【Notationなど】
Skyrme模型の基礎
において、
がバリオン荷(=バリオンの粒子数)であると述べました。しかしその根拠はなんでしょうか。Skyrmeは1961年のその論文の中で既に
そのために、本記事ではメソンの低エネルギー有効理論である非線形シグマ模型(NLσ模型)においてアノマリーを実現する項 −Wess-Zumino-Witten項−(WZW項) を導出します。次の記事でWZW項をゲージ化することで、バリオンカレントを導きます。
Skyrme模型はNLσ模型にSkyrme項を加えたものであり、以下の議論は全てSkyrme模型でも成立します。また前回はSU(2)の模型を考えましたが、本記事と次の記事ではSU(3)の場合を考えます。
本記事はRef.[2]に基づいています(というかこの論文の日本語訳に近いです。文責はもちろん本記事筆者にあります)。またこの論文はSkyrme模型のreview論文であり、以下の議論は主にE.Wittenの論文Ref.[3]に基づいています。
NLσ模型とは以下のLagrangianで記述される理論です:
ここで
を加えたものです。この項によりSkyrme模型には安定なソリトン解が存在します。NLσ模型は強い相互作用の基礎理論であるQCDの低エネルギー有効理論であり、特にSkyrme模型は核子を中間子のソリトンとして記述する興味深い模型です(
Skyrme模型の基礎
参照)。
NLσ模型にはQCDに存在しない離散対称性が存在します。それは
の2つの対称性です。一方QCDは、1.と2.のコンビネーションである対称性:
で破れます。逆に言えば、現実に存在するこれらの過程は上記対称性を破らないとNLσ模型に取り入れられません。このような過程はQCDでは量子アノマリーにより起こります。よって、上記離散対称性を破りこれらの過程を取り入れることは、NLσ模型にアノマリーの効果を取り入れることに相当します。
Wittenはこの効果を取り入れるため、NLσ模型において
(a) Lorentz対称性を保つ
(b)
(c) 1.2.それぞれは破れているが、両者を同時に施す対称性は保持する
を満たすようなEoMを構築することを考えました。そのようなEoMを実現するには、
をEoMに導入すればよいです。実際この項を取り入れたEoM
において(第1項はNLσ模型の最低次の項)
となります。更に
のように元に戻ります。ということで、このEoMは確かにWittenの提唱どおりの性質を持ちます。
問題はこの項を導く作用が簡単には作れないことです。上記の項を導くには、Lagrangianに
を加えればよいように思えます。しかし
EoMに
によって記述されます。
この解決法はよく知られています。詳しいことは省きますが、作用に
を加えればよいです。ここで
を満たす必要があります。これはDirac quantizationの条件
この例より、Eq.(2)の作用のNLσ模型における対応物を構成すれば、望むEoMを実現できます。
以下NLσ模型を4次元Euclid空間において考えます。時間方向を
このようなセットアップのもとで、モノポールの場合の
を定義して、
一方map
モノポールの作用は、
となり、トポロジカルな不変量が存在します。
De-Rhamの定理によれば、トポロジカルに不変なclosed 5-form
です。
と書けます。
よってPoincare lemmaから
モノポールの場合に習うと、上記したWittenの条件(a)-(c)を満たす作用は
となります。
以上から、QCDの離散対称性を持つNLσ模型は
となります。そして
となり、望むEoMが得られます。Wittenは
モノポールの場合と同様、
ここで2行目の左辺は
より、
となります。これを用いて
を得ます。この式は5次元の座標による表式ですが、境界は通常の時空なので、4次元の座標で書けば
となります。この項は5つの擬スカラー中間子を含むアノマリーによる反応過程、例えば
改めてWZW項は以下のようになります:
非線形シグマ模型(NLσ模型)には存在するがQCDには存在しない離散対称性を破るために、Wess-Zumino-Witten項(WZW項)を導入しました。この対称性を破る作用は単純に考えると消えてしまいます。そこで磁気モノポールが単位球の中心に存在する際の球面上を動く電子を参考にして、そのような項 −WZW項− を構成しました。NLσ模型に存在する余分な離散対称性を破る効果は、QCDでは量子アノマリーによってもたらされます。よってWZW項はNLσ模型に量子アノマリーを導入する効果を持ちます。実際低エネルギー極限におけるアノマリーによる擬スカラー中間子の結合項を完全に書き下すことができます。
ここで紹介した方法はRef.[3]に基づくものです。発見法的であり、またトポロジカルな側面が強調されている方法かと思います。一方、アノマリーに直接則した方法でWZW項を導くことも可能です。WessとZuminoはRef.[4]において、アノマリーに関する積分可能条件(現在ではWess-Zumino条件とも呼ばれます)からこの項を導いています。
次の記事では、WZW項をゲージ化することで、U(1)ゲージ場とWZW項との相互作用を記述するWZW項を導きます。この計算からバリオンカレントを導き、冒頭で示した
おしまい。