触れて学ぶ位相空間
はじめに
どうも.
みなさん, 位相空間って知ってますか？距離空間を一般化したやつだったり, 環論で出てきたりするあれです.
よく「位相空間といったら開集合」といった考え方があるようですが, 特に距離空間から離れたとき, 開集合でイメージするとわかりやすいことなんてありません！(無知ゆえの断定)
ということで, 今回は位相空間を閉包の概念から導入していきます.
そのため, 次の節からは位相空間が閉包で定義するのが当たり前かのように書いていきます.
(一応, 位相空間は知らなくとも70%は理解できる内容を目指しています.)
特に断りのない限り, 自然数はvon Neumannの構成とみなし, 添え字は写像とみなします.
ただし, $a_0$のような具体的な数字を添え字にしている場合はただの文字です.
この記事には独自の用語を定義し, 「この記事では」という注釈をいれます. 既存の概念は特に断ることなく, 同値な別の定義をします.
閉包とは？？
位相空間に限らず, 「閉包」というものは沢山でてくる.
・ある演算が入った系について,その演算についての「閉包」
・体の「代数閉包」,「ガロア閉包」
・二項関係の「推移閉包」
・順序体上のベクトル空間における「凸包」
etc.
一般に何らかの対象$A$についてその閉包$\Cl(A)$は,
$A$を含み「閉じている」最小の対象であって次のように定義される.
集合$X$に関して, 写像$\Cl: \mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$が$X$上の閉包作用素であるとは, $A,B\subseteq X$について以下の4条件が成り立つことである.
- $X\subseteq\Cl(X)$
- $\Cl(\Cl(X))=\Cl(X)$
- $X\subseteq Y\RRR \Cl(X)\subseteq \Cl(Y)$
一般の場合の考察は arakurさんの記事 も参照のこと.
閉包の特徴的な性質として, 次の命題が成り立つ.
$\Cl\left(\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)\right)=\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)$
各$i\in I$について
$\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)\subseteq \Cl(A_i)$
$\Cl\left(\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)\right)\subseteq \Cl(\Cl(A_i))=\Cl(A_i)$
よって,
$\Cl\left(\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)\right)\subseteq\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)$
また$\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)\subseteq\Cl\left(\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)\right)$であるから,
$\Cl\left(\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)\right)=\bigcap_{i\in I} \Cl(A_i)$
$\square$
位相空間では「収束先で閉じた」という関係, あるいは「触点で閉じた」という関係を考え, 特に
$\Cl(\varnothing)=\varnothing, \Cl(A\cup B)=\Cl(A)\cup\Cl(B)$
という関係を考える.
すなわち, 次のように定義される.
集合$X$と写像$\Cl: \mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$の組$(X,\Cl)$が位相空間であるとは, $A,B\subseteq X$について以下の4条件が成り立つことである.
- $\Cl(\varnothing)=\varnothing$
- $A\subseteq \Cl(A)$
- $\Cl(\Cl(A))\subseteq\Cl(A)$
- $\Cl(A\cup B)\subseteq\Cl(A)\cup\Cl(B)$
このとき, $X$を台集合, $\Cl$を$X$上の(位相的)閉包作用素という.
$(X,\Cl)$を省略して$X$とも書く. このとき$\Cl$を$\Cl_X$と表すこともある.
※2,3つ目は1.と合わせると等号が示せる.
また特に$A\subseteq B$のとき, $\Cl(A)\subseteq\Cl(A)\cup\Cl(B)\subseteq\Cl(A\cup B)=\Cl(B)$から推移性が成り立つ.
ある集合$X$上の位相的閉包作用素を定義することを$X$に位相をいれるともいい, その操作に名前が付けられている際 「〇〇位相をいれる」ということもある.
以下この記事では, 一般的な閉包作用素を包と呼び, 位相的な閉包作用素を単に閉包と呼ぶ.
また, 閉集合を定義しておく.
$(X,\Cl)$を位相空間する.
このとき, $A\subseteq X$が閉集合であるとは$\Cl(A)=A$をみたすことをいう.
$\varnothing,X$は閉集合であり, 閉集合の有限和, 任意交叉は閉集合である.
逆にこのとき, $A$を含む閉集合全体の交叉として閉包を定義できる.
この記事ではできるだけ閉集合も使わない方法を紹介する.
以下は位相空間の基本的な例である.
- 台集合を$X$とする. $\Cl_d,\Cl_t: \mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$を
$\Cl_d(A):=A, \Cl_t(A):= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} X & A\neq \varnothing \\ \varnothing & A=\varnothing \end{array} \right. \end{eqnarray} $
と定義したとき, $(X,\Cl_d),(X,\Cl_t)$はいづれも位相空間となる.
それぞれ 離散位相, 密着位相と呼ばれる. - 台集合を$X$とする.
