【整理】記事番号3433「ナビエ-ストークス方程式の弱解の存在と一意性と滑らかさの初等的方法」の論理構造（A）

本記事では、 記事番号3433 （以下、当該記事）の論理構造を整理します。

[本記事の目的]
私の環境ですと当該記事の表示に数分の時間を要します。そのため、 【抜粋】記事番号3433「ナビエ-ストークス方程式の弱解の存在と一意性と滑らかさの初等的方法」における予想 （以下、【抜粋】）という記事を作成いたしました。これを作成する中で、論理構造が分かりにくく思われる箇所がいくつか見えました。一方で、論理構造に手を加える場合は、正確性を期すために公開が遅れるおそれがございました。そのため、まずは当初の目的を達成しつつ、かつ更なる便宜を図るべく、【抜粋】と本記事（以下、【整理A】）とに分けることにいたしました。これによって各記事の目的が明瞭になっていれば幸いです。

また、2023年７月26日時点で、論理の骨子となるとある関数空間の定義が変更されました。これは、一度変更した定義を再度当初のものに差し替えたもので、再度変更される恐れがございます。そのたびに論理構造の全体に手を入れるのは厄介なため、記事を二つに分割したうえで、両方を閲覧できるようにするのが適切だろうと考えました。そのため、 新たな記事 （以下、【整理B】）を作成いたしました。

[本記事固有の注意]
本記事は私が編集をしているため、当該記事と齟齬が生じている可能性がございます。また、全体を隈なくチェックしているわけではないため、不正確な部分は大幅に省略をしています。そのため、当該記事を参照することをおすすめいたします。

[謝辞]
【整理A】の記事の内容の少なくない部分は、SATORU様のコメントをもとにしております。また一部はそのまま使用いたしました。感謝申し上げます。なおコメントを元にしておりますが、当然ながら【整理A】の記事中の誤りの責任は私にございます。
$$
[本記事の状態]
おおよそ編集が終わりました。後述する$\mathcal{W}$の性質に関する議論など、現時点では省略しているより細部の議論の加筆は、該当箇所以前の疑問が概ね解消したタイミングでおこなう可能性がございます。これは加筆を約束するものではございません。

背景

ナビエ-ストークス方程式とは、流体の運動を記述する$2$階非線型偏微分方程式であり、
$${\partial }_{t}u-\mathrm{\Delta }u=f-\mathrm{\nabla }\mathfrak{p}-(u\cdot \mathrm{\nabla })u$$
で与えられます。$u$や$p$に条件を付け、解を与えることが当該記事の目標です。当該記事ではまずおおまかなアイデアが紹介されているため、【整理A】でもこれを紹介します。まず圧力$\mathfrak{p}$を消去した偏微分方程式を考え、非線型項$(u\cdot \mathrm{\nabla })u$を台がコンパクトで滑らかな関数の列$(u_i)$で近似します。この$u_i$を用いた
$${\partial }_t{u}_i-\mathrm{\Delta }{u}_i=f-u_i$$
なる偏微分方程式を新たに考えると、${\partial }_t-\mathrm{\Delta }$が定数係数線型偏微分作用素であることに注意し、いくつかの条件を確認して外力$f$と近似項$u_i$の差に対して基本定理（直後に主張を述べる）を適用します。次に各$i$ごとに得られた方程式${\partial }_t{u}_i-\mathrm{\Delta }{u}_i=f-u_i$の解の列をソボレフ空間において極限を取ります。この極限を加工すれば求める解が得られるのではないか？というものです。ここで基本定理とは、次の主張のことです。

当該記事においては、$u$の近似列を取る際に$u$が完備化した空間の元であることを用いるため、特殊な関数空間を考えることになります。そのため【整理A】では記号の確認と関数空間の定義から始めます。

前提知識

シュワルツ超関数$T$に対し、$⟨{\partial }_{x}T,\phi ⟩:=-⟨T,{\partial }_x\phi ⟩$として定義される汎関数${\partial }_{x}T$を$T$の偏微分という。任意のシュワルツ超関数に対して、その偏微分は再びシュワルツ超関数になることが示される。これによってシュワルツ超関数に関する偏微分方程式を考えることができ、この解のことを超関数解という。超関数解であって、適切な関数空間に属するものを弱解という。どの関数空間を考えるかは文脈に依存する。

