【抜粋】記事番号3433「ナビエ-ストークス方程式の弱解の存在と一意性と滑らかさの初等的方法」における予想

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本記事は、記事番号3433 （以下、当該記事）の予想の抜粋になります。

[本記事の目的]
私の環境ですと当該記事の表示に数分の時間を要します。また、予想に対して付されている議論は、当該記事のコメント欄で議論が長らく続いている通り修正箇所が多いものになっております。そこで、他の方の便宜も兼ねて予想を抜粋した記事を作成いたしました。

[関連情報]
論理の流れを整理した記事を別途用意いたしました。こちらも参考になりましたら幸いです。

[本記事の削除条件]
大類昌俊さん自身が当該記事を削除／作成され、かつ予想に対する未完成の証明を取り下げて一つずつ完成させていくような様子だと認識した時点で、本記事の存在意義がなくなったとみなし、本記事を削除いたします。

[本記事の状態]
予想部分の引用をおおよそ終え、引用に誤りがないかを確かめております。
以下、記事からの抜粋になります。

この研究は未完成です. 少しずつ完成させられたらいいなと思っています. Twitterやコメント欄での多くのご指摘を参考にしています. この場を借りて感謝申し上げます. この記事における主張は全て予想です. 多数コメントが寄せられておりデータが重いのでこのページを開いたらスクロールせず3分ほどお待ちください.

直観的議論

数学最大の難問, ミレニアム懸賞問題にあるナビエ-ストークス方程式(連立偏微分方程式)の弱解(超関数の意味での解)の存在について考えた. 外力にはきつめの仮定を課したが, 定数係数線型偏微分方程式についての大好きな定理が使えた.

おそらく最も初等的な解の存在についての議論である. ミレニアム懸賞問題の解決ではなく, また議論は数学的に不完全だが, 長い計算も複雑な計算も無く, 発展方程式の理論は全く用いていない, という意味で初等的である. 解の存在は実は既知であり, 既にある証明は, とてもすばらしいが(例えば, 藤田-加藤理論, 柴田理論: 小川卓克(Takayoshi Ogawa)『非線型発展方程式の実解析的方法』278ページ-281ページ, 柴田良弘(Yoshihiro Shibata)『流体数学の基礎下』29ページ-41ページ, 柴田良弘-久保隆徹(Yoshihiro Shibata-Takayuki Kubo)『非線形偏微分方程式』184ページ-204ページ, 垣田高夫-柴田良弘(Takao Kakita-Yoshihiro Shibata)『ベクトル解析から流体へ』234ページ-263ページ, 岡本久(Hisashi Okamoto)『ナヴィエ-ストークス方程式の数理』 220ページ-235ページ), 初等的ではないと考えている. また, 私は複雑な計算が苦手なので, なんとかあまり計算せずに解の存在が言えないか, 具体的には『台がコンパクトな超関数の基本定理』

$R^{N}$ 上の任意の定数係数線型偏微分作用素 $P$ の基本解、すなわち
$P E = δ$
を満たす $E \in D^{'}$ を取ると、台がコンパクトな超函数 $f \in E^{'}$ または台がコンパクトな $C^{\infty}$ -級函数 $f \in C_{0}^{\infty}$ について、方程式
$P u = f$
の解 $u$ のひとつは $u = E * f \in D^{'}$ または $u = E * f \in C^{\infty}$ で与えられる．

ここで $f \in E^{'}$ ならば
$⟨ E * f, φ ⟩ = ⟨ E (x), ⟨ f (y), φ (x + y), ⟩ ⟩,$
$f \in C_{0}^{\infty}$ ならば
$(E * f) (x) = ⟨ E (y), f (x - y) ⟩$

を用いて解の存在が言えないか, 試行錯誤していた.

ルレイ-ホップの弱解は一意性と滑らかさが未解決である. 私のこの記事については, つまり「ナビエ-ストークス方程式の弱解は一意的で滑らかではないか?」という予想である. 藤田-加藤の強解( 積分方程式に直した方程式の解)は弱解でもあり, 初期値に対して一意的であり, 初期値のノルムが充分小さければ時間大域的である.

実解析や『台がコンパクトな超関数の基本定理』の応用として考えた. ただし, 多少厳密性は犠牲にしてある.

方針は, ナビエ-ストークス方程式

$\partial_{t} u - Δ u = f - \nabla p - (u \cdot \nabla) u$
において $P$ を熱作用素 $\partial_{t} u - Δ$ とし,
圧力 $p$ を消去し非線型項 $(u \cdot \nabla) u$ を台がコンパクトで滑らかな関数の列で近似し, 外力 $f$ と近似項の差に基本定理を使い, ソボレフ空間において極限を取ったものが解となることを示すことである.

