群の公理を１式で（随時更新）

群論,小ネタ,計算グラフ

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はじめに

群の公理を一式で表現したものを写像なしで証明する試みです。
眠いので未完成ですが随時更新しようと思います。

参考

内容は九割九分[1]によります（というかだいたいこの人の影響が大きいです）。それでも一分に主を主張します。グラフは五割くらい[2]の計算グラフを参考にしました。

群

$w (((y^{- 1} (w^{- 1} x))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1} = x$
この命題について
全て明示的する場合 $ϕ (x, y, z, w)$
省略する場合 $ϕ (x)$
と置きます

ただの積を黒丸、積をして反転( $^{- 1}$ )する場合白丸で表します
$w y^{- 1} w^{- 1} x ∙ \circ z ∙ y z \circ \circ ∙ x$

w^{- 1} \circ -

の逆

$w (((y^{- 1} x)^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1} = (((y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} x))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}$

$ϕ (x, y, z, w^{- 1})$
$ϕ [(((y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} x))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}]$
を用いる

$w (((y^{- 1} x)^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}$
$= w (((y^{- 1} (w^{- 1} (((y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} x))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}$
$= (((y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} x))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}$

第1式
$w y^{- 1} x \circ z ∙ y z \circ \circ ∙$

第2式
$w y^{- 1} w^{- 1} y^{- 1} (w^{- 1})^{- 1} x ∙ \circ z ∙ y z \circ \circ ∙ \circ z ∙ y z \circ \circ ∙$
つまり
$w y^{- 1} w^{- 1} y^{- 1} (w^{- 1})^{- 1} x ∙ \circ z ∙ y z \circ \circ ∙ \circ z ∙ y z \circ \circ ∙$

第3式
$y^{- 1} (w^{- 1})^{- 1} x ∙ \circ z ∙ y z \circ \circ$

-^{- 1}

の逆

$x$
$= y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} (w^{- 1} ((x^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}))$
$= (((y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} (w^{- 1} x)))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}$

図は作成中

補題1から
$w^{- 1} (((y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} x))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1} = x$

$(w^{- 1})^{- 1} (w^{- 1} (((y^{- 1} x)^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1}) = x$

$y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} (w^{- 1} ((x^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1})) = x$
同様に
$w^{- 1} (((y^{- 1} ((w^{- 1})^{- 1} x))^{- 1} z) (y z)^{- 1})^{- 1} = x$