連続写像の定義について

1. 1. $G\in \mathcal{G}$とすると，$\mathcal{F}\ni {\phi }^{\leftarrow }(G)\ne \varnothing$より$\varnothing \ne {\phi }^{\to }({\phi }^{\leftarrow }(G))\subset G$が成り立つ．
   2. ${\phi }^{\leftarrow }(Y)=X\in \mathcal{F}$より$Y\in \mathcal{G}$が成り立つ．
   3. $G,G^{\prime }\in \mathcal{G}$とすると，${\phi }^{\leftarrow }(G),{\phi }^{\leftarrow }(G^{\prime })\in \mathcal{F}$より
      $${\phi }^{\leftarrow }(G\cap G^{\prime })={\phi }^{\leftarrow }(G)\cap {\phi }^{\leftarrow }(G^{\prime })\in \mathcal{F}$$
      が成り立つので，$G\cap G^{\prime }\in \mathcal{G}$を得る．
   4. $G\in \mathcal{G},G\subset G^{\prime }$とすると，
      $${\phi }^{\leftarrow }(G)\in \mathcal{F},{\phi }^{\leftarrow }(G)\subset {\phi }^{\leftarrow }(G^{\prime })$$
      より${\phi }^{\leftarrow }(G^{\prime })\in \mathcal{F}$となるので，$G^{\prime }\in \mathcal{G}$が成り立つ．
2. 1. $\varnothing \notin \mathcal{F}$より$\varnothing \notin {\mathcal{G}}_0$が成り立つ．
   2. $X\in \mathcal{F}$より${\phi }^{\to }(X)\in {\mathcal{G}}_0\ne \varnothing$が成り立つ．
   3. $F,F^{\prime }\in \mathcal{F}$とすると，$F^{″}:=F\cap F^{\prime }\in \mathcal{F}$であるから${\phi }^{\to }(F^{″})\in {\mathcal{G}}_0$であり，
      $${\phi }^{\to }(F^{″})\subset {\phi }^{\to }(F)\cap {\phi }^{\to }(F^{\prime })$$
      が成り立つ．
3. 1. $G\in \mathcal{G}$とする．このとき${\phi }^{\leftarrow }(G)\in \mathcal{F}$より$G_0:={\phi }^{\to }({\phi }^{\leftarrow }(G))\in {\mathcal{G}}_0$であり$G_0\subset G$が成り立つ．よって$\mathcal{G}\subset ⟨{\mathcal{G}}_0{⟩}_{\subset }$を得る．
   2. $F\in \mathcal{F}$とする．このとき$F\subset {\phi }^{\leftarrow }({\phi }^{\to }(F))$より${\phi }^{\leftarrow }({\phi }^{\to }(F))\in \mathcal{F}$，したがって${\phi }^{\to }(F)\in \mathcal{G}$となる．よって${\mathcal{G}}_0\subset \mathcal{G}$であるから，$⟨{\mathcal{G}}_0{⟩}_{\subset }\subset \mathcal{G}$が成り立つ．

(i)$⟹$(ii)

$x\in X$とし，$N_Y\in {\mathcal{N}}_Y(\phi (x))$とする．このとき$V\in {\mathcal{O}}_Y$であって$\phi (x)\in V\subset N_Y$を満たすものが存在する．よって
$$x\in U:={\phi }^{\leftarrow }(V)\subset {\phi }^{\leftarrow }(N_Y),U\in {\mathcal{O}}_X$$
より${\phi }^{\leftarrow }(N_Y)\in {\mathcal{N}}_X(x)$が成り立つ．

(ii)$⟹$(iii)

$x\in X$とし，$x\in \underset{{\xi }_X}{lim}\mathcal{F}$とする．このとき任意の$N_Y\in {\mathcal{N}}_Y(\phi (x))\subset Y$に対して，
$${\phi }^{\leftarrow }(N_Y)\in {\mathcal{N}}_X(x)\subset \mathcal{F}$$
より，$N_Y\in {\phi }^{\to }(\mathcal{F})$が成り立つ．よって${\mathcal{N}}_Y(\phi (x))\subset {\phi }^{\to }(\mathcal{F})$すなわち$\phi (x)\in \underset{{\xi }_Y}{lim}{\phi }^{\to }(\mathcal{F})$が成り立つ．

(iii)$⟹$(i)

