18
大学数学基礎解説
文献あり

準同型定理を図いっぱいで理解しよう!(後編)

588
0
$$$$

どうも

 こんにちは ごててんという者です いつか書こうと思っていた記事をようやく書き終えました(※2年くらい逃げてました)

 この記事シリーズ(全2回)では、群論の重要な定理「準同型定理」を説明します。結構しっかり書いた記事ですので、そんなに気軽に読めない記事かもしれません!
 後編(この記事です)では「準同型」「準同型定理」について説明します。いよいよ本番です。

 前編は→ https://mathlog.info/articles/sTacgC5iT24V4aWjLhiu

準同型について

 準同型の説明です。無茶苦茶雑なことを書くと、群と群の間のいいかんじの写像のことです。定義を見ましょう。

準同型写像

 $G_1,G_2$を群, $\phi:G_1 \rightarrow G_2$を写像とする. このとき, 任意の$G$の元$x,y$について $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$が成立するとき, $\phi$準同型であるという.

 線形代数や微積分をやっていて、たびたび「代数的に」いい感じの写像に出会ってきたと思います。これはそれらを包括しています。

 例をいっぱい出します!

微分は準同型写像

 開区間$I=(0,1)$上の$C^{\infty}$級関数全体を$C$とします。また$f,g \in C, x \in (0,1)$とするとき、その和$f+g$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$で定めます。するとこれは$f+g \in C$で、この演算で$C$は群となります。
 このとき、微分を行う写像 $\frac{d}{dx}:C \rightarrow C ;$ $ f \mapsto f'$は準同型となります。
$\frac{d}{dx}(f+g)=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}$

exp

 $\mathbb{R}_>=\{r\in \mathbb{R} | r > 0 \}$とします。指数関数 $\exp : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_>$は準同型写像です。
 $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$が成立していますね。定義域では「和」が群の演算、値域では「積」が群の演算になっていることに注意してください。

行列式

 正則行列の行列式を求める写像$\det:\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}$は準同型写像となります。

 結構ビッグネーム(?)が出てきますね。準同型はそれくらい広い概念です。一応触れておきますが、「線形写像」も準同型の例です。

準同型の基礎知識

 準同型の、すぐわかる性質を述べておきます。

 $\phi:G_1\rightarrow G_2$を準同型とすると、$\phi$は単位元は送っても単位元です。$\phi$は逆元を送っても逆元です。ちゃんとした主張は画像で済ましちゃいますね。
演算の構造をある程度保ってくれる 演算の構造をある程度保ってくれる

同型

 さて、群論でキモとなる概念である「同型」について説明します。

同型の定義

 $G_1,G_2$を群, $\phi:G_1 \rightarrow G_2$を写像とする. このとき$\phi$同型であるとは, $\phi$が逆写像を持ち, $\phi$$\phi^{-1}$も準同型であることである. また2つの群の間に同型が存在すること$G_1 \cong G_2$で表す。

 「同型」は...... まあ群と群の間に同型があったらその2つの群は同じとみなします。そのくらいの認識でいいと思います。より正確に言えば、$G_1 \cong G_2$としたとき、$G_1$が◯◯なら$G_2$も◯◯になる」というような◯◯が群論で扱われる性質...... という感じです。例えば◯◯には「巡回群」とか「可換群」とかが入ります。

 同型という概念自体は重要ですが、別に話すことがあるかというと別に無い、という感じです。群論の範疇で 対象が「同じ」とはなにか を規定するのが同型の概念、という認識で問題ありません。

同型の例

 例ですが、準同型定理を説明する中で色々証明します。ですので、ここでは控えめに例を紹介しようと思います。

内部自己同型

 そうなってほしいと思いますので当然といえば当然ですが、群$G$は自分自身と同型です。$G \cong G$です。しかし、同型の作り方は工夫することができますし、しないこともできます。
 例えば恒等写像$\mathrm{id}_G:G \rightarrow G$が同型です。それとは別に内部自己同型というものがあります。それは、$G$の元$g$を固定して、写像の対応$x\mapsto gxg^{-1}$を考えるというものです。これも同型写像です。どうしてこれが同型になるかは、練習で示してみてください。

3次対称群の部分群

 $S_3$の部分群として、$(123)$で生成される部分群$H=\{1,(123),(132)\}$を考えます。これは$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$と同型になります。なんか、そんな気がしますね(?)

