Grapharyに収録されているグラフを解説する(ID31～41)

前回の記事 の続きです。今回はID31～41を解説します。

元サイト(Graphary): https://teth-main.github.io/Graphary/

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ID31: 2x2に並んだ半径1の円

式: $ \left(\left|x\right|-1\right)^{2}+\left(\left|y\right|-1\right)^{2}=1 $
難易度: ★★☆☆☆

式の中の$ x $と$ y $に絶対値記号がついているので、第1象限だけ考えて$ x $軸と$ y $軸で反転させればよいことがわかります。
$ x > 0, y > 0 $を仮定して絶対値記号を外すと$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2 $となり、これは$ x $軸と$ y $軸に接する円になります。
これが$ x $軸と$ y $軸でそれぞれ反転することで、$ 4 $つの隣接した円ができます。

ID32: 角丸四角形

式: $ \max\left(\left|x\right|-a+r,0\right)^{2}+\max\left(\left|y\right|-b+r,0\right)^{2}=r^{2} $
難易度: ★★★☆☆

$ a, b, r $は定数です。$ a, b $と$ r $の大小関係によって形が異なりますが、Grapharyにある画像では$ a > r, b > r $なのでこの解説でもそれを仮定します。それ以外の場合の考察は読者への演習問題とします。
$ X = \max\left(\left|x\right|-a+r,0\right), Y = \max\left(\left|y\right|-b+r,0\right) $とおくと、この式は$ X^2 + Y^2 = r^2 $となります。

ここで、さらに$ a - r = a', b - r = b' $とおくと、$ X = \max\left(\left|x\right|-a',0\right), Y = \max\left(\left|y\right|-b',0\right) $となります。

$$ X = \max\left(\left|x\right|-a',0\right) = \begin{cases} |x| - a' & (x \leq -a') \\ 0 & (-a' \leq x \leq a') \\ x - a' & (a' \leq x) \end{cases} $$

$$ Y = \max\left(\left|y\right|-b',0\right) = \begin{cases} |y| - b' & (y \leq -b') \\ 0 & (-b' \leq y \leq b') \\ y - b' & (b' \leq y) \end{cases} $$

なので、このグラフは$ x^2 + y^2 = r^2 $の$ x = 0 $と$ y = 0 $に相当する箇所をまっすぐ引き伸ばしたものになります。
また、$ a, b $は外側の長方形のそれぞれの一辺の半分、$ r $は角にある円弧(引き伸ばす前の円)の半径になります。

(参考)$ y = \max\left(|x|-2,0\right) $のグラフ

ID33: 欠番

ID33は欠番です。

ID34: ジグザグな線

式: $ \left|\operatorname{mod}\left(x,2\right)-1\right| $
難易度: ★☆☆☆☆

$ \operatorname{mod}\left(x,2\right) $は$ 0 $から$ 2 $までを繰り返すので、$ \operatorname{mod}\left(x,2\right) - 1 $は$ -1 $から$ 1 $までを繰り返します。これの絶対値を取ると、$ 1 $から$ 0 $に下がって再び$ 1 $に上がる動きを繰り返すグラフができます。

$ y = \operatorname{mod}\left(x,2\right) $

$ y = \operatorname{mod}\left(x,2\right)-1 $

$ y = \left|\operatorname{mod}\left(x,2\right)-1\right| $

ID35: 1辺が1の正方形2

式: $ \max\left(\left|x\right|,\left|y\right|\right)=1 $
難易度: ☆☆☆☆☆

明らかに$ -1 \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1 $であり、$ x $と$ y $の少なくとも一方が$ \pm 1 $でなければならないので正方形ができます。

ID36: x<0で正負を繰り返す領域

式: $ x!<0 $
難易度: ★★☆☆☆

$ x $が自然数でないときの$ x! $はガンマ関数を用いて$ x! = \Gamma(x + 1) $と定義されています。しかし、ここではガンマ関数の厳密な定義は不要で、以下のように考えることができます。

• $ 0 < x $のとき、$ x! > 0 $である。
• $ -1 < x < 0 $のとき、$ x! = \frac{(x + 1)!}{x + 1} > 0 $である。$ x = -1 $のときは分母が$ 0 $になるので定義されない。
• $ -2 < x < -1 $のとき、$ x! = \frac{(x + 1)!}{x + 1} < 0 $である。$ x = -2 $のときは定義されない。
• $ -3 < x < -2 $のとき、$ x! = \frac{(x + 1)!}{x + 1} > 0 $である。$ x = -3 $のときは定義されない。
• $ -4 < x < -3 $のとき、$ x! = \frac{(x + 1)!}{x + 1} < 0 $である。$ x = -4 $のときは定義されない。
• $ \hspace{14.5mm}\vdots $