$\tau+\tau=\tau$となる濃度$\tau$について,
$\Cl_\tau,\Cl_{\to\tau}:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$を
$\Cl_\tau(A):= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} X & A\not\leq \tau \\ A & A\leq\tau \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$\Cl_{\to\tau(A)}:= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} X & A\not\lt \tau \\ A & A\lt\tau \end{array} \right. \end{eqnarray} $
で定めると, $(X,\Cl_\tau),(X,\Cl_{\to\tau})$は位相空間となる.
特に$\tau=\aleph_0$のとき, (慣習に従い)それぞれ補可算位相,補有限位相という. - 全順序集合$(X,\leq)$に対し, $\Cl_{\leq,i}:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)~(i=0,1,2,3)$を以下のように定義するとこれらは$X$上の閉包である.
(独自記法)
$\Cl_{\leq,\leftarrow}(A)=\set{x\in X|\exists a\in A,x\leq a}$
$\Cl_{\leq,\rightarrow}(A)=\set{x\in X|\exists a\in A,a\leq x}$
$\Cl_{\leq,\downarrow}(A)=\set{x\in X|\forall b>x,\exists a\in A,x\leq a< b}$
$\Cl_{\leq,\uparrow}(A)=\set{x\in X|\forall b< x,\exists a\in A,b< a\leq x}$
順に, 下方閉包, 上方閉包, 下限位相, 上限位相という.
(濃度は順序と演算以上の意味を持たないものとします.)
作用素の強さと位相化
包の位相化
任意の包に対し, それより「強い」もののなかで「最弱」の閉包作用素を与えることができる.
そのためにまずは閉包の(一般に作用素間の)「強弱」を定める.
写像$F,G:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(Y)$について,
$F$が$G$よりも強い($G$が$F$よりも弱い)とは
任意の$A\subseteq X$について$F(A)\subseteq G(A)$をみたすことをいう.
このとき, 順序$F\leq G$を$F$は$G$より強いことを表すものとする.
以下, この節では台集合$X$を固定する.
包$F$に対し, $F$より強い最弱の閉包$\Cl^F$が存在する.
$\Cl^F(A):=\bigcap\set{\bigcup_{S\in \mathcal{A}}F(S
)\subset X\mid {\bigcup_{S\in \mathcal{A}}S=A\land | \mathcal{A}|
<\infty}}$
とする.
$\mathcal{A}=\set{A}$とすると$\Cl^F(A)\subseteq\bigcup_{S\in \mathcal{A}}F(S)=F(A)$から,
$\Cl^F\leq F$である.
$\Cl^F$が閉包であることを示す.
- $\mathcal{A}=\varnothing$を考えれば$\Cl^F(\varnothing)=\varnothing$.
- ${\bigcup_{S\in \mathcal{A}}S=A\land | \mathcal{A}|
<\infty}$としたとき,
$A=\bigcup_{S\in \mathcal{A}}S\subseteq\bigcup_{S\in \mathcal{A}}F(S)$である.
よって$A\subseteq \Cl^F(A)$. - $x\in \Cl^F(\Cl^F(A))$について, ${\bigcup_{S\in \mathcal{A}}S=A\land | \mathcal{A}|
<\infty}$となる$\mathcal{A}$を任意にとる.
このとき, $\Cl^F(A)\subseteq\bigcup_{S\in\mathcal{A}}F(S)$であって, $F(F(S)\cap \Cl^F(A))\subseteq F(F(S))=F(S)$から
$B_{S}=F(S)\cap \Cl^F(A), \mathcal{B}=\set{B_{S}|S\in \mathcal{A}}$とすると,
$\bigcup_{T\in \mathcal{B}}T=\Cl^F(A), |\mathcal{B}|<\infty$だから
$x\in \bigcup_{T\in \mathcal{B}}F(T)\subseteq \bigcup_{S\in \mathcal{A}}F(S)$
よって$\Cl^F(\Cl^F(A))\subseteq\Cl^F(A)$. - $x\notin\Cl^F(A\cup B)$とすると${\bigcup_{S\in \mathcal{A}}S=A\cup B\land | \mathcal{A}|
<\infty}\land x\notin \bigcup_{S\in \mathcal{A}}F(S)$となる$\mathcal{A}$が存在する。
$F(S\cap A)\cup F(S\cap B)\subseteq F(S)\not\ni x$から
$\set{S\cap A\mid S\in \mathcal{A}}, \set{S\cap B\mid S\in \mathcal{A}}$により, $x\notin \Cl^F(A)\cup\Cl^F(B)$が得られる.
よって$\Cl^F(A)\cup \Cl^F(B)$
したがって$\Cl^F$は閉包である.
また, 任意の閉包$\Cl\leq F$について,
$A\subset X, \bigcup_{S\in\mathcal{A}}S=A, |\mathcal{A}|<\infty$とすると,
$\Cl(A)=\bigcup_{S\in\mathcal{A}}\Cl(S)\subseteq\bigcup_{S\in\mathcal{A}}F(S)$であるから, $\Cl(A)\subset\Cl^F(A)$
したがって, $\Cl^F$は$F$より強い最弱の閉包である.
