準同型定理を図いっぱいで理解しよう！（後編）

どうも
準同型について
準同型の基礎知識
同型
同型の例
準同型の核（超重要）
この記事の主定理
像についても触れる
準同型定理
そもそもどんな同型写像？
じゃあ抽象的に
ここでも well-defined
これが同型写像になることを示そう！
準同型であることの証明
全射であることの証明
単射であることの証明
やったーーーー！！！！
準同型定理を使おう
エンディング
おしまい！
参考文献

大学数学基礎解説

文献あり

準同型定理を図いっぱいで理解しよう！（後編）

群論,準同型定理,準同型

2607

どうも

　こんにちは　ごててんという者です　いつか書こうと思っていた記事をようやく書き終えました（※2年くらい逃げてました）

　この記事シリーズ（全2回）では、群論の重要な定理「準同型定理」を説明します。結構しっかり書いた記事ですので、そんなに気軽に読めない記事かもしれません！
　後編（この記事です）では「準同型」「準同型定理」について説明します。いよいよ本番です。

　前編は→ https://mathlog.info/articles/sTacgC5iT24V4aWjLhiu

準同型について

　準同型の説明です。無茶苦茶雑なことを書くと、群と群の間のいいかんじの写像のことです。定義を見ましょう。

準同型写像

　 $G_{1}, G_{2}$ を群, $ϕ : G_{1} \to G_{2}$ を写像とする. このとき, 任意の $G$ の元 $x, y$ について $ϕ (x y) = ϕ (x) ϕ (y)$ が成立するとき, $ϕ$ は準同型であるという.

　線形代数や微積分をやっていて、たびたび「代数的に」いい感じの写像に出会ってきたと思います。これはそれらを包括しています。

　例をいっぱい出します！

微分は準同型写像

　開区間 $I = (0, 1)$ 上の $C^{\infty}$ 級関数全体を $C$ とします。また $f, g \in C, x \in (0, 1)$ とするとき、その和 $f + g$ を $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ で定めます。するとこれは $f + g \in C$ で、この演算で $C$ は群となります。
　このとき、微分を行う写像 $\frac{d}{d x} : C \to C;$ $f \mapsto f^{'}$ は準同型となります。
（ $\frac{d}{d x} (f + g) = \frac{d f}{d x} + \frac{d g}{d x}$ ）

exp

　 $R_{>} = {r \in R | r > 0}$ とします。指数関数 $\exp : R \to R_{>}$ は準同型写像です。
　 $\exp (x + y) = \exp (x) \exp (y)$ が成立していますね。定義域では「和」が群の演算、値域では「積」が群の演算になっていることに注意してください。

行列式

　正則行列の行列式を求める写像 $\det : {GL}_{n} (R) \to R ∖ {0}$ は準同型写像となります。

　結構ビッグネーム（？）が出てきますね。準同型はそれくらい広い概念です。一応触れておきますが、「線形写像」も準同型の例です。

準同型の基礎知識

　準同型の、すぐわかる性質を述べておきます。

　 $ϕ : G_{1} \to G_{2}$ を準同型とすると、 $ϕ$ は単位元は送っても単位元です。 $ϕ$ は逆元を送っても逆元です。ちゃんとした主張は画像で済ましちゃいますね。
演算の構造をある程度保ってくれる

同型

　さて、群論でキモとなる概念である「同型」について説明します。

同型の定義

　 $G_{1}, G_{2}$ を群, $ϕ : G_{1} \to G_{2}$ を写像とする. このとき $ϕ$ が同型であるとは, $ϕ$ が逆写像を持ち, $ϕ$ と $ϕ^{- 1}$ も準同型であることである. また2つの群の間に同型が存在することを $G_{1} ≅ G_{2}$ で表す。

　「同型」は...... まあ群と群の間に同型があったらその2つの群は同じとみなします。そのくらいの認識でいいと思います。より正確に言えば、「 $G_{1} ≅ G_{2}$ としたとき、 $G_{1}$ が◯◯なら $G_{2}$ も◯◯になる」というような◯◯が群論で扱われる性質...... という感じです。例えば◯◯には「巡回群」とか「可換群」とかが入ります。

