文献あり

連続写像の定義について

$\varphi \colon X \to Y$を写像とする．以下，def-topにおける用語や記号などは特に断りなく用いることにする．

連続写像の定義

開集合系による

$\mathcal{O}_{X} \in \mathsf{Open}(X), \mathcal{O}_{Y} \in \mathsf{Open}(Y)$とする．
$$ \varphi^{\leftarrow}(\mathcal{O}_{Y}) := \{\varphi^{\leftarrow}(V) \subset X \mid V \in \mathcal{O}_{Y}\} \subset \mathcal{O}_{X}$$
が成り立つとき，$\varphi$は$(\mathcal{O}_{X},\mathcal{O}_{Y})$連続であるという．

任意の$\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2} \in \mathsf{Open}(X)$に対して
$$ \mathcal{O}_{1} \supset \mathcal{O}_{2} \iff \id_{X}:\text{$(\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2})$-continuous}$$
が成り立つ．

近傍系族による

$\mathcal{N}_{X} \in \mathsf{Nbd}(X), \mathcal{N}_{Y} \in \mathsf{Nbd}(Y)$とする．任意の$x \in X$に対して
$$ \varphi^{\leftarrow}(\mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))) := \{\varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \subset X \mid N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))\} \subset \mathcal{N}_{X}(x)$$
が成り立つとき，$\varphi$は$(\mathcal{N}_{X},\mathcal{N}_{Y})$連続であるという．

任意の$\mathcal{N}_{1},\mathcal{N}_{2} \in \mathsf{Nbd}(X)$に対して
$$ \mathcal{N}_{1} \geq \mathcal{N}_{2} \iff \id_{X}:\text{$(\mathcal{N}_{1},\mathcal{N}_{2})$-continuous}$$
が成り立つ．

位相的収束関係による

$\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X)$とする．このとき次が成り立つ：

$\mathcal{G} := \{G \subset Y \mid \varphi^{\leftarrow}(G) \in \mathcal{F}\}$は$Y$上のフィルターである；
$\mathcal{G}_{0} := \{\varphi^{\rightarrow}(F) \subset Y \mid F \in \mathcal{F}\}$は$Y$上のフィルター基である；
$\mathcal{G} = \gen{\mathcal{G}_{0}}_{\subset}$が成り立つ．

1. $G \in \mathcal{G}$とすると，$\mathcal{F} \ni \varphi^{\leftarrow}(G) \neq \varnothing$より$\varnothing \neq \varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(G)) \subset G$が成り立つ．
2. $\varphi^{\leftarrow}(Y) = X \in \mathcal{F}$より$Y \in \mathcal{G}$が成り立つ．
3. $G,G' \in \mathcal{G}$とすると，$\varphi^{\leftarrow}(G), \varphi^{\leftarrow}(G') \in \mathcal{F}$より
  $$ \varphi^{\leftarrow}(G\cap G') = \varphi^{\leftarrow}(G) \cap \varphi^{\leftarrow}(G') \in \mathcal{F}$$
  が成り立つので，$G \cap G' \in \mathcal{G}$を得る．
4. $G \in \mathcal{G}, G \subset G'$とすると，
  $$ \varphi^{\leftarrow}(G) \in \mathcal{F},\ \varphi^{\leftarrow}(G) \subset \varphi^{\leftarrow}(G')$$
  より$\varphi^{\leftarrow}(G') \in \mathcal{F}$となるので，$G' \in \mathcal{G}$が成り立つ．
1. $\varnothing \notin \mathcal{F}$より$\varnothing \notin \mathcal{G}_{0}$が成り立つ．
2. $X \in \mathcal{F}$より$\varphi^{\rightarrow}(X) \in \mathcal{G}_{0} \neq \varnothing$が成り立つ．
3. $F,F' \in \mathcal{F}$とすると，$F'' := F \cap F' \in \mathcal{F}$であるから$\varphi^{\rightarrow}(F'') \in \mathcal{G}_{0}$であり，
  $$ \varphi^{\rightarrow}(F'') \subset \varphi^{\rightarrow}(F)\cap \varphi^{\rightarrow}(F')$$
  が成り立つ．
1. $G \in \mathcal{G}$とする．このとき$\varphi^{\leftarrow}(G) \in \mathcal{F}$より$G_{0} := \varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(G)) \in \mathcal{G}_{0}$であり$G_{0} \subset G$が成り立つ．よって$\mathcal{G} \subset \gen{\mathcal{G}_{0}}_{\subset}$を得る．
2. $F \in \mathcal{F}$とする．このとき$F \subset \varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(F))$より$\varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(F)) \in \mathcal{F}$，したがって$\varphi^{\rightarrow}(F) \in \mathcal{G}$となる．よって$\mathcal{G}_{0} \subset \mathcal{G}$であるから，$\gen{\mathcal{G}_{0}}_{\subset} \subset \mathcal{G}$が成り立つ．

