mod 10のRogers-Ramanujan型恒等式2
前の記事 の定理6, 定理8を両側Bailey対として書き表すと以下のようになる.
\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}\left(\frac{q^{3k^2-k}}{(q^2;q)_{n+3k}(q;q)_{n-3k}}-\frac{q^{3k^2+5k+2}}{(q^2;q)_{n+3k+1}(q;q)_{n-3k-1}}\right)=\frac{q^{n^2}}{(q^2;q)_{2n}}\\ \sum_{k\in\ZZ}\left(\frac{q^{3k^2+2k}}{(q^2;q)_{n+3k}(q;q)_{n-3k}}-\frac{q^{3k^2+2k}}{(q^2;q)_{n+3k+1}(q;q)_{n-3k-1}}\right)=\frac{q^{n^2+n}}{(q^2;q)_{2n}} \end{align}
前の記事 でmod 10のRogers-Ramanujan型恒等式をいくつか示したが, 今回は次のような恒等式を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-q;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{\frac 12n(3n+1)}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(q,q^4,q^5;q^5)_{\infty}(q^3,q^7;q^{10})_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(-q;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{\frac 32n(n+1)}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(q^2,q^3,q^5;q^5)_{\infty}(q,q^9;q^{10})_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}
以下の証明において,
Watsonの五重積
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{n(3n+1)}2}(x^{-3n}-x^{3n+1})&=(q,x,q/x;q)_{\infty}(x^2q,q/x^2;q^2)_{\infty}
\end{align}
を用いる.
命題1の両側Bailey対に
前の記事
における系2の2つ目の等式を適用し, Watsonの五重積を用いると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{\frac 12n(3n+1)}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2+\frac n2}-\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2+\frac {19}2n+3}\right)\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2-\frac n2}-\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2+\frac{11}2n+1}\right)\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2-\frac n2}(1-q^{6n+1})\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}(q,q^4,q^5;q^5)_{\infty}(q^3,q^7;q^{10})_{\infty}\\
\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{\frac 32n(n+1)}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2+\frac 72n}-\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2+\frac{13}2n+1}\right)\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2-\frac 72n}-\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2+\frac{17}2n+2}\right)\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{15}2n^2-\frac 72n}(1-q^{12n+2})\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}(q^2,q^3,q^5;q^5)_{\infty}(q,q^9;q^{10})_{\infty}
\end{align}
と示される.