$\square$
一般に$\cup$に閉じた$\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$に対し, $\Cl^\mathcal{B}(A)=\bigcap_{A\subseteq B\in\mathcal{B}}B$という閉包が定義できる.(空積は$X$とする.)
このとき, $\Cl^\mathcal{B}$を$\mathcal{B}$を閉基(基底)とする位相という.
以降, この記事では包$F$に対し$\Cl^F$を$F$の位相化と呼ぶ.
- 凸包の位相化は離散位相である.
- 群の「生成される集合」の位相化は, $A\mapsto\set{a^n\mid a\in A,n\in\mathbb{Z}}$
任意の閉包の族$\mathcal{C}$について, その下限と上限が存在する.
この定理は次節の定義に不可欠である.
閉包$F$が$\mathcal{C}$の下界であることは, $\forall A\subseteq X, F(A)\subseteq\bigcap_{\Cl\in \mathcal{C}}\Cl(A)$となることと同値であるが, $A\mapsto \bigcap_{\Cl\in \mathcal{C}}\Cl(A)$は包であるから下界は最大元をもつ.
順序数$\alpha$に対し, $D_\alpha:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$を超限帰納法によって次で定める.
$$\begin{cases}
D_0(A):=\bigcup_{\Cl\in \mathcal{C}}\Cl(A)\\
D_\alpha(A):=\bigcup_{\beta<\alpha}D_0(D_\beta(A))
\end{cases}$$
このとき$\alpha<\beta$ならば$D_\alpha\leq D_\beta$である.
ここで、$\mathcal{P}(X)^{\mathcal{P}(X)}$のHartogs数を$\Lambda$とすると
$D:\Lambda\to\mathcal{P}(X)^{\mathcal{P}(X)},\alpha\mapsto D_\alpha$は単射ではないから$\alpha<\beta(<\Lambda)$であって$D_\alpha=D_\beta$となるものが存在する. 特に$D_\alpha=D_{\alpha+1}=D_0\circ D_\alpha$.
帰納的に$D_\alpha=D_\alpha^2$である.
また定義から帰納的に,
$D_\alpha(\varnothing)=\varnothing,A\subseteq D_\alpha(A), D_\alpha(A\cup B)=D_\alpha(A)\cup D_\alpha(B)$
であるから, $D_\alpha$は閉包である.
よって$D_\alpha$は$\mathcal{C}$の上界.
また$F$が$\mathcal{C}$の上界とすると,
$A'\subseteq A$なら, $\forall \Cl\in \mathcal{C},\Cl(A')\subseteq F(A')\subseteq F(A)$から
$D_0(A')=\bigcup_{\Cl\in \mathcal{C}}\Cl(A')\subseteq F(A)$
よって帰納的に$D_\alpha(A)\subseteq F(A)$つまり$D_\alpha\leq F$
よって$D_\alpha$は$\mathcal{C}$の上限.
定理3において超限帰納法を用いることは本質的である. すなわち, 有限や可算和で止まるとは限らない.
たとえば極限順序数$\Lambda$に対し, $X=\Lambda+1$上の$\Lambda$個の閉包$\set{\Cl_\lambda}_{\lambda\in \Lambda}$および閉包$\Cl_\Lambda$をそれぞれ
$\Cl_\lambda(A):=\begin{cases}A\cup\set{\lambda+1} & \mathrm{if}~ \lambda\in A\\
A & \mathrm{if}~ \lambda\notin A\end{cases}$
$\Cl_\Lambda(A):=\begin{cases}A\cup\set{\Lambda} & \mathrm{if}~ \forall \lambda<\Lambda,\exists\alpha\in A,\lambda<\alpha\\
A & \mathrm{if}~ \exists \lambda<\Lambda,\forall\alpha\in A,\alpha\leq\lambda\end{cases}$
とすると$\mathcal{C}=\set{\Cl_\lambda\mid\lambda\in \Lambda}\cup\set{\Cl_\Lambda}$は
$\alpha\leq\Lambda$について$D_\alpha(\set{0})\subsetneq D_{\alpha+1}(\set{0})$となる.
ちなみに順序数$\Lambda'$について, $\Lambda'$個の$X$を$\lambda$番目の$\Lambda$と$\lambda+1$番目の$0$を貼り合わせる(後で定義)ことによって, $\Lambda$個の閉包の族で$D_{(\Lambda+1)\Lambda'}$まで考える必要のあるものが構成できる.
$\mathbb{R}$の通常順序について$\set{\Cl_{2,\leq},\Cl_{3,\leq}}$の上限は, いわゆるユークリッド位相となる.
一般に全順序集合において$\set{\Cl_{2,\leq},\Cl_{3,\leq}}$の上限を「順序位相」と呼ぶ.
