不定値直交群についての覚書
定義
対称行列$A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$に対して，
$$
\mathrm{O}(A) \coloneqq \{T \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R}) \mid T^{\T}AT = A\}$$
とおく．とくに，
$$
A = E_{p,q} \coloneqq E_{p} \oplus (-E_{q}),\ p,q \geq 1,\ p+q=n$$
のとき，
$$
\mathrm{O}(p,q) \coloneqq \mathrm{O}(E_{p,q})$$
と定める．
- $E_{n} \in \mathrm{O}(A)$である．
- 任意の$S,T \in \mathrm{O}(A)$に対して，
$$ (ST)^{\T}A(ST) = T^{\T}(S^{\T}AS)T = T^{\T}AT = A$$
より，$ST \in \mathrm{O}(A)$が成り立つ． - $A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$のとき，
$$ T^{\T}AT=A \quad\leadsto\quad (\det{T})^{2} = 1$$
より，$\mathrm{O}(A) \subset \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$となる．さらに，
$$ A = T^{-\T}AT^{-1}$$
が成り立つので，$T^{-1} \in \mathrm{O}(A)$を得る．したがって，$\mathrm{O}(A)$は$\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$の部分群である． - 任意の$T \in \mathrm{O}(p,q)$に対して，$E_{p,q}=E_{p,q}^{-1}$より
$$ E_{p,q} = T^{-\T}E_{p,q}T^{-1} \quad\leadsto\quad TE_{p,q}T^{\T} = (T^{-\T}E_{p,q}T^{-1})^{-1} = E_{p,q}^{-1} = E_{p,q}$$
となるので，$T^{\T} \in \mathrm{O}(p,q)$が成り立つ．
$(p,q)=(1,1)$のとき，
$$
\begin{bmatrix}
t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22}
\end{bmatrix} \in \mathrm{O}(1,1) \iff \begin{dcases}
t_{11}^{2} - t_{21}^{2} = 1 \\[2pt]
t_{11}t_{12} = t_{21}t_{22} \\[2pt]
t_{12}^{2} - t_{22}^{2} = -1
\end{dcases}$$
であるから，
$$
\left\{\begin{bmatrix}
\cosh{t} & \sinh{t} \\ \sinh{t} & \cosh{t}
\end{bmatrix} \,\middle|\, t \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathrm{O}(1,1)$$
を得る．
$A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$を対称行列とする．このとき，任意の$P \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$に対して，
$$
\mathrm{O}(P^{\T}AP) = P^{-1}\mathrm{O}(A)P$$
が成り立つ．
\begin{align} T \in \mathrm{O}(P^{\T}AP) &\iff T^{\T} \cdot P^{\T}AP \cdot T = P^{\T}AP \\ &\iff (PTP^{-1})^{\T} \cdot A \cdot (PTP^{-1}) = A \\ &\iff PTP^{-1} \in \mathrm{O}(A) \\ &\iff T \in P^{-1}\mathrm{O}(A)P. \end{align}
$$ \mathrm{O}(p,q) \cong \mathrm{O}(q,p).$$
$\mathrm{O}(p,q) = \mathrm{O}(-E_{p,q})$であり，
$$
\begin{bmatrix}
& E_{q} \\ E_{p} &
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-E_{p} & \\ & E_{q}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
& E_{p} \\ E_{q} &
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
E_{q} & \\ & -E_{p}
\end{bmatrix}$$
が成り立つので，conjより結論を得る．
非コンパクト性
$A \in \mathrm{M}_{m}(\mathbb{R})$を対称行列とする．このとき次は同値である：
- $A$の固有値はいづれも$1$未満である；
- $A < E_{m}.$
(i)$\implies$(ii)
