本領域として
Ω={zH|Re(z)|<12,|z|>1}
が取れることが知られているので
v(Ω)=12121x2dxdyy2=1212dx1x2=π3
と計算でき、SL2(Z)は第一種のFuchs群であることがわかる。

 また例えば
Γ={(1n01)nZ}
とおくと、その基本領域として
Ω={zH0<|Re(z)|<1}
が取れるので
v(Ω)=010dxdyy2=
と計算でき、ΓHはコンパクトではないことがわかる。

 第一種のFuchs群Γに対し、その指数有限の部分群Γも第一種のFuchs群となる。

 ΩΓの基本領域とし、π:HΓHを自然な写像zΓzとする。このとき
Γ=i=1nγiΓ(n=[G:G])
と直和分解するとπ(i=1nγiΩ)=ΓHが成り立つので
v(ΓH)i=1nv(γiΩ)=nv(Ω)<
を得る。

 レベルNの主合同部分群Γ(N)は第一種のFuchs群である。

参考文献

[1]
土井公二, 三宅敏恒, 保型形式と整数論, 紀伊國屋書店, 1973
投稿日:2023629
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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  2. 商空間$\G\backslash\H^*$
  3. ハウスドルフ性について
  4. コンパクト性について
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