Verma-Jainによるq-Watson, q-Whippleの和公式

Verma-Jainによる Nearly-poised 4F3の変換公式のq類似
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,-aq^2,b^2,c^2;q^2)_n}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_n}\frac{(-aq/w,q^{-N};q)_n}{(w,-aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{awq^{N+2}}{b^2c^2}\right)^n\\ &=\frac{(-aq,w/a;q)_N}{(-q,w;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2q^2/b^2c^2,a,aq,q^{-2N},a^2q^2/w^2;q^2)_n}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,aq^{1-N}/w,aq^{2-N}/w;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
において, $w=b^2c^2q^{-N-1}/a$を代入すると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{1+aq^{2n}}{1+a}\frac{(a^2,b^2,c^2;q^2)_n}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_n}\frac{(-a^2q^{2+N}/b^2c^2,q^{-N};q)_n}{(b^2c^2q^{-N-1}/a,-aq^{N+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(-aq,b^2c^2q^{-N-1}/a^2;q)_N}{(-q,b^2c^2q^{-N-1}/a;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq,q^{-2N},a^4q^{2N+4}/b^4c^4;q^2)_n}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,a^2q^3/b^2c^2;q^2)_n}q^{2n}\\ &=\frac{(-aq,a^2q^2/b^2c^2;q)_N}{(-q,aq^2/b^2c^2;q)_N}a^{-N}\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq,q^{-2N},a^4q^{2N+4}/b^4c^4;q^2)_n}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,a^2q^3/b^2c^2;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
を得る. $a,b,c$をそれぞれ$a^2,a\sqrt q/b,ab\sqrt q/c$と置き換えると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{1+a^2q^{2n}}{1+a^2}\frac{(a^4,a^2q/b^2,a^2b^2q/c^2;q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2c^2q/b^2;q^2)_n}\frac{(-c^2q^{N},q^{-N};q)_n}{(a^2q^{1-N}/c^2,-a^2q^{N+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(-a^2q,c^2;q)_N}{(-q,c^2/a^2;q)_N}a^{-2N}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,a^2q,q^{-2N},c^4q^{2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2c^2q/b^2,c^2q;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
ここで, Searsの変換公式 より,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,a^2q,q^{-2N},c^4q^{2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2c^2q/b^2,c^2q;q^2)_n}q^{2n}\\ &=\frac{(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_N}{(a^2c^2q/b^2,c^2q;q^2)_N}a^{2N}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2,a^2b^2q^{1-2N}/c^4,q^{-2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2q^{1-2N}/c^2,b^2q^{1-2N}/c^2;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
である. また, 前の記事 の定理1において$b,c,d$を$a\sqrt q/b,-a\sqrt q/b,ab\sqrt q/c$と選んで適用すると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{1+a^2q^{2n}}{1+a^2}\frac{(a^4,a^2q/b^2,a^2b^2q/c^2;q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2c^2q/b^2;q^2)_n}\frac{(-c^2q^{N},q^{-N};q)_n}{(a^2q^{1-N}/c^2,-a^2q^{N+1};q)_n}q^n\\ &=W(-a^2;a^2,a\sqrt q/b,-a\sqrt q/b,ab\sqrt q/c,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q)\\ &=\frac{(-a^2q,c\sqrt q/ab,-bc\sqrt q/a,c^2;q)_N}{(-q,ac\sqrt q/b,-abc\sqrt q,c^2/a^2;q)_N}W(-abc/\sqrt q;a^2,-c,c,b^2,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &\frac{(-a^2q,c\sqrt q/ab,-bc\sqrt q/a,c^2;q)_N}{(-q,ac\sqrt q/b,-abc\sqrt q,c^2/a^2;q)_N}W(-abc/\sqrt q;a^2,-c,c,b^2,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q)\\ &=\frac{(-a^2q,c^2;q)_N}{(-q,c^2/a^2;q)_N}a^{-2N}\frac{(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_N}{(a^2c^2q/b^2,c^2q;q^2)_N}a^{2N}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2,a^2b^2q^{1-2N}/c^4,q^{-2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2q^{1-2N}/c^2,b^2q^{1-2N}/c^2;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
つまり,
\begin{align} &W(-abc/\sqrt q;a^2,-c,c,b^2,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q)\\ &=\frac{(-abc\sqrt q;q)_N(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_N}{(c\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_N(c^2q;q^2)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2,a^2b^2q^{1-2N}/c^4,q^{-2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2q^{1-2N}/c^2,b^2q^{1-2N}/c^2;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
を得る. $N\to\infty$とすると,
\begin{align} &W(-abc/\sqrt q;a^2,-c,c,b^2,-ab\sqrt q/c;c\sqrt q/ab)\\ &=\frac{(-abc\sqrt q;q)_{\infty}(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_{\infty}}{(c\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_{\infty}(c^2q;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q;q^2)_n}q^{n} \end{align}
となる. Heineの和公式より,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q;q^2)_n}q^{n}&=\frac{(a^2q,b^2q;q^2)_{\infty}}{(q,a^2b^2q;q^2)_{\infty}} \end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.