$V\in {\mathcal{O}}_Y$とし，$x\in {\phi }^{\leftarrow }(V)$とする．このとき，$x\in \underset{{\xi }_X}{lim}{\mathcal{N}}_X(x)$より$\phi (x)\in \underset{{\xi }_Y}{lim}{\phi }^{\to }({\mathcal{N}}_X(x))$であるから，$\phi (x)\in V\in {\mathcal{O}}_Y$と合わせて
$$V\in {\mathcal{N}}_Y(\phi (x))\subset {\phi }^{\to }({\mathcal{N}}_X(x))$$
が成り立つ．したがって${\phi }^{\leftarrow }(V)\in {\mathcal{N}}_X(x)$であるから，$U(x)\in \mathcal{O}$であって
$$x\in U(x)\subset {\phi }^{\leftarrow }(V)$$
を満たすものが存在する．よって
$${\phi }^{\leftarrow }(V)=\bigcup \{U(x)\in \mathcal{O}\mid x\in {\phi }^{\leftarrow }(V)\}\in \mathcal{O}$$
が成り立つ．

開集合系は開基であり，開基は準開基であるから，(iii)$⟹$(i) のみ示せばよい．そこで$V\in {\mathcal{O}}_Y$とする．このとき任意の$x\in {\phi }^{\leftarrow }(V)$に対して，$\phi (x)\in V$より，$S_1,\dots ,S_n\in {\mathcal{S}}_Y$であって
$$\phi (x)\in \bigcap _{i=1}^n{S}_i\subset V$$
を満たすものが存在するので，
$$U(x):={\phi }^{\leftarrow }\left(\bigcap _{i=1}^n{S}_i\right)=\bigcap _{i=1}^n{\phi }^{\leftarrow }(S_i)\in {\mathcal{O}}_X$$
とおくと$x\in U(x)\subset {\phi }^{\leftarrow }(V)$が成り立つ．よって
$${\phi }^{\leftarrow }(V)=\bigcup \{U(x)\in {\mathcal{O}}_X\mid x\in {\phi }^{\leftarrow }(V)\}\in {\mathcal{O}}_X$$
が成り立つ．

近傍系族は基本近傍系族なので (ii)$⟹$(i) のみ示せばよい．そこで$x\in X$とし，$N_Y\in {\mathcal{N}}_Y(\phi (x))$とする．このとき$N_0\in {\mathcal{N}}_{Y,0}(\phi (x))$であって$N_0\subset N_Y$を満たすものが存在する．よって
$${\phi }^{\leftarrow }(N_0)\in {\mathcal{N}}_X(x),{\phi }^{\leftarrow }(N_0)\subset {\phi }^{\leftarrow }(N_Y)$$
より，${\phi }^{\leftarrow }(N_Y)\in {\mathcal{N}}_X(x)$が成り立つ．

(i)$⟹$(ii)

$B\subset Y$とする．このとき${\mathcal{O}}_Y\ni {\mathrm{Int}}_Y(B)\subset B$より
$${\mathcal{O}}_X\ni {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Int}}_Y(B))\subset {\phi }^{\leftarrow }(B)$$
であるから，
$${\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Int}}_Y(B))\subset {\mathrm{Int}}_X({\phi }^{\leftarrow }(B))$$
が成り立つ．

(ii)$⟹$(iii)

$C_Y\in {\mathcal{C}}_Y$とする．このとき$Y\setminus C_Y\in {\mathcal{O}}_Y$より
$$\begin{array}{rl}X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(C_Y)& ={\phi }^{\leftarrow }(Y\setminus C_Y)\\ & ={\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Int}}_Y(Y\setminus C_Y))\\ & \subset {\mathrm{Int}}_X({\phi }^{\leftarrow }(Y\setminus C_Y))\\ & ={\mathrm{Int}}_X(X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(C_Y))\\ & \subset X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(C_Y)\end{array}$$
となるので，$X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(C_Y)={\mathrm{Int}}_X(X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(C_Y))\in {\mathcal{O}}_X$が成り立つ．よって${\phi }^{\leftarrow }(C_Y)\in {\mathcal{C}}_X$を得る．

(iii)$⟹$(iv)

$B\subset Y$とする．このとき$B\subset {\mathrm{Cl}}_Y(B)\in {\mathcal{C}}_Y$より
$${\phi }^{\leftarrow }(B)\subset {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(B))\in {\mathcal{C}}_X$$であるから，
$${\mathrm{Cl}}_X({\phi }^{\leftarrow }(B))\subset {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(B))$$
が成り立つ．

(iv)$⟹$(v)

$B\subset Y$とする．このとき
$$\begin{array}{rl}{\beta }_X({\phi }^{\leftarrow }(B))& ={\mathrm{Cl}}_X({\phi }^{\leftarrow }(B))\cap {\mathrm{Cl}}_X(X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(B))\\ & ={\mathrm{Cl}}_X({\phi }^{\leftarrow }(B))\cap {\mathrm{Cl}}_X({\phi }^{\leftarrow }(Y\setminus B))\\ & \subset {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(B))\cap {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(Y\setminus B))\\ & ={\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(B)\cap {\mathrm{Cl}}_Y(Y\setminus B))\\ & ={\phi }^{\leftarrow }({\beta }_Y(B))\end{array}$$
が成り立つ．

