q超幾何級数の和公式まとめ

この記事では, $(x_1,\dots,x_r;q)_n:=(x_1;q)_n\cdots(x_r;q)_n,\quad (x;q)_n:=\prod_{k=0}^{n-1}(1-xq^k)$として,
\begin{align} \Q{r}s{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}{x}&=\Q{r}s{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}{q;x}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_n}{(b_1,\dots,b_s,q;q)_n}\left((-1)^nq^{\binom n2}\right)^{s+1-r}x^n \end{align}
によって定義される$q$超幾何級数の和公式をまとめたいと思う. 今回は両側$q$超幾何級数の和公式に関しては扱わない. また, 良く知られた公式のlimitting caseをどこまで書くかについては感覚的に判断したいと思う. 以下$N$は非負整数であるとする. また,
\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;x)&=W(a;b_1,\dots,b_r;q;x)\\ &=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{q;x} \end{align}
という記法も用いることにする.

${}_1\phi_0$

$q$二項定理

\begin{align} \Q10{a}{-}x&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}} \end{align}

${}_0\phi_1$

Heineの和公式 の系

\begin{align} \Q01{-}c{c}&=\frac{1}{(c;q)_{\infty}} \end{align}

${}_1\phi_1$

Heineの和公式 の系

\begin{align} \Q11{a}c{\frac ca}&=\frac{(c/a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}} \end{align}

Lebesgueの恒等式( Bailey-Daumの和公式 の系)

\begin{align} \Q11{a}0{-q}&=(-q;q)_{\infty}(aq;q^2)_{\infty} \end{align}

${}_2\phi_1$

$q$-Vandermondeの恒等式

\begin{align} \Q21{b,q^{-N}}{c}{\frac{cq^N}b}&=\frac{(c/b;q)_N}{(c;q)_N}\\ \Q21{b,q^{-N}}{c}{q}&=\frac{(c/b;q)_N}{(c;q)_N}b^N \end{align}

Heineの和公式

\begin{align} \Q21{a,b}{c}{\frac{c}{ab}}&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}} \end{align}

Bailey-Daumの和公式

\begin{align} \Q21{a,b}{aq/b}{-\frac qb}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(aq,aq^2/b^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}} \end{align}

Non-terminating $q$-Vandermondeの恒等式

\begin{align} \Q21{a,b}{c}q+\frac{(q/c,a,b;q)_{\infty}}{(c/q,aq/c,bq/c;q)_{\infty}}\Q21{aq/c,bq/c}{q^2/c}{q}&=\frac{(q/c,abq/c;q)_{\infty}}{(aq/c,bq/c;q)_{\infty}} \end{align}

Andrews-Askeyの和公式

\begin{align} \Q21{b^2,b^2/c}{c}{q^2;\frac{cq}{b^2}}&=\frac 12\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{(c,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\left(\frac{(c/b;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}+\frac{(-c/b;q)_{\infty}}{(-b;q)_{\infty}}\right) \end{align}
Andrews-Askeyの和公式の類似
\begin{align} \Q21{b^2,b^2/c}{cq^2}{q^2;\frac{cq^3}{b^2}}&=\frac 1{2b}\frac{(b^2,q;q^2)_{\infty}}{(cq^2,cq/b^2;q^2)_{\infty}}\left(\frac{(c/b;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}-\frac{(-c/b;q)_{\infty}}{(-b;q)_{\infty}}\right) \end{align}

${}_2\phi_2$

$q$-Gaussの和公式

\begin{align} \Q22{a,b}{\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}{-q}&=\frac{(aq,bq;q^2)_{\infty}}{(q,abq;q^2)_{\infty}} \end{align}

$q$-Baileyの和公式

\begin{align} \Q21{a,q/a}{c,-q}{-c}&=\frac{(ac,cq/a;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}} \end{align}

${}_3\phi_2$

$q$-Saalschützの和公式

\begin{align} \Q32{a,b,q^{-N}}{c,abq^{1-N}/c}{q}&=\frac{(c/a,c/b;q)_N}{(c,c/ab;q)_N} \end{align}