$E_{m}-A$の固有値がすべて正であることを示せばよい（cf. satakep.161）．そこで
$$
(E_{m}-A)x = \alpha x,\ x \neq 0$$
とすると，
$$
Ax = (1-\alpha)x$$
より$1-\alpha$は$A$の固有値なので
$$
1-\alpha < 1 \quad\leadsto\quad 0 < \alpha$$
を得る．
(ii)$\implies$(i)
$Ax=\alpha x,\,x\neq 0,\,$とすると，
$$
(E_{m}-A)x = (1-\alpha)x$$
より$1-\alpha$は$E_{m}-A>O_{m}$の固有値なので，
$$
1-\alpha > 0 \quad\leadsto\quad \alpha < 1$$
を得る．
$\mathrm{O}(p,q)$はコンパクトでない．
$T \in \mathrm{O}(p,q)$を
$$
T = \begin{bmatrix}
T_{1} & T_{12} \\ T_{21} & T_{2}
\end{bmatrix},\ T_{1} \in \mathbb{R}^{p \times p},\ T_{12} \in \mathbb{R}^{p \times q},\ T_{21} \in \mathbb{R}^{q \times p},\ T_{2} \in \mathbb{R}^{q \times q}$$
と区分けしたとき，連続写像
$$
\varphi \colon \mathrm{O}(p,q) \to \mathbb{R}^{q \times p};\ T \mapsto T_{21}$$
が全射であることを示せばよい．そこで，$T_{21} \in \mathbb{R}^{q \times p}$とする．
- いま，
$$ E_{p}+T_{21}^{\T}T_{21} \geq E_{p} > O_{p}$$
であるから，上三角行列$T_{1} \in \mathrm{GL}_{p}(\mathbb{R})$であって
$$ T_{1}^{\T}T_{1} = E_{p} + T_{21}^{\T}T_{21},\ T_{1}(i,i)>0$$
なるものがただ一つ存在する（cf. satakepp.161-162）． - $T_{1}^{\T}T_{1} > O_{p}$より$T_{1}T_{1}^{\T} > O_{p}$なので（cf. coeff），
$$ E_{p} - T_{1}^{-\T}T_{21}^{\T}T_{21}T_{1}^{-1} = T_{1}^{-\T}(T_{1}^{\T}T_{1} - T_{21}^{\T}T_{21})T_{1}^{-1} = T_{1}^{-\T}E_{p}T_{1}^{-1} = (T_{1}T_{1}^{\T})^{-1} > O_{p}$$
となる．よって，lessthan1より$(T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}T_{21}T_{1}^{-1}$の固有値はすべて$1$未満であるから，$T_{21}T_{1}^{-1}(T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}$の固有値もすべて$1$未満であり（cf. coeff），したがって
$$ E_{q} - T_{21}T_{1}^{-1}(T_{21}T_{1}^{-1})^{\T} > O_{q}$$
が成り立つ． - よって，上三角行列$T_{2} \in \mathrm{GL}_{q}(\mathbb{R})$であって
$$ T_{2}^{-\T}T_{2}^{-1} = E_{q} - T_{21}T_{1}^{-1}(T_{21}T_{1}^{-1})^{\T},\ T_{2}(j,j)>0$$
を満たすものがただ一つ存在する． - 最後に
$$ T_{12} \coloneqq T_{1}^{-\T}T_{21}^{\T}T_{2} \in \mathbb{R}^{p \times q}$$
とおく．このとき，
$$ T_{12}^{\T}T_{12} = T_{2}^{\T}T_{21}T_{1}^{-1} \cdot T_{1}^{-\T}T_{21}^{\T}T_{2} = T_{2}^{\T}(E_{q}-T_{2}^{-\T}T_{2}^{-1})T_{2} = T_{2}^{\T}T_{2} - E_{q}$$
が成り立つことに注意する．
さて，
$$
T \coloneqq \begin{bmatrix}
T_{1} & T_{12} \\ T_{21} & T_{2}
\end{bmatrix} \in \mathrm{M}_{p+q}(\mathbb{R})$$
とおくと，
\begin{align}
T^{\T}E_{p,q}T
&= \begin{bmatrix}
T_{1}^{\T} & T_{21}^{\T} \\ T_{12}^{\T} & T_{2}^{\T}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
E_{p} & \\ & -E_{q}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
T_{1} & T_{12} \\ T_{21} & T_{2}
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
