Apéryの加速法12：q-類似について
はじめに
この記事では
前回の記事
に引き続きApéryの加速法に関する個人的な計算メモをまとめていきます。
今回の記事ではこれまでの結果の$q$-類似について簡単に考察していきます。
${}_1F_0$の場合
いま超幾何級数に関する様々な理論の多くには$q$-類似という一般化が存在することが知られており、特にApéryの定理の周辺の$q$-類似もいくつか考えられているらしい。
となるとApéryの加速法にも$q$-類似が存在するだろうと考えるのが道理であり、実際
${}_1F_0$の場合
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n}{(b)_n}t^n$$
の$q$-類似
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n$$
について簡単に計算してみたところ次のような結果が得られた。
$$A=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n
=1+\frac{(1-a)t}{1-b}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-(1-aq^n)(1-bq^{n-1})t}{(1-bq^n)+(1-aq^n)t}$$
の反復Bauer-Muir変換は
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(1-aq^n)(1-bq^{n-1})q^kt\\
a^{(k)}_{n+1}&=(1-bq^{n+k})+(1-aq^{n-k})q^kt\\
r^{(k)}_n&=-(1-aq^{n-k-1})q^kt\\
R^{(k)}_n&=1-bq^{n+k}\\
d^{(k)}_n&=(1-q^{k+1})(a-bq^k)q^{n-1}t
\end{align}
と求まり、これによって適当な収束条件下で
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n
=1+\frac{(1-a)t}{1-b}\p
\K^\infty_{n=1}\l(\frac{-(1-aq^n)(1-bq^{n-1})q^{n-1}t}{1-bq^{2n-1}}
\p\frac{-(1-q^n)(a-bq^{n-1})q^nt}{1-bq^{2n}}\r)$$
が得られる(多分)。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
\frac{p^{(k)}_n}{(a;q)_{n+1}}
&=\sum^k_{j=0}q^{\frac{j(j-1)}2}\binom kj_q\frac{(b;q)_{n+k-j}}{(a;q)_{n+1-j}}(-t)^j
\sum^{n+k-j}_{m=0}\frac{(a;q)_m}{(b;q)_m}t^m\\
\frac{q^{(k)}_n}{(a;q)_{n+1}}
&=\sum^k_{j=0}q^{\frac{j(j-1)}2}\binom kj_q\frac{(b;q)_{n+k-j}}{(a;q)_{n+1-j}}(-t)^j
\end{align}
が成り立つ。
なお適当な変換公式や$q$-WZ pairを考えることで
第9-1回の記事
の公式2
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j}{(1)_j(b-a)_j}(1-t)^j
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m}{(b)_m}t^m-\frac{(a)_{n+1}}{(b)_n}t^{n+1}
\sum^j_{i=1}\frac{(b-a)_{i-1}}{(-n-a)_i}(1-t)^{-i}\r)\\
&=t^k\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(n+b)_j}{(1)_j(b-a)_j}\l(\frac t{t-1}\r)^{-j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m}{(b)_m}t^m
-\frac{(a)_{n+1}}{(b)_n}t^n\sum^j_{i=1}\frac{(b-a)_{i-1}}{(b+n)_i}\l(\frac t{t-1}\r)^i\r)\\
\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j}{(1)_j(b-a)_j}(1-t)^j\\
&=t^k\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(n+b)_j}{(1)_j(b-a)_j}\l(\frac t{t-1}\r)^{-j}
\end{align}
とかの$q$-類似が得られると思うが、$q$-Zeilbergerなどを機械計算できる環境を整えていないため詳しくは検証していない。
${}_2F_1$の場合($t=-1$の類似)
また
${}_2F_1$の場合($t=-1$)
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\qquad(a+c=b+d)$$
の類似として
Bailey-Daumの和公式
に着想を得て
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(c;q)_n(d;q)_n}\l(-\frac da\r)^n
\qquad(ac=bd)$$
という級数について考えてみたところ、次のような結果が得られた。
$ac=bd=X$において
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(c;q)_n(d;q)_n}\l(-\frac X{ab}\r)^n
=1-\frac{(1-a)(1-b)X}{(1-c)(1-d)ab}\p\K^\infty_{n=1}
\frac{(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^{n-1})(1-dq^{n-1})abX}{(1-cq^n)(1-dq^n)ab-(1-aq^n)(1-bq^n)X}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^{n-1})(1-dq^{n-1})abXq^{2k}\\
a^{(k)}_{n+1}
&=(1-cq^{n+k})(1-dq^{n+k})ab-(1-aq^{n-k})(1-bq^{n-k})Xq^{2k}\\
&=(ab-Xq^{2k})(1-Xq^{2n})\\
r^{(k)}_n&=(1-aq^{n-k})(1-bq^{n-k})Xq^{2k}
+\frac{a+b}{ab+Xq^{2k+1}}(1-q^{k+1})(ab-Xq^k)Xq^{n+k-1}\\
R^{(k)}_n&=(1-cq^{n+k})(1-dq^{n+k})ab
+\frac{a+b}{ab+Xq^{2k+1}}(1-q^{k+1})(ab-Xq^k)Xq^{n+k}\\
d^{(k)}_n&=\frac{(1+q^{k+1})(ab+Xq^k)}{(ab+Xq^{2k+1})^2}
(1-q^{k+1})(ab-Xq^k)(a^2-Xq^{2k+1})(b^2-Xq^{2k+1})Xq^{2n-2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
おそらくこれに対応する$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$の明示形について調べることで
第9-2回の記事
の公式17
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j(n+c)_j}{(1)_j(\frac{c-a+1}2)_j(d-a)_j}
\l(\sum^n_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}
+(-1)^n\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\sum^j_{i=1}
\frac{(\tfrac{c-a+1}2)_{i-1}(d-a)_{i-1}}{2(-n-a)_i(n+c)_i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j(n+c)_j}{(1)_j(\frac{c-a+1}2)_j(d-a)_j}
\end{align}
とかの$q$-類似が得られると思うが、これも詳しくは検証していない。
一旦終わり
とりあえずパッと計算できそうなものについて$q$-類似を計算してみましたが、この調子だと他にも色々$q$-類似を考えることでいい感じの結果が得られそうな予感がします。ただ通常の結果ですら割と煩雑なのに更にその$q$-類似を考えるとなると非常に手間と時間がかかるため、個人的に$q$-類似にまだあんまり興味が無いのもあって、これ以上の計算は行わない予定です。
興味があれば各々で頑張って計算してみてください。
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