　同型という概念自体は重要ですが、別に話すことがあるかというと別に無い、という感じです。群論の範疇で対象が「同じ」とはなにかを規定するのが同型の概念、という認識で問題ありません。

同型の例

　例ですが、準同型定理を説明する中で色々証明します。ですので、ここでは控えめに例を紹介しようと思います。

内部自己同型

　そうなってほしいと思いますので当然といえば当然ですが、群 $G$ は自分自身と同型です。 $G ≅ G$ です。しかし、同型の作り方は工夫することができますし、しないこともできます。
　例えば恒等写像 ${id}_{G} : G \to G$ が同型です。それとは別に内部自己同型というものがあります。それは、 $G$ の元 $g$ を固定して、写像の対応 $x \mapsto g x g^{- 1}$ を考えるというものです。これも同型写像です。どうしてこれが同型になるかは、練習で示してみてください。

3次対称群の部分群

　 $S_{3}$ の部分群として、 $(123)$ で生成される部分群 $H = {1, (123), (132)}$ を考えます。これは $Z / 3 Z$ と同型になります。なんか、そんな気がしますね（？）

　このくらいにしておきましょう。

準同型の核（超重要）

　準同型定理を理解するために一番大事なのが $Ker (ϕ)$ と書かれる、準同型の「核(Kernel)」です。これが...... 本当に大事です。 まずは定義をします。

核（ついでに像）

　 $G_{1}, G_{2}$ を群, $ϕ : G_{1} \to G_{2}$ を準同型とする. このとき, 準同型の核 $Ker (ϕ)$ と像 $Im (ϕ)$ を次で定義する.（ $G_{2}$ の単位元を $1$ とする.）

・ $Ker (ϕ) = {$ $x \in G_{1}$ $|$ $ϕ (x) = 1$ $}$ $(= ϕ^{- 1} (1))$ .
・ $Im (ϕ) = {$ $ϕ (x) \in G_{2}$ $|$ $x \in G_{1}$ $}$ $(= ϕ (G_{1}))$ .

核は正規部分群

　 $G_{1}, G_{2}$ を群, $ϕ : G_{1} \to G_{2}$ を準同型とする.
　このとき $Ker (ϕ)$ は $G_{1}$ の正規部分群となる. また, $Im (ϕ)$ は $G_{2}$ の部分群となる.

　この命題は大事です。（証明は省略します。）
　前編を思い出してみてください。（読んでない人は別に大丈夫です。）「 $G / H$ は $H$ が正規部分群なら演算が $(x H) (y H) = x y H$ で定まり剰余群となる。」のでした。いま、 $Ker (ϕ)$ という、結構カノニカルな正規部分群が得られました。......これで剰余群を考えたら何か起きてくれそうですよね？それが準同型定理に繋がります。

アイキャッチ

この記事の主定理

　さて、この記事のキーとなる定理が次になります。この定理は超大事だぞ！！！！！！！！！！！！！と言うためにここまで5,000文字打ったと言っても過言ではありません。

単射と

Ker (ϕ)

　 $G_{1}, G_{2}$ を群, $ϕ : G_{1} \to G_{2}$ を準同型とする. このとき, 次は同値.
(1) $ϕ$ は単射である.
(2) $Ker (ϕ) = {1}$ . （ $1$ は $G_{1}$ の単位元を表すとする.）

　これがたいへんに準同型定理を理解するための助けになります。
　この定理は「単射」と「 $Ker (ϕ) = {1}$ 」を結びつけるものですが、これをもう少し深読みしてみましょう。
　物事というのは往々にしてグラデーションです。「数学が好き」というのも度合いがありますよね。「親しみやすい数学の雑学はちょっと楽しめる」から「数学者になる以外の人生が想像つかない」など、色々あります。さて、「単射」という言葉ですが、これは「極端」ですよね。

