Non-terminating q-Dixonの和公式
前の記事 でnon-terminating${}_4\phi_3$の$q$-Watson, $q$-Whippleの和公式を示した. 同じような形のnon-terminating${}_4\phi_3$の和公式も示せると思ったので, 今回はそれを試そうと思う.
まず, non-terminating $q$-Dixonの和公式としては,
Jacksonの和公式
の系として従う以下の形のものが知られている.
\begin{align}
\Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt{a}q}{bc}}=\frac{(aq,aq/bc,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt aq,\sqrt aq/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで, $a\mapsto a^2, b\mapsto b^2, c\mapsto c^2,q\mapsto q^2$として$(a^2;q^2)_n=(a,-a;q)_n$などを用いて書き換えると, これは
\begin{align}
\Q87{-a,\sqrt{-a}q,-\sqrt{-a}q,a,b,-b,c,-c}{\sqrt{-a},-\sqrt{-a},-q,-aq/b,aq/b,-aq/c,aq/c}{\frac{aq^2}{b^2c^2}}=\frac{(a^2q^2,a^2q^2/b^2c^2,aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,aq^2, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えられる. ここで,
Non-terminating Watsonの変換公式
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{aq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}{q}\\
&\qquad+\frac{(aq,aq/bc,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,a^2q^2/bcdef,def/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}{q}
\end{align}
の$d,e,f$を$a,b,c$と選んで,
\begin{align}
&\Q87{-a,\sqrt{-a}q,-\sqrt{-a}q,a,b,-b,c,-c}{\sqrt{-a},-\sqrt{-a},-q,-aq/b,aq/b,-aq/c,aq/c}{\frac{aq^2}{b^2c^2}}\\
&=\frac{(-aq,-q/b,-q/c,-aq/bc;q)_{\infty}}{(-q,-aq/b,-aq/c,-q/bc;q)_{\infty}}\Q43{-aq/bc,a,b,c}{-bc,aq/b,aq/c}{q}\\
&\qquad+\frac{(-aq,-aq/bc,a,b,c,-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2;q)_{\infty}}{(-q,-aq/b,aq/b,-aq/c,aq/c,aq^2/b^2c^2,-bc/q;q)_{\infty}}\Q43{-aq/bc,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2}{-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q^2/bc}{q}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
&\frac{(-aq,-q/b,-q/c,-aq/bc;q)_{\infty}}{(-q,-aq/b,-aq/c,-q/bc;q)_{\infty}}\Q43{-aq/bc,a,b,c}{-bc,aq/b,aq/c}{q}\\
&\qquad+\frac{(-aq,-aq/bc,a,b,c,-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2;q)_{\infty}}{(-q,-aq/b,aq/b,-aq/c,aq/c,aq^2/b^2c^2,-bc/q;q)_{\infty}}\Q43{-aq/bc,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2}{-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q^2/bc}{q}\\
&=\frac{(a^2q^2,a^2q^2/b^2c^2,aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,aq^2, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&\Q43{-aq/bc,a,b,c}{-bc,aq/b,aq/c}{q}+\frac{(a,b,c,-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2,-bc/q;q)_{\infty}}\Q43{-aq/bc,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2}{-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q^2/bc}{q}\\
&=\frac{(-q,-aq/b,-aq/c,-q/bc;q)_{\infty}}{(-aq,-q/b,-q/c,-aq/bc;q)_{\infty}}\frac{(a^2q^2,a^2q^2/b^2c^2,aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,aq^2, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(-q,-q/bc,aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(-q/b,-q/c,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}}\\
\end{align}
となる.
\begin{align} &\Q43{a,b,c,-aq/bc}{aq/b,aq/c,-bc}{q}+\frac{(a,b,c,-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2,-bc/q;q)_{\infty}}\Q43{-aq/bc,-q/b,-q/c,aq^2/b^2c^2}{-aq^2/b^2c,-aq^2/bc^2,-q^2/bc}{q}\\ &=\frac{(-q,-q/bc,aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(-q/b,-q/c,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}} \end{align}
$N$を非負整数として$a\to q^{-N}$とすると, $N$が奇数のとき,
\begin{align}
\Q43{q^{-N},b,c,-q^{1-N}/bc}{q^{1-N}/b,q^{1-N}/c,-bc}{q}=0
\end{align}
であり, $N$が偶数のとき, $N=2m$として,
\begin{align}
\Q43{q^{-N},b,c,-q^{1-N}/bc}{q^{1-N}/b,q^{1-N}/c,-bc}{q}&=\lim_{a\to q^{-N}}\frac{(-q,-q/bc,aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(-q/b,-q/c,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}}\\
&=\lim_{a\to q^{-N}}\frac{(aq;q)_{N-1}}{(aq^2;q^2)_{m-1}}\frac{(-q,-q/bc,aq^{N+1},aq/bc;q)_{\infty}}{(-q/b,-q/c,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(aq^{N+2}, aq^2/b^2c^2;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(q^{1-N};q)_{N-1}}{(q^{2-2m};q^2)_{m-1}}\frac{(-q,-q/bc,q,q^{1-N}/bc;q)_{\infty}}{(-q/b,-q/c,q^{1-N}/b,q^{1-N}/c;q)_{\infty}}\frac{(q^{2-2m}/b^2,q^{2-2m}/c^2;q^2)_{\infty}}{(q^2, q^{2-2m}/b^2c^2;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(q^{1-N};q)_{N-1}}{(q^{2-2m};q^2)_{m-1}}\frac{(q/b,q/c;q)_{-N}(q^2/b^2c^2;q^2)_{-m}}{(q/bc;q)_{-N}(q^2/b^2,q^2/c^2;q^2)_{-m}}\\
&=\frac{(q;q)_{N-1}}{(q^2;q^2)_{m-1}}\frac{(bc;q)_{N}(b^2,c^2;q^2)_m}{(b,c;q)_N(b^2c^2;q^2)_{m}}\\
&=\frac{(q,bc;q)_{N}(b^2,c^2;q^2)_m}{(b,c;q)_N(q^2,b^2c^2;q^2)_{m}}
\end{align}
を得る. まとめると以下のようになる.
$N=2m$が偶数のとき,
\begin{align}
\Q43{q^{-N},b,c,-q^{1-N}/bc}{q^{1-N}/b,q^{1-N}/c,-bc}{q}&=\frac{(q,bc;q)_{N}(b^2,c^2;q^2)_m}{(b,c;q)_N(q^2,b^2c^2;q^2)_{m}}
\end{align}
が成り立つ. また, $N$が奇数のとき左辺の和は$0$である.
定理1において$c=q^{-N}$とすると, 以下を得る.
\begin{align} \Q43{a,b,q^{-N},-aq^{N+1}/b}{aq/b,aq^{N+1},-bq^{-N}}{q}&=\frac{(-q,aq;q)_N(aq^2/b^2;q^2)_N}{(-q/b,aq/b;q)_N(aq^2;q^2)_N} \end{align}
追記
定理1は
non-terminating Jacksonの和公式
\begin{align}
&W\left(a;b,c,d,e,f;q\right)-\frac ba\frac{(aq,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,c,d,e,f;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,b^2q/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q\right)\\
&=\frac{(aq,aq/cd,aq/ce,aq/cf,aq/de,aq/df,aq/ef,b/a;q)_{\infty}}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q)_{\infty}}\qquad a^2q=bcdef
\end{align}
において$c=\sqrt a,d=-\sqrt a$としても得ることができる.
