$\varphi \colon X \to Y$を写像とする．以下，def-topにおける用語や記号などは特に断りなく用いることにする．
$\mathcal{O}_{X} \in \mathsf{Open}(X), \mathcal{O}_{Y} \in \mathsf{Open}(Y)$とする．
$$
\varphi^{\leftarrow}(\mathcal{O}_{Y}) := \{\varphi^{\leftarrow}(V) \subset X \mid V \in \mathcal{O}_{Y}\} \subset \mathcal{O}_{X}$$
が成り立つとき，$\varphi$は$(\mathcal{O}_{X},\mathcal{O}_{Y})$連続であるという．
任意の$\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2} \in \mathsf{Open}(X)$に対して
$$
\mathcal{O}_{1} \supset \mathcal{O}_{2} \iff \id_{X}:\text{$(\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2})$-continuous}$$
が成り立つ．
$\mathcal{N}_{X} \in \mathsf{Nbd}(X), \mathcal{N}_{Y} \in \mathsf{Nbd}(Y)$とする．任意の$x \in X$に対して
$$
\varphi^{\leftarrow}(\mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))) := \{\varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \subset X \mid N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))\} \subset \mathcal{N}_{X}(x)$$
が成り立つとき，$\varphi$は$(\mathcal{N}_{X},\mathcal{N}_{Y})$連続であるという．
任意の$\mathcal{N}_{1},\mathcal{N}_{2} \in \mathsf{Nbd}(X)$に対して
$$
\mathcal{N}_{1} \geq \mathcal{N}_{2} \iff \id_{X}:\text{$(\mathcal{N}_{1},\mathcal{N}_{2})$-continuous}$$
が成り立つ．
$\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X)$とする．このとき次が成り立つ：
$X$上のフィルター$\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X)$に対して，
$$
\varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F}) := \{G \subset Y \mid \varphi^{\leftarrow}(G) \in \mathcal{F}\} \in \mathsf{Filter}(Y)$$
を$\varphi$による$\mathcal{F}$の像フィルターという（cf. 等化位相の定義）．
$\xi_{X} \in \mathsf{TopConv}(X), \xi_{Y} \in \mathsf{TopConv}(Y)$とする．任意の$(x,\mathcal{F}) \in X \times \mathsf{Filter}(X)$に対して
$$
x \in \lim\nolimits_{\xi_{X}}\mathcal{F} \implies \varphi(x) \in \lim\nolimits_{\xi_{Y}}\varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$$
が成り立つとき，$\varphi$は$(\xi_{X},\xi_{Y})$連続であるという．
任意の$\xi_{1},\xi_{2} \in \mathsf{TopConv}(X)$に対して
$$
\xi_{1} \subset \xi_{2} \iff \id_{X}:\text{$(\xi_{1},\xi_{2})$-continuous}$$
が成り立つ．
開集合系，近傍系族，位相的収束関係の対応の下で$\mathcal{O}_{X},\mathcal{N}_{X},\xi_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y},\mathcal{N}_{Y},\xi_{Y}$）が対応しているとする．このとき次は同値である：
$x \in X$とし，$N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))$とする．このとき$V \in \mathcal{O}_{Y}$であって$\varphi(x) \in V \subset N_{Y}$を満たすものが存在する．よって
$$
x \in U:= \varphi^{\leftarrow}(V) \subset \varphi^{\leftarrow}(N_{Y}),\ U \in \mathcal{O}_{X}$$
より$\varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \in \mathcal{N}_{X}(x)$が成り立つ．
$x \in X$とし，$x \in \lim_{\xi_{X}}\mathcal{F}$とする．このとき任意の$N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x)) \subset Y$に対して，
$$
\varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \in \mathcal{N}_{X}(x) \subset \mathcal{F}$$
より，$N_{Y} \in \varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$が成り立つ．よって$\mathcal{N}_{Y}(\varphi(x)) \subset \varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$すなわち$\varphi(x) \in \lim_{\xi_{Y}}\varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$が成り立つ．
$V \in \mathcal{O}_{Y}$とし，$x \in \varphi^{\leftarrow}(V)$とする．このとき，$x \in \lim_{\xi_{X}}\mathcal{N}_{X}(x)$より$\varphi(x) \in \lim_{\xi_{Y}}\varphi^{\rightarrow}(\mathcal{N}_{X}(x))$であるから，$\varphi(x) \in V \in \mathcal{O}_{Y}$と合わせて
$$
V \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x)) \subset \varphi^{\rightarrow}(\mathcal{N}_{X}(x))$$
が成り立つ．したがって$\varphi^{\leftarrow}(V) \in \mathcal{N}_{X}(x)$であるから，$U(x) \in \mathcal{O}$であって
$$
x \in U(x) \subset \varphi^{\leftarrow}(V)$$
を満たすものが存在する．よって
$$
\varphi^{\leftarrow}(V) = \bigcup\{U(x) \in \mathcal{O} \mid x \in \varphi^{\leftarrow}(V)\} \in \mathcal{O}$$
が成り立つ．
$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．写像$\varphi \colon X \to Y$が$(\mathcal{O}_{X},\mathcal{O}_{Y})$連続であるとき，$\varphi$を$(X,\mathcal{O}_{X})$から$(Y,\mathcal{O}_{Y})$への連続写像という．
$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．このとき次は同値である：
開集合系は開基であり，開基は準開基であるから，(iii)$\implies$(i) のみ示せばよい．そこで$V \in \mathcal{O}_{Y}$とする．このとき任意の$x \in \varphi^{\leftarrow}(V)$に対して，$\varphi(x) \in V$より，$S_{1},\ldots,S_{n} \in \mathcal{S}_{Y}$であって
$$
\varphi(x) \in \bigcap_{i=1}^{n}S_{i} \subset V$$
を満たすものが存在するので，
$$
U(x) := \varphi^{\leftarrow}\qty(\bigcap_{i=1}^{n}S_{i}) = \bigcap_{i=1}^{n}\varphi^{\leftarrow}(S_{i}) \in \mathcal{O}_{X}$$
とおくと$x \in U(x) \subset \varphi^{\leftarrow}(V)$が成り立つ．よって
$$
\varphi^{\leftarrow}(V) = \bigcup\{U(x) \in \mathcal{O}_{X} \mid x \in \varphi^{\leftarrow}(V)\} \in \mathcal{O}_{X}$$
が成り立つ．