『台がコンパクトな超関数の基本定理』は通常『定数係数線型偏微分作用素の局所可解性』と呼ばれるが, 今は大域的な話なので, こう呼んでいる.

なお, よくある誤解だが, ナビエ-ストークス方程式のミレニアム懸賞問題で問われている解は, 初期条件や境界条件を考慮せず任意関数を含む「一般解」ではなく, 初期条件や境界条件を考慮した「初期値(-境界値問題)の解」である. 常微分方程式を求積法で解く時でもわかるように, 初期値(-境界値)問題は任意定数(任意関数)を含まない.

記号の定義

「関数空間」「空間」は(関数の成す)「線型位相空間」の略, 圧力 $p$ 以外の(超)関数は $R^{3}$ -値とする. 通常の関数空間のノルムにおける関数の絶対値を, $R^{3}$ -値関数の空間のノルムにおいては数ベクトルの長さ( $R^{3}$ の絶対値)と解釈する. 実数値関数の空間と $R^{3}$ -値関数の空間を, 記号を簡単にするため同じ記号で書く. $R \times R^{3}$ 上の関数空間 $X (R \times R^{3})$ を $X$ と略記する.

任意の自然数 $m > 4$ , $p = 1, 2$ に対して
$V_{0, σ}^{m, p} = {u \in C_{0}^{\infty} : ‖ u ‖_{W_{}^{m, p}} < \infty, div u = 0},$
$W_{σ}^{m, p}$ は $V_{0, σ}^{m, p}$ の $W_{}^{m, p}$ -ノルムによる完備化で定義されたソボレフ空間: $W_{σ}^{m, p} = {\overset{―}{V_{0, σ}^{m, p}}}^{‖ \cdot ‖_{W_{}^{m, p}}}$ とする. $D$ は試験関数の空間(集合としては $C_{0}^{\infty}$ ), $D$ は空間変数について発散が $0$ であるような試験関数 $φ$ の成す空間とする([補足1]参照). $B^{k}$ は $k$ 階までの全ての偏導関数が有界かつ連続な関数の成す空間とする( $0$ 階偏導関数は自分自身とする). $B^{k}$ のノルムは $k$ 階までの導関数の絶対値の上限の和とする.

後の都合上, ベクトルの成分の添え字を右上に書く.

弱解の存在

任意の $f \in D$ に対して, 関数 $(u, p)$ で, 次の意味でナビ-ストークス方程式の弱解となる物が存在する: 任意の自然数 $m > 4$ に対して,
$u \in W_{σ}^{m, 1} \cap W_{σ}^{m, 2}, p \in L^{2}$
$\partial_{t} u - Δ$ の基本解を $E$ とする.
すなわち $R^{3}$ -値超関数の意味で
$(\partial_{t} u - Δ) E (t, x) = δ (t, x) = δ (t) \otimes δ (x)$
とするとき
$u^{i} (t, x) = \int_{R \times R^{3}} E^{i} (s, y) (f^{i} (t - s, x - y) - (u \cdot \nabla) u^{i} (t - s, x - y)) d s d y,$
$u^{i} (0, x) = \int_{R \times R^{3}} E^{i} (s, y) (f^{i} (- s, x - y) - (u \cdot \nabla) u^{i} (- s, x - y)) d s d y,$
任意の $φ \in D$ に対して,
$⟨ \partial_{t} u + (u \cdot \nabla) u - Δ u + \nabla p - f, φ ⟩ = 0, ⟨ div u, φ ⟩ = 0.$
ただし
$(u \cdot \nabla) u^{i} = \sum_{j = 1}^{3} u^{j} \partial_{x^{j}} u^{i}$
であり, $w = (w^{1}, w^{2}, w^{3}), φ = (φ^{1}, φ^{2}, φ^{3})$ とするとき
$⟨ w, φ ⟩ = (w, φ)_{L^{2}} = \int_{R \times R^{3}} \sum_{i = 1}^{3} w^{i} (t, x) φ^{i} (t, x) d t d x = \int_{R \times R^{4}} w (t, x) \cdot φ (t, x) d t d x$
である. $f \neq 0$ ならば $u \neq 0$ となる $u$ が存在する.

一般にバナッハ空間 $X, Y$ に対して位相空間として $X, Y \subset Z$ となる線型ハウスドルフ空間 $Z$ が存在するとき $X \cap Y$ はバナッハ空間でノルムが $‖ u ‖_{X} + ‖ u ‖_{Y}$ または $max {‖ u ‖_{X} + ‖ u ‖_{Y}}$ で定義されている.
$max {‖ u ‖_{X}, ‖ u ‖_{Y}} \leq ‖ u ‖_{X} + ‖ u ‖_{Y} \leq 2 max {‖ u ‖_{X}, ‖ u ‖_{Y}}$
だからこれらは同値である. $W_{σ}^{m, 1}$ , $W_{σ}^{m, 2} \subset B^{k} (k > max {m + 4, m + 2} = m + 4)$ である.

