Askey-Wilson積分のシンプルな証明
前の記事 でAskey-Wilson積分を示した. その証明はAl-Salam-Verma積分を反復して適用するもので, ある程度複雑な計算が必要である. 今回は 連続$q$-Hermite多項式の直交性 と $q$-Mehlerの公式 を用いてAskey-Wilson積分によりシンプルな証明を与える.
$x:=\cos\theta$として, 連続$q$-Hermite多項式は
\begin{align}
H_n(x|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
と定義される. Askey-Wilson積分は以下のような積分である.
$|a|,|b|,|c|,|d|<1$とするとき,
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
以下はBowmanによる2000年の証明である.
\begin{align}
h_n(x,y):=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^ky^{n-k}
\end{align}
とする. このとき, 連続$q$-Hermite多項式は$x:=\cos\theta$として,
\begin{align}
H_n(x|q)=h_n(e^{i\theta},e^{-i\theta})
\end{align}
と表される. また,
$q$-Mehlerの公式
は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{h_n(a,b)h_n(c,d)}{(q;q)_n}&=\frac{(abcd;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えられる. ここで, $c=e^{i\theta},d=e^{-i\theta}$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{h_n(a,b)}{(q;q)_n}H_n(x|q)&=\frac{(ab;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
連続$q$-Hermite多項式の直交性
より
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac 1{(ab,cd;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n,m}\frac{h_n(a,b)h_m(c,d)}{(q;q)_n(q;q)_m}\int_0^{\pi}H_n(x|q)H_m(x|q)(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi}{(q,ab,cd;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{h_n(a,b)h_n(c,d)}{(q;q)_n}\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる. ここで, 最後の等号は$q$-Mehlerの公式による.
このように連続$q$-Hermite多項式を用いることでAskey-Wilson積分がシンプルに示されるのは面白いと思った.
