有限Heine変換
ここでは Heineの変換公式
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}{b}\\ &=\frac{(c/b,bx;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,b}{bx}{\frac cb}\\ &=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c} \end{align}
を一般化した有限Heine変換を示す．
$n$を非負整数とするとき，
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-n}}{c,q^{1-n}/t}q
&=\frac{(b,at;q)_n}{(c,t;q)_n}\Q32{c/b,t,q^{-n}}{at,q^{1-n}/b}q\\
&=\frac{(c/b,bt;q)_n}{(c,t;q)_n}\Q32{abt/c,b,q^{-n}}{bt,bq^{1-n}/c}q\\
&=\frac{(abt/c;q)_n}{(t;q)_n}\Q32{c/a,c/b, q^{-n}}{c,cq^{1-n}/abt}q
\end{align}
最初の式を示せば，Heineの変換公式同様反復的に適用することで示すことができる．また，初めの式も，
$$
\Q32{a,b,q^{-n}}{c,q^{1-n}/t}q=\frac{(at;q)_n}{(t;q)_n}\Q32{c/b,a,q^{-n}}{c,at}{btq^n}
$$
を二度用いることで示すことができるので，これを示せばよい．ここではこれを
Searsの変換公式
$$
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,abcq^{1-n}/de}q&=\frac{(e/a,de/bc;q)_n}{(e,de/abc;q)_n}\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,de/bc,aq^{1-n}/e}{q}
\end{align}
$$
を用いて示す。上の式で$c\to 0$とした式
$$
\Q32{a,b,q^{-n}}{d,e}q = a^n\frac{(e/a;q)_n}{(e;q)_n}\Q32{a,d/b,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e}{\frac{bq}e}
$$
で$e=q^{1-n}/t$と置けば，$aq^{1-n}/e=at, bq/e=btq^n$なので$\p32$のパラメータは一致し，係数については
\begin{align}
a^n\frac{(e/a;q)_n}{(e;q)_n}
&= a^n\frac{(q^{1-n}/at;q)_n}{(q^{1-n}/t;q)_n}\\
&= a^n\frac{(-at)^{-n}q^{-\binom n2}(at;q)_n}{(-t)^{-n}q^{-\binom n2}(t;q)_n}\\
&=\frac{(at;q)_n}{(t;q)_n}
\end{align}
より一致し，命題が従う。
なお，途中で出てきた
$$
\Q32{a,b,q^{-n}}{c,q^{1-n}/t}q=\frac{(at;q)_n}{(t;q)_n}\Q32{c/b,a,q^{-n}}{c,at}{btq^n}
$$
は，$n\to\infty$の極限において
$$
\Q21{a,b}{c}t=\frac{(at;q)_\infty}{(t;q)_\infty}\Q22{c/b,a}{c,at}{bt}
$$
となるから，
Jacksonの$\p22$変換公式
を一般化したものになっていることがわかる．古典的な場合でも，Pfaffの変換公式を二度用いることでEulerの変換公式を示すという流れをとっているので，それに倣ったような証明をここでは行った．参考にした文献[1]ではこれを特殊化することによって
\begin{align}
\sum_{i=0}^n\frac{q^i}{(q,\gamma;q)_i} = \frac1{(\gamma;q)_n}\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i\gamma^iq^{\binom i2}}{(q;q)_{n-i}}
\end{align}
や，
\begin{align}
\sum_{i=0}^n\frac{\gamma^iq^{i^2}}{(q,\gamma q;q)_i} = \frac1{(\gamma q;q)_n}\sum_{i=0}^n\frac{\gamma^iq^{i(n+1)}}{(q;q)_{i}}
\end{align}
といった有限級数の等式を得ているようである。
参考文献
- George E. Andrews, "The Finite Heine Transformation", Bruce Landman (ed.) et al., Combinatorial number theory. Proceedings of the 3rd Integers Conference 2007, Carrollton, GA, USA, October 24–27, 2007. Berlin: Walter de Gruyter, Integers 9, Suppl., Article A1, 1–6.
一応 こちらのリンク から見れます。