「単射」は極端な性質

　例えばですが、次のような3つの写像を考えてみましょう。

・ $f : Z \to Z$ $;$ $f (x) = | x |$ . 絶対値を取る写像
・ $g : Z \to Z$ $;$ $g (0) = 0$ or $g (x) = x / | x |$ $(x \neq 0)$ . 符号を得る写像
・ $h : Z \to Z$ $;$ $h (x) = 1$ . すべて $1$ に送る写像

　これらはすべて単射ではありませんが、「単射っぽさ」を考えたら $f > g > h$ という気がしませんでしょうか。

　単射というのは、「行き先のかぶらなさ」が一番大きい場合のことです。そして、準同型における $Ker (ϕ)$ というのは、「準同型写像の行き先がどれだけ被っているか」を表します。上の定理で言えば、「単射」という、いちばん行き先が被らない状況に「 $Ker (ϕ)$ が一元集合」という事実が対応しているということです。

核の小ささと単射っぽさが対応

像についても触れる

　 $Im (ϕ)$ も単射かどうかを表す側面があります。また次の3つの写像を見てみましょう。

　上の方が「単射っぽい」ですが、「像が大きい」というのがありますね。

　「 $Ker (ϕ)$ が小さい」と「単射っぽい」、そして「 $Im (ϕ)$ が大きい」

　つまり「 $Ker (ϕ)$ が小さい」と「 $Im (ϕ)$ が大きい」
　これも理解の助けになるはずです。

　...

準同型定理

　さあ！！！ここまで長かったですね！！！ようやく本題です！！！！！！！

　アイキャッチをもう一度貼りますね。

またこのアイキャッチ

　ここに出てくる $G / Ker (ϕ)$ が主役です。準同型 $ϕ : G_{1} \to G_{2}$ が与えられたとき、 $Ker (ϕ)$ という正規部分群が得られるのでそれで割ってみます。すると現れるものが $G / Ker (ϕ)$ なのですが、これがなんと...... それでは準同型定理です。

準同型定理

　準同型 $ϕ : G \to G^{'}$ が与えられたとき, 同型 $G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)$ が成立する.

　なんと...... 像と同型だったんですね！！！このイメージをゆっくり説明していきます。キーワードは、「準同型を無理やり全単射にして同型を作る」です。

そもそもどんな同型写像？

　上の主張では具体的な同型を与えていないのですが、実際には同型写像の構成方法まで与えられています。ですが、その構成方法の具体例を見てみましょう。そして、その構成方法を理解することが準同型定理の理解に繋がります。

絶対値を取る写像

　 $R_{>} = {r \in R | r > 0}$ とします。このとき、写像 $ϕ : R ∖ {0} \to R_{>}$ を、絶対値を取る準同型 $x \mapsto | x |$ で定めます。
　この、特に単射でもない準同型から、全単射な同型写像を作るのが準同型定理です。それをやってみます。次の図を見てみてください。

2つの点が1つの点に対応

　とまあこんな感じの図が想像できると思います。さて、ここから全単射な写像を作りたいので、まずは単射にしてみましょう。さて単射にするためには、定義域を変えないといけません。どう変えれば良いでしょうか？そうですね。正負を無視すれば良いです。

　さて、前編の記事でちらっと書いたことなのですが、 $Z / 5 Z$ というのは $5 Z$ の差を無視してできたものでした。では正負を無視するにはどうするか。そうですね。部分群 ${1, - 1}$ で剰余群を作ればいいです。そして ${1, - 1}$ は、この場合の $Ker (ϕ)$ に他なりません！！！

情報を詰め込んだ図

　上の図で分かっていただけるかもしれませんが、これで全単射の完成です。どういう写像かなのですが、 $x Ker (ϕ)$ 、つまり $x {- 1, 1} = {- x, x}$ から $ϕ (x)$ 、つまり $| x |$ に対応させます。これが全単射になっている、ということです。
　ここから同型を書き下すと、 $(R ∖ {0}) / {- 1, 1} ≅ R_{>}$ という感じです。（見た目キモ！！！）そして、 $ϕ$ は全射でしたので、 $Im (ϕ) = R_{>}$ です。これと $Ker (ϕ) = {- 1, 1}$ を合わせると、上の準同型定理で見たような、 $G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)$ という形にまとめることができます。