$X$上のフィルター$\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X)$に対して，
$$ \varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F}) := \{G \subset Y \mid \varphi^{\leftarrow}(G) \in \mathcal{F}\} \in \mathsf{Filter}(Y)$$
を$\varphi$による$\mathcal{F}$の像フィルターという（cf. 等化位相の定義）．

$\xi_{X} \in \mathsf{TopConv}(X), \xi_{Y} \in \mathsf{TopConv}(Y)$とする．任意の$(x,\mathcal{F}) \in X \times \mathsf{Filter}(X)$に対して
$$ x \in \lim\nolimits_{\xi_{X}}\mathcal{F} \implies \varphi(x) \in \lim\nolimits_{\xi_{Y}}\varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$$
が成り立つとき，$\varphi$は$(\xi_{X},\xi_{Y})$連続であるという．

任意の$\xi_{1},\xi_{2} \in \mathsf{TopConv}(X)$に対して
$$ \xi_{1} \subset \xi_{2} \iff \id_{X}:\text{$(\xi_{1},\xi_{2})$-continuous}$$
が成り立つ．

3者の同値性

開集合系，近傍系族，位相的収束関係の対応の下で$\mathcal{O}_{X},\mathcal{N}_{X},\xi_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y},\mathcal{N}_{Y},\xi_{Y}$）が対応しているとする．このとき次は同値である：

$\varphi$は$(\mathcal{O}_{X},\mathcal{O}_{Y})$連続である；
$\varphi$は$(\mathcal{N}_{X},\mathcal{N}_{Y})$連続である；
$\varphi$は$(\xi_{X},\xi_{Y})$連続である．

(i)$\implies$(ii)

$x \in X$とし，$N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))$とする．このとき$V \in \mathcal{O}_{Y}$であって$\varphi(x) \in V \subset N_{Y}$を満たすものが存在する．よって
$$ x \in U:= \varphi^{\leftarrow}(V) \subset \varphi^{\leftarrow}(N_{Y}),\ U \in \mathcal{O}_{X}$$
より$\varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \in \mathcal{N}_{X}(x)$が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

$x \in X$とし，$x \in \lim_{\xi_{X}}\mathcal{F}$とする．このとき任意の$N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x)) \subset Y$に対して，
$$ \varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \in \mathcal{N}_{X}(x) \subset \mathcal{F}$$
より，$N_{Y} \in \varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$が成り立つ．よって$\mathcal{N}_{Y}(\varphi(x)) \subset \varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$すなわち$\varphi(x) \in \lim_{\xi_{Y}}\varphi^{\rightarrow}(\mathcal{F})$が成り立つ．

(iii)$\implies$(i)

