Apéryの加速法12：q-類似について
はじめに
この記事では
前回の記事
に引き続きApéryの加速法に関する個人的な計算メモをまとめていきます。
今回の記事ではこれまでの結果の$q$-類似について簡単に考察していきます。
メモ
\begin{align} \frac{(x;q)_n}{(x;q)_{n-j}}&=q^{-\frac{j(j-1)}2}(-xq^{n-1})^j(1/xq^{n-1};q)_j\\ q^{\frac{j(j-1)}2}\binom kj_q &=\frac{(q^{-k};q)_j}{(q;q)_j}(-q^k)^j\\ &=q^{\frac{k(k-1)}2}\frac{(q^{-k};q)_{k-j}}{(q;q)_{k-j}}(-q)^{k-j}\\ \end{align}
${}_1\phi_0$の場合
いま超幾何級数に関する様々な理論の多くには$q$-類似という一般化が存在することが知られており、特にApéryの定理の周辺の$q$-類似もいくつか考えられているらしい。
となるとApéryの加速法にも$q$-類似が存在するだろうと考えるのが道理であり、実際
${}_1F_0$の場合
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n}{(b)_n}t^n$$
の$q$-類似
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n$$
について簡単に計算してみたところ次のような結果が得られた。
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n
=1+\frac{(1-a)t}{1-b}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-(1-aq^n)(1-bq^{n-1})t}{(1-bq^n)+(1-aq^n)t}$$
の反復Bauer-Muir変換は
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(1-aq^n)(1-bq^{n-1})q^kt\\
a^{(k)}_{n+1}&=(1-bq^{n+k})+(1-aq^{n-k})q^kt\\
r^{(k)}_n&=-(1-aq^{n-k-1})q^kt\\
R^{(k)}_n&=1-bq^{n+k}\\
d^{(k)}_n&=(1-q^{k+1})(a-bq^k)q^{n-1}t
\end{align}
と求まり、これによって適当な収束条件下で
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n
=1+\frac{(1-a)t}{1-b}\p
\K^\infty_{n=1}\l(\frac{-(1-aq^n)(1-bq^{n-1})q^{n-1}t}{1-bq^{2n-1}}
\p\frac{-(1-q^n)(a-bq^{n-1})q^nt}{1-bq^{2n}}\r)$$
が得られる(多分)。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
\frac{p^{(k)}_n}{(a;q)_{n+1}}
&=\sum^k_{j=0}q^{\frac{j(j-1)}2}\binom kj_q\frac{(b;q)_{n+k-j}}{(a;q)_{n+1-j}}(-t)^j
\sum^{n+k-j}_{m=0}\frac{(a;q)_m}{(b;q)_m}t^m\\
\frac{q^{(k)}_n}{(a;q)_{n+1}}
&=\sum^k_{j=0}q^{\frac{j(j-1)}2}\binom kj_q\frac{(b;q)_{n+k-j}}{(a;q)_{n+1-j}}(-t)^j
\end{align}
が成り立つ。また
$$B^{(k)}_n=\frac1{(aq^n)^k(b/a;q)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(b;q)_n}$$
とおくと
\begin{align}
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(q^{-k};q)_j(1/aq^n;q)_j}{(q;q)_j(b/a;q)_j}(t;q)_jq^j\\
&=t^k\sum^k_{j=0}\binom kj_q\frac{(bq^n;q)_j}{(b/a;q)_j}\frac{(t;q)_j}{(atq^n)^j}
\end{align}
が成り立つ。
そういえば適当な低速Apéry変換からWZ pairが得られることを思い出したので、それを踏まえて軽く計算してみたところ$A^{(k)}_n$は次のような表示も持つと予想された($q$-Zeilbergerなどを機械計算できる環境を整えていないため詳しくは検証していない)。
$$A^{(k)}_n=\frac1{(aq^n)^k(b/a;q)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(b;q)_n}$$