連続写像と誘導位相
位相空間$(X,\Cl),(Y,\Cl')$について,
写像$f:X\to Y$が連続であるとは
$f$による像を与える写像を$f^*$とするとき
$f^*\circ \Cl\leq \Cl'\circ f^*$
すなわち, $\forall A\subset X~f(\Cl(A))\subset \Cl'(f(A))$
が成り立つことをいう.
連続写像$f:X\to Y$が同相写像であるとは,
ある連続写像$g:Y\to X$が存在して,
$g\circ f=\mathrm{id_X},f\circ g=\mathrm{id_Y}$
となることをいう.
このとき$f$に対して$g$は唯一であるから, これを逆写像といい,
同相写像$f:X\to Y$が存在するとき$(X,\Cl),(Y,\Cl')$は位相同型あるいは同相であるといい, $(X,\Cl)\cong (Y,\Cl')$と表す.
次の命題は有名である.
$f$が連続である$\iff$ $\Cl\circ f^{-1}\circ\Cl'=f^{-1}\circ\Cl'$
(連続性と閉集合の逆像が閉であることは同値.)
$(\RR)$
$B\subseteq Y$について, $f(\Cl(f^{-1}(\Cl'(B))))\subseteq \Cl'(f(f^{-1}(\Cl'(B))))=\Cl'(B)$から,
$\Cl(f^{-1}(\Cl'(B)))\subseteq f^{-1}(\Cl'(B))$
$(\LL)$
$A\subseteq X$について,
$A\subseteq f^{-1}(\Cl'(f(A)))$から,
$f(\Cl(A))\subseteq f(\Cl(f^{-1}(\Cl'(f(A)))))$
$\subseteq f(f^{-1}(\Cl(f(A))))=\Cl(f(A))$
$(Y_i,\Cl_i)_{i\in I}$を位相空間の族, $X$を集合, $\set{f_i:X\to Y_i}_{i\in I},\set{g_i:Y_i\to X}_{i\in I}$を写像の族とする.
$X$上の閉包の族$\set{f_i^{-1}\circ \Cl\circ f_i^*}_{i\in I}$の下限を$\set{f_i}_i$による始位相,
$\set{g_i^!\circ \Cl\circ g_i^{-1}}_{i\in I}$の上限を$\set{g_i}_i$による終位相という.
ただし, $g_i^\#$は$g_i$による小像, すなわち$g_i^\#(B)=X\setminus g(Y\setminus B)$.
特に$I$が単元集合のとき, 単に$f$による始位相,$g$による終位相のように言う.
始位相, 終位相のことをまとめて誘導(された)位相ともいう.
次の命題の証明は読者への演習問題とする.
$\set{f_i}_i$による終位相は各$f_i$を連続にする最弱の位相であり,
$\set{g_i}_i$による始位相は各$g_i$を連続にする最強の位相である.
- 位相空間の族$\set{X_i}_{i\in I}$について, その直積$\prod_{i\in I}X_i$には射影の族による始位相を入れることができる.
また, 直和$\coprod_{i\in I}X_i$には入射の族による終位相をいれることができる.
これらをそれぞれ直積位相, 直和位相という.
これらは圏論的な直積, 余積の普遍性をみたす.
また、直和位相の閉包は$\Cl(\coprod_{i\in I} A_i)=\coprod_{i\in I} \Cl_i(A_i)$で与えられる. - 位相空間$(X,\Cl)$について, その部分集合$A(\subset X)$には包含写像による始位相をいれることができる. これを相対位相という.
$\Cl_A(B)=\Cl_X(B)\cap A$である - 位相空間$X,Y$, 連続写像$f:X\to Y$について
$f$が「全射」であって, $Y$の位相が$f$による終位相と等しいとき$f$は商写像,
$f$が「単射」であって, $X$の位相が$f$による始位相と等しいとき$f$は埋め込み(写像)であるという.
これらは合成について閉じている.
$ $
全射$f$が商写像であることと, $\Cl(A)=A\Iff \Cl(f^{-1}(A))=f^{-1}(A)$であることと同値.
単射$f$が埋め込みであることと$\Cl_X(A)=f^{-1}(\Cl_Y(A))$であることは同値. - 位相空間の族$\set{X_i}_{i\in I}$, 集合$Y$に対し, 単射の族$\set{f_i:X_i\to Y}_{i\in I}$が存在するとき,
$Y$に,この族$\set{f_i}_i$による終位相を入れることができる.
特に$\bigcup_{i\in I} f_i(X_i)=Y$のとき, これを「($i,j\in I$について)$f_i^{-1}(f_i(X_i)\cap f_j(X_j))$と$f_j^{-1}(f_i(X_i)\cap f_j(X_j))$を貼り合わせた位相」という.
(それぞれ一点のときは$\set{x}$を単に$x$とかくこともある.)