定理1の証明過程の式
\begin{align} &W(-abc/\sqrt q;a^2,-c,c,b^2,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q)\\ &=\frac{(-abc\sqrt q;q)_N(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_N}{(c\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_N(c^2q;q^2)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2,a^2b^2q^{1-2N}/c^4,q^{-2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2q^{1-2N}/c^2,b^2q^{1-2N}/c^2;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
の左辺に 前の記事 の定理1において$b,c,d$を$a^2,b^2,-c$と選ぶと,
\begin{align} &W(-abc/\sqrt q;a^2,-c,c,b^2,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q)\\ &=\frac{(-abc\sqrt q,c,-q,c^2\sqrt q/ab;q)_N}{(-ab\sqrt q,c^2,-cq,c\sqrt q/ab;q)_N}W(-c;a\sqrt q/b,b\sqrt q/a,-c\sqrt q/ab,c,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q) \end{align}
を得る. よって,
\begin{align} &W(-c;a\sqrt q/b,b\sqrt q/a,-c\sqrt q/ab,c,-ab\sqrt q/c,-c^2q^N,q^{-N};q)\\ &=\frac{(-ab\sqrt q,c^2,-cq,c\sqrt q/ab;q)_N}{(-abc\sqrt q,c,-q,c^2\sqrt q/ab;q)_N}\frac{(-abc\sqrt q;q)_N(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_N}{(c\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_N(c^2q;q^2)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2,a^2b^2q^{1-2N}/c^4,q^{-2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2q^{1-2N}/c^2,b^2q^{1-2N}/c^2;q^2)_n}q^{2n}\\ &=\frac{(-ab\sqrt q,c^2,-cq;q)_N(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_N}{(c,-q,c^2\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_N(c^2q;q^2)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2,a^2b^2q^{1-2N}/c^4,q^{-2N};q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q,a^2q^{1-2N}/c^2,b^2q^{1-2N}/c^2;q^2)_n}q^{2n} \end{align}
よって, 先ほどと同様に$N\to\infty$としてHeineの和公式を用いると,
\begin{align} &W(-c;a\sqrt q/b,b\sqrt q/a,-c\sqrt q/ab,c,-ab\sqrt q/c;c)\\ &=\frac{(-ab\sqrt q,c^2,-cq;q)_{\infty}(c^2q/a^2,c^2q/b^2;q^2)_{\infty}}{(c,-q,c^2\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_{\infty}(c^2q;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n}{(q^2,a^2b^2q;q^2)_n}q^n\\ &=\frac{(-ab\sqrt q,c^2,-cq;q)_{\infty}(c^2q/a^2,c^2q/b^2,a^2q,b^2q;q^2)_{\infty}}{(c,-q,c^2\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a;q)_{\infty}(c^2q,q,a^2b^2q;q^2)_{\infty}}\\ &=\frac{(-c,-cq;q)_{\infty}(c^2q/a^2,c^2q/b^2,a^2q,b^2q;q^2)_{\infty}}{(c^2\sqrt q/ab,-ac\sqrt q/b,-bc\sqrt q/a,ab\sqrt q;q)_{\infty}} \end{align}
ここで, $a\mapsto ab/\sqrt q$とすると,
\begin{align} &W(-c;a,q/a,-cq/ab^2,c,-ab^2/c;c)\\ &=\frac{(-c,-cq;q)_{\infty}(c^2q^2/a^2b^2,c^2q/b^2,a^2b^2,b^2q;q^2)_{\infty}}{(c^2q/ab^2,-ac,-cq/a,ab^2;q)_{\infty}} \end{align}
となる. さらに$b^2=cq/ad$とすると,
\begin{align} &W(-c;a,q/a,-d,c,-q/d;c)\\ &=\frac{(-c,-cq;q)_{\infty}(cdq/a,acd,acq/d,cq^2/ad;q^2)_{\infty}}{(cd,-ac,-cq/a,cq/d;q)_{\infty}} \end{align}
となって示すべき等式が得られた.