 このくらいにしておきましょう。

準同型の核(超重要)

 準同型定理を理解するために一番大事なのが$\mathrm{Ker}(\phi)$と書かれる、準同型の「核(Kernel)」です。これが...... 本当に大事です。 まずは定義をします。

核(ついでに像)

 $G_1,G_2$を群, $\phi:G_1 \rightarrow G_2$を準同型とする. このとき, 準同型の$\mathrm{Ker}(\phi)$と像$\mathrm{Im}(\phi)$を次で定義する.($G_2$の単位元を$1$とする.)

$\mathrm{Ker}(\phi) = \{$$x\in G_1$$|$$\phi(x)=1$$\}$ $(=\phi^{-1}(1))$.
$\mathrm{Im}(\phi) = \{$$\phi(x) \in G_2$$|$$x\in G_1$$\}$ $(=\phi(G_1))$.

核は正規部分群

 $G_1,G_2$を群, $\phi:G_1 \rightarrow G_2$を準同型とする.
 このとき$\mathrm{Ker}(\phi)$$G_1$正規部分群となる. また, $\mathrm{Im}(\phi)$$G_2$の部分群となる.

 この命題は大事です。(証明は省略します。)
 前編を思い出してみてください。(読んでない人は別に大丈夫です。)「$G/H$$H$が正規部分群なら演算が$(xH)(yH)=xyH$で定まり剰余群となる。」のでした。いま、$\mathrm{Ker}(\phi)$という、結構カノニカルな正規部分群が得られました。......これで剰余群を考えたら何か起きてくれそうですよね? それが準同型定理に繋がります。

アイキャッチ アイキャッチ

この記事の主定理

 さて、この記事のキーとなる定理が次になります。この定理は超大事だぞ!!!!!!!!!!!!!と言うためにここまで5,000文字打ったと言っても過言ではありません。

単射と$\mathrm{Ker}(\phi)$

 $G_1,G_2$を群, $\phi:G_1 \rightarrow G_2$を準同型とする. このとき, 次は同値.
(1) $\phi$単射である.
(2) $\mathrm{Ker}(\phi)=\{1\}$. ($1$$G_1$の単位元を表すとする.)

 これがたいへんに準同型定理を理解するための助けになります。
 この定理は「単射」と「$\mathrm{Ker}(\phi)=\{1\}$」を結びつけるものですが、これをもう少し深読みしてみましょう。
 物事というのは往々にしてグラデーションです。「数学が好き」というのも度合いがありますよね。「親しみやすい数学の雑学はちょっと楽しめる」から「数学者になる以外の人生が想像つかない」など、色々あります。さて、「単射」という言葉ですが、これは「極端」ですよね。

「単射」は極端な性質

 例えばですが、次のような3つの写像を考えてみましょう。

$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ $;$ $ f(x)=\abs{x} $. 絶対値を取る写像
$g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ $;$ $ g(0)=0 $ or $ g(x)=x/\abs{x}$ $(x\ne0) $. 符号を得る写像
$h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ $;$ $ h(x)=1 $. すべて$1$に送る写像

 これらはすべて単射ではありませんが、「単射っぽさ」を考えたら $f>g>h$ という気がしませんでしょうか。

 単射というのは、「行き先のかぶらなさ」が一番大きい場合のことです。そして、準同型における$\mathrm{Ker(\phi)}$というのは、「準同型写像の行き先がどれだけ被っているか」を表します。上の定理で言えば、「単射」という、いちばん行き先が被らない状況に$\mathrm{Ker(\phi)}$が一元集合」という事実が対応しているということです。

核の小ささと単射っぽさが対応 核の小ささと単射っぽさが対応

像についても触れる

 $\mathrm{Im}(\phi)$も単射かどうかを表す側面があります。また次の3つの写像を見てみましょう。

$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ $;$ $ f(x)=\abs{x} $. 絶対値を取る写像
$g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ $;$ $ g(0)=0 $ or $ g(x)=x/\abs{x}$ $(x\ne0) $. 符号を得る写像
$h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ $;$ $ h(x)=1 $. すべて$1$に送る写像

 上の方が「単射っぽい」ですが、「像が大きい」というのがありますね。

 「$\mathrm{Ker}(\phi)$が小さい」と「単射っぽい」、そして「$\mathrm{Im}(\phi)$が大きい」

 

 つまり$\mathrm{Ker}(\phi)$が小さい」と「$\mathrm{Im}(\phi)$が大きい」
 これも理解の助けになるはずです。

 

 ...

