q超球陪多項式の母関数

$\displaystyle x:=\frac{z+z^{-1}}2$とする. 前の記事 で, $q$超球陪多項式をAskey-Wilson陪多項式によって,
\begin{align} C_n^{\alpha}(x;a^2|q):=\frac{(a^4q^{\alpha};q)_n}{(q^{\alpha+1};q)_n}a^{-n}r_n^{\alpha}(x;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12}) \end{align}
によって定義し, それが明示式
\begin{align} C_n^{\alpha}(x;a|q)&=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^n}{1-z^{-2}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{n+\alpha}}\\ &\qquad+\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^{-n}}{1-z^2}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{n+\alpha}} \end{align}
を持つことを示した. 今回は$q$超球陪多項式の母関数が
\begin{align} \sum_{0\leq n}C_n^{\alpha}(x;a|q)t^n=\frac{1-q^{\alpha}}{1-2xt+t^2}\Q32{q,atz,at/z}{tqz,tq/z}{q^{\alpha}} \end{align}
によって与えられることを示し, 明示式
\begin{align} C_n^{\alpha}(x;a|q)&=\sum_{k=0}^n\frac{1-q^{\alpha}}{1-q^{\alpha+k}}a^kC_k(x;q/a|q)C_{n-k}(x;a|q) \end{align}
を得る. ここで, $C_n(x;a|q)=C_n^0(x;a|q)$は通常の$q$超球多項式である.

導出

\begin{align} C_n^{\alpha}(x;a|q)&=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^n}{1-z^{-2}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{n+\alpha}}\\ &\qquad+\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^{-n}}{1-z^2}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{n+\alpha}} \end{align}
の両辺の母関数を考えると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}C_n^{\alpha}(x;a|q)t^n\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{1-z^{-2}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{\alpha-1}}\sum_{0\leq k}\frac{(z^2q/a,q/a;q)_k}{(q,z^2q;q)_k}(a^2q^{\alpha})^k\frac 1{1-ztq^k}\\ &\qquad+\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{1-z^2}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{\alpha-1}}\sum_{0\leq j}\frac{(q/az^2,q/a;q)_j}{(q,q/z^2;q)_j}(a^2q^{\alpha})^j\frac 1{1-tq^j/z}\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{1-z^{-2}}\sum_{0\leq j,k}\frac{(q/az^2,q/a;q)_j}{(q,q/z^2;q)_j}(a^2q^{\alpha-1})^j\frac{(z^2q/a,q/a;q)_k}{(q,z^2q;q)_k}(a^2q^{\alpha-1})^k\frac{q^k}{1-ztq^k}\\ &\qquad-\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^{-2}}{1-z^{-2}}\sum_{0\leq j,k}\frac{(q/az^2,q/a;q)_j}{(q,q/z^2;q)_j}(a^2q^{\alpha-1})^j\frac{(z^2q/a,q/a;q)_k}{(q,z^2q;q)_k}(a^2q^{\alpha-1})^k\frac {q^j}{1-tq^j/z}\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{1-z^{-2}}\sum_{0\leq j,k}\frac{(q/az^2,q/a;q)_j}{(q,q/z^2;q)_j}\frac{(z^2q/a,q/a;q)_k}{(q,z^2q;q)_k}(a^2q^{\alpha-1})^{j+k}\left(\frac{q^k}{1-ztq^k}-\frac{z^{-2}q^j}{1-tq^j/z}\right)\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{1-z^{-2}}\sum_{0\leq j,k}\frac{(q/az^2,q/a;q)_j}{(q,q/z^2;q)_j}\frac{(z^2q/a,q/a;q)_k}{(q,z^2q;q)_k}(a^2q^{\alpha-1})^{j+k}\frac{q^k(1-z^{-2}q^{j-k})}{(1-ztq^k)(1-tq^j/z)}\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{1-z^{-2}}\sum_{0\leq n}(a^2q^{\alpha-1})^n\sum_{0\leq k}\frac{(q/az^2,q/a;q)_{n-k}}{(q,q/z^2;q)_{n-k}}\frac{(z^2q/a,q/a;q)_k}{(q,z^2q;q)_k}\frac{q^k(1-z^{-2}q^{n-2k})}{(1-ztq^k)(1-tq^{n-k}/z)}\qquad j\mapsto n-k\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{zt(1-z^{-2})}\sum_{0\leq n}\frac{(q/az^2,q/a;q)_n}{(q,q/z^2;q)_n}(a^2q^{\alpha-1})^n\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(z^2q/a,q/a,q^{-n},z^2q^{-n};q)_k}{(q,z^2q,az^2q^{-n},aq^{-n};q)_k}a^{2k}\frac{1-z^{2}q^{2k-n}}{(1-ztq^k)(1-zq^{k-n}/t)}\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{zt(1-z^{-2})}\sum_{0\leq n}\frac{(q/az^2,q/a;q)_n}{(q,q/z^2;q)_n}(a^2q^{\alpha-1})^n\frac{1-z^2q^{-n}}{(1-zt)(1-zq^{-n}/t)}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{-n};z^2q/a,q/a,q^{-n},zt,zq^{-n}/t;a^2)\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{(1-zt)(1-t/z)}\sum_{0\leq n}\frac{(q/az^2,q/a,t/z;q)_n}{(q,1/z^2,tq/z;q)_n}(a^2q^{\alpha-1})^n\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{-n};z^2q/a,q/a,q^{-n},zt,zq^{-n}/t;a^2)\\ \end{align}
となる. ここで, Watsonの変換公式 より
\begin{align} &W(z^2q^{-n};z^2q/a,q/a,q^{-n},zt,zq^{-n}/t;a^2)\\ &=\frac{(z^2q^{1-n},a^2q^{-n-1};q)_n}{(aq^{-n},az^2q^{-n};q)_n}\Q43{q^{-n},z^2q/a,q/a,q}{zq^{1-n}/t,tzq,q^2/a^2}{q}\\ &=\frac{(1/z^2,q^2/a^2;q)_n}{(q/a,q/az^2;q)_n}\Q43{q^{-n},z^2q/a,q/a,q}{zq^{1-n}/t,tzq,q^2/a^2}{q}\\ \end{align}
であり, Searsの変換公式 より
\begin{align} \Q43{q^{-n},z^2q/a,q/a,q}{zq^{1-n}/t,tzq,q^2/a^2}{q}&=\frac{(tq/z,q/a^2;q)_n}{(t/z,q^2/a^2;q)_n}\Q43{q^{-n},atz,at/z,q}{tqz,tq/z,a^2q^{-n}}{q} \end{align}
であるから,
\begin{align} &W(z^2q^{-n};z^2q/a,q/a,q^{-n},zt,zq^{-n}/t;a^2)\\ &=\frac{(1/z^2,q/a^2,tq/z;q)_n}{(q/a,q/az^2,t/z;q)_n}\Q43{q^{-n},atz,at/z,q}{tqz,tq/z,a^2q^{-n}}{q} \end{align}
これを代入して, $q$二項定理より,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}C_n^{\alpha}(x;a|q)t^n\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{(1-zt)(1-t/z)}\sum_{0\leq n}\frac{(q/a^2;q)_n}{(q;q)_n}(a^2q^{\alpha-1})^n\Q43{q^{-n},atz,at/z,q}{tqz,tq/z,a^2q^{-n}}{q}\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{(1-zt)(1-t/z)}\sum_{0\leq n}(a^2q^{\alpha-1})^n\sum_{0\leq k}\frac{(atz,at/z;q)_k(q/a^2;q)_{n-k}}{(tqz,tq/z;q)_k(q;q)_{n-k}}\left(\frac q{a^2}\right)^k\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{1}{(1-zt)(1-t/z)}\sum_{0\leq k}\frac{(atz,at/z;q)_k}{(tqz,tq/z;q)_k}q^{\alpha k}\sum_{0\leq n}\frac{(q/a^2;q)_n}{(q;q)_n}(a^2q^{\alpha-1})^n\qquad n\mapsto n+k\\ &=\frac{1-q^{\alpha}}{(1-zt)(1-t/z)}\sum_{0\leq k}\frac{(aqz,aq/z;q)_k}{(tqz,tq/z;q)_k}q^{\alpha k}\\ &=\frac{1-q^{\alpha}}{1-2xt+t^2}\Q32{q,atz,at/z}{tqz,tq/z}{q^{\alpha}} \end{align}
となる. つまり以下が得られた.