T_{1}^{\T} & T_{21}^{\T} \\ T_{12}^{\T} & T_{2}^{\T}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
T_{1} & T_{12} \\ -T_{21} & -T_{2}
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
T_{1}^{\T}T_{1} - T_{21}^{\T}T_{21} & T_{1}^{\T}T_{12} - T_{21}^{\T}T_{2} \\
T_{12}^{\T}T_{1} - T_{2}^{\T}T_{21} & T_{12}^{\T}T_{12} - T_{2}^{\T}T_{2}
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
E_{p} & O_{p,q} \\ O_{q,p} & -E_{q}
\end{bmatrix} \\
&= E_{p,q}
\end{align}
が成り立つので，$T \in \mathrm{O}(p,q)$を得る．
定義より
$$
T \in \mathrm{O}(p,q) \iff \begin{dcases}
T_{1}^{\T}T_{1} - T_{21}^{\T}T_{21} = E_{p} \\[2pt]
T_{1}^{\T}T_{12} = T_{21}^{\T}T_{2} \\[2pt]
T_{12}^{\T}T_{12} - T_{2}^{\T}T_{2} = -E_{q}
\end{dcases}$$
であるから，$$
\begin{dcases}
T_{1}^{\T}T_{1} = E_{p} + T_{21}^{\T}T_{21} > O_{p} \\[2pt]
T_{2}^{\T}T_{2} = E_{q} + T_{12}^{\T}T_{12} > O_{q}
\end{dcases} \quad\leadsto\quad T_{1} \in \mathrm{GL}_{p}(\mathbb{R}),\ T_{2} \in \mathrm{GL}_{q}(\mathbb{R})$$
が成り立つ．また，コンパクト群$\mathrm{O}(p) \times \mathrm{O}(q)$による連続作用
$$
T \star (P,Q) \coloneqq \begin{bmatrix}
P^{-1}T_{1} & P^{\T}T_{12}Q \\ T_{21} & T_{2}Q
\end{bmatrix}$$
が定まる．明らかに
$$
T \star (P,Q) = T' \implies \varphi(T) = \varphi(T')$$
が成り立つので，全射連続写像$\bar{\varphi} \colon \mathrm{O}(p,q)/(\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q)) \to \mathbb{R}^{q \times p}$が誘導される：
$$
\xymatrix{
{\mathrm{O}(p,q)} \ar[rr]^{\varphi} \ar[dd] && {\mathbb{R}^{q \times p}} \\ \\
{\mathrm{O}(p,q)/(\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q))} \ar@{.>}[uurr]_{\bar{\varphi}}
}$$
以下，$\bar{\varphi}$が同相写像であることを示す．
- noncptの証明において$T_{21} \in \mathbb{R}^{q \times p}$から構成した行列を$\psi(T_{21})$で表わすと，satakep.162注意より，
$$ \psi \colon \mathbb{R}^{q \times p} \to \mathrm{O}(p,q);\ T_{21} \mapsto \psi(T_{21})$$
は連続写像であることがわかる．そこで，$\psi$と商写像との合成を$\bar{\psi}$とおく：
$$ \bar{\psi} \colon \mathbb{R}^{q \times p} \to \mathrm{O}(p,q)/(\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q));\ T_{21} \mapsto \psi(T_{21})\star(\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q)).$$ - 明らかに
$$ \bar{\varphi} \circ \bar{\psi} = \id$$
が成り立つ． - $T \in \mathrm{O}(p,q)$とする．このとき，$\Psi \coloneqq \psi(T_{21})$とおくと，
$$ T_{1}^{\T}T_{1} = E_{p}+T_{21}^{\T}T_{21} = \Psi_{1}^{\T}\Psi_{1} \quad\leadsto\quad P \coloneqq \Psi_{1} T_{1}^{-1} \in \mathrm{O}(p)$$
であり，
\begin{align} T_{2}^{-\T}T_{2}^{-1} &= E_{q}-T_{21}T_{1}^{-1}T_{1}^{-\T}T_{21}^{\T} \\ &= E_{q} - T_{21}(T_{1}^{\T}T_{1})^{-1}T_{21}^{\T} \\ &= E_{q} - T_{21}(\Psi_{1}^{\T}\Psi_{1})T_{21}^{\T} \\ &= \Psi_{2}^{-\T}\Psi_{2}^{-1} \end{align}