 

 ...

 

 ...

 

 

 

準同型定理

 さあ!!!ここまで長かったですね!!!ようやく本題です!!!!!!!

 アイキャッチをもう一度貼りますね。

またこのアイキャッチ またこのアイキャッチ

 ここに出てくる$G/\mathrm{Ker}(\phi)$が主役です。準同型$\phi:G_1 \rightarrow G_2$が与えられたとき、$\mathrm{Ker}(\phi)$という正規部分群が得られるのでそれで割ってみます。すると現れるものが$G/\mathrm{Ker}(\phi)$なのですが、これがなんと...... それでは準同型定理です。

準同型定理

 準同型$\phi:G \rightarrow G'$が与えられたとき, 同型$G/\mathrm{Ker}(\phi) \cong \mathrm{Im}(\phi)$が成立する.

 なんと...... 像と同型だったんですね!!!このイメージをゆっくり説明していきます。キーワードは、「準同型を無理やり全単射にして同型を作る」です。

そもそもどんな同型写像?

 上の主張では具体的な同型を与えていないのですが、実際には同型写像の構成方法まで与えられています。ですが、その構成方法の具体例を見てみましょう。そして、その構成方法を理解することが準同型定理の理解に繋がります。

絶対値を取る写像

 $\mathbb{R}_>=\{r\in \mathbb{R} | r > 0 \}$とします。このとき、写像$\phi:\mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}_>$を、絶対値を取る準同型 $x \mapsto \abs{x}$で定めます。
 この、特に単射でもない準同型から、全単射な同型写像を作るのが準同型定理です。それをやってみます。次の図を見てみてください。

2つの点が1つの点に対応 2つの点が1つの点に対応

 とまあこんな感じの図が想像できると思います。さて、ここから全単射な写像を作りたいので、まずは単射にしてみましょう。さて単射にするためには、定義域を変えないといけません。どう変えれば良いでしょうか? そうですね。正負を無視すれば良いです。

 さて、前編の記事でちらっと書いたことなのですが、$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$というのは$5\mathbb{Z}$の差を無視してできたものでした。では正負を無視するにはどうするか。そうですね。部分群$\{1,-1\}$で剰余群を作ればいいです。そして$\{1,-1\}$は、この場合の$\mathrm{Ker}(\phi)$に他なりません!!!

情報を詰め込んだ図 情報を詰め込んだ図

 上の図で分かっていただけるかもしれませんが、これで全単射の完成です。どういう写像かなのですが、$x\mathrm{Ker}(\phi)$、つまり$x\{-1,1\}=\{-x,x\}$ から $\phi(x)$、つまり$\abs{x}$に対応させます。これが全単射になっている、ということです。
 ここから同型を書き下すと、$(\mathbb{R}\setminus \{0\}) / \{-1,1\} \cong\mathbb{R}_>$という感じです。(見た目キモ!!!)そして、$\phi$は全射でしたので、$\mathrm{Im}(\phi)=\mathbb{R}_>$です。これと$\mathrm{Ker}(\phi)=\{-1,1\}$を合わせると、上の準同型定理で見たような、$G/\mathrm{Ker}(\phi) \cong \mathrm{Im}(\phi)$という形にまとめることができます。

じゃあ抽象的に

 さてさて、準同型定理の同型を構成する対応を書いてみます。それは上でも赤字で強調した$x\mathrm{Ker}(\phi)$$\phi(x)$の対応によります。これが1対1に対応しています

この図が自分で描けるとよい? この図が自分で描けるとよい?

 

 では、この対応の写像 $x\mathrm{Ker}(\phi) \mapsto \phi(x)$ で同型が定まることを示せば準同型定理を得られますね!

 

 ...

 

 ...

 

 ...

