群の公理を１式で（随時更新）

群論,小ネタ,計算グラフ

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はじめに

群の公理を一式で表現したものを写像なしで証明する試みです。
眠いので未完成ですが随時更新しようと思います。

参考

内容は九割九分[1]によります（というかだいたいこの人の影響が大きいです）。それでも一分に主を主張します。グラフは五割くらい[2]の計算グラフを参考にしました。

群

$w(((y^{-1}(w^{-1}x))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}=x$
この命題について
全て明示的する場合$\phi(x,y,z,w)$
省略する場合$\phi(x)$
と置きます

ただの積を黒丸、積をして反転(${}^{-1}$)する場合白丸で表します
$$\xymatrix@=6pt{ w \ar[rrrrrrdddddd]\\ y^{-1} \ar[rrdd]& \\ w^{-1} \ar[rd]\\ x \ar[r] & \bullet \ar[r] & \circ\ar[rd]\\ z\ar[rrr] & & & \bullet\ar[rrdd]\\ y \ar[rd]\\ z \ar[r]& \circ \ar[rrrr] & & & &\circ \ar[r] & \bullet\ar@{=}[r] & x }$$

$w^{-1}\circ -$の逆

$w(((y^{-1}x)^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}=(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}x))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}$

$\phi(x,y,z,w^{-1})$
$\phi[(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}x))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}]$
を用いる

$w(((y^{-1}x)^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}$
$=w(((y^{-1}(w^{-1}(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}x))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}$
$=(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}x))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}$

第1式
$$\xymatrix@=6pt{ w \ar[rrrrrddddd]\\ y^{-1} \ar[rd]& \\ x \ar[r] & \circ\ar[rd]\\ z\ar[rr] & & \bullet\ar[rrdd]\\ y \ar[rd]\\ z \ar[r]& \circ \ar[rrr] & & &\circ \ar[r] & \bullet }$$

第2式
$$\xymatrix@=6pt{ & & & & & & w \ar[rrrrrddddddddddd]\\ & & & & & & y^{-1} \ar[rddddddd]& \\ w^{-1} \ar[rrrrrrdddddd]\\ y^{-1} \ar[rrdd]& \\ (w^{-1})^{-1} \ar[rd]\\ x \ar[r] & \bullet \ar[r] & \circ\ar[rd]\\ z\ar[rrr] & & & \bullet\ar[rrdd]\\ y \ar[rd]\\ z \ar[r]& \circ \ar[rrrr] & & & &\circ \ar[r] &\bullet \ar[r] & \circ\ar[rd]\\ & & & & & & z\ar[rr] & & \bullet\ar[rrdd]\\ & & & & & & y \ar[rd]\\ & & & & & & z \ar[r]& \circ \ar[rrr] & & &\circ \ar[r] & \bullet\\ }$$
つまり
$$\xymatrix@=6pt{ & & & & & w \ar[rrrrrrddddddddddd]\\ & & & & & y^{-1} \ar[rrddddddd]& \\ & & & & & w^{-1} \ar[rdddddd]\\ y^{-1} \ar[rrdd]& \\ (w^{-1})^{-1} \ar[rd]\\ x \ar[r] & \bullet \ar[r] & \circ\ar[rd]\\ z\ar[rrr] & & & \bullet\ar[rrdd]\\ y \ar[rd]\\ z \ar[r]& \circ \ar[rrrr] & & & &\circ \ar[r] &\bullet \ar[r] & \circ\ar[rd]\\ & & & & & z\ar[rrr] & & & \bullet\ar[rrdd]\\ & & & & & y \ar[rrd]\\ & & & & & z \ar[rr]& & \circ \ar[rrr] & & &\circ \ar[r] & \bullet\\ }$$

第3式
$$\xymatrix@=6pt{ y^{-1} \ar[rrdd]& \\ (w^{-1})^{-1} \ar[rd]\\ x \ar[r] & \bullet \ar[r] & \circ\ar[rd]\\ z\ar[rrr] & & & \bullet\ar[rrdd]\\ y \ar[rd]\\ z \ar[r]& \circ \ar[rrrr] & & & &\circ\\ }$$

$-^{-1}$の逆

$x$
$=y^{-1}((w^{-1})^{-1}(w^{-1}((x^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}))$
$=(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}(w^{-1}x)))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}$

図は作成中

補題1から
$w^{-1}(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}x))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}=x$

$(w^{-1})^{-1}(w^{-1}(((y^{-1}x)^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1})=x$

$y^{-1}((w^{-1})^{-1}(w^{-1}((x^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}))=x$
同様に
$w^{-1}(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}x))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}=x$

$(((y^{-1}((w^{-1})^{-1}(w^{-1}x)))^{-1}z)(yz)^{-1})^{-1}=x$

第1式
$$ \xymatrix@=6pt{ &y^{-1} \ar[rrrrrrdddddd]\\ &y^{-1} \ar[rrdd]& \\ &(y^{-1})^{-1} \ar[rd]\\ x \quad =&x \ar[r] & \bullet \ar[r] & \circ\ar[rd] \\ &z\ar[rrr] & & & \bullet\ar[rrdd]\\ &y \ar[rd]\\ &z \ar[r]& \circ \ar[rrrr] & & & &\circ \ar[r] & \bullet }$$