Jacksonによるterminating$q$-Dixonの和公式

\begin{align} \Q32{q^{-2N},b,c}{q^{1-2N}/b,q^{1-2N}/c}{\frac{q^{1-N}}{bc}}&=\frac{(b,c;q)_n(bc,q;q)_{2n}}{(bc,q;q)_n(b,c;q)_{2n}}q^{-n}\\ \Q32{q^{-2N},b,c}{q^{1-2N}/b,q^{1-2N}/c}{\frac{q^{2-N}}{bc}}&=\frac{(b,c;q)_n(bc,q;q)_{2n}}{(bc,q;q)_n(b,c;q)_{2n}} \end{align}

Non-terminating $q$-Saalschützの和公式

$abcq=de$のとき,
\begin{align} &\Q32{a,b,c}{d,e}{q}+\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q\\ &=\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}} \end{align}

Rahmanの三次和公式

$\omega=e^{2\pi i/3}$とするとき,
\begin{align} \Q32{a,q/a,\omega}{a^2,\omega^2q}{a\omega}&=\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{(a,a\omega^2;q)_{\infty}(a^3q;q^3)_{\infty}}{(a^2,\omega^2;q)_{\infty}(q;q^3)_{\infty}} \end{align}

${}_4\phi_3$

$q$-Dixonの和公式( Rogersの和公式 の系)

\begin{align} \Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt aq}{bc}}&=\frac{(aq,aq/bc,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt aq,\sqrt aq/bc;q)_{\infty}} \end{align}

Andrewsによるterminating $q$-Watsonの和公式

\begin{align} \Q43{a,q^{-N},\sqrt c,-\sqrt{c}}{c,\sqrt{aq^{1-N}},-\sqrt{aq^{1-N}}}{q}&=\begin{cases} \displaystyle\frac{(q,cq/a;q^2)_{N/2}}{(q/a,cq;q^2)_{N/2}}&& N:\mathrm{even}\\ 0&&N:\mathrm{odd} \end{cases} \end{align}

Terminating $q$-Dixonの和公式 ( Jacksonの和公式 の系)

\begin{align} \Q43{a,b,q^{-N},-aq^{N+1}/b}{aq/b,aq^{N+1},-bq^{-N}}{q}&=\frac{(-q,aq;q)_N(aq^2/b^2;q^2)_N}{(-q/b,aq/b;q)_N(aq^2;q^2)_N}\\ \Q43{q^{-N},b,c,-q^{1-N}/bc}{q^{1-N}/b,q^{1-N}/c,-bc}{q}&=\begin{cases} \displaystyle\frac{(q,bc;q)_N(b^2,c^2;q^2)_{N/2}}{(b,c;q)_N(q^2,b^2c^2;q^2)_{N/2}}&& N:\mathrm{even}\\ 0&& N:\mathrm{odd} \end{cases} \end{align}

Andrewsによるterminating $q$-Whippleの和公式

\begin{align} \Q43{q^{-N},q^{N+1},\sqrt c,-\sqrt c}{e,cq/e,-q}{q}&=\frac{(eq^{-N},eq^{N+1},cq^{1-N}/e,cq^{N+2}/e;q^2)_{\infty}}{(e,cq/e;q)_{\infty}}q^{\binom{N+1}2} \end{align}

Jacksonによる$q$-Clausenの公式

\begin{align} \Q43{a,b,q^{1-2N}/ab,q^{-2N}}{abq,q^{2-2N}/a,q^{2-2N}/b}{q^2;q^2}&=\frac{(a,b;q)_N(q^2,ab;q^2)_N}{(a,b;q^2)_N(q,ab;q)_N}q^{-N}\\ \Q43{a,b,q^{1-2N}/ab,q^{-2N}}{abq,q^{2-2N}/a,q^{2-2N}/b}{q^2;q^4}&=\frac{(a,b;q)_N(q^2,ab;q^2)_N}{(a,b;q^2)_N(q,ab;q)_N} \end{align}

