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ライプニッツ級数を加速させよ

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$ \beginend{array}{l N\ge1 \\ \beginend{aligned}{ \frac\pi4 &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{2n+1} + \frac{(-1)^N}2\Kfrac_{n=0}^\infty \frac{\delta_{n,0}+n^2}{2N} \\&= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{2n+1} + \cfrac{\lr.{(-1)^N}/2} {2N+\cfrac{1^2} {2N+\cfrac{2^2} {2N+\cfrac{3^2} {2N+\ddots}}}} } \\ N\ge0 \\ \beginend{aligned}{ \ln2 &= \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n-1}}n + (-1)^N\Kfrac_{n=0}^\infty \frac{\delta_{n,0}+n^2}{2N+1} \\&= \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n-1}}n + \cfrac{(-1)^N} {2N+1+\cfrac{1^2} {2N+1+\cfrac{2^2} {2N+1+\cfrac{3^2} {2N+1+\ddots}}}} }}$

定義


$\delta_{a,b}$	クロネッカーのデルタ
$\displaystyle \sum_{n=0}^{-1} f(n)$	$\coloneqq 0$ 空和
$\displaystyle \Kfrac_{n=0}^\infty \frac{a_n}{b_n}$	連分数
$B_n(z),E_n(z)$	ベルヌーイ多項式、オイラー多項式

一般的な式

以前書いた『ゼータ関数を加速させよ』でこのような式を導出しました。（簡略化しています。）
$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{z+n} = \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{z+n} + (-1)^N\sum_{n=0}^\infty E_{2n}\cdot(2z+2N-1)^{-2n-1}$
右辺の2つ目の級数は発散級数で、$N$を大きくし分母を大きくした上で
適切な項数の部分和をとることにより一つ目の部分和の誤差が打ち消されるというものです。
今回判明したのはこの発散級数が連分数展開できるということです。
数値計算によればこの連分数は恐らく収束します。
$N$を大きくしていくことで連分数の収束は急速に速まるため、
数値計算に有用です。
$\displaystyle 4\qty(\frac11-\frac13+\cdots-\frac1{15} + \cfrac{\frac12} {16+\cfrac{1^2} {16+\cfrac{2^2} {\phantom{16+{}}\cfrac{\small\ddots} {16+\cfrac{6^2} {16}}}}}) = 3.141592653\bscolor{secondary}60\cdots$

$N\ge0$
$\beginend{align}{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{z+n} &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{z+n} + \frac{(-1)^N}2\Kfrac_{n=0}^\infty \frac{\delta_{n,0}+n^2}{2z+2N-1} \\&= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n}{z+n} + \cfrac{(-1)^N} {2z+2N-1+\cfrac{1^2} {2z+2N-1+\cfrac{2^2} {2z+2N-1+\cfrac{3^2} {2z+2N-1+\scriptsize\ddots}}}} }$

オイラーの定数

先程の式の左辺$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{z+n}$は$ \dfrac12\qty(\psi\fqty(\dfrac{z+1}2)-\psi\fqty(\dfrac z2))$と等しく、
ディガンマ関数が出現しますが、打ち消し合うためここからオイラーの定数$\gamma$を導くことはできません。
『ゼータ関数を加速させよ』で導いた式により、ディガンマ関数は次のように表されます。
$\displaystyle \psi(z) = \ln(z-a+N) - \sum_{n=0}^{N-1} \frac1{z+n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}B_n(a)}n(z-a+N)^{-n}$
よって、$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{B_n(a)}nz^n$を連分数展開できればオイラーの定数を効率的に求めることができそうです。
また、別のアプローチとして指数積分とガウスの連分数の${}_2F_0$への一般化を用いる方法があります。

$ \beginend{align}{ x&>0\ ? \\ \gamma &= -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{n\cdot n!} - \ln x - \cfrac{e^{-x}} {x+\cfrac1 {1+\cfrac1 {x+\cfrac2 {1+\cfrac2 {x+\cfrac3 {1+\cfrac3 {x+\scriptsize\ddots}}}}}}} \\&= -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{n\cdot n!} - \ln x - e^{-x}\Kfrac_{n=0}^\infty \frac{\delta_{n,0}-n^2}{2n+1+x} \\&= -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{n\cdot n!} - \ln x - \cfrac{e^{-x}} {1+x-\cfrac{1^2} {3+x-\cfrac{2^2} {5+x-\cfrac{3^2} {7+x-\ddots}}}} }$

1つ目の連分数からの式変形により2つ目の連分数が得られます。
$x$を大きくすれば連分数は速くなりますがその分級数が遅くなります。