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(q^{-k};q)_j(1/aq^n;q)_j}{(q;q)_j(b/a;q)_j}(t;q)_jq^j
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a;q)_m}{(b;q)_m}t^m-\frac{(a;q)_{n+1}}{(b;q)_n}\frac{t^{n+1}}{aq^n}
\sum^j_{i=1}\frac{(b/a;q)_{i-1}}{(1/aq^n;q)_i}\frac{q^{i-1}}{(t;q)_i}\r)\\
&=t^k\sum^k_{j=0}\binom kj_q\frac{(bq^n;q)_j}{(b/a;q)_j}\frac{(t;q)_j}{(atq^n)^j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a;q)_m}{(b;q)_m}t^m+\frac{(a;q)_{n+1}}{(b;q)_n}t^{n+1}
\sum^j_{i=1}q^{\frac{i(i-1)}2}\frac{(b/a;q)_{i-1}}{(bq^n;q)_i}\frac{(-aq^nt)^{i-1}}{(t;q)_i}\r)
\end{align}
が成り立つ。
低速Apéry変換とq-WZ pair
なお上の予想に用いたq-WZ ポテンシャルは次のように構成した。
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(1-aq^{n-k})(1-bq^{n-1})q^kt\\
a^{(k)}_{n+1}&=(1-bq^n)+(1-aq^{n-k})q^kt\\
r^{(k)}_n&=-(1-bq^{n-1})+(1-aq^{n-k-1})(1-q^kt)\\
R^{(k)}_n&=1-aq^{n-k}\\
d^{(k)}_n&=-(1-tq^k)(a-bq^k)(1-aq^{n-k})q^{n-k-1}\\
t^{(k)}_n&=\frac{1-aq^{n-k-1}}{1-aq^{n-k}}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
これとそのApéry双対に
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{(aq^{-k};q)_n}{(b;q)_n}(q^kt)^n,\quad
\sum^\infty_{k=1}\frac{(b/a;q)_{k-1}}{(1/aq^n;q)_k}\frac{q^k}{(t;q)_k}$$
という級数が現れることを踏まえると
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(a;q)_{n-k-1}}{(b;q)_{n-1}}t^n
\times q^{-\frac{k(k+1)}2}(b/a;q)_k\frac{(-aq^n)^k}{(t;q)_{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(a;q)_{n-k}}{(b;q)_n}t^n
\times q^{-\frac{k(k+1)}2}(b/a;q)_k\frac{(-aq^n)^k}{(t;q)_k}
\end{align}
という$q$-WZ pairが構成できた。
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(1-aq^n)(1-bq^{n+k-1})q^kt\\
a^{(k)}_{n+1}&=(1-bq^{n+k})+(1-aq^n)q^kt\\
r^{(k)}_n&=-(1-bq^{n+k-1})q^kt\\
R^{(k)}_n&=(1-bq^{n+k})(1-tq^k)+(1-aq^n)q^kt\\
d^{(k)}_n&=-(1-tq^k)(a-bq^k)(1-bq^{n+k-1})q^{n+k}t
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
同様にこれとそのApéry双対に
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{(a;q)_n}{(bq^k;q)_n}(q^kt)^n,\quad
\sum^\infty_{k=1}q^{\frac{k(k-1)}2}\frac{(b/a;q)_{k-1}}{(bq^n;q)_k}\frac{(-aq^nt)^k}{(t;q)_k}$$
という級数が現れることを踏まえると
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(a;q)_n}{(b;q)_{n+k}}t^n
\times q^{\frac{k(k-1)}2}(b/a;q)_k\frac{(-atq^n)^k}{(t;q)_{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(a;q)_n}{(b;q)_{n+k}}t^n