$q$-Baileyの和公式 , $q$-Carlitzの和公式

\begin{align} \Q43{q^{-2N},e^2q^{2N},c,cq}{c^2q^2,e,eq}{q^2;q^2}&=\frac{(-q,e/c;q)_N}{(-cq,e;q)_N}c^N\\ \Q43{q^{-2N},e^2q^{2N-2},c,cq}{c^2,e,eq}{q^2;q^2}&=\frac{1-eq^{N-1}}{1-eq^{2N-1}}\frac{(-q,e/c;q)_N}{(-c,e;q)_N}c^N\\ \end{align}

Non-terminating q-Dixonの和公式 ( Non-terminating Jacksonの和公式 の系)

\begin{align} &\Q43{a,b,c,-aq/bc}{aq/b,aq/c,-bc}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,b,c,-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2,-bc/q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{-aq/bc,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2}{-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q^2/bc}{q}\\ &=\frac{(-q,-q/bc,aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(-q/b,-q/c,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}} \end{align}

Non-terminating $q$-Watsonの和公式

\begin{align} &\Q43{a,b,\sqrt c,-\sqrt c}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q\\ &\qquad+\frac{(a,b,q/c;q)_{\infty}(c,abq^3/c;q^2)_{\infty}}{(aq/c,bq/c,c/q;q)_{\infty}(abq,q^2/c;q^2)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{aq/c,bq/c,q/\sqrt c,-q/\sqrt c}{q^2/c,q\sqrt{abq}/c,-q\sqrt{abq}/c}q\\ &=\frac{(aq,bq,q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(q,abq,aq/c,bq/c;q^2)_{\infty}} \end{align}

NassrallahによるNon-terminating $q$-Whippleの和公式

\begin{align} &\Q43{a,q/a,\sqrt c,-\sqrt c}{-q,e,cq/e}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,q/a,e^2/c,e/c,-eq/c;q)_{\infty}(c;q^2)_{\infty}}{(-q,ae/c,eq/ac,e,c/e;q)_{\infty}(e^2/c;q^2)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{ae/c,eq/ac,e/\sqrt c,-e/\sqrt c}{e^2/c,eq/c,-eq/c}{q}\\ &=\frac{(e/c;q)_{\infty}(ae,eq/a;q^2)_{\infty}}{(e;q)_{\infty}(ae/c,eq/ac;q^2)_{\infty}} \end{align}

${}_5\phi_4$

Rogersの和公式 の系

\begin{align} \Q54{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt{aq}}{bc}}&=\frac{(aq,aq/bc,\sqrt{aq}/b,\sqrt{aq}/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt{aq},\sqrt{aq}/bc;q)_{\infty}} \end{align}

Jackson, Baileyの和公式

$bcde=q^{1-3N}$のとき,
\begin{align} &\Q54{b,c,d,e,q^{-2N}}{q^{1-2N}/b,q^{1-2N}/c,q^{1-2N}/d,q^{1-2N}/e}q\\ &=\frac{(q^{N+1},b,c,d,e,q^{1-2N}/bc,q^{1-2N}/bd,q^{1-2N}/cd;q)_N}{(q^{1-2N}/b,q^{1-2N}/c,q^{1-2N}/d,e;q)_{2N}}e^N \end{align}
$bcde=q^{-1-3N}$のとき,
\begin{align} &\Q54{b,c,d,e,q^{-2N-1}}{q^{-2N}/b,q^{-2N}/c,q^{-2N}/d,q^{-2N}/e}q\\ &=\frac{(q^{N+1},b,c,d,e;q)_{N+1}(q^{-2N}/bc,q^{-2N}/bd,q^{-2N}/cd;q)_N}{(q^{-2N}/b,q^{-2N}/c,q^{-2N}/d,e;q)_{2N+1}}e^{N+1} \end{align}