$ $
※集合族$\set{X_i}_{i\in I},\set{A_{ij}}_{i,j\in I}~(\forall i,j\in I, A_{ij}\subseteq X_i)$及び, 全単射の族$\set{f_{ij}:A_{ij}\to A_{ji}}$が
$A_{ii}=X_i,~ f_{ij}(A_{ij}\cap A_{ik})=A_{ji}\cap A_{jk},$
$f_{jk}|_{A_{ji}\cap A_{jk}}\circ f_{ij}|_{A_{ij}\cap A_{ik}}=f_{ik}|_{A_{ij}\cap A_{ik}}$
をみたすとき, $A_{ij}$と$A_{jk}$を貼り合わせた位相が考えられる.
直積と選択公理
以下, 誤解の恐れがない限り, 閉包はすべて$\Cl$で表す.
有限直積については以下の定理が成立する.
$n\in \mathbb{N}$, 位相空間の族$\set{X_i}_{i\in n}$及び, その部分集合の族$\set{A_i}_{i\in n}(\forall i\in n, A_i\subseteq X_i)$について,
$\Cl(\prod_{i\in n} A_i)=\prod_{i\in n} \Cl(A_i)$
射影$\pi_i:\prod_{i\in n}X_i\to X_i$は連続だから
$\pi_i(\Cl(\prod_{i\in n} A_i))\subseteq \Cl(\pi_i(\prod_{i\in n}A_i))=\Cl(A_i)$
$\Cl(\prod_{i\in n} A_i)\subseteq \prod_{j\in n}\pi_j(\Cl(\prod_{i\in n} A_i))\subseteq \prod_{i\in n}\Cl(A_i)$
逆向きの包含について,
$x\notin \Cl(\prod_{i\in n} A_i)$とすると, ある有限集合$\mathcal{A}$で$\bigcup_{S\in\mathcal{A}}S=\prod_{i\in n} A_i$,
各$S\in \mathcal{A}$に対し$x\notin\bigcap_{i\in n}\pi_i^{-1}(\Cl(\pi_i(S)))=\prod_{i\in n}\Cl(\pi_i(S))$となるものがとれる.
$\mathcal{S}_i$を$\set{\pi_i(S)\mid S\in A}$が差集合について生成する集合とする.
$(S_i)_{i\in n}\in \prod_{i\in n}S_i$について, 各$S_i$はある$\pi_i(S)(S\in \mathcal{A})$に含まれるから,
$x\notin\prod_{i\in n}\Cl(S_i)$
ここで, $S_i(i\neq 0)$を固定して$S_0$のみを動かした(有限)和について考えると,
$x\notin\Cl(A_0)\times\prod_{0< i\in n}\Cl(S_i)$
次に, $S_i(i>1)$を固定した和について考えると,
$x\notin\Cl(A_0)\times \Cl(A_1)\times \prod_{1< i\in n}\Cl(S_i)$となる.
帰納的に, $x\notin \prod_{i\in I}\Cl(A_i)$ が得られる.
よって逆向きの包含も成立する.
一般の直積の場合でも, 左から右への包含は(ZFで)示せる.
($\prod_{i\in n}A_i=\varnothing$のとき, $\prod_{i\in n}\Cl(A_i)=\varnothing$)
しかしながら, 逆向きの包含に関しては任意の直積について成り立つことが選択公理と同値であることが知られている.
選択公理からの証明は次の補題を用いれば上の場合に帰着できる.
逆は演習問題とする.
$\mathcal{A}\subset\prod_{i\in I} \mathcal{P}(X_i)$が有限で,
$\bigcup_{(S_i)_i\in \mathcal{A}} (\prod_{i\in I}S_i) = \prod_{i\in I} A_i\neq \varnothing$
$\forall (S_i)_i\in\mathcal{A},~ \prod_{i\in I} S_i\nsubseteq \bigcup_{(T_i)_i\in \mathcal{A}\setminus\set{(S_i)_i}} \prod_{i\in I}T_i$
とする.
このとき任意の$(S_i)_i\in\mathcal{A}$について, $|\set{i\mid S_i\neq X_i}|<|\mathcal{A}|$.
要するに$\prod_{i\in I}A_i$の「直積による, 無駄のない被覆」をとったとき, 各直積は有限次元を除き全体に等しい.
補題中の文字はすべて忘れ,
$n\in \mathbb{N}$について,
$\left[\bigcup_{j\in n}\left(\prod_{i\in n} S_{i,j}\right)=\prod_{i\in n}A_i\neq\varnothing\right]\land [\forall i\in n, S_{i,0}\subsetneq A_i]$
のとき
$\bigcup_{j\in n\setminus\set{0}}\left(\prod_{i\in n} S_{i,j}\right)=\prod_{i\in n}A_i$
ということを示せばよい.
(補題の反例となる$n$個の$S_{i,j}$があればそれを$S_{i,0}$と置きなおせばいい.)
$S_{i,0}=\varnothing$なるものがあれば明らか. 以下$S_{i,0}\neq \varnothing$とする.