このように考えると、「$ x $が整数でない負の実数で、かつ$ [x] $が負の偶数であるときに$ x! < 0 $になる」ことがわかります。$ x $が負の整数であるときは$ x! $は計算の途中で分母に$ 0 $が出てくるため定義されませんが、Grapharyの画像では確かに境界線が描かれていません。これはID14と同じ現象ですね。

ID37: 描画されない領域

式: $ \sqrt{x}<\infty $
難易度: ☆☆☆☆☆

$ \infty $という記号が出てきましたが、要するに「$ \sqrt{x} $が実数の範囲に存在する」ということです。$ x \geq 0 $では$ \sqrt{x} $が実数の範囲に存在するので色が塗られ、$ x < 0 $では存在しないので色が塗られません。

ID38: 陽関数の円

式: $ \left|y\right|=\sin\left(\arccos\left(x\right)\right) $
難易度: ★☆☆☆☆

$ -1 \leq a \leq 1 $であるような実数$ a $に対し、$ \arccos{a} $は$ x $座標が$ a $であるような単位円上の点の$ x $軸の正の方向とのなす角を表します(詳しくはID11の図をご覧ください)。$ a \neq -1, 1 $の場合はそのような点は$ 2 $個ありますが、どちらでも角度は同じです。角度の単位にはラジアンを使用し、$ 0 < \arccos{a} < \pi $となるように角度を取ります。

これに$ \sin $をつけるともちろん単位円上の点の$ y $座標(のうち負でない方)が得られますね。あとは$ y < 0 $の部分も表すために、$ y $に絶対値記号を付ければ完成です。

ID39: 3D三葉結び目

式: $ \left(\cos t+2\cos2t,\sin t-2\sin2t,\sin3t\right) $
難易度: ★★★★★

ID23の発展版です。$ z = \sin{3t} $なのでやはり$ 3 $回対称です。$ z $は$ t $が$ 0 $から$ 2\pi $まで行く間に$ 3 $回上下します。
複素数を使った簡単な計算により$ t $が$ \frac{\pi}{3} $の整数倍のときは$ (x, y) $の偏角が$ -2t $となり、かつ$ xy $平面と交わることがわかるので、このことを使うとどこでどう線が上下するかわかりやすくなります。

ID40: 痛風のもとみたいな東京駅の前にあるトゲトゲオブジェクト

式: $ \rho=2-\left|\sin\left(5\theta\right)\sin\left(5\phi\right)\right|-\left|\cos\left(5\theta\right)\cos\left(5\phi\right)\right| $
難易度: ★★★★★★★★★★

画像を見た瞬間なんだこれはと思いましたが、がんばって解説します。

まず、この式で使われている$ \rho, \theta, \phi $は球座標の表記です。詳しくは Desmos公式 をご覧ください。

観察

係数が大きすぎるのでいったん$ 5 $を$ n $に置き換えて考えます。つまり、

$ \rho=2-\left|\sin\left(n\theta\right)\sin\left(n\phi\right)\right|-\left|\cos\left(n\theta\right)\cos\left(n\phi\right)\right| $

について考えます。$ 5 $だと大きすぎるので、いったん$ n = 1 $のグラフを見てみましょう。

$ n = 1 $のとき

$ x $軸に沿ってトゲが$ 2 $本ありますが、$ z $軸上になんだか怪しげな形がありますね。拡大してみましょう。

$ n = 1 $のとき($ z $軸付近の拡大図)

まるで$ z = x^y $のグラフのような、いかにもill-definedになっていそうな形が見えますね。

実は、この式は本当にill-definedです。というのも、$ z $軸上では$ \phi $は$ 0 $または$ \pi $で$ \theta $は任意ですが、このとき$ \rho = 2 - |\cos(5\theta)| $となり$ \rho $が一意に定まらないからです。
Desmosでは、とりうる全ての$ \theta $に対する$ \rho $の値(すなわち$ 1 \leq \rho \leq 2 $)が$ z $軸上での$ \rho $の値として描画されるので、この場合は$ 1 \leq z \leq 2 $の範囲でグラフが垂直($ z $軸と重なる)になっています。$ z < 0 $の場合も同様で、下側にも同じ形があります。

数式による考察

それでは、数式を使って考察していきましょう。$ \rho $の最大値と最小値を求めます。そのために、少し式変形を行います。

\begin{align*} \rho &= 2-\left|\sin\left(n\theta\right)\sin\left(n\phi\right)\right|-\left|\cos\left(n\theta\right)\cos\left(n\phi\right)\right| \\ &= 2-\left|\sin\left(n\theta\right)\right|\cdot\left|\sin\left(n\phi\right)\right|-\left|\cos\left(n\theta\right)\right|\cdot\left|\cos\left(n\phi\right)\right| \\ &= 2-\left(\left|\cos\left(n\theta\right)\right|\cdot\left|\cos\left(n\phi\right)\right|+\left|\sin\left(n\theta\right)\right|\cdot\left|\sin\left(n\phi\right)\right|\right) \end{align*}