\times q^{\frac{k(k-1)}2}(b/a;q)_k\frac{(-atq^n)^k}{(t;q)_k}
\end{align}
という$q$-WZ pairが構成できた。
${}_2\phi_1$の場合($t=-1$の類似)
また
${}_2F_1$の場合($t=-1$)
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\qquad(a+c=b+d)$$
の類似として
Bailey-Daumの和公式
に着想を得て
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(c;q)_n(d;q)_n}\l(-\frac da\r)^n
\qquad(ac=bd)$$
という級数について考えてみたところ、次のような結果が得られた。
$ac=bd=X$において
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(c;q)_n(d;q)_n}\l(-\frac X{ab}\r)^n
=1-\frac{(1-a)(1-b)X}{(1-c)(1-d)ab}\p\K^\infty_{n=1}
\frac{(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^{n-1})(1-dq^{n-1})abX}{(1-cq^n)(1-dq^n)ab-(1-aq^n)(1-bq^n)X}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^{n-1})(1-dq^{n-1})abXq^{2k}\\
a^{(k)}_{n+1}
&=(1-cq^{n+k})(1-dq^{n+k})ab-(1-aq^{n-k})(1-bq^{n-k})Xq^{2k}\\
&=(ab-Xq^{2k})(1-Xq^{2n})\\
r^{(k)}_n&=(1-aq^{n-k})(1-bq^{n-k})Xq^{2k}
+\frac{a+b}{ab+Xq^{2k+1}}(1-q^{k+1})(ab-Xq^k)Xq^{n+k-1}\\
R^{(k)}_n&=(1-cq^{n+k})(1-dq^{n+k})ab
+\frac{a+b}{ab+Xq^{2k+1}}(1-q^{k+1})(ab-Xq^k)Xq^{n+k}\\
d^{(k)}_n&=\frac{(1-q^{2k+2})(a^2b^2-X^2q^{2k})}{(ab+Xq^{2k+1})^2}
(a^2-Xq^{2k+1})(b^2-Xq^{2k+1})Xq^{2n-2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
${}_6\phi_5$の場合
ところで上の$d=1$の場合のApéry双対は
\begin{align}
\tilde b_{n+1}&=-\frac{(1-q^{2n})(a^2-q^{2n})(b-q^{2n})(a^2-bq^{2n})q}{(a+q^{2n})^2}\\
\tilde a_{n+1}&=\frac{(1-q^{2n+2})(a^2-bq^{2n+2})}{a+q^{2n+2}}
+\frac{(a^2-q^{2n})(b-q^{2n})q}{a+q^{2n}}
\end{align}
と求まるわけだが、このことと
Rogersの${}_6\phi_5$の和公式
を参考に色々考えてみたところ、
${}_5F_4$の場合
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a,b,c,d)_n}{(e,f,g,h)_n}(2n+X-1)$$
の$q$-類似
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a,b,c,d;q)_n}
{(e,f,g,h;q)_n}(1-Xq^{2n-1})\l(\frac{X^2}{abcdq}\r)^n$$
に対しても次のような結果が得られた。
$$ae=bf=cg=dh$$
において
\begin{align}
X&=ae\\
\la_k&=\frac{abcd(e+f+g+h)-(a+b+c+d)X^2q^k}{abcdq-X^2q^{2k+1}}\\
P(n)&=\frac{(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^n)(1-dq^n)}{1-Xq^{2n-1}}X^2\\
Q(n)&=\frac{(1-eq^n)(1-fq^n)(1-gq^n)(1-hq^n)}{1-Xq^{2n+1}}abcdq
\end{align}
とおいたとき
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a,b,c,d;q)_n}
{(e,f,g,h;q)_n}\frac{1-Xq^{2n-1}}{1-Xq^{-1}}\l(\frac{X^2}{abcdq}\r)^n