$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とし，開集合系$\mathcal{O}_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y}$）と対応する近傍系族を$\mathcal{N}_{X}$（resp. $\mathcal{N}_{Y}$）とする．このとき次は同値である：
近傍系族は基本近傍系族なので (ii)$\implies$(i) のみ示せばよい．そこで$x \in X$とし，$N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))$とする．このとき$N_{0} \in \mathcal{N}_{Y,0}(\varphi(x))$であって$N_{0} \subset N_{Y}$を満たすものが存在する．よって
$$
\varphi^{\leftarrow}(N_{0}) \in \mathcal{N}_{X}(x),\ \varphi^{\leftarrow}(N_{0}) \subset \varphi^{\leftarrow}(N_{Y})$$
より，$\varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \in \mathcal{N}_{X}(x)$が成り立つ．
$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．開集合系$\mathcal{O}_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y}$）と対応する位相的開核作用素，閉集合系，位相的閉包作用素，境界作用素をそれぞれ$\I_{X}, \mathcal{C}_{X}, \cl_{X}, \beta_{X}$（resp. $\I_{Y}, \mathcal{C}_{Y}, \cl_{Y}, \beta_{Y}$）とおく．このとき次は同値である：
$B \subset Y$とする．このとき$\mathcal{O}_{Y} \ni \I_{Y}(B) \subset B$より
$$
\mathcal{O}_{X} \ni \varphi^{\leftarrow}(\I_{Y}(B)) \subset \varphi^{\leftarrow}(B)$$
であるから，
$$
\varphi^{\leftarrow}(\I_{Y}(B)) \subset \I_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B))$$
が成り立つ．
$C_{Y} \in \mathcal{C}_{Y}$とする．このとき$Y \smallsetminus C_{Y} \in \mathcal{O}_{Y}$より
\begin{align}
X\smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y})
&= \varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus C_{Y})\\
&= \varphi^{\leftarrow}(\I_{Y}(Y \smallsetminus C_{Y}))\\
&\textcolor{orange}{\subset} \I_{X}(\varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus C_{Y}))\\
&= \I_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}))\\
&\subset X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y})
\end{align}
となるので，$X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}) = \I_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}))\in \mathcal{O}_{X}$が成り立つ．よって$\varphi^{\leftarrow}(C_{Y}) \in \mathcal{C}_{X}$を得る．
$B \subset Y$とする．このとき$B \subset \cl_{Y}(B) \in \mathcal{C}_{Y}$より
$$
\varphi^{\leftarrow}(B) \subset \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B)) \in \mathcal{C}_{X}$$であるから，
$$
\cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) \subset \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B))$$
が成り立つ．
$B \subset Y$とする．このとき
\begin{align}
\beta_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B))
&= \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) \cap \cl_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(B))\\
&= \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) \cap \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(Y\smallsetminus B))\\
&\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B)) \cap \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(Y \smallsetminus B))\\
&= \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B) \cap \cl_{Y}(Y \smallsetminus B))\\
&= \varphi^{\leftarrow}(\beta_{Y}(B))
\end{align}
が成り立つ．
$A \subset X$とする．このとき，
\begin{align}
\varphi^{\rightarrow}(\cl_{X}(A))
&= \varphi^{\rightarrow}(A \cup \beta_{X}(A))\\
&= \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\beta_{X}(A))\\
&\subset \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(A))\cup\beta_{X}(\varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(A))))\\
&= \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\beta_{X}(\varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(A))))\\
&\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(\beta_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))))\\
&\subset \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \beta_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))\\
&= \cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))
\end{align}
が成り立つ．
$V \in \mathcal{O}_{Y}$とする．このとき
\begin{align}
X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V)
&\subset \cl_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V))\\
&\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V))))\\
&= \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus V))))\\
&\subset \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(Y \smallsetminus V))\\
&= \varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus V)\\
&= X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V)
\end{align}
より$X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V) = \cl_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V)) \in \mathcal{C}_{X}$が成り立つので，$\varphi^{\leftarrow}(V) \in \mathcal{O}_{X}$を得る．
$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．開集合系$\mathcal{O}_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y}$）と対応する導作用素を$D_{X}$（resp. $D_{Y}$）とする．