$V \in \mathcal{O}_{Y}$とし，$x \in \varphi^{\leftarrow}(V)$とする．このとき，$x \in \lim_{\xi_{X}}\mathcal{N}_{X}(x)$より$\varphi(x) \in \lim_{\xi_{Y}}\varphi^{\rightarrow}(\mathcal{N}_{X}(x))$であるから，$\varphi(x) \in V \in \mathcal{O}_{Y}$と合わせて
$$ V \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x)) \subset \varphi^{\rightarrow}(\mathcal{N}_{X}(x))$$
が成り立つ．したがって$\varphi^{\leftarrow}(V) \in \mathcal{N}_{X}(x)$であるから，$U(x) \in \mathcal{O}$であって
$$ x \in U(x) \subset \varphi^{\leftarrow}(V)$$
を満たすものが存在する．よって
$$ \varphi^{\leftarrow}(V) = \bigcup\{U(x) \in \mathcal{O} \mid x \in \varphi^{\leftarrow}(V)\} \in \mathcal{O}$$
が成り立つ．

$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．写像$\varphi \colon X \to Y$が$(\mathcal{O}_{X},\mathcal{O}_{Y})$連続であるとき，$\varphi$を$(X,\mathcal{O}_{X})$から$(Y,\mathcal{O}_{Y})$への連続写像という．

連続写像の特徴づけ

開基・準開基による

$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．このとき次は同値である：

$\varphi$は連続写像である；
$(Y,\mathcal{O}_{Y})$の開基$\mathcal{B}_{Y}\subset \mathcal{O}_{Y}$であって
$$ \varphi^{\leftarrow}(\mathcal{B}_{Y}) := \{\varphi^{\leftarrow}(B) \subset X \mid B \in \mathcal{B}_{Y}\} \subset \mathcal{O}_{X}$$
が成り立つものが存在する；
$(Y,\mathcal{O}_{Y})$の準開基$\mathcal{S}_{Y}\subset \mathcal{O}_{Y}$であって
$$ \varphi^{\leftarrow}(\mathcal{S}_{Y}) := \{\varphi^{\leftarrow}(S) \subset X \mid S \in \mathcal{S}_{Y}\} \subset \mathcal{O}_{X}$$
が成り立つものが存在する．

開集合系は開基であり，開基は準開基であるから，(iii)$\implies$(i) のみ示せばよい．そこで$V \in \mathcal{O}_{Y}$とする．このとき任意の$x \in \varphi^{\leftarrow}(V)$に対して，$\varphi(x) \in V$より，$S_{1},\ldots,S_{n} \in \mathcal{S}_{Y}$であって
$$ \varphi(x) \in \bigcap_{i=1}^{n}S_{i} \subset V$$
を満たすものが存在するので，
$$ U(x) := \varphi^{\leftarrow}\qty(\bigcap_{i=1}^{n}S_{i}) = \bigcap_{i=1}^{n}\varphi^{\leftarrow}(S_{i}) \in \mathcal{O}_{X}$$
とおくと$x \in U(x) \subset \varphi^{\leftarrow}(V)$が成り立つ．よって
$$ \varphi^{\leftarrow}(V) = \bigcup\{U(x) \in \mathcal{O}_{X} \mid x \in \varphi^{\leftarrow}(V)\} \in \mathcal{O}_{X}$$
が成り立つ．

基本近傍系族による

$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とし，開集合系$\mathcal{O}_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y}$）と対応する近傍系族を$\mathcal{N}_{X}$（resp. $\mathcal{N}_{Y}$）とする．このとき次は同値である：

$\varphi$は連続写像である；
$(Y,\mathcal{O}_{Y})$の基本近傍系族$\mathcal{N}_{Y,0}$であって，任意の$x \in X$に対して
$$ \varphi^{\leftarrow}(\mathcal{N}_{Y,0}(\varphi(x))) := \{\varphi^{\leftarrow}(N_{0}) \subset X \mid N_{0} \in \mathcal{N}_{Y,0}\} \subset \mathcal{N}_{X}(x)$$
が成り立つものが存在する．