より
$$ Q \coloneqq \Psi_{2}^{-1}T_{2} \in \mathrm{O}(q)$$
となるので，
$$ P^{\T}\Psi_{12}Q = P^{\T}\Psi_{1}^{-\T}T_{21}^{\T}\Psi_{2}Q = T_{1}^{-\T}T_{21}^{\T}T_{2} = T_{12}$$
と合わせて，
$$ \Psi \star (P,Q) = T$$
を得る．よって，
$$ \bar{\psi}\circ\bar{\varphi}(T\star(\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q))) = \Psi\star(\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q)) = T\star(\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q))$$
が成り立つ．
連結成分
$\mathrm{O}(p,q)$の連結成分は
$$
\mathrm{O}(p,q)_{\pm,\pm} \coloneqq \{T \in \mathrm{O}(p,q) \mid \pm\det{T_{1}} > 0,\ \pm\det{T_{2}} > 0\}$$
で与えられる．
$(\pm E_{p})\oplus(\pm E_{q}) \in \mathrm{O}(p,q)_{\pm,\pm} \in \tau(\mathrm{O}(p,q))$であり，
$$
\mathrm{O}(p,q) = \mathrm{O}(p,q)_{+,+} \sqcup \mathrm{O}(p,q)_{+,-} \sqcup \mathrm{O}(p,q)_{-,+} \sqcup \mathrm{O}(p,q)_{-,-}$$
が成り立つので，各$\mathrm{O}(p,q)_{\pm,\pm}$が弧状連結であることを示せばよい．
まづ，$\det\Psi_{1},\det\Psi_{2}>0$より，$\det{T_{1}},\det{T_{2}}$の正負と$\det(\Psi_{1}T_{1}^{-1}),\ \det(\Psi_{2}^{-1}T_{2}) \in \{\pm1\}$の正負とが一致することに注意する．さて，たとえば$T \in \mathrm{O}(p,q)_{+,+}$のとき，連続写像$\gamma_{1} \colon [0,1] \to \mathrm{SO}(p),\,\gamma_{2} \colon [0,1] \to \mathrm{SO}(q)$であって
$$
\gamma_{1}(0)=E_{p},\ \gamma_{1}(1) = \Psi_{1}T_{1}^{-1};\ \gamma_{2}(0)=E_{q},\ \gamma_{2}(1) = \Psi_{2}^{-1}T_{2}$$
なるものを取り（cf. satakep.178），連続写像$\gamma \colon [0,1] \to \mathrm{O}(p,q)_{+,+}$を
$$
\gamma(s) \coloneqq \psi(sT_{21}) \star (\gamma_{1}(s),\gamma_{2}(s))$$
で定めると，
\begin{align}
\gamma(0) &= \psi(O_{q,p}) \star (\gamma_{1}(0),\gamma_{2}(0)) = (E_{p}\oplus E_{q}) \star (E_{p},E_{q}) = E_{p} \oplus E_{q};\\
\gamma(1) &= \psi(T_{21}) \star (\gamma_{1}(1),\gamma_{2}(1)) = \Psi \star (\Psi_{1}T_{1}^{-1},\Psi_{2}^{-1}T_{2}) = T;
\end{align}
が成り立つ．他の場合も同様である．
写像
$$
\mathrm{O}(p,q) \to (\mathrm{O}(p) \times \mathrm{O}(q)) \times \mathbb{R}^{q \times p};\ T \mapsto ((\Psi_{1}T_{1}^{-1},\Psi_{2}^{-1}T_{2}),T_{21})$$
は連続であり，
$$
((P,Q),T_{21}) \mapsto \psi(T_{21}) \star (P,Q)$$
が逆写像を与える：
\begin{align}
T \mapsto ((\Psi_{1}T_{1}^{-1},\Psi_{2}^{-1}T_{2}),T_{21}) \mapsto \begin{bmatrix}
\Psi_{1} & \Psi_{12} \\ T_{21} & \Psi_{2}
\end{bmatrix} \star (\Psi_{1}T_{1}^{-1},\Psi_{2}^{-1}T_{2}) = T; \\[3pt]
((P,Q),T_{21}) \mapsto \psi(T_{21}) \star (P,Q) = \begin{bmatrix}
P^{-1}\Psi_{1} & P^{\T}\Psi_{12}Q \\ T_{21} & \Psi_{2}Q
\end{bmatrix} \mapsto ((P,Q),T_{21}).