 

 
 すみません、 well-defined性を確かめていないようなのですが

 

 
 (>_<)

 

ここでも well-defined

 前編でも説明しました well-defined が、またここでも問題となります。$x\mathrm{Ker}(\phi) \mapsto \phi(x)$ の対応のどこが良くないか。そうですね。$x\mathrm{Ker}(\phi)$は書き方が複数ある可能性があります。($2+5\mathbb{Z}$$2+5\mathbb{Z}=7+5\mathbb{Z}$のように複数通りの書き方がある話のことです。)

 
 さて、対応が well-defined, すなわち$x\mathrm{Ker}(\phi)$の書き方に依らず$\phi(x)$が定まることを示すのですが、$x\mathrm{Ker}(\phi) = y\mathrm{Ker}(\phi)$なら$\phi(x)=\phi(y)$であることがわかれば良いです。これは一瞬です。

  
 $x\mathrm{Ker}(\phi) = y\mathrm{Ker}(\phi)$と仮定します。このとき$k \in \mathrm{Ker}(\phi)$があり$x=yk$と書けるので、$\phi(x)=\phi(yk)=\phi(y)\phi(k)=\phi(y)$がわかります.($k \in \mathrm{Ker}(\phi)$から$\phi(k)=1$が分かります。)

well-defined well-defined

 

これが同型写像になることを示そう!

 さて、$x\mathrm{Ker}(\phi) \mapsto \phi(x)$が同型を与えていることを示しましょう。同型であることを示すステップをまとめます。

準同型であることを示す

全射であることを示す

単射であることを示す

 実は同型写像であることを示すには、「準同型+全単射」であることを示せば良い(証明略)ので、これで良いです。

関係ない補足

 位相空間の間の連続写像は、全単射だったとしても同相写像ではありません。なので、群論の同型写像はある種の「特別な場合」です。

 イメージしやすいと思うので、以前ツイートした内容を描いたものを掲載します。

だいたいこんなかんじです だいたいこんなかんじです

準同型であることの証明

 以下、対応$x\mathrm{Ker}(\phi) \mapsto \phi(x)$を表す写像を$\psi:G/\mathrm{Ker}(\phi) \rightarrow \mathrm{Im}(\phi)$と書きます。まずはこれが準同型であることを示さなければなりませんが、まあそれは簡単です。

  見やすくするために$N=\mathrm{Ker}(\phi)$とします。また$\psi(xN)=\phi(x)$であることに注意しておきます。
 さて証明ですが、$\psi((xN)(yN))=\psi(xyN)=\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)=\psi(xN)\psi(yN)$です。準同型ですね。

 

全射であることの証明

 まあこれも簡単です。$y \in \mathrm{Im}(\phi)$なら$\phi(x)=y$となる$x\in G$が取れます。もうお分かりですね。$\psi(x\mathrm{Ker}(\phi))=\phi(x)=y$です。全射!!!

 

単射であることの証明

 最後になります。$\psi:G/\color{magenta}\mathrm{Ker}(\phi)\color{black} \rightarrow \mathrm{Im}(\phi)$が単射であることを示します。また見やすくするために$N=\color{magenta}\mathrm{Ker}(\phi)\color{black}$とします。ここでは私が重要重要と書きまくっていた定理を使います。($\mathrm{Ker}$が2つ出るので色分けしています。)

 $G_1,G_2$を群, $\phi:G_1 \rightarrow G_2$を準同型とする. このとき, 次は同値.
(1) $\phi$単射である.
(2) $\mathrm{Ker}(\phi)=\{1\}$. ($1$$G_1$の単位元を表すとする.)

 この定理によると、$\color{blue}\mathrm{Ker}(\psi)\color{black}=\{N\}$を示せばよいです。($G/\color{magenta}\mathrm{Ker}(\phi)\color{black}=G/N$の単位元は$N$です。)
 $xN \in \color{blue}\mathrm{Ker}(\psi) $、つまり$\psi(xN)=1$であるとします。すると$\phi(x)=\psi(xN)=1$より$x \in \color{magenta}\mathrm{Ker}(\phi)\color{black}=N$がわかるので、$xN=N$がわかります。ということは$\color{blue}\mathrm{Ker}(\psi)\color{black}=\{N\}$が分かってしまいました。単射だ!!!  

 

やったーーーー!!!!

