文献あり

mod 20のRogers-Ramanujan型恒等式

前の記事の定理1から定理4を以下の両側Bailey対の形で表しておく

$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} (\frac{q^{6 k^{2} - k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 5 k + 1}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) & = \frac{1}{(q; q)_{2 n}} \\ \sum_{k \in Z} (\frac{q^{6 k^{2} + k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 7 k + 2}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) & = \frac{1}{(q^{2}; q)_{2 n}} \\ \sum_{k \in Z} (\frac{q^{6 k^{2} + 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 2 k}}{(q; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) & = \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n}} \\ \sum_{k \in Z} (\frac{q^{6 k^{2} + 4 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{6 k^{2} + 4 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) & = \frac{q^{n}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$

両側Bailey対に関しては, 前の記事の系と全く同様に以下の命題が成り立つ.

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する両側Bailey対のとき,
$\begin{aligned} \frac{1}{(a q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} a^{n} q^{n^{2}} α_{n} & = \sum_{n \in Z} a^{n} q^{n^{2}} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

Slater(1952)

$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{q^{n^{2} + n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{(q, q^{9}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{8}, q^{12}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{(q^{2}, q^{8}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{6}, q^{14}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{q^{n^{2} + n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(q^{3}, q^{7}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{4}, q^{16}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{q^{n^{2} + 2 n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(q^{4}, q^{6}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{2}, q^{18}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

以下の定理の証明において, Watsonの五重積
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{\frac{n (3 n + 1)}{2}} (x^{- 3 n} - x^{3 n + 1}) & = (q, x, q / x; q)_{\infty} (x^{2} q, q / x^{2}; q^{2})_{\infty} \end{aligned}$
を用いる.

定理1の3つ目の両側Bailey対に命題2を適用して, Watsonの五重積を用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 2 n} - \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 8 n + 1}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 2 n} (1 - q^{6 n + 1}) \\ = \frac{(q, q^{9}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{8}, q^{12}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 定理1の1つ目の両側Bailey対に命題2を適用して, Watsonの五重積を用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} - n} - \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 11 n + 2}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} - n} (1 - q^{12 n + 2}) \\ = \frac{(q^{2}, q^{8}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{6}, q^{14}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
定理1の2つ目の両側Bailey対に命題2を適用して, Watsonの五重積を用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 4 n} - \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 16 n + 4}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} - 4 n} - \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 14 n + 3}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} - 4 n} (1 - q^{18 n + 3}) \\ = \frac{(q^{3}, q^{7}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{4}, q^{16}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
定理1の4つ目の両側Bailey対に命題2を適用して, Watsonの五重積を用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + 2 n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 7 n} - \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 13 n + 2}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} - 7 n} - \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} + 17 n + 4}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{15 n^{2} - 7 n} (1 - q^{24 n + 4}) \\ = \frac{(q^{4}, q^{6}, q^{10}; q^{10})_{\infty} (q^{2}, q^{18}; q^{20})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が得られる.