ここで、$ \vec{a} = \left(|\cos\left(n\theta\right)|, |\sin\left(n\theta\right)|\right), \vec{b} = \left(|\cos\left(n\phi\right)|, |\sin\left(n\phi\right)|\right) $とおくと、

$ \rho = 2 - \vec{a} \cdot \vec{b} $

と極めて簡潔に表せます。

$ \vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB} $となるように点$ A, B $をとると、これらは単位円の第$ 1 $象限上($ x, y $軸上も含む)の点なので、$ \rho $は

• $ \vec{a} = \vec{b} $のとき$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 $で最小値$ 1 $
• $ \vec{a} \perp \vec{b} $すなわち$ \vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (0, 1) $または$ \vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (1, 0) $のとき$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $で最小値$ 2 $

を取ります。

図示

$ \alpha = n\theta, \beta = n\phi $とおき、$ \alpha\beta $平面でこの様子を図示してみましょう。$ 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq \beta \leq \frac{\pi}{2} $の範囲では全ての絶対値が外れ、かつ$ \cos $と$ \sin $は単調なので$ \vec{a} = \vec{b} $は$ \alpha = \beta $と同値になります。
($ \beta = 0 $は$ z $軸上のill-definedな点に対応しますが、そのことは一旦考えないことにします)

$ \rho $が最大値と最小値を取る場所(横軸は$ \alpha $、縦軸は$ \beta $)

赤の線上の全ての点で$ \rho $は最小値を取り、青の点で$ \rho $は最大値を取ります。

$ \alpha $と$ \beta $の範囲を広げるためには、$ \sin $と$ \cos $の対称性から、この図を鏡写しにして並べていけばよいことがわかります。

$ \alpha $と$ \beta $の範囲を広げた

青の点は$ \rho $の最大値、すなわちトゲに対応します。たとえば$ n = 2 $のときであれば、$ 0 \leq \alpha < 4\pi, 0 < \beta < 2\pi $となり、この範囲に$ 12 $本のトゲがあることがわかります。$ \beta = 0, \pi $すなわち$ z $軸上のトゲも足せば、全部で$ 14 $本のトゲになります。

$ n = 2 $のとき、$ 1 + 4 + 4 + 4 + 1 = 14 $本のトゲがある

また、$ n = 3 $以降では格子状の模様が見えてきます。これは$ \rho $が最小値を取るときに対応しています。ちょうど$ \alpha \beta $平面で赤い線が格子状に並んでいたのに対応します。

$ n = 3 $のとき

$ n $を大きくするとトゲの先端に花弁のような構造が目立ちますが、これはあくまで描写上の不具合であり数学上は存在しません。

$ n = 5 $のときの考察

$ n = 5 $のときは、$ z $軸上の上下に$ 1 $本ずつ、それ以外は同じ$ \phi $ごとに$ 10 $個のトゲがあり、互い違いに$ 9 $段並んでいるので、合計$ 92 $本のトゲがあることがわかります。

$ n = 5 $のときを真上から見た様子。Wolfram|Alphaのロゴの進化版にも見える

ID41: のこぎり波

式: $ \displaystyle f\left(x\right)=\sum_{n=1}^{50}\frac{1}{n}\sin\left(nx\right) $
難易度: ★★★★★★★

これはフーリエ級数です。$ \sum $の上端は本当は$ \infty $であるべきですが、Desmosの制約により適当な大きい値が入っています。

厳密な証明は他の記事に譲るとして、ここではお気持ちだけ述べることにします。

$ g(x) $を$ \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \left(0 < x < 2\pi \right) $を周期的に実数全体に拡張したものとします。$ x $が$ 2 \pi $の倍数であるときは$ g(x) = 0 $とします。こうすることで、$ g(x) $は奇関数になります。

ここで、$ g(x) $が$ \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \sin(nx) $という級数の形で表せるとします。この級数は収束し、かつ積分と交換可能であるとします。それが信じられない人は十分に大きい$ N $に対して$ \displaystyle g(x) \fallingdotseq \sum_{n = 1}^{N} a_n \sin(nx) $となるような近似を考えていると思ってください。

この係数$ a_n $を求めるためにいくつかの補題を用意します。

各$ k $に対する$ a_k $を計算するために、$ g(x) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \sin(nx) $の両辺に$ \sin{(kx)} $を掛けて$ 0 $から$ 2\pi $まで積分します。このとき、

なので、これらを比較して$ a_k\pi = \frac{\pi}{k} $すなわち$ a_k = \frac{1}{k} $を得ることができます。

なお、ここでの議論には収束性や級数と積分の交換が仮定されているので、厳密な議論ではないということにご注意ください。