(v)$⟹$(vi)

$A\subset X$とする．このとき，
$$\begin{array}{rl}{\phi }^{\to }({\mathrm{Cl}}_X(A))& ={\phi }^{\to }(A\cup {\beta }_X(A))\\ & ={\phi }^{\to }(A)\cup {\phi }^{\to }({\beta }_X(A))\\ & \subset {\phi }^{\to }(A)\cup {\phi }^{\to }({\phi }^{\leftarrow }({\phi }^{\to }(A))\cup {\beta }_X({\phi }^{\leftarrow }({\phi }^{\to }(A))))\\ & ={\phi }^{\to }(A)\cup {\phi }^{\to }({\beta }_X({\phi }^{\leftarrow }({\phi }^{\to }(A))))\\ & \subset {\phi }^{\to }(A)\cup {\phi }^{\to }({\phi }^{\leftarrow }({\beta }_Y({\phi }^{\to }(A))))\\ & \subset {\phi }^{\to }(A)\cup {\beta }_Y({\phi }^{\to }(A))\\ & ={\mathrm{Cl}}_Y({\phi }^{\to }(A))\end{array}$$
が成り立つ．

(vi)$⟹$(i)

$V\in {\mathcal{O}}_Y$とする．このとき
$$\begin{array}{rl}X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(V)& \subset {\mathrm{Cl}}_X(X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(V))\\ & \subset {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y({\phi }^{\to }(X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(V))))\\ & ={\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y({\phi }^{\to }({\phi }^{\leftarrow }(Y\setminus V))))\\ & \subset {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(Y\setminus V))\\ & ={\phi }^{\leftarrow }(Y\setminus V)\\ & =X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(V)\end{array}$$
より$X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(V)={\mathrm{Cl}}_X(X\setminus {\phi }^{\leftarrow }(V))\in {\mathcal{C}}_X$が成り立つので，${\phi }^{\leftarrow }(V)\in {\mathcal{O}}_X$を得る．

1. $B\subset Y$とする．このとき，
   $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Cl}}_X({\phi }^{\leftarrow }(B))& ={\phi }^{\leftarrow }(B)\cup D_X({\phi }^{\leftarrow }(B))\\ & \subset {\phi }^{\leftarrow }(B)\cup {\phi }^{\leftarrow }(D_Y(B))\\ & ={\phi }^{\leftarrow }(B\cup D_Y(B))\\ & ={\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(B))\end{array}$$
   が成り立つ．また，$\phi$が単射のとき，$x\in D_X({\phi }^{\leftarrow }(B))$とすると，
   $$x\in {\mathrm{Cl}}_X({\phi }^{\leftarrow }(B)\setminus \{x\})={\mathrm{Cl}}_X({\phi }^{\leftarrow }(B\setminus \{\phi (x)\}))\subset {\phi }^{\leftarrow }({\mathrm{Cl}}_Y(B\setminus \{\phi (x)\}))$$
   より$\phi (x)\in {\mathrm{Cl}}_Y(B\setminus \{\phi (x)\})$すなわち$\phi (x)\in D_Y(B)$を得る．よって
   $$D_X({\phi }^{\leftarrow }(B))\subset {\phi }^{\leftarrow }(D_Y(B))$$
   が成り立つ．
2. $A\subset X$とする．このとき，
   $$\begin{array}{rl}{\phi }^{\to }({\mathrm{Cl}}_X(A))& ={\phi }^{\to }(A\cup D_X(A))\\ & ={\phi }^{\to }(A)\cup {\phi }^{\to }(D_X(A))\\ & \subset {\phi }^{\to }(A)\cup D_Y({\phi }^{\to }(A))\\ & ={\mathrm{Cl}}_Y({\phi }^{\to }(A))\end{array}$$
   が成り立つ．また，$\phi$が単射のとき，$x\in D_X(A)$とすると，
   $$\phi (x)\in {\phi }^{\to }({\mathrm{Cl}}_X(A\setminus \{x\}))\subset {\mathrm{Cl}}_Y({\phi }^{\to }(A\setminus \{x\}))={\mathrm{Cl}}_Y({\phi }^{\to }(A)\setminus \{\phi (x)\})$$
   より$\phi (x)\in D_Y({\phi }^{\to }(A))$が成り立つ．よって
   $${\phi }^{\to }(D_X(A))\subset D_Y({\phi }^{\to }(A))$$
   が成り立つ．