同次座標とホップファイブレーション

実四次元座標から複素数のペアの比（同次座標）を求めることで、ホップファイブレーションhopf1931を計算します。

シリーズ: ホップファイブレーション

概要

三次元球面$S^3$上の点$(x_1, x_2, x_3, x_4)\in\mathbb{R}^4$は条件$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2=1$を満たします。

この成分で表される複素数のペアの比$z = \dfrac{x_1 + i x_2}{x_3 + i x_4}\in\mathbb{C}$から二次元球面$S^2$上へ射影した座標$(\xi_1, \xi_2, \xi_3)\in\mathbb{R}^3$を求めます。

複素平面への射影

実四次元上の座標を複素二次元に写像します。

$$ \mathbb{R}^4\ni(x_1, x_2, x_3, x_4)\mapsto(x_1+ix_2,x_3+ix_4)\in\mathbb{C}^2 $$

これを同次座標（比として表した座標）に射影します。7shi-mobius

$$ (x_1+ix_2,x_3+ix_4)\mapsto[x_1+ix_2:x_3+ix_4] $$

$x_3+ix_4\ne0$の場合、同次座標の代表点は成分の商$z$として表せます。

$$ z=\frac{x_1+ix_2}{x_3+ix_4} $$

$z$の分母を実数化して、実部と虚部に分離します。

$$ \begin{aligned} z &= \frac{(x_1 + i x_2)(x_3 - i x_4)}{(x_3 + i x_4)(x_3 - i x_4)} \\ &= \frac{(x_1 x_3 + x_2 x_4) + i (x_2 x_3 - x_1 x_4)}{x_3^2 + x_4^2} \\ &= \frac{x_1 x_3 + x_2 x_4}{x_3^2 + x_4^2} + i\cdot\frac{x_2 x_3 - x_1 x_4}{x_3^2 + x_4^2} \\ \end{aligned} $$

実部と虚部の係数を $u,v \in \mathbb{R}$ とおきます。

$$ u = \frac{x_1 x_3 + x_2 x_4}{x_3^2 + x_4^2}, \quad v = \frac{x_2 x_3 - x_1 x_4}{x_3^2 + x_4^2} $$
$$ z = u + i v $$

二次元球面への射影

$z$を実三次元空間の$xy$平面に埋め込みます。

$$ \mathbb{C} \ni z=u+iv \hookrightarrow (u,v,0) \in \mathbb{R}^3 $$

$(u,v,0)$を二次元球面$S^2$上に射影するため、$S^2$の北極点$(0,0,1)$と$(u,v,0)$を結ぶ直線を媒介変数$t$で表します。

$$ (x,y,z)=(ut,vt,1-t) \qquad\left\{ \begin{aligned} &(0,0,1)&(t&=0) \\ &(u,v,0)&(t&=1) \\ \end{aligned} \right. $$
これを単位球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ の式に代入して交点を求めます。
$$ \begin{aligned} (u t)^2 + (v t)^2 + (1 - t)^2 &= 1 \\ (u^2 + v^2 + 1) t^2 - 2 t &= 0 \\ t\{(u^2 + v^2 + 1)t-2\} &= 0 \end{aligned} $$
$$ t = 0,\ \frac{2}{u^2 + v^2 + 1} $$

$t=\dfrac{2}{u^2 + v^2 + 1}$ のときの座標を$(\xi_1, \xi_2, \xi_3)\in\mathbb{R}^3$とします。

$$ (\xi_1, \xi_2, \xi_3) =\left(   \frac{2 u}{u^2 + v^2 + 1},   \frac{2 v}{u^2 + v^2 + 1},   1 - \frac{2}{u^2 + v^2 + 1} \right) $$

分母に現れる$u^2+v^2+1$を計算します。$z$の複素共役を$z^*$とします。

$$ \begin{aligned} u^2+v^2+1 &=(u+iv)(u-iv)+1 \\ &=zz^*+1 \\ &=\left(\frac{x_1+ix_2}{x_3+ix_4}\right)\left(\frac{x_1-ix_2}{x_3-ix_4}\right)+1 \\ &=\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_3^2 + x_4^2}+1 \\ &=\frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2}{x_3^2 + x_4^2} \\ &=\frac{1}{x_3^2 + x_4^2} \end{aligned} $$

$\xi_1, \xi_2, \xi_3$を$x_1, x_2, x_3, x_4$で表現します。

$$ \begin{aligned} \xi_1 &= \frac{2 u}{u^2 + v^2 + 1} = 2 \left( \frac{x_1 x_3 + x_2 x_4}{x_3^2 + x_4^2} \right) (x_3^2 + x_4^2) = 2 (x_1 x_3 + x_2 x_4) \\ \xi_2 &= \frac{2 v}{u^2 + v^2 + 1} = 2 \left( \frac{x_2 x_3 - x_1 x_4}{x_3^2 + x_4^2} \right) (x_3^2 + x_4^2) = 2 (x_2 x_3 - x_1 x_4) \\ \xi_3 &= 1 - \frac{2}{u^2 + v^2 + 1} = 1 - 2(x_3^2 + x_4^2) = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_4^2 \end{aligned} $$

この結果はHopfの原論文§5.(1)と一致します。hopf1931

$x_3+ix_4 \rightarrow 0$の極限で$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\rightarrow(0,0,1)$となることから、$x_3+ix_4=0$は北極点に対応付けます。

まとめ

$$ \mathbb{R}^4 \supset S^3 \ni \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}\xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}   2 (x_1 x_3 + x_2 x_4) \\   2 (x_2 x_3 - x_1 x_4) \\   x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_4^2  \end{pmatrix} \in S^2 \subset \mathbb{R}^3 $$

複素数のペアでの計算

$(x_1, x_2, x_3, x_4)$から構成される複素数のペアを$\alpha=x_1+ix_2,\ \beta=x_3+ix_4$ として計算します。

$$ z=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha\beta^*}{\beta\beta^*},\quad u=\mathrm{Re}(z),\quad v=\mathrm{Im}(z) $$
$$ \begin{pmatrix}\xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}   2 \mathrm{Re}(\alpha \beta^*) \\   2 \mathrm{Im}(\alpha \beta^*) \\   \alpha \alpha^* - \beta \beta^*  \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\begin{aligned}   \alpha \beta^* &+ \beta \alpha^* \\   -i(\alpha \beta^* &- \beta \alpha^*) \\   \alpha \alpha^* &- \beta \beta^*  \end{aligned}\end{pmatrix} $$

複素ベクトルの変換として表記すれば、実部と虚部に分離する必要がなくなります。

$$ \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}\xi_1 + i\xi_2 \\ \xi_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}   2 \alpha \beta^* \\   \alpha \alpha^* - \beta \beta^*  \end{pmatrix} $$