\end{align}
よって
$$
\mathrm{O}(p,q) \approx (\mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q)) \times \mathbb{R}^{q \times p} \simeq \mathrm{O}(p)\times\mathrm{O}(q);\ T \mapsto (\Psi_{1}T_{1}^{-1},\Psi_{2}^{-1}T_{2})$$
が成り立つ．$\mathrm{O}(p),\,\mathrm{O}(q)$はそれぞれ連結成分を二つ持つので（cf. satakep.178），このことからも$\mathrm{O}(p,q)$の連結成分の個数が$4$であることがわかる．
“埋め込み”
$$
\mathrm{O}(p) \times \mathrm{O}(q) \to \mathrm{O}(p,q);\ (P,Q) \mapsto P \oplus Q$$
により，$\mathrm{O}(p,q)$はコンパクト群$\mathrm{O}(p) \times \mathrm{O}(q)$と同型な部分群を持つ．実は，これは“極大”なコンパクト部分群になっている（cf. conrad）．
単位元の連結成分
任意の$T \in \mathrm{O}(p,q)$に対して
$$
|\det{T_{1}}| \geq 1,\ |\!\det{T_{2}}| \geq 1$$
が成り立つ．
$T_{1}x = \alpha x,\,\alpha\in\mathbb{C},x\neq 0,\,$とする．このとき，エルミート行列$T_{1}^{\T}T_{1}-E_{p}$について，
$$
T_{1}^{\T}T_{1} = E_{p} + T_{21}^{\T}T_{21} \geq E_{p}$$
より，
$$
0 \leq \langle x,(T_{1}^{\T}T_{1}-E_{p})x \rangle = \langle T_{1}x,T_{1}x \rangle - \langle x,x \rangle = (|\alpha|^{2}-1)\langle x,x \rangle \quad\leadsto\quad |\alpha|^{2}\geq 1$$
が成り立つので，
$$
|\det{T_{1}}| = \prod|\text{eigenvalues}| \geq 1$$
を得る．$|\det{T_{2}}| \geq 1$についても同様である．
任意の$T \in \mathrm{O}(p,q)$に対して
$$
\det{T} = \frac{\det{T_{1}}}{\det{T_{2}}}$$
が成り立つ．
$T^{\T}E_{p,q}T = E_{p,q},\,E_{p,q}^{2}=E_{n}$より
$$
T^{-1} = E_{p,q}T^{\T}E_{p,q} = \begin{bmatrix}
T_{1}^{\T} & -T_{21}^{\T} \\ -T_{12}^{\T} & T_{2}^{\T}
\end{bmatrix}$$
となるので，$T$の$(i,j)$余因子を$\Delta_{i,j}$とおくと，右下のブロックを比較して
$$
\frac{1}{\det{T}}\begin{bmatrix}
\Delta_{p+1,p+1} & \cdots & \Delta_{n,p+1} \\
\vdots && \vdots \\
\Delta_{p+1,n} & \cdots & \Delta_{n,n}
\end{bmatrix} = T_{2}^{\T}$$
を得る（cf. satakep.61定理6）．よって，両辺のディターミナントを取ると，Jacobiの公式（cf. satakep.67）より
$$
\frac{1}{(\det{T})^{q}}\cdot(\det{T_{1}})(\det{T})^{q-1} = \det{T_{2}}$$
となるので，
$$
\frac{\det{T_{1}}}{\det{T_{2}}} = \det{T}$$
が成り立つ．
$\mathrm{SO}(p,q) \coloneqq \mathrm{O}(p,q) \cap \mathrm{SL}_{n}(\mathbb{R}) \lhd \mathrm{O}(p,q)$とおくと，
$$
\mathrm{SO}(p,q) = \{T \in \mathrm{O}(p,q) \mid \det{T_{1}}=\det{T_{2}}\} = \mathrm{O}(p,q)_{+,+} \sqcup \mathrm{O}(p,q)_{-,-}$$
