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mod 10のRogers-Ramanujan型恒等式2

前の記事の定理6, 定理8を両側Bailey対として書き表すと以下のようになる.

$\begin{array}{r} \sum_{k \in Z} (\frac{q^{3 k^{2} - k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + 5 k + 2}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) = \frac{q^{n^{2}}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \\ \sum_{k \in Z} (\frac{q^{3 k^{2} + 2 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k} (q; q)_{n - 3 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + 2 k}}{(q^{2}; q)_{n + 3 k + 1} (q; q)_{n - 3 k - 1}}) = \frac{q^{n^{2} + n}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{array}$

前の記事でmod 10のRogers-Ramanujan型恒等式をいくつか示したが, 今回は次のような恒等式を示す.

Slater(1952)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{\frac{1}{2} n (3 n + 1)} & = \frac{(- q; q)_{\infty} (q, q^{4}, q^{5}; q^{5})_{\infty} (q^{3}, q^{7}; q^{10})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{\frac{3}{2} n (n + 1)} & = \frac{(- q; q)_{\infty} (q^{2}, q^{3}, q^{5}; q^{5})_{\infty} (q, q^{9}; q^{10})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

以下の証明において, Watsonの五重積
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{\frac{n (3 n + 1)}{2}} (x^{- 3 n} - x^{3 n + 1}) & = (q, x, q / x; q)_{\infty} (x^{2} q, q / x^{2}; q^{2})_{\infty} \end{aligned}$
を用いる.

命題1の両側Bailey対に前の記事における系2の2つ目の等式を適用し, Watsonの五重積を用いると
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{\frac{1}{2} n (3 n + 1)} & = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} + \frac{n}{2}} - \sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} + \frac{19}{2} n + 3}) \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} - \frac{n}{2}} - \sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} + \frac{11}{2} n + 1}) \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} - \frac{n}{2}} (1 - q^{6 n + 1}) \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} (q, q^{4}, q^{5}; q^{5})_{\infty} (q^{3}, q^{7}; q^{10})_{\infty} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{\frac{3}{2} n (n + 1)} & = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} + \frac{7}{2} n} - \sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} + \frac{13}{2} n + 1}) \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} - \frac{7}{2} n} - \sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} + \frac{17}{2} n + 2}) \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{\frac{15}{2} n^{2} - \frac{7}{2} n} (1 - q^{12 n + 2}) \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} (q^{2}, q^{3}, q^{5}; q^{5})_{\infty} (q, q^{9}; q^{10})_{\infty} \end{aligned}$
と示される.