明示式

定理2の右辺は
\begin{align} &\frac{1-q^{\alpha}}{1-2xt+t^2}\Q32{q,atz,at/z}{tqz,tq/z}{q^{\alpha}}\\ &=(1-q^{\alpha})\sum_{0\leq j}\frac{(atz,at/z;q)_j}{(tz,t/z;q)_{j+1}}q^{\alpha j}\\ &=(1-q^{\alpha})\sum_{0\leq j}\frac{(atz,at/z;q)_{\infty}}{(tz,t/z;q)_{\infty}}\frac{(tq^{j+1}z,tq^{j+1}/z;q)_{\infty}}{(atq^jz,atq^j/z;q)_{\infty}}q^{\alpha j}\\ &=(1-q^{\alpha})\sum_{0\leq j}\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^nC_k(x;q/a|q)(aq^j)^kC_{n-k}(x;a|q)q^{\alpha j}\\ &=\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^n(1-q^{\alpha})a^kC_k(x;q/a|q)C_{n-k}(x;a|q)\sum_{0\leq j}q^{(\alpha+k)j}\\ &=\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^n\frac{1-q^{\alpha}}{1-q^{\alpha+k}}a^kC_k(x;q/a|q)C_{n-k}(x;a|q) \end{align}
となるから$t^n$の係数を比較して以下の表示を得る.

古典極限

$C_n^{\alpha}(x;a):=\lim_{q\to 1}C_n^{\alpha}(x;q^a|q)$として, $C_n(x;a)$で通常の超球多項式を表すとする. このとき, 定理2の古典極限を考えると以下を得る.

この両辺の母関数を考えると
\begin{align} \sum_{0\leq n}C_n^{\alpha}(x;a)t^n&=\sum_{0\leq k}\frac{\alpha}{\alpha+k}C_k(x;1-a)t^k\sum_{0\leq n}C_n(x;a)t^n\\ &=\frac{\alpha t^{-\alpha}}{(1-2xt+t^2)^a}\int_0^t\sum_{0\leq k}C_k(x;1-a)s^{k+\alpha-1}\,ds\\ &=\frac{\alpha t^{-\alpha}}{(1-2xt+t^2)^a}\int_0^ts^{\alpha-1}(1-2xs+s^2)^{a-1}\,ds \end{align}
となる. つまり以下を得る.