Andrewsの三次和公式

$\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$とするとき,
\begin{align} \Q54{q^{-N},aq^N,a^{\frac 13},a^{\frac 13}\omega,a^{\frac 13}\omega^2}{\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}&=\begin{cases} 0&&N\not\equiv 0\pmod 3\\ \displaystyle\frac{(a;q^3)_{N/3}(q;q)_N}{(q^3;q^3)_{N/3}(a;q)_N}a^{\frac N3}&&N\equiv 0\pmod 3\\ \end{cases}\\ \Q54{q^{-3N},a^3q^{3N},aq,aq^2,aq^3}{(aq)^{\frac 32},-(aq)^{\frac 32},a^{\frac 32}q^3,-a^{\frac 32}q^3}{q^3;q^3}&=\frac{(1-a^3)(1-aq^{2N})(a;q)_N(q^3;q^3)_N}{(1-a)(1-a^3q^{6N})(q;q)_N(a^3;q^3)_N}(aq)^N \end{align}

${}_5\phi_5$

Rogersの和公式 の系

\begin{align} \Q55{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,0}{\frac{aq}{bc}}&=\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}} \end{align}

${}_6\phi_5$

Rogersの和公式

\begin{align} \Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{aq}{bcd}}&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}} \end{align}

${}_8\phi_7$

Jacksonの和公式

$a^2q^{N+1}=bcde$のとき,
\begin{align} \Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1}}q&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bc,aq/cd;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_N} \end{align}

Verma-Jainによる$q$-Watson, $q$-Whippleの和公式

\begin{align} &W\left(-\frac{abc}{\sqrt q};a^2,b^2,c,-c,-\frac{ab\sqrt q}{c};\frac{c\sqrt q}{ab}\right)\\ &=\frac{(-abc\sqrt q,-c\sqrt q/ab;q)_{\infty}}{(-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_{\infty}}\frac{(a^2q,b^2q,c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_{\infty}}{(c^2q/a^2b^2,q,a^2b^2q,c^2q;q^2)_{\infty}}\\ &W\left(-c;a,\frac qa,c,-d,-\frac qd;c\right)\\ &=\frac{(-c,-cq;q)_{\infty}(cdq/a,acd,acq/d,cq^2/ad;q^2)_{\infty}}{(cd,-cq/a,-ac,cq/d;q)_{\infty}} \end{align}

Non-terminating Jacksonの和公式

$a^2q=bcdef$のとき,
\begin{align} &W\left(a;b,c,d,e,f;q\right)-\frac ba\frac{(aq,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,c,d,e,f;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,b^2q/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q\right)\\ &=\frac{(aq,aq/cd,aq/ce,aq/cf,aq/de,aq/df,aq/ef,b/a;q)_{\infty}}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q)_{\infty}} \end{align}

${}_{10}\phi_9$

Rahmanの和公式( Verma-Jainの変換公式 の系)

\begin{align} &W(b;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},c,b/a,b^2q/a;q)\\ &\qquad+\frac{(a,c,bq,b/a,bq^2/c,bq/ac,b^4q^3/a^3c^2;q)_{\infty}}{(aq,b q/a,b q/c,b^2q/a,b^2q/a^2c,ac/bq,b^3q^3/a^2c^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(b^3q^2/a^2c^2;bq/\sqrt ac,-bq/\sqrt ac,bq^{\frac 32}/\sqrt ac,-bq^{\frac 32}/\sqrt ac,b q/a,b^2q/ac,b^2q/a^2c;q)\\ &=\frac{(bq,b^2q/a^2,bq/ac,b^2q/ac;q)_{\infty}}{(b q/a,b q/c,b^2q/a,b^2q/a^2c;q)_{\infty}} \end{align}
特に
\begin{align} W(b;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},q^{-N},b/a,b^2q/a;q)&=\frac{(bq,b^2q/a^2;q)_N}{(b q/a,b^2q/a;q)_N} \end{align}