2

つの弱解が一致する十分条件

上の予想の直観的議論の中の解を $u$ , $v$ とする. $(u \cdot \nabla) u = (v \cdot \nabla) v$ ならば $u = v$ .

弱解の滑らかさと有界性

解 $(u, p)$ は $C^{\infty}$ -級である.

正当化を目指す議論

[(引用者による補足開始)]予想1における等式[(引用者による補足終了)]
$u^{i} (t, x) = \int_{R \times R^{3}} E^{i} (s, y) (f^{i} (t - s, x - y) - (u \cdot \nabla) u^{i} (t - s, x - y)) d s d y,$
は以下の議論が正しければ数学的に正当化できるだろう, と考えた.

外力 $f$ は以下に述べる関数空間 $W$ と定数 $M$ と任意の正数 $ϵ$ と任意の $(s, y) \in R \times R^{3}$ に対して
$‖ f (t - s, x - y) ‖ W_{t, x} (R \times R^{3} - \overset{―}{U_{ϵ} (0, 0)}) \leq M^{2} e^{- | s |^{2} - | y |^{2}},$
$‖ f ‖ W \leq M^{2}$ を満たすとする.
$Φ [u] (t, x) = $\int_{R \times R^{3}} E^{i} (s, y) (f^{i} (t - s, x - y) - \partial_{t} u - Δ u^{i} (t - s, x - y) d s d y) $$
と定める. 定義域と値域は $S$ である. $S, W, M$ の定義は以下に述べる.

関数空間 $W$ は以下のように完備化の概念を用いて定義する.
$X = {\overset{―}{{u \in D : ‖ u ‖_{W} = \sum_{m \geq 5} \frac{‖ u ‖_{W_{m, 1}}}{m^{4}} + \sum_{m \geq 5} \frac{‖ u ‖_{W_{m, 2}}}{m^{4}} < \infty}}}^{‖ \cdot ‖_{W}},$
$W_{t, x} (R \times R^{3} - \overset{―}{U_{ϵ} (0, 0)}) = {\overset{―}{{u (t, x) \in D : ‖ u (t, x) ‖_{W (R \times R^{3} - \overset{―}{U_{ϵ} (0, 0)})} = \sum_{m \geq 5} \frac{‖ u (t, x) ‖_{W^{m, 1} (R \times R^{3} - \overset{―}{U_{ϵ} (0, 0)})}}{m^{4}} + \sum_{m \geq 5} \frac{‖ u ‖_{W^{m, 2} (R \times R^{3} - \overset{―}{U_{ϵ} (0, 0)})}}{m^{4}} < \infty}}}^{‖ \cdot ‖_{W (R \times R^{3} - \overset{―}{U_{ϵ} (0, 0)})}}$
とおく. $(e^{- | t |^{2} - | x | - 2}, e^{- | t |^{2} - | x | - 2}, e^{- | t |^{2} - | x | - 2}) \in X$ . $X$ はバナッハ空間である. この時, 或る定数
$C > 1$ が存在し、(積の分離)と(微分の吸収)
が成り立つ:
$‖ (u^{i} v^{i}) ‖ i = 1, 2, 3 \leq C ‖ u ‖ W ‖ v ‖ W,$
$‖ \partial_{x^{j}} u ‖ W \leq C ‖ u ‖ W .$

$W$ は, $X$ の部分空間で, 任意の $ϵ > 0$ に対して可積分性
$‖ ‖ u (t - s, x - y) ‖ W_{t, x} (R \times R^{3} - U_{ϵ} (0, 0)) ‖ L_{s, y}^{1} < \infty$
を満たすとする. このような性質で $W$ を定義する. 可積分性が成り立つ時
$‖ (\int_{R \times R^{3}} E^{i} (s, y) u^{i} (t - s, x - y) d s d y)_{i = 1, 2, 3} ‖ W \leq C ‖ u ‖ W$
が成り立つ.

或る定数 $M$ に対して $S$ は $X$ の部分空間:
$S = {u \in X : ‖ u ‖_{W} \leq M, ‖ t - s, x - y ‖_{W_{t, x} (R \times R^{3} - \overset{―}{U_{ϵ} (0, 0)})} \leq M e^{- | s |^{2} - | y |^{2}}}$
とする. $M$ は $6 C^{3} M < 1, C (1 + C^{2}) M \leq 1$ を満たすうち小さいほうを取る. ゼロでない $u$ が存在して $u \in S$ である.

