Chuの4F3変換公式のq類似
前の記事 を書き終えた後に, Chuの${}_4F_3$変換公式 がnearly-poisedの変換公式とWhippleの変換公式から従うことに気づいた.
まず,
Verma-Jainによる変換公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a^2,-aq,b^2,c^2;q^2)_k}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}\frac{(-aq/w,q^{-n};q)_k}{(w,-aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{awq^{n+2}}{b^2c^2}\right)^k\\
&=\frac{(-aq,w/a;q)_n}{(-q,w;q)_n}\Q54{a^2q^2/b^2c^2,a,aq,a^2q^2/w^2,q^{-2n}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,aq^{1-n}/w,aq^{2-n}/w}{q^2;q^2}
\end{align}
において, $w\mapsto aq^{1-n}/e$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a^2,-aq,b^2,c^2;q^2)_k}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}\frac{(-eq^n,q^{-n};q)_k}{(aq^{1-n}/e,-aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^3}{b^2c^2e}\right)^k\\
&=\frac{(-aq,q^{1-n}/e;q)_n}{(-q,aq^{1-n}/e;q)_n}\Q54{a^2q^2/b^2c^2,a,aq,e^2q^{2n},q^{-2n}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,e,eq}{q^2;q^2}\\
&=a^{-n}\frac{(-aq,e;q)_n}{(-q,e/a;q)_n}\Q54{a^2q^2/b^2c^2,a,aq,e^2q^{2n},q^{-2n}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,e,eq}{q^2;q^2}
\end{align}
となる. 次に, $c\mapsto aq^{1-n}/e$とすると,
\begin{align}
&a^{-n}\frac{(-aq,e;q)_n}{(-q,e/a;q)_n}\Q43{e^2q^{2n}/b^2,a,aq,q^{-2n}}{a^2q^2/b^2,e,eq}{q^2;q^2}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2,-aq,b^2,a^2q^{2-2n}/e^2;q^2)_k}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2,e^2q^{2n};q^2)_k}\frac{(-eq^n,q^{-n};q)_k}{(aq^{1-n}/e,-aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{eq^{2n+1}}{b^2}\right)^k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2,-aq,b^2;q^2)_k}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2;q^2)_k}\frac{(-aq^{1-n}/e,q^{-n};q)_k}{(eq^n,-aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{eq^{2n+1}}{b^2}\right)^k
\end{align}
ここで, $a\mapsto c$として${}_4\phi_3$に関して整理すると,
\begin{align}
&\Q43{e^2q^{2n}/b^2,c,cq,q^{-2n}}{c^2q^2/b^2,e,eq}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(-q,e/c;q)_n}{(-cq,e;q)_n}c^n\sum_{0\leq k}\frac{(c^2,-cq,b^2;q^2)_k}{(q^2,-c,c^2q^2/b^2;q^2)_k}\frac{(-cq^{1-n}/e,q^{-n};q)_k}{(eq^n,-cq^{n+1};q)_k}\left(\frac{eq^{2n+1}}{b^2}\right)^k
\end{align}
となる. ここで, $b\mapsto ce/a$とすると,
\begin{align}
&\Q43{a^2q^{2n}/c^2,c,cq,q^{-2n}}{a^2q^2/e^2,e,eq}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(-q,e/c;q)_n}{(-cq,e;q)_n}c^n\sum_{0\leq k}\frac{(c^2,-cq,c^2e^2/a^2;q^2)_k}{(q^2,-c,a^2q^2/e^2;q^2)_k}\frac{(-cq^{1-n}/e,q^{-n};q)_k}{(eq^n,-cq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{2n+1}}{c^2e}\right)^k
\end{align}
となる. つまり, 以下を得る.
非負整数$n$に対し
\begin{align}
&\Q43{a^2q^{2n}/c^2,c,cq,q^{-2n}}{a^2q^2/e^2,e,eq}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(-q,e/c;q)_n}{(-cq,e;q)_n}c^n\sum_{0\leq k}\frac{(c^2,-cq,c^2e^2/a^2;q^2)_k}{(q^2,-c,a^2q^2/e^2;q^2)_k}\frac{(-cq^{1-n}/e,q^{-n};q)_k}{(eq^n,-cq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{2n+1}}{c^2e}\right)^k\\
&=\frac{(-q,e/c;q)_n}{(-cq,e;q)_n}c^n\Q87{-c,q\sqrt{-c},-q\sqrt{-c},c,ce/a,-ce/a,-cq^{1-n}/e,q^{-n}}{\sqrt{-c},-\sqrt{-c},-q,aq/e,-aq/e,eq^n,-cq^{n+1}}{\frac{a^2q^{2n+1}}{ce}}
\end{align}
が成り立つ.