じゃあ抽象的に

　さてさて、準同型定理の同型を構成する対応を書いてみます。それは上でも赤字で強調した $x Ker (ϕ)$ と $ϕ (x)$ の対応によります。これが1対1に対応しています。

この図が自分で描けるとよい？

　では、この対応の写像 $x Ker (ϕ) \mapsto ϕ (x)$ で同型が定まることを示せば準同型定理を得られますね！

　...

　
　すみません、 well-defined性を確かめていないようなのですが

　
　(>_<)

ここでも well-defined

　前編でも説明しました well-defined が、またここでも問題となります。 $x Ker (ϕ) \mapsto ϕ (x)$ の対応のどこが良くないか。そうですね。 $x Ker (ϕ)$ は書き方が複数ある可能性があります。（ $2 + 5 Z$ は $2 + 5 Z = 7 + 5 Z$ のように複数通りの書き方がある話のことです。）

　
　さて、対応が well-defined, すなわち $x Ker (ϕ)$ の書き方に依らず $ϕ (x)$ が定まることを示すのですが、 $x Ker (ϕ) = y Ker (ϕ)$ なら $ϕ (x) = ϕ (y)$ であることがわかれば良いです。これは一瞬です。

　　
　 $x Ker (ϕ) = y Ker (ϕ)$ と仮定します。このとき $k \in Ker (ϕ)$ があり $x = y k$ と書けるので、 $ϕ (x) = ϕ (y k) = ϕ (y) ϕ (k) = ϕ (y)$ がわかります.（ $k \in Ker (ϕ)$ から $ϕ (k) = 1$ が分かります。）

well-defined

これが同型写像になることを示そう！

　さて、 $x Ker (ϕ) \mapsto ϕ (x)$ が同型を与えていることを示しましょう。同型であることを示すステップをまとめます。

・準同型であることを示す

・全射であることを示す

・単射であることを示す

　実は同型写像であることを示すには、「準同型+全単射」であることを示せば良い（証明略）ので、これで良いです。

関係ない補足

　位相空間の間の連続写像は、全単射だったとしても同相写像ではありません。なので、群論の同型写像はある種の「特別な場合」です。

　イメージしやすいと思うので、以前ツイートした内容を描いたものを掲載します。

だいたいこんなかんじです

準同型であることの証明

　以下、対応 $x Ker (ϕ) \mapsto ϕ (x)$ を表す写像を $ψ : G / Ker (ϕ) \to Im (ϕ)$ と書きます。まずはこれが準同型であることを示さなければなりませんが、まあそれは簡単です。

　　見やすくするために $N = Ker (ϕ)$ とします。また $ψ (x N) = ϕ (x)$ であることに注意しておきます。
　さて証明ですが、 $ψ ((x N) (y N)) = ψ (x y N) = ϕ (x y) = ϕ (x) ϕ (y) = ψ (x N) ψ (y N)$ です。準同型ですね。

全射であることの証明

　まあこれも簡単です。 $y \in Im (ϕ)$ なら $ϕ (x) = y$ となる $x \in G$ が取れます。もうお分かりですね。 $ψ (x Ker (ϕ)) = ϕ (x) = y$ です。全射！！！

単射であることの証明

　最後になります。 $ψ : G / Ker (ϕ) \to Im (ϕ)$ が単射であることを示します。また見やすくするために $N = Ker (ϕ)$ とします。ここでは私が重要重要と書きまくっていた定理を使います。（ $Ker$ が2つ出るので色分けしています。）