=1+\frac{P(0)}{Q(0)}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-P(n)Q(n-1)}{Q(n)+P(n)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-P(n)Q(n-1)q^{2k}\\
a^{(k)}_{n+1}&=(Q(n)+P(n))q^k+(1-q^k)(abcdq-X^2q^k)(1-Xq^{2n})\\
r^{(k)}_n&=-Q(n-1)q^k+(abcdq-X^2q^k)(q^k-\la_kq^{n+k}+Xq^{2n-2})\\
R^{(k)}_n&=P(n)q^k+(abcdq-X^2q^k)\l(1-\la_kq^{n+k+1}+Xq^{2n+k}\r)\\
d^{(k)}_n&=\frac{(1-q^{k+1})(ab-Xq^k)(ac-Xq^k)(ad-Xq^k)(bc-Xq^k)(bd-Xq^k)(cd-Xq^k)(abcdq-X^2q^k)}{(abcdq-X^2q^{2k+1})^2}Xq^{2n+1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
また$q^{(1)}_n,q^{(2)}_n$を展開してみたり、後述の低速Apéry変換から$q$-WZ pairを構成することで次の予想も得られた。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=\frac1q\sqrt{\frac{efgh}{abcd}}=\frac{X^2}{abcdq}$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n=\frac{1-X/q}{(abcdq)^{n+k}(aq^n)^k}\frac{(sq^k;q)_k}{(\sqrt s,-\sqrt s,f/a,g/a,h/a;q)_k}\frac{(\sqrt{Xq},-\sqrt{Xq};q)_n}{(e,f,g,h;q)_n}p^{(k)}_n\\
B^{(k)}_n=\frac1{(abcdq)^{n+k}(aq^n)^k}\frac{(sq^k;q)_k}{(\sqrt s,-\sqrt s,f/a,g/a,h/a;q)_k}\frac{(\sqrt{Xq},-\sqrt{Xq};q)_n}{(e,f,g,h;q)_n}q^{(k)}_n
\end{align}
とおくと
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(q^{-k},sq^k,1/aq^n,eq^n;q)_j}{(q,f/a,g/a,h/a;q)_j}q^j\\
&\qquad\times
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a,b,c,d;q)_m}{(e,f,g,h;q)_m}(1-Xq^{2m-1})s^m
-\frac{(a,b,c,d;q)_{n+1}}{(e,f,g,h;q)_n}\frac{s^{n+1}}{aq^n}
\sum^j_{i=1}\frac{(f/a,g/a,h/a;q)_{i-1}}{(s,1/aq^n,eq^n;q)_i}q^{i-1}
\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(q^{-k},sq^k,1/aq^n,eq^n;q)_j}{(q,f/a,g/a,h/a;q)_j}q^j
\end{align}
が成り立つ。
第9-3回の記事
の余談としても言及したように${}_5F_4$の場合の特殊な場合や極限などを考えることで他のほぼ全ての場合に関する反復Bauer-Muir変換を導くことができたので、それらの$q$-類似もこの${}_6\phi_5$の結果から導けると考えられる(列挙するのは面倒くさいので各々でやってください)。
とりあえず本シリーズの最大の結果である${}_5F_4$の場合の$q$-類似が構成できて満足したので、$q$-Apéryに関する考察はこのくらいにしておこうと思う。また興味深い話でも見つかったら追記することもあるかもしれない。
低速Apéry変換とq-WZ pair
\begin{align}
P_k(n)&=\frac{(1-aq^{n-k})(1-bq^n)(1-cq^n)(1-dq^n)}{1-Xq^{2n-1}}X^2\\
Q_k(n)&=\frac{(1-eq^{n+k})(1-fq^n)(1-gq^n)(1-hq^n)}{1-Xq^{2n+1}}abcdq
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-P_k(n)Q_k(n-1)q^k\\
a^{(k)}_{n+1}&=Q_k(n)+P_k(n)q^k\\
r^{(k)}_n&=-Q_k(n-1)+(abcdq-X^2q^k)(1-aq^{n-k-1})(1-eq^{n+k+1})\\
R^{(k)}_n&=P_k(n)q^k+(abcdq-X^2q^k)(1-aq^{n-k})(1-eq^{n+k})\\
d^{(k)}_n&=-(ab-Xq^k)(ac-Xq^k)(ad-Xq^k)(abcdq-X^2q^k)(1-aq^{n-k})(1-eq^{n+k-1})q^{n-k}/a\\