この等式の左辺は
Chuの${}_4F_3$変換公式
の$q$類似を与えている. しかし, 右辺は直接的な$q$類似ではない. ここからChuの${}_4F_3$変換公式を導出するには, まず$q\to 1$とする. すると,
\begin{align}
\F43{-n,a-c+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+a-e,\frac e2,\frac{e+1}2}{1}&=\frac{(e-c)_n}{(e)_n}\F32{c,c+e-a,-n}{1+a-e,e+n}{1}
\end{align}
を得る. ここで
Whippleの${}_4F_3$変換公式
\begin{align}
\F43{a,b,c,-n}{d,e,f}1&=\frac{(e-a,f-a)_n}{(e,f)_n}\F43{a,d-b,d-c,-n}{d,1-n+a-e,1-n+a-f}1\qquad a+b+c+1-n=d+e+f
\end{align}
において, $c,f$以外を固定して$f\to\infty$として得られる式
\begin{align}
\F32{a,b,-n}{d,e}1&=\frac{(e-a)_n}{(e)_n}\F32{a,d-b,-n}{d,1-n+a-e}1
\end{align}
を用いれば,
\begin{align}
\F32{c,c+e-a,-n}{1+a-e,e+n}1&=\frac{(1+a-c-e)_n}{(1+a-e)_n}\F32{c,a-c+n,-n}{e+n,c+e-a-n}{1}
\end{align}
を得るのでこれを代入すればよい.
定理1の右辺はvery-well-poised${}_8\phi_7$であるから, Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}{\frac{a^2q^{n+2}}{bcde}}\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c,deq^{-n}/a}q
\end{align}
における$d,e$として$c,ce/a$を選ぶと
\begin{align}
&\Q87{-c,q\sqrt{-c},-q\sqrt{-c},c,ce/a,-ce/a,-cq^{1-n}/e,q^{-n}}{\sqrt{-c},-\sqrt{-c},-q,aq/e,-aq/e,eq^n,-cq^{n+1}}{\frac{a^2q^{2n+1}}{ce}}\\
&=\frac{(-cq,-aq/ce;q)_n}{(-q,-aq/e;q)_n}\Q43{-aq^n/c,c,ce/a,q^{-n}}{aq/e,eq^n,-ceq^{-n}/a}{q}
\end{align}
となるので, これを代入すると,
\begin{align}
\Q43{a^2q^{2n}/c^2,c,cq,q^{-2n}}{a^2q^2/e^2,e,eq}{q^2;q^2}&=\frac{(e/c,-aq/ce;q)_n}{(e,-aq/e;q)_n}c^n\Q43{-aq^n/c,c,ce/a,q^{-n}}{aq/e,eq^n,-ceq^{-n}/a}{q}
\end{align}
を得る. これも先ほどの式
\begin{align}
\F43{-n,a-c+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+a-e,\frac e2,\frac{e+1}2}{1}&=\frac{(e-c)_n}{(e)_n}\F32{c,c+e-a,-n}{1+a-e,e+n}{1}
\end{align}
の$q$類似になっている. 先ほどはWhippleの変換公式の系を用いたが, 今度はWhippleの変換公式の$q$類似であるSearsの変換公式
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,f}q&=\frac{(e/a,f/a;q)_n}{(e,f;q)_n}a^n\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f}q
\end{align}
を$a,d$を$c,eq^n$として用いると,
\begin{align}
\Q43{-aq^n/c,c,ce/a,q^{-n}}{aq/e,eq^n,-ceq^{-n}/a}{q}&=\frac{(aq/ce,-eq^{-n}/a;q)_n}{(aq/e,-ceq^{-n}/a;q)_n}c^n\Q43{c,aq^n/c,-ce/a,q^{-n}}{eq^n,ceq^{-n}/a,-aq/e}q\\
&=\frac{(aq/ce,-aq/e;q)_n}{(aq/e,-aq/ce;q)_n}\Q43{c,aq^n/c,-ce/a,q^{-n}}{eq^n,ceq^{-n}/a,-aq/e}q
\end{align}
となる. まとめると, 以下を得る.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&\Q43{a^2q^{2n}/c^2,c,cq,q^{-2n}}{a^2q^2/e^2,e,eq}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(e/c,-aq/ce;q)_n}{(e,-aq/e;q)_n}c^n\Q43{-aq^n/c,c,ce/a,q^{-n}}{aq/e,eq^n,-ceq^{-n}/a}{q}\\
&=\frac{(e/c,aq/ce;q)_n}{(e,aq/e;q)_n}c^n\Q43{c,aq^n/c,q^{-n},-ce/a}{eq^n,ceq^{-n}/a,-aq/e}q
\end{align}
が成り立つ.