近傍系族は基本近傍系族なので (ii)$\implies$(i) のみ示せばよい．そこで$x \in X$とし，$N_{Y} \in \mathcal{N}_{Y}(\varphi(x))$とする．このとき$N_{0} \in \mathcal{N}_{Y,0}(\varphi(x))$であって$N_{0} \subset N_{Y}$を満たすものが存在する．よって
$$ \varphi^{\leftarrow}(N_{0}) \in \mathcal{N}_{X}(x),\ \varphi^{\leftarrow}(N_{0}) \subset \varphi^{\leftarrow}(N_{Y})$$
より，$\varphi^{\leftarrow}(N_{Y}) \in \mathcal{N}_{X}(x)$が成り立つ．

その他

$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．開集合系$\mathcal{O}_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y}$）と対応する位相的開核作用素，閉集合系，位相的閉包作用素，境界作用素をそれぞれ$\I_{X}, \mathcal{C}_{X}, \cl_{X}, \beta_{X}$（resp. $\I_{Y}, \mathcal{C}_{Y}, \cl_{Y}, \beta_{Y}$）とおく．このとき次は同値である：

$\varphi$は連続写像である；
$\varphi^{\leftarrow} \circ \I_{Y} \leq \I_{X} \circ \varphi^{\leftarrow}$が成り立つ；
$\varphi^{\leftarrow}(\mathcal{C}_{Y}) \subset \mathcal{C}_{X}$が成り立つ；
$\cl_{X} \circ \varphi^{\leftarrow} \leq \varphi^{\leftarrow} \circ \cl_{Y}$が成り立つ；
$\beta_{X} \circ \varphi^{\leftarrow} \leq \varphi^{\leftarrow} \circ \beta_{Y}$が成り立つ；
$\varphi^{\rightarrow} \circ \cl_{X} \leq \cl_{Y} \circ \varphi^{\rightarrow}$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$B \subset Y$とする．このとき$\mathcal{O}_{Y} \ni \I_{Y}(B) \subset B$より
$$ \mathcal{O}_{X} \ni \varphi^{\leftarrow}(\I_{Y}(B)) \subset \varphi^{\leftarrow}(B)$$
であるから，
$$ \varphi^{\leftarrow}(\I_{Y}(B)) \subset \I_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B))$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

$C_{Y} \in \mathcal{C}_{Y}$とする．このとき$Y \smallsetminus C_{Y} \in \mathcal{O}_{Y}$より
\begin{align} X\smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}) &= \varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus C_{Y})\\ &= \varphi^{\leftarrow}(\I_{Y}(Y \smallsetminus C_{Y}))\\ &\textcolor{orange}{\subset} \I_{X}(\varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus C_{Y}))\\ &= \I_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}))\\ &\subset X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}) \end{align}
となるので，$X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}) = \I_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(C_{Y}))\in \mathcal{O}_{X}$が成り立つ．よって$\varphi^{\leftarrow}(C_{Y}) \in \mathcal{C}_{X}$を得る．

(iii)$\implies$(iv)

$B \subset Y$とする．このとき$B \subset \cl_{Y}(B) \in \mathcal{C}_{Y}$より
$$ \varphi^{\leftarrow}(B) \subset \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B)) \in \mathcal{C}_{X}$$であるから，
$$ \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) \subset \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B))$$
が成り立つ．

(iv)$\implies$(v)

$B \subset Y$とする．このとき
\begin{align} \beta_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) &= \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) \cap \cl_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(B))\\ &= \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) \cap \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(Y\smallsetminus B))\\ &\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B)) \cap \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(Y \smallsetminus B))\\ &= \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B) \cap \cl_{Y}(Y \smallsetminus B))\\ &= \varphi^{\leftarrow}(\beta_{Y}(B)) \end{align}
が成り立つ．

(v)$\implies$(vi)

$A \subset X$とする．このとき，
\begin{align} \varphi^{\rightarrow}(\cl_{X}(A)) &= \varphi^{\rightarrow}(A \cup \beta_{X}(A))\\ &= \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\beta_{X}(A))\\ &\subset \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(A))\cup\beta_{X}(\varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(A))))\\ &= \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\beta_{X}(\varphi^{\leftarrow}(\varphi^{\rightarrow}(A))))\\ &\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(\beta_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))))\\ &\subset \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \beta_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))\\ &= \cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A)) \end{align}
が成り立つ．