このとき,
$T^{k}_i=\begin{cases} A_{k}\setminus S_{k} & (i=k)\\ A_i & (i\neq k)\end{cases}$とおくと
$k\in n$について
$\prod_{i\in n} T_i^{k}\subseteq \prod _{i\in n}A_i\setminus\prod_{i\in n}S_{i,0}\subseteq \bigcup_{1\leq j\in n}\prod_{i\in n} S_{i,j} $
特に, $\prod_{i\in n\setminus\set{k}} A_i= \bigcup_{1\leq j\in n}\prod_{i\in n\setminus\set{k}} S_{i,j} $.
ここで$(x_i)_{i\in n}\in \prod_{i\in n} A_i$を任意にとる.
任意の$k\in n$に対しある$j\in n\setminus\set{0}$が存在して
$(x_i)_{i\in n\setminus\set{k}}\in \prod_{i\in n\setminus\set{k}} S_{i,j_k}$となる.
写像$k\mapsto j_k$は単射ではないので, ある$k,k'(k\neq k')$が存在して$j_k=j_{k'}$.
このとき, $i\in n\setminus\set{k}$について$x_i\in S_{i,j_k}$であって,
$j_k\in n\setminus\set{k'}$から$x_{j_k}\in S_{i,j_{k'}}=S_{i,j_{k}}$
よって$(x_i)_i\in \prod_{i\in n}S_{i,j_k}$
したがって, $\bigcup_{j\in n\setminus\set{0}}\left(\prod_{i=0}^{n-1} S_{i,j}\right)=\prod_{i=0}^{n-1}A_i$
次の命題が選択公理と同値になる.
位相空間の族$\set{X_i}_{i\in I}$及び, その部分集合の族$\set{A_i}_{i\in I}(\forall i\in I, A_i\subseteq X_i)$について,
$\Cl(\prod_{i\in I} A_i)=\prod_{i\in I} \Cl(A_i)$
ネットの収束
位相空間を扱う上でよくでてくる「ネット」について導入する.
以下, この節では特に断らない限り台集合を$X$とする.
有向集合(任意の二元に上界がある空でない(前)順序集合)で添え字付けられた点の族を有向点族あるいはネットという.
有向集合$I,J$について, 写像$f:J\to I$が共終(cofinal)であるとは,
$\forall i\in I, \exists j_0\in J, \forall j\geq j_0, f(j)\geq i$
を満たすことをいう.
ネット$(u_i)_{i\in I}$について, ある共終な関数$f:J\to I$を用いて$(u_{f(j)})_{j\in J}$と表せるネットを$(u_i)_{i\in I}$の部分ネットという.
ネット$(u_i)_{i\in I}$について
$\Cl(u):=\bigcap_{i\in I}\Cl(\set{u_{i'}\mid i'\geq i})$の元を集積点という.
$\Cl(u)$を添え字を明確にするために$\Cl(u_i)_{i\in I}$とも表す.
この記事では, 集積点全体$\Cl(u)$を集積地と呼ぶ.
ネット$u=(u_i)_{i\in I}$について, その任意の部分ネットが$x$を集積点にもつとき,$u\to x$のように表す.
$u\to x$を添え字を明確にするために$u_i\to_i x$とも表す.
この記事では, $\mathrm{Con}(u):=\set{x\mid u\to x}$とし, これを収束先と呼ぶ.
集積点の定義式における左式の$\Cl$は"cluster point"の"cl"であり, 右式は"closure"の"cl"である.
表記的に面白いことに $\Cl(\Cl(u))=\Cl(u)$が成り立つ. (命題1の系)
また, $\mathrm{Con}(u)=\bigcap\set{\Cl(u\circ f)\subset X\mid f:J\to I, f:\mathrm{cofinal}}$であるからこれも閉.
（※右辺は置換公理風ではなく分出公理風によって正当化されるため, 命題1を用いるには改めて添え字付ける必要がある.）
ネットに関する基本的な命題を証明しよう
共終な写像$f:J\to I, g: K\to J$の合成$f\circ g: K\to I$は共終.
$i\in I$を任意にとる.
$f$が共終であるから, ある$j_0\in J$が存在して$j\geq j_0$なら$f(j)\geq i$
$g$が共終であるから, ある$k_0\in K$が存在して$k\geq k_0$なら$g(k)\geq j$
このとき, $k\geq k_0$なら$f(g(k))\geq i$. よって$f\circ g$は共終.
$\square$
系として, $u$の部分ネットの部分ネットはまた$u$の部分ネットである.
そして, $x$に収束するネットの部分ネットはまた$x$に収束する.
