実四次元座標から複素数のペアの比(同次座標)を求めることで、ホップファイブレーションhopf1931を計算します。
シリーズ:
ホップファイブレーション
概要
三次元球面上の点は条件を満たします。
この成分で表される複素数のペアの比から二次元球面上へ射影した座標を求めます。
複素平面への射影
実四次元上の座標を複素二次元に写像します。
これを同次座標(比として表した座標)に射影します。7shi-mobius
の場合、同次座標の代表点は成分の商として表せます。
の分母を実数化して、実部と虚部に分離します。
実部と虚部の係数を とおきます。
二次元球面への射影
を実三次元空間の平面に埋め込みます。
を二次元球面上に射影するため、の北極点とを結ぶ直線を媒介変数で表します。
これを単位球面 の式に代入して交点を求めます。
のときの座標をとします。
分母に現れるを計算します。の複素共役をとします。
をで表現します。
この結果はHopfの原論文§5.(1)と一致します。hopf1931
の極限でとなることから、は北極点に対応付けます。
まとめ
複素数のペアでの計算
から構成される複素数のペアを として計算します。
四元数
この結果は四元数による導出とほぼ同じですが、第2成分の符号が異なります。7shi-qhopf1
四元数と同じ結果を得るには、平面への埋め込み方を変更します。
複素ベクトルの変換として表記すれば、実部と虚部に分離する必要がなくなります。