　この定理によると、 $Ker (ψ) = {N}$ を示せばよいです。（ $G / Ker (ϕ) = G / N$ の単位元は $N$ です。）
　 $x N \in Ker (ψ)$ 、つまり $ψ (x N) = 1$ であるとします。すると $ϕ (x) = ψ (x N) = 1$ より $x \in Ker (ϕ) = N$ がわかるので、 $x N = N$ がわかります。ということは $Ker (ψ) = {N}$ が分かってしまいました。単射だ！！！　

やったーーーー！！！！

　こうして準同型定理を証明できました！証明自体はそんなに難しくなかったですね。あとは準同型定理を使う問題を実際に解いてみて、この記事をまとめて終わろうと思います。

準同型定理を使おう

もともと同型な写像に適用してみた場合

　「準同型を無理やり全単射にして同型を作る」のが準同型定理です。では、もともと同型だった場合はどうでしょうか。
　同型写像（つまり全単射） $ϕ : G \to G^{'}$ を準同型定理の式 $G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)$ に適用したいです。

・ $Ker (ϕ)$ は？
　単射なので単位元のみです。よって左辺は $G / Ker (ϕ) = G / {1} ≅ G$ です。

・ $Im (ϕ)$ は？
　全射なので $Im (ϕ) = G^{'}$ です。

　つまり、 $G ≅ G^{'}$ です！！！！！何も得られていません！！！！！！！！

$\exp$

　準同型写像 $ϕ : R \to C ∖ {0}$ を、 $ϕ (θ) = \exp (2 π i θ)$ で定めます。ここに適用してみましょう！

・ $Ker (ϕ)$ は？
　 $\exp (2 π i θ) = 1$ となることと $θ \in Z$ は同値です。よって $Ker (ϕ) = Z$ です。

・ $Im (ϕ)$ は？
　絶対値が $1$ の元全体と対応します。 $T = {$ $z \in C$ $|$ $| z | = 1$ $}$ です。

　さて、これを $G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)$ に適用してみると、 $R / Z ≅ T$ となります。これをトーラス群と呼ぶようです。
トーラス群の図

対称群

　置換から符号を対応させる準同型 $sgn : S_{n} \to {- 1, 1}$ を考えてみます。 $n$ は $2$ 以上の整数とします。

・ $Ker (sgn)$ は？
　置換 $σ$ が $sgn (σ) = 1$ となることは、 $n$ 次交代群 $A_{n}$ の元であることと同値です。（同値というか、そもそも $A_{n}$ の定義を $Ker (sgn)$ で行うのが主流なんですかね？）よって $Ker (sgn) = A_{n}$ です。

・ $Im (sgn)$ は？
　全射なので、 ${- 1, 1}$ です。

　では、これを $G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)$ に適用してみると、 $S_{n} / A_{n} ≅ {- 1, 1}$ となります。

n=3の場合

エンディング

　さて、準同型定理のイメージは掴んでいただけましたでしょうか。 $G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)$ という式からもう色々見て取れるのではないでしょうか。ここまでの内容を画像でまとめましたので、図を御覧ください。

これ1枚でマスター！

おしまい！

　ここまで読んでいただきありがとうございます！かな～～～～～り頑張って記事を書きました。GWを3日潰しました。どうでしたでしょうか？準同型定理の理解度は上がりましたでしょうか？
　今までに見てきた準同型定理の説明を見て、こういう説明の仕方をしているものは見たことがないな～～～と思い、（私が見たことがないだけだとは思いますが）いつか書こういつか書こうと思っていたら2年経ってしまいました。今回、なんとか完成させることができて、書き終わった今満足感に包まれています。図もいっぱい書きましたし、力作のつもりです。
　前編後編と割と長かったと思いますが、ここまで読んでいただき本当にありがとうございました。この記事の直感を持った状態で線形代数を見ると、 $Ker (ϕ)$ の次元が、「線形写像がどれだけ単射でないか」を表しているという見方ができると思います。準同型の核と単射とのつながりがこの記事で一番伝えたかった（？）ことですので、その部分を楽しんでいただけましたのなら幸甚の至りです。