$(u_i)_{i\in I}$をネット, $f: J\to I$を共終とすると,
$\Cl(u\circ f)\subseteq \Cl(u)$
$\Cl(u\circ f)=\bigcap_{j\in J}\set{u_{f(j')}\mid j'\geq j}$
$\subseteq \bigcap_{i\in I}\set{u_{f(j)}\mid f(j)\geq i}$
$\subseteq \bigcap_{i\in I}\set{u_{i'}\mid i'\geq i}$
$=\Cl(u)$
$\square$
任意のネット$(u_i)_{i\in I}$および$x\in \Cl(u)$に対して,
$x$に収束する$u$の部分ネットが存在する.
$N:=\set{(i,\Cl(A))\mid i\in I,~ A\subseteq X,~ x,u_i\notin A}$とおき,
$(i,F)\leq (i',F'):\Iff i\leq i'\land F\subseteq F'$とする.
このとき任意の$i\in I,F=\Cl(F)\subseteq X\setminus\set{x}$について$x\in\Cl(\set{u_{i'}\mid i'\geq i})$から$\Cl(\set{u_{i'}\mid i'\geq i})\not\subseteq F=\Cl(F)$, つまり$\set{u_{i'}\mid i'\geq i}\not\subseteq F$.
$$\therefore \forall i\in I, \exists i'\geq i,(i',F)\in N \tag{1}\label{cofin}$$
特に$N\neq\varnothing$.
$(i_0,F_0),(i_1,F_1)\in N$をとると, $I$の有向性から$i_0,i_1\leq i$なる$i$が存在して, \eqref{cofin}より$i'\geq i$で$u_{i'}\notin F\cup F'$というものがとれる. このとき$(i,F\cup F')\in N$は二元の上界である.
よって$N$は有向集合.
また\eqref{cofin}より射影$\pi: N\to I,(i,F)\to i$は共終.
共終な写像$g: J\to N$を任意にとる.
$x\notin\Cl(u\circ \pi \circ g)$とすると, 特にある$j_0\in J$について$F_0=\Cl(\set{u_{\pi\circ g(j')}\mid j'\geq j})$としたとき$x\notin F_0$
よって\eqref{cofin}よりある$i\in I$が存在して$(i,F_0)\in N$
$g$の共終性からある$j_1$が存在し$j'\geq j_1\RRR g(j')\geq (i,F_0)$
$J$の有向性から$j_2\geq j_0,j_1$なる$j_2$をとると,
$\set{u_{\pi\circ g(j')}\mid j'\geq j_2}\cup F_0=\varnothing$だが$\set{u_{\pi\circ g(j')}\mid j'\geq j_2}\subseteq \set{u_{\pi\circ g(j')}\mid j'\geq j_0} \subseteq F_0$と矛盾
よって$u\circ \pi$は, 任意の部分ネットは$x$を集積点にもつので, $x$に収束する.
$\square$
$I$を有向集合,$\set{J_i}_{i\in I}$を有向集合の族とする.
族$(v_{i,j})_{(i,j)\in \coprod_{i\in I}J_i},~(u_i)_{i\in I}$について,
各$i\in I$に対し$u_i\in \Cl(v_{i,j})_{j\in J_i}$のとき,
$\coprod_{i\in I}J_i$の($I$優先の)辞書式順序について,
$\Cl(u)\subseteq\Cl(v)$
$\Cl(u)=\bigcap_{i\in I}\set{u_{i'}\mid i'\geq i}$
$\subseteq \bigcap_{i\in I} \bigcup_{i'\geq i} \Cl(v_{i',j})_{j\in J}$
$= \bigcap_{i\in I} \bigcup_{i'\geq i} \bigcap_{j\in J_{i'}} \set{v_{i',j'}\mid j'\geq j}$
$\subseteq \bigcap_{i\in I} \bigcap_{j\in J_i}\set{v_{i',j'}\mid i'\geq i\land (i=i'\RR j'\geq j)}$
$=\Cl(v)$
その他のネットに関する命題を問題という形で残しておく.
任意の$A\subseteq X$について$\Cl(A)=\Cl(u)$となるネット$u$が存在する.
$X,Y$を位相空間とする. 写像$f: X\to Y$について以下は同値.
- $f$は連続
- 任意のネット$u$について, $f(\Cl(u))\subseteq \Cl(f\circ u)$
- 任意のネット$u$について, $f(\mathrm{Con}(u))\subseteq \mathrm{Con}(f\circ u)$
$X$を位相空間$\set{Y_i}_{i\in I}$を位相空間の族とし, $X$の位相は写像の族$\set{f_i:X\to Y_i}_{i\in I}$による始位相と一致するとする.
このとき, 任意のネット$u$について,
$u\to x\iff \forall i\in I, f_i\circ u\to f_i(x)$.任意のネット$(u_i)_{i\in I}$について, この部分ネットの集積地全体は和集合に閉じている.
また, 部分ネットの収束先全体は交叉について閉じている.