その他

Baileyのmod 9恒等式の一般化

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(x,q/x;q)_n}{(q;q)_{2n}}q^{n^2}&=\frac{(xq,q^2/x,q^3;q^3)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(x;q)_{n+1}(q/x;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{n^2+n}&=\frac{(x,q^3/x,q^3;q^3)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}

Gessel-Stantonの和公式

\begin{align} &\sum_{k=0}^N\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,q/b;q)_k(a/d,adq^{2N+1},q^{-2N};q^2)_k}{(dq,q^{-2N}/d,aq^{2N+1};q)_k(q^2,abq,aq^2/b;q^2)_k}q^k\\ &=\frac{(aq;q)_{2N}(bdq,dq^2/b;q^2)_N}{(dq;q)_{2N}(abq,aq^2/b;q^2)_N}\\ &\sum_{k=0}^N\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(q/d,adq^N,q^{-N};q)_k(a,b,aq/b;q^2)_k}{(q,b,aq/b;q)_k(adq,aq^{N+2},q^{2-N}/d;q^2)_k}q^k\\ &=\begin{cases} \displaystyle\frac{(q,aq^2,bd,adq/b;q^2)_{N/2}}{(bq,d,adq,aq^2/b;q^2)_{N/2}} && N:\mathrm{even}\\ 0 && N:\mathrm{odd} \end{cases} \end{align}

Rahmanの和公式

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(b,c,aq/bc;q)_k(a;q^2)_k}{(aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_k(q;q)_k}q^{\binom{k+1}2}\\ &=\frac{(aq^2,bq,cq,aq^2/bc;q^2)_{\infty}}{(q,aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_{\infty}} \end{align}

Chuの和公式

\begin{align} &\sum_{k=0}^N\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(b,c,aq/bc;q)_k(q^{-2N},aq^{2N+1},a;q^2)_k}{(aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_k(aq^{2N+1},q^{-2N},q;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(aq^2,bq,cq,aq^2/bc;q^2)_N}{(q,aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_N} \end{align}

Gasperの和公式

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,q/b;q)_k(c,d,a^2q/cd;q^2)_k}{(q^2,aq^2/b,abq;q^2)_k(aq/c,aq/d,cd/a;q)_k}q^{k}\\ &\qquad-\frac{aq}{cd}\frac{(a^2q^3/c^2d,a^2q^3/cd^2,c,d;q^2)_{\infty}(aq,b,q/b;q)_{\infty}}{(aq^{2}/b,aq^2/bcd,abq,abq/cd;q^2)_{\infty}(aq/c,aq/d,cd/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q32{aq^2/bcd,a^2q/cd,abq/cd}{a^2q^3/c^2d,a^2q^3/cd^2}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(aq^2/bc,aq^{2}/bd,abq/c,abq/d;q^2)_{\infty}(aq,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq^{2}/b,aq^2/bcd,abq,abq/cd;q^2)_{\infty}(aq/c,aq/d;q)_{\infty}} \end{align}

Gasper-Rahmanの三次和公式 ($q$-Gosper予想)

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,q/a;q)_k(ac;q)_{2k}(d,acq/d;q^3)_k}{(cq^3,a^2cq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(d,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(acq^2,acq^3,d/ac,dq/ac,adq,aq,q^2/a,dq^2/a;q^3)_{\infty}}{(q,q^2,dq,dq^2,a^2cq^2,cq^3,dq/a^2c,d/c;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{d}{ac}\frac{(q^3,d,acq/d,d^2q^{2}/ac;q^3)_{\infty}(a,q/a,acq;q)_{\infty}}{(cq^3,a^2cq^2,d/c,dq/a^2c;q^3)_{\infty}(q,d,acq/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{d/c,dq/a^2c}{d^2q^2/ac}{q^3;q^3}\\ &\sum_{k=0}^N\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,q/a;q)_k(ac;q)_{2k}(q^{-3N},abq^{3N+1};q^3)_k}{(cq^3,a^2cq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(acq^{3N+1},q^{-3N};q)_{k}}q^{k}\\ &=\frac{(aq,q^2/a,acq^2,acq^3;q^3)_N}{(q,q^2,a^2cq^2,cq^3;q^3)_N} \end{align}