連続写像 $Φ : S \to S$ が定義できる. $X$ が完備な距離空間ならば
$S$ は空でない閉部分空間だから完備であり, $Φ$ が縮小写像であることが言えれば, バナッハの不動点定理(縮小写像の原理, 北田均『新訂版数理解析学概論』261ページ-263ページ目)により, $Φ$ の不動点の一意存在, すなわち或る
$u \in S$ が一意に存在して $Φ [u] = u$ が言える. すると, 上の記事の後半と同様の議論により,
$u$ が一意的弱解であることが言えるであろう.

予想

$u \in S$ ならば $f - (u \cdot \nabla) u \in W$ が成り立つ. よって $Φ [S] \subset S$

$u, v \in W$ が或る意味で近ければ, $(u \cdot \nabla) u$ と $(v \cdot \nabla) v$ は近いかもしれない. そこで,

φ : S \to S

はリプシッツ連続

或る定数 $L > 0$ が存在して, 任意の $u, v \in S$ に対して
$‖ (\int_{R \times R^{3}} E^{i} (s, y) ((v \cdot \nabla) v^{i} (t - s, x - y) - (u \cdot \nabla) u^{i} (t - s, x - y)) d s d y)_{i = 1, 2, 3} ‖ W \leq L ‖ u - v ‖_{W}$

が成り立つかもしれない. 非線型項のリプシッツ連続性が成り立てば,

$‖ φ [u] - φ [v] ‖ W \leq ‖ (\int_{R \times R^{3}} E^{i} (s, y) ((v \cdot \nabla) v^{i} (t - s, x - y) - (u \cdot \nabla) u^{i} (t - s, x - y)) d s d y)_{i = 1, 2, 3} ‖ W \leq L ‖ u - v ‖_{W} \leq L ‖ u - v ‖ W$
が従う. ここで

φ

が縮小写像である可能性

$L < 1$

が成り立てば, 議論は正当化される.

参考文献

[1]俣野-神保, 熱・波動と微分方程式
[2]金子晃, 偏微分方程式入門
[3]垣田高夫-柴田良弘, ベクトル解析から流体へ
[4]谷島賢二, 数理物理入門改訂改題
[5]柴田良弘, ルベーグ積分論
[6]谷島賢二, 新版ルベーグ積分と関数解析
[7]コルモゴロフ他, 函数解析の基礎上
[8]北田均, 新訂版数理解析学概論
[9]猪狩, 実解析入門
[10]岡本久-中村周, 関数解析
[11]黒田, 関数解析
[12]藤田-黒田-伊藤, 関数解析
[13]吉田耕作, Functional Analysis
[14]増田他, 応用解析ハンドブック
[15]溝畑, 偏微分方程式論
[16]小薗英雄他, これからの非線型偏微分方程式
[17]垣田高夫, シュワルツ超関数入門
[18]宮島静雄, ソボレフ空間の基礎と応用
[19]澤野嘉宏, べゾフ空間論
[20]岡本久, ナヴィエ-ストークス方程式の数理新装版
[21]田良弘, 流体数学の基礎上
[22]柴田良弘, 流体数学の基礎下
[23]ヘルマンダー, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory And Fourier Analysis
[24]柴田良弘-久保隆徹, 非線形偏微分方程式
[25]八木, 放物型発展方程式とその応用(上) 可解性の理論
[26]小川卓克, 非線型発展方程式の実解析的方法
[27]高橋渉, 非線形関数解析学不動点定理とその周辺
[28]G. de Rham, Differentiable Manifolds: Forms, Currents, Harmonic Forms
[29]小薗英雄, Navier-Stokes方程式, 閲覧日 2022年10月7日, https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/54/2/54_2_178/_pdf/-char/ja
[30]小薗英雄, ナビエーストークス方程式クレイ懸賞問題のいま, 閲覧日 2022年8月19日, https://www.fluid.sci.waseda.ac.jp/crest/KozonoSeminar.pdf
[31]大類昌俊(Masatoshi Ohrui)
大類昌俊(Masatoshi Ohrui), 測度論抜きで学ぶユークリッド空間におけるルベーグ積分超入門 (12月24日 14:55 最終推敲), Mathlog, Sun Dec 18 2022, アクセス日: Wed Jul 19 2023
[32]大類昌俊(Masatoshi Ohrui)
大類昌俊(Masatoshi Ohrui), 熱作用素の基本解が局所可積分関数であることの証明 (2023年4月16日最終推敲), Mathlog, Thu Sep 22 2022, アクセス日: Wed Jul 19 2023