 こうして準同型定理を証明できました!証明自体はそんなに難しくなかったですね。あとは準同型定理を使う問題を実際に解いてみて、この記事をまとめて終わろうと思います。

準同型定理を使おう

もともと同型な写像に適用してみた場合

 「準同型を無理やり全単射にして同型を作る」のが準同型定理です。では、もともと同型だった場合はどうでしょうか。
 同型写像(つまり全単射)$\phi:G\rightarrow G'$を準同型定理の式$G/\mathrm{Ker}(\phi) \cong \mathrm{Im}(\phi)$に適用したいです。

$\mathrm{Ker}(\phi)$は?
 単射なので単位元のみです。よって左辺は$G/\mathrm{Ker}(\phi)=G/\{1\} \cong G$です。

$\mathrm{Im}(\phi)$は?
 全射なので$\mathrm{Im}(\phi)=G'$です。

 つまり、$G \cong G'$ です!!!!!何も得られていません!!!!!!!!

 

$\exp$

 準同型写像$\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \setminus \{0\}$を、$\phi(\theta)=\exp(2\pi i \theta)$で定めます。ここに適用してみましょう!

$\mathrm{Ker}(\phi)$は?
 $\exp(2\pi i \theta)=1$となることと$\theta \in \mathbb{Z}$は同値です。よって$\mathrm{Ker}(\phi) = \mathbb{Z}$です。

$\mathrm{Im}(\phi)$は?
 絶対値が$1$の元全体と対応します。$\mathbb{T}=\{$$z \in \mathbb{C}$$|$$\abs{z}=1$$\}$です。

 さて、これを$G/\mathrm{Ker}(\phi) \cong \mathrm{Im}(\phi)$に適用してみると、$\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong \mathbb{T}$となります。これをトーラス群と呼ぶようです。
トーラス群の図 トーラス群の図

対称群

 置換から符号を対応させる準同型$\mathrm{sgn}:S_n \rightarrow \{-1,1\}$を考えてみます。$n$$2$以上の整数とします。

$\mathrm{Ker}(\mathrm{sgn})$は?
 置換$\sigma$$\mathrm{sgn}(\sigma)=1$となることは、$n$次交代群$A_n$の元であることと同値です。(同値というか、そもそも$A_n$の定義を$\mathrm{Ker}(\mathrm{sgn})$で行うのが主流なんですかね?)よって$\mathrm{Ker}(\mathrm{sgn})=A_n$です。

$\mathrm{Im}(\mathrm{sgn})$は?
 全射なので、$\{-1,1\}$です。

 では、これを$G/\mathrm{Ker}(\phi) \cong \mathrm{Im}(\phi)$に適用してみると、$S_n/A_n \cong \{-1,1\}$となります。

n=3の場合 n=3の場合

エンディング

 さて、準同型定理のイメージは掴んでいただけましたでしょうか。$G/\mathrm{Ker}(\phi) \cong \mathrm{Im}(\phi)$という式からもう色々見て取れるのではないでしょうか。ここまでの内容を画像でまとめましたので、図を御覧ください。

これ1枚でマスター! これ1枚でマスター!

おしまい!

 ここまで読んでいただきありがとうございます!かな~~~~~り頑張って記事を書きました。GWを3日潰しました。どうでしたでしょうか?準同型定理の理解度は上がりましたでしょうか?
 今までに見てきた準同型定理の説明を見て、こういう説明の仕方をしているものは見たことがないな~~~と思い、(私が見たことがないだけだとは思いますが)いつか書こういつか書こうと思っていたら2年経ってしまいました。今回、なんとか完成させることができて、書き終わった今満足感に包まれています。図もいっぱい書きましたし、力作のつもりです。
 前編後編と割と長かったと思いますが、ここまで読んでいただき本当にありがとうございました。この記事の直感を持った状態で線形代数を見ると、$\mathrm{Ker}(\phi)$の次元が、「線形写像がどれだけ単射でないか」を表しているという見方ができると思います。準同型の核と単射とのつながりがこの記事で一番伝えたかった(?)ことですので、その部分を楽しんでいただけましたのなら幸甚の至りです。

 もし面白かったという方は記事の高評価よろしくお願いします! それでは~~~

参考文献

投稿日:16日前
更新日:16日前

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

Thank you!

投稿者

ごててん
ごててん
236
38557
位相空間と環が好きです

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中