特に2つ目の表示
\begin{align}
\Q43{a^2q^{2n}/c^2,c,cq,q^{-2n}}{a^2q^2/e^2,e,eq}{q^2;q^2}&=\frac{(e/c,aq/ce;q)_n}{(e,aq/e;q)_n}c^n\Q43{c,aq^n/c,q^{-n},-ce/a}{eq^n,ceq^{-n}/a,-aq/e}q
\end{align}
は
Chuの${}_4F_3$変換公式
\begin{align}
\F43{-n,a-c+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+a-e,\frac e2,\frac{e+1}2}1&=\frac{(1+a-c-e,e-c)_n}{(1+a-e,e)_n}\F32{-n,a-c+n,c}{c+e-a-n,e+n}1
\end{align}
の直接的な$q$類似を与えている.
これは新しい等式なのかというと, そうではなく, 実は
Searsの変換公式
の下で
Singhによる二次変換公式
と同値である. 実際Searsの変換公式を用いることで
\begin{align}
&\Q43{c,aq^n/c,q^{-n},-ce/a}{eq^n,ceq^{-n}/a,-aq/e}q\\
&=\frac{(c^2eq^{-2n}/a^2,cq^{1-n}/e;q)_n}{(ceq^{-n}/a,-aq/e;q)_n}(aq^n/c)^n\Q43{aq^n/c,-aq^n/c,eq^n/c,q^{-n}}{eq^n,a^2q^{n+1}/c^2e,-e/c}q\\
&=\frac{(a^2q^{n+1}/c^2e,cq^{1-n}/e;q)_n}{(aq/ce,-aq/e;q)_n}\Q43{aq^n/c,-aq^n/c,eq^n/c,q^{-n}}{eq^n,a^2q^{n+1}/c^2e,-e/c}q\\
&=\frac{(a^2q^{n+1}/c^2e,cq^{1-n}/e;q)_n}{(aq/ce,-aq/e;q)_n}\frac{(aq^n/c,-aq^n/c,eq^n/c,q^{-n};q)_n}{(q,eq^n,a^2q^{n+1}/ce^2,-e/c;q)_n}\Q43{q^{1-2n}/e,c^2eq^{-2n}/a^2,-cq^{1-n}/e,q^{-n}}{cq^{1-2n}/a,-cq^{1-2n}/a,cq^{1-2n}/e}q
\end{align}
となり, この右辺に現れる${}_4\phi_3$はSinghの二次変換公式に現れるものと同じである. 定理2の左辺の方も同様にSearsの変換公式で書き換えると定理2がSinghの二次変換公式と同値であることが従う.
Carlitzの公式の$q$類似
定理2において$a\to ce/q$を考えると
\begin{align}
&\Q43{e^2q^{2n-2},c,cq,q^{-2n}}{c^2,e,eq}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(e/c;q)_n}{(e,c;q)_n}c^n\lim_{a\to ce/q}(aq/ce;q)_n\Q43{c,aq^n/c,q^{-n},-ce/a}{eq^n,ceq^{-n}/a,-aq/e}q\\
&=\frac{(e/c;q)_n}{(e,c;q)_n}c^n\lim_{a\to ce/q}(aq/ce;q)_n\frac{(c,aq^n/c,q^{-n},-ce/a;q)_n}{(eq^n,ceq^{-n}/a,-aq/e,q;q)_n}q^n\\
&=\frac{(e/c;q)_n}{(e,c;q)_n}c^n\lim_{a\to ce/q}\frac{(c,aq^n/c,-ce/a;q)_n}{(eq^n,-aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{ce}\right)^n\\
&=\frac{(e/c;q)_n}{(e,c;q)_n}c^n\frac{(c,eq^{n-1},-q;q)_n}{(eq^n,-c;q)_n}\\
&=\frac{(-q,e/c;q)_n}{(-c,e;q)_n}c^n\frac{1-eq^{n-1}}{1-eq^{2n-1}}
\end{align}
となる. これは
前の記事
で示したCarlitzの公式
\begin{align}
\F43{-n,e-1+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{c+1,\frac e2,\frac{e+1}2}1&=\frac{e+n-1}{e+2n-1}\frac{(e-c)_n}{(e)_n}
\end{align}
の$q$類似である.