が成り立つ．
$S,T \in \mathrm{O}(p,q)$とする．このとき次が成り立つ：
- $(\sign\det{S_{1}})(\sign\det{T_{1}}) = \sign\det(S_{1}T_{1}+S_{12}T_{21});$
- $(\sign\det{S_{2}})(\sign\det{T_{2}}) = \sign\det(S_{21}T_{12}+S_{2}T_{2}).$
したがって，写像
$$
\mathrm{O}(p,q) \to \mathrm{O}(1)\times\mathrm{O}(1);\ T \mapsto (\sign\det{T_{1}},\sign\det{T_{2}})$$
は全射連続群準同型である．
(1)のみ示す．geq1より
$$
S_{1}T_{1}+S_{12}T_{21} = (ST)_{1} \quad\leadsto\quad |\!\det(S_{1}T_{1}+S_{21}T_{12})| \geq 1$$
であり，$S_{1},T_{1} \in \mathrm{GL}_{p}(\mathbb{R})$より
$$
S_{1}T_{1}+S_{12}T_{21} = S_{1}(E_{p} + S_{1}^{-1}S_{12}T_{21}T_{1}^{-1})T_{1}$$
であるから，
$$
\det(E_{p}+S_{1}^{-1}S_{12}T_{21}T_{1}^{-1}) \geq 0$$
なることを示せばよい．
- $S^{\T} \in \mathrm{O}(p,q)$より，
$$ S_{21}S_{21}^{\T} - S_{2}S_{2}^{\T} = -E_{q}$$
であり
$$ S_{1}S_{21}^{\T} = S_{12}S_{2}^{\T} \quad\leadsto\quad S_{1}^{-1}S_{12} = S_{21}^{\T}S_{2}^{-\T} = (S_{2}^{-1}S_{21})^{\T}$$
であるから，
$$ (S_{1}^{-1}S_{12})^{\T}(S_{1}^{-1}S_{12}) = S_{2}^{-1}S_{21}S_{21}^{\T}S_{2}^{-\T} = S_{2}^{-1}(S_{2}S_{2}^{\T}-E_{q})S_{2}^{-\T} = E_{q} - S_{2}^{-1}S_{2}^{-\T}$$
となる． - $T \in \mathrm{O}(p,q)$より
$$ T_{1}^{\T}T_{1} - T_{21}^{\T}T_{21} = E_{p}$$
であるから，
$$ (T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}(T_{21}T_{1}^{-1}) = T_{1}^{-\T}T_{21}^{\T}T_{21}T_{1}^{-1} = T_{1}^{-\T}(T_{1}^{\T}T_{1}-E_{p})T_{1}^{-1} = E_{p} - T_{1}^{-\T}T_{1}^{-1}$$
となる． - よって，$R \coloneqq S_{1}^{-1}S_{12}T_{21}T_{1}^{-1} \in \mathrm{M}_{p}(\mathbb{R})$とおくと，
\begin{align} R^{\T}R &= (T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}(S_{1}^{-1}S_{12})^{\T}(S_{1}^{-1}S_{12})(T_{21}T_{1}^{-1}) \\ &= (T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}(E_{q}-S_{2}^{-1}S_{2}^{-\T})(T_{21}T_{1}^{-1}) \\ &= (T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}(T_{21}T_{1}^{-1}) - (T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}S_{2}^{-1}S_{2}^{-\T}(T_{21}T_{1}^{-1}) \\ &= E_{p} - T_{1}^{-\T}T_{1}^{-1} - (S_{2}^{-\T}T_{21}T_{1}^{-1})^{\T}(S_{2}^{-\T}T_{21}T_{1}^{-1}) \\ &\leq E_{p} \end{align}