(ヒント:$J\to I,K\to I$に対し$J\times K\times\mathbb{N}\to I$を考える.)ネット$u$が少なくとも一つの値に収束するとき,
$A\subseteq \Cl(u)$について,
$\Cl(A)=\Cl(u)\lor\Cl (\Cl(u)\setminus A)=\Cl(u)$.$(\varnothing\neq)~C\subseteq X$が,
任意の$A\subseteq X$について
$\Cl(A)=\Cl(C)\lor\Cl (C\setminus A)=\Cl(C)$
をみたすとき,
$\mathrm{Con}(u)=\Cl(C)$となるネットが存在する.
分離公理, コンパクトなど
位相空間の性質をいくつか定義する
位相空間$(X,\Cl)$が
- $T_0$であるとは,
$x,y\in\Cl(\set{x})\cap\Cl(\set{y})\RR x=y$
をみたすことをいう. - $T_1$であるとは,
$\Cl(\set{x})=\set{x}$
をみたすことをいう. - $T_2$(ハウスドルフ, Hdf)であるとは,
$(\forall A\subseteq X, (x,y)\in \Cl(A)^2\cup\Cl(X\setminus A)^2)\RR x=y$
をみたすことをいう. - soberであるとは,
$(\forall B\subseteq A, \Cl(B)=\Cl(A)\lor \Cl(A\setminus B)=\Cl(A))\RR\exists x\in X,\Cl(A)=\Cl(x)$
をみたすことをいう.
位相空間$(X,\Cl)$が
- 連結であるとは,
$\forall A\subseteq X, \Cl(A)\cap\Cl(X\setminus A)=\varnothing \RR A\in\set{\varnothing, X}$
をみたすことをいう. - 既約(irreducible,hyperconnected)であるとは,
$\forall A\subseteq X, \Cl(A)=X\lor \Cl(X\setminus A)=X$
をみたすことをいう. - hyperconnectedであるとは,
$\forall A,B\subseteq X, \Cl(A)\cap\Cl(B)=X\RR \varnothing \in \set{A,B}$
をみたすことをいう.
位相空間$X$に対し, $A\subseteq X$が稠密であるとは,
$\Cl(A)=X$が成り立つことをいう.
位相空間$X$の任意の閉集合の族$\mathcal{F}$が$\cap$で閉じ$\varnothing$を要素にもたないなら$\bigcap \mathcal{F}\neq\varnothing$
というとき, $X$はコンパクトであるという.
次の命題はまた選択公理と同値であるとして有名である.
(できれば選択公理を避けて命題8を使いたかったが, 本質的に避けるのは難しいと感じた.)
任意のコンパクトな位相空間の族$(X_i)_{i\in I}$について, 直積空間$X=\prod_{i\in I}X_i$はコンパクト.
$\mathcal{F}$を$\varnothing$を含まない, $\cap$で閉じた$X$の閉集合の族とする.
$F\in \mathcal{F}$に対し,
$F=\bigcap\set{\bigcup_{(A_i)_i\in\mathcal{A}}\prod_{i\in I}\Cl(A_i)\mid |\mathcal{A}|<\infty,\forall i\in I,\bigcup_{(A_i)_i\in\mathcal{A}}\Cl(A_i)=\pi_i(A)}$
であって$\bigcap F$はこれらの共通部分であるから
結局$\mathcal{F}$が$\bigcup_{(A_i)_i\in\mathcal{A}}\prod_{i\in I}\Cl(A_i)~(|\mathcal{A}|<\infty)$の形の元からなる場合に$\bigcap F\neq \varnothing$を示せばいい.
$\mathcal{A}$として取りうる集合全体を$\Lambda$とおく.
(すなわち, $\Lambda:=\set{\mathcal{A}\in\mathcal{P}(X)\mid |\mathcal{A}|<\infty, \bigcup_{(A_i)_i\in\mathcal{A}}\prod_{i\in I}\Cl(A_i)\in \mathcal{F}}$)
ここで$\mathcal{F}$を含む超フィルター$U$をひとつとる.
このとき, 各$\mathcal{A}\in\Lambda$についてある$(A_i)_i\in\mathcal{A}$が存在して$\prod_{i\in I}\Cl(A_i)\in U$
そのような$(A_i)_i\in \mathcal{A}$を選択する関数を$f$とおくと、
$\bigcap\mathcal{F}$
$=\bigcap_{\mathcal{A}\in \Lambda}\bigcup_{(A_i)_i\in\mathcal{A}}\prod_{i\in I}\Cl(A_i)$
$\supseteq \bigcap_{\mathcal{A}\in \Lambda}\prod_{i\in I}\Cl(f(\mathcal{A})_i)$
$= \prod_{i\in I}\bigcap_{\mathcal{A}\in \Lambda}\Cl(f(\mathcal{A})_i)\neq \varnothing$
(各$X_i$のコンパクト性より)
よって$X$はコンパクト.
おわりに
ここまで読んでいただきありがとうございました！
どうでしたでしょうか？なにか新しい発想や考え方が共有されたなら幸いです.
比較的長い間温めていたので, ミスや指摘, 思いついたことなどがあれば教えてください！
それではまた.