(vi)$\implies$(i)

$V \in \mathcal{O}_{Y}$とする．このとき
\begin{align} X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V) &\subset \cl_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V))\\ &\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V))))\\ &= \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(\varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus V))))\\ &\subset \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(Y \smallsetminus V))\\ &= \varphi^{\leftarrow}(Y \smallsetminus V)\\ &= X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V) \end{align}
より$X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V) = \cl_{X}(X \smallsetminus \varphi^{\leftarrow}(V)) \in \mathcal{C}_{X}$が成り立つので，$\varphi^{\leftarrow}(V) \in \mathcal{O}_{X}$を得る．

$(X,\mathcal{O}_{X}), (Y,\mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする．開集合系$\mathcal{O}_{X}$（resp. $\mathcal{O}_{Y}$）と対応する導作用素を$D_{X}$（resp. $D_{Y}$）とする．

$$ D_{X} \circ \varphi^{\leftarrow} \leq \varphi^{\leftarrow} \circ D_{Y} \implies \cl_{X} \circ \varphi^{\leftarrow} \leq \varphi^{\leftarrow} \circ \cl_{Y}$$
が成り立つ．また，$\varphi$が単射ならば，逆も成り立つ．
$$ \varphi^{\rightarrow} \circ D_{X} \leq D_{Y} \circ \varphi^{\rightarrow} \implies \varphi^{\rightarrow} \circ \cl_{X} \leq \cl_{Y} \circ \varphi^{\rightarrow}$$
が成り立つ．また，$\varphi$が単射ならば，逆も成り立つ．

$B \subset Y$とする．このとき，
\begin{align} \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) &= \varphi^{\leftarrow}(B) \cup D_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B))\\ &\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\leftarrow}(B) \cup \varphi^{\leftarrow}(D_{Y}(B))\\ &= \varphi^{\leftarrow}(B \cup D_{Y}(B))\\ &= \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B)) \end{align}
が成り立つ．また，$\varphi$が単射のとき，$x \in D_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B))$とすると，
$$ x \in \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)\smallsetminus\{x\}) = \cl_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B \smallsetminus \{\varphi(x)\})) \textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\leftarrow}(\cl_{Y}(B \smallsetminus \{\varphi(x)\}))$$
より$\varphi(x) \in \cl_{Y}(B \smallsetminus \{\varphi(x)\})$すなわち$\varphi(x) \in D_{Y}(B)$を得る．よって
$$ D_{X}(\varphi^{\leftarrow}(B)) \subset \varphi^{\leftarrow}(D_{Y}(B))$$
が成り立つ．
$A \subset X$とする．このとき，
\begin{align} \varphi^{\rightarrow}(\cl_{X}(A)) &= \varphi^{\rightarrow}(A \cup D_{X}(A))\\ &= \varphi^{\rightarrow}(A) \cup \varphi^{\rightarrow}(D_{X}(A))\\ &\textcolor{orange}{\subset} \varphi^{\rightarrow}(A) \cup D_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))\\ &= \cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A)) \end{align}
が成り立つ．また，$\varphi$が単射のとき，$x \in D_{X}(A)$とすると，
$$ \varphi(x) \in \varphi^{\rightarrow}(\cl_{X}(A \smallsetminus \{x\})) \textcolor{orange}{\subset} \cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A \smallsetminus \{x\})) = \cl_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A) \smallsetminus \{\varphi(x)\})$$
より$\varphi(x) \in D_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))$が成り立つ．よって
$$ \varphi^{\rightarrow}(D_{X}(A)) \subset D_{Y}(\varphi^{\rightarrow}(A))$$
が成り立つ．

参考文献

[1]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Oct 26 2024

投稿日：10日前

更新日：3日前

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うすい

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