以前書いた『
ゼータ関数を加速させよ
』でこのような式を導出しました。
右辺の2つ目の級数は発散級数で、
適切な項数の部分和をとることにより一つ目の部分和の誤差が打ち消されるというものです。
この発散級数は
連分数展開
できます。
数値計算によればこの連分数は恐らく収束します。
数値計算に有用です。
先程の式の左辺
ディガンマ関数が出現しますが、打ち消し合うためここからオイラーの定数
『ゼータ関数を加速させよ』で導いた式により、ディガンマ関数は次のように表されます。
よって、
また、別のアプローチとして
指数積分
と
ガウスの連分数
の
1つ目の連分数からの
式変形
により2つ目の連分数が得られます。