予想

当該記事の予想を述べるために、用語を一つ導入します。

予想の解決に向けた議論

当該記事では、予想を述べるだけでなく、これを解決するための議論が試みられています。しかし、当該記事の執筆スタイル故に議論の順番が一列に整列しておらず、読みにくく思われました。本節では、議論の正誤に言及することを控え、論理の流れのみを抽出して整理します。但し、論理の流れすら私が把握できなかった／確認を始めていない少なくない部分は大幅に省略しています。これは正確性を期すためです。当該記事を参照するようお願いいたします。

弱解の存在について

予想を再度確認すると次の通りです。

よってこれを示すには$u$や$\mathfrak{p}$を構成しなければならなりません。まず、当該記事で採用しようとしている証明の流れに沿って、大雑把な流れを紹介します。

${\partial }_t-\mathrm{\Delta }$の基本解$E$をとる。すなわち${\mathbb{R}}^3$-値超関数の意味で
$${\partial }_{t}E(t,x)-\mathrm{\Delta }E(t,x)=\delta (t,x)=\delta (t)\otimes \delta (x)$$
が成り立っているような$E$を取る。このとき、
$$u^i(t,x)={\int }_{\mathrm{\Omega }}{E}^i(s,y)(f^i(t-s,x-y)-(u\cdot \mathrm{\nabla })u^i(t-s,x-y))dsdy$$
なる$u^i$が取れる。ただし、$(u\cdot \mathrm{\nabla })u^i$は$(u\cdot \mathrm{\nabla })u^i=\sum _{j=1}^3{u}^j{\partial }_{x^j}{u}^i$である。ここでナビエ-ストークス方程式から圧力の項を除いた方程式${\partial }_{t}u-\mathrm{\Delta }u=f-(u\cdot \mathrm{\nabla })u$を考えれば、これはこの方程式の${\mathcal{D}}_{\sigma }^{\prime }$における超関数の意味の解であることがわかる。よって、${\partial }_{t}u-\mathrm{\Delta }u-f+(u\cdot \mathrm{\nabla })u=-\mathrm{\nabla }\mathfrak{p}$が${\mathcal{D}}^{\prime }$で成り立つような$\mathfrak{p}$が存在する。

${\partial }_t-\mathrm{\Delta }$の基本解の存在性について

当該記事では言及されていません。 [弱解の存在性の直観的議論]内で具体的に定義されている$E$が${\partial }_t-\mathrm{\Delta }$の基本解になることが知られているようです。

$u^i$が取れることについて

当該記事の第1節「直観的議論」における[弱解の存在性の直観的議論]および第2節「正当化を目指す議論」で考察されています。二つの議論は互いに関係なく、現在は前者は放棄されているようです。よって第2節の議論の論理的な流れを確認します。

ここで、次の二条件を満たす関数$f$を取る。
$${\Vert f(t-s,x-y)\Vert }_{{\mathcal{W}}_{t,s}(\mathrm{\Omega }-\overline{U_{ϵ}(0,0)})}\le M^2{e}^{-{\left|s\right|}^2-{\left|y\right|}^2},{\Vert f\Vert }_X\le M^2$$
この$f$を用いて、$S$上の写像$\mathrm{\Phi }$を次で定義する。
$$\mathrm{\Phi }[u](t,x)={({\int }_{\mathrm{\Omega }}{E}^i(s,y)(f^i(t-s,x-y)-(u\cdot \mathrm{\nabla })u^i(t-s,x-y))dsdy)}_{i=1,2,3}$$
$\mathrm{\Phi }$の値域は$S$に含まれるため、$\mathrm{\Phi }$は$S$から$S$への写像である。

超関数の意味の解であることについて

$\mathfrak{p}$が存在することについて

弱解の滑らかさ

予想を再度確認すると次の通りである。