となるので，任意の$x \in \mathbb{R}^{p}$に対して
$$ 0 \leq \langle x,(E_{p}-R^{\T}R)x \rangle = \langle x,x \rangle - \langle Rx,Rx \rangle \quad\leadsto\quad \langle Rx,Rx \rangle \leq \langle x,x \rangle$$
が成り立つ． - $E_{p}+R$の実固有値$\alpha\in\mathbb{R}$に対して，$Rx=(\alpha-1)x$より，
$$ (\alpha-1)^{2} \langle x,x \rangle \leq \langle x,x \rangle \quad\leadsto\quad 0 \leq \alpha$$
が成り立つ．複素固有値$\alpha\in\mathbb{C}\smallsetminus\mathbb{R}$についてはその複素共軛$\bar{\alpha}$と対で現れるので，結局
$$ \det(E_{p}+R) = \prod\text{eigenvalues} \geq 0$$
が成り立つ．
単位元の連結成分
$$
\mathrm{SO}^{+}(p,q) \coloneqq \mathrm{O}(p,q)_{+,+} = \{T \in \mathrm{O}(p,q) \mid \det{T_{1}}>0,\ \det{T_{2}}>0\}$$
は$\mathrm{O}(p,q)$の正規部分群であり，
$$
\mathrm{SO}^{+}(p,q) = \{T\in\mathrm{O}(p,q) \mid \det{T_{1}}\geq 1,\ \det{T}=1\} = \{T\in\mathrm{O}(p,q) \mid \det{T}=1,\ \det{T_{2}}\geq 1\}$$
が成り立つ．
$\mathrm{SO}^{+}(p,q) < \mathrm{O}(p,q)$なることは，連続写像
$$
\mathrm{SO}^{+}(p,q) \times \mathrm{SO}^{+}(p,q) \to \mathrm{O}(p,q);\ (S,T) \mapsto ST^{-1}$$
の像が$E_{n}$を含む連結集合であることからもわかる（フツーはそうやって示す気がする）．同様にして
$$
\forall\,T \in \mathrm{O}(p,q),\ T \cdot \mathrm{SO}^{+}(p,q) \cdot T^{-1} \subset \mathrm{SO}^{+}(p,q),$$
すなわち$\mathrm{SO}^{+}(p,q) \lhd \mathrm{O}(p,q)$がわかる．
$(p,q)=(1,1)$のとき，
$$
\mathrm{SO}^{+}(1,1) = \left\{\begin{bmatrix}
\cosh{t} & \sinh{t} \\ \sinh{t} & \cosh{t}
\end{bmatrix} \,\middle|\, t \in \mathbb{R}\right\}$$
が成り立つ：実際，hypより
$$
\mathrm{SO}^{+}(1,1) \supset \left\{\begin{bmatrix}
\cosh{t} & \sinh{t} \\ \sinh{t} & \cosh{t}
\end{bmatrix} \,\middle|\, t \in \mathbb{R}\right\}$$
であり，逆に$T \in \mathrm{SO}^{+}(1,1)$とし，
$$
t_{21} = \sinh{t},\ t_{12} = \sinh{s}$$
とおくと，
\begin{align}
t_{11}^{2} = 1+t_{21}^{2} = 1+(\sinh{t})^{2} = (\cosh{t})^{2},\ t_{11}>0 &\quad\leadsto\quad t_{11} = \cosh{t};\\
t_{22}^{2} = 1+t_{12}^{2} = 1+(\sinh{s})^{2} = (\cosh{s})^{2},\ t_{22}>0 &\quad\leadsto\quad t_{22}=\cosh{s};
\end{align}
であり，
$$
(\cosh{t})(\sinh{s}) = t_{11}t_{12}=t_{21}t_{22} = (\sinh{t})(\cosh{s}) \quad\leadsto\quad \tanh{s}=\tanh{t}$$
より$s=t$を得る．