Gasper-Rahmanの三次和公式

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,q^2/a;q)_k(ac/q;q)_{2k}(d,acq^2/d;q^3)_k}{(cq^3,a^2cq;q^3)_k(q^2;q)_{2k}(d/q,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(acq,acq^3,d/ac,dq^2/ac,ad/q,dq/a,aq^2,q^4/a;q^3)_{\infty}}{(q^2,q^4,d/q,dq,a^2cq,cq^3,dq^2/a^2c,d/c;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{d}{ac}\frac{(a,aq,aq^2,q^2/a,q^3/a,q^4/a,ac/q,acq,acq^3,d^2q/ac;q^3)_{\infty}}{(q^2,q^4,d/q,dq,acq/d,acq^3/d,cq^3,a^2cq,d/c,dq^2/a^2c;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{d/c,dq^2/a^2c}{d^2q/ac}{q^3;q^3}\\ \end{align}

Gasperの三次和公式

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{4k}}{1-a}\frac{(a,b;q)_k(q/b;q)_{2k}(c,a^2b/c;q^3)_k}{(q^3,aq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(aq/c,cq/ab;q)_k}q^k\\ &=\frac{(aq,ab/c;q)_{\infty}(ab^2,aq^3/bc;q^3)_{\infty}}{(ab,aq/c;q)_{\infty}(ab^2/c,aq^3/b;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{ab}c\frac{(aq,b,q/b;q)_{\infty}(c,a^2bq^3/c^2;q^3)_{\infty}}{(ab,cq/ab,aq/c;q)_{\infty}(ab^2/c,aq^3/b;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \Q21{ab^2/c,a^2b/c}{a^2bq^3/c^2}{q^3;q^3} \end{align}

Gasperの四次和公式

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{5k}}{1-a}\frac{(a,b;q)_k(a^2b^2/q^2;q^4)_k(q/b;q)_{3k}}{(q^3/ab^2;q)_k(ab;q)_{2k}(ab/q;q^2)_k(q^4,aq^4/b;q^4)_k}q^k\\ &=\frac{(aq,ab^2/q^2;q)_{\infty}}{(ab;q)_{\infty}(ab/q;q^2)_{\infty}(aq^4/b,ab^3/q^2;q^4)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac {ab^2(aq,b,q/b;q)_{\infty}(a^2b^2q^2;q^4)_{\infty}}{q^2(ab,q^3/ab^2;q)_{\infty}(ab/q;q^2)_{\infty}(q^4,aq^4/b,ab^3/q^2;q^4)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot \Q11{a^2b^2/q^2}{a^2b^2q^2}{q^4;ab^3q^2} \end{align}

Gasper-Rahmanの四次和公式

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{5k}}{1-ac}\frac{(a,q^2/a;q)_k(q^2;q^4)_k(ac/q;q)_{3k}}{(ac/q;q)_k(q^2;q)_{2k}(q;q^2)_k(cq^4,a^2cq^2;q^4)_k}q^k\\ &=\frac{(acq^2,q^2/ac,aq,q^3/a;q^2)_{\infty}}{(q,q^3;q^2)_{\infty}(cq^4,q^2/c,a^2cq^2,q^4/a^2c;q^4)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac {q^2(a,q^2/a;q)_{\infty}(q^2;q^4)_{\infty}}{ac(1-ac)(1-q^2/c)(q^2;q)_{\infty}(q;q^2)_{\infty}(cq^4,a^2cq^2,q^4/a^2c;q^4)_{\infty}}\Q11{q^2/c}{q^6/c}{q^4;\frac{q^8}{a^2c}} \end{align}

あとがき

他にも書いておいた方が良さそうな公式があれば追記したいと思う.