t^{(k)}_n&=\frac{1-aq^{n-k-1}}{1-aq^{n-k}}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
これとそのApéry双対に
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{(aq^{-k},b,c,d;q)_n}
{(eq^k,f,g,h;q)_n}(1-Xq^{2n-1})(q^ks)^n,\quad
\sum^\infty_{k=1}\frac{(f/a,g/a,h/a;q)_{k-1}}{(s,1/aq^n,eq^n;q)_k}q^k$$
という級数が現れることから
\begin{align}
F(n-1,k)
&=\frac{(a;q)_{n-k-1}}{(e;q)_{n+k}}\frac{(b,c,d;q)_n}{(f,g,h;q)_{n-1}}s^n
\times q^{-\frac{k(k+1)}2}\frac{(f/a,g/a,h/a;q)_k}{(s;q)_{k+1}}(-aq^n)^k\\
G(n-1,k)
&=\frac{(a;q)_{n-k}}{(e;q)_{n+k}}\frac{(b,c,d;q)_n}{(f,g,h;q)_n}(1-Xq^{2n-1})s^n
\times q^{-\frac{k(k+1)}2}\frac{(f/a,g/a,h/a;q)_k}{(s;q)_k}(-aq^n)^k\\
\end{align}
という$q$-WZ pairが構成できた。
${}_8\phi_7$の場合
$q$-Watson,$q$-Whippleの和公式
を参考に
${}_6F_5$の場合
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n(c)_n(d)_n(e)_n}{(\a)_n(\b)_n(\g)_n(\d)_n(\e)_n}(2n+x-1)$$
の$q$-類似を考えてみたところ次のような結果が得られた。
$$a\a=b\b=c\g=d\d=e\e$$
かつ
$$ab=cd,\quad\e=\sqrt{abq}$$
において
\begin{align}
X&=a\a\\
Y&=ab\\
s&=\frac1q\sqrt{\frac{\a\b\g\d\e^2}{abcde^2}}=\frac XY\\
P_k(n)&=\frac{(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^n)(1-dq^n)(1-e^2q^{2n+2k})}{1-Xq^{2n-1}}X\\
Q_k(n)&=\frac{(1-\a q^n)(1-\b q^n)(1-\g q^n)(1-\d q^n)(1-\e^2 q^{2n-2k})}{1-Xq^{2n+1}}Y
\end{align}
とおいたとき
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a,b,c,d,e,-e;q)_n}
{(\a,\b,\g,\d,\e,-\e;q)_n}\frac{1-Xq^{2n-1}}{1-Xq^{-1}}(-s)^n
=1+\frac{P_0(0)}{Q_0(0)}\p\K^\infty_{n=1}\frac{P_0(n)Q_0(n-1)}{Q_0(n)-P_0(n)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=P_k(n)Q_k(n-1)q^{2k}\\
a^{(k)}_{n+1}
&=Q_k(n)q^{2k}-P_k(n)+(1-q^{2k})(1-Xq^{2n})\l(X+Y-\a(a+c)(a+d)q^n+X(X+Y)q^{2n}\r)\\
&=\frac{Y-Xq^{2k}}{Y-X}(Q_0(n)-P_0(n))\\
r^{(k)}_n&=P_k(n)q^{-2}-q^{-2}(1-q^{2k+2})(1-e^2q^{2n+2k})
\l(X-\frac{\a(a+c)(a+d)Y}{Y+Xq^{2k+1}}q^n+Y^2q^{2n-2k-1}\r)\\
R^{(k)}_n&=Q_k(n-1)q^{2k+2}+(1-q^{2k+2})(1-\e^2q^{2n-2k-2})
\l(Y-\frac{\a(a+c)(a+d)X}{Y+Xq^{2k+1}}q^{n+2k}+\frac{X^3}Yq^{2n+2k-1}\r)\\
d^{(k)}_n&=-\frac{(1-q^{2k+2})(Y^2-X^2q^{2k})}{Y(Y+Xq^{2k+1})^2}\\
&\qquad{}\times(ac-Xq^{2k+1})(ad-Xq^{2k+1})(bc-Xq^{2k+1})(bd-Xq^{2k+1})\\
&\qquad{}\times(1-e^2q^{2n+2k})(1-\e^2q^{2n-2k-2})q^{2n-2k-3}\\
t^{(k)}_n&=\frac{1-\e^2q^{2n-2k-4}}{1-\e^2q^{2n-2k-2}}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
