LiuによるAskey-Wilson多項式の母関数
Liuの和公式
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-\alpha q^{2n})(\alpha,q/a,q/b,q/c;q)_n}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha c;q)_n}\left(\frac{\alpha abc}{q^2}\right)^n\Q43{q^{-n},\alpha q^n,\beta,\gamma}{q/a,q/b,\alpha\beta\gamma ab/q}q\\ &=\frac{(\alpha,\alpha ac/q,\alpha bc/q,\alpha\beta ab/q,\alpha \gamma ab/q,\alpha\beta\gamma abc/q^2;q)_{\infty}}{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\alpha\beta abc/q^2,\alpha\gamma abc/q^2,\alpha\beta\gamma ab/q;q)_{\infty}} \end{align}
Liuによる元の証明は作用素を用いた証明であり, 準備が必要であるが, Andrewsによって翌年に得られた結果を用いれば簡潔な別証明ができる.
両辺が$c$に関して原点で正則であることに着目すると, 一致の定理より$N$を非負整数として$c=q^{N+1}$に対して定理を示せば十分である. そのとき, 左辺は
Andrewsによる展開公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-\alpha q^{2n})(\alpha,q/a,q/b,q^{-N};q)_n}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha q^{N+1};q)_n}\left(\alpha abq^{N-1}\right)^n\Q43{q^{-n},\alpha q^n,\beta,\gamma}{q/a,q/b,\alpha\beta\gamma ab/q}q\\
&=\frac{(\alpha;q)_{N+1}(\alpha ab/q;q)_N}{(\alpha a,\alpha b;q)_N}\Q32{q^{-N},\beta,\gamma}{q^{2-N}/\alpha ab,\alpha \beta\gamma ab/q}{q}
\end{align}
を得る. ここで,
$q$-Saalschützの和公式
より
\begin{align}
&\Q32{q^{-N},\beta,\gamma}{q^{2-N}/\alpha ab,\alpha \beta\gamma ab/q}{q}\\
&=\frac{(\alpha\beta ab/q,\alpha\gamma ab/q;q)_N}{(\alpha\beta\gamma ab/q,\alpha ab/q;q)_N}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-\alpha q^{2n})(\alpha,q/a,q/b,q^{-N};q)_n}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha q^{N+1};q)_n}\left(\alpha abq^{N-1}\right)^n\Q43{q^{-n},\alpha q^n,\beta,\gamma}{q/a,q/b,\alpha\beta\gamma ab/q}q\\
&=\frac{(\alpha;q)_{N+1}(\alpha ab/q;q)_N}{(\alpha a,\alpha b;q)_N}\frac{(\alpha\beta ab/q,\alpha\gamma ab/q;q)_N}{(\alpha\beta\gamma ab/q,\alpha ab/q;q)_N}\\
&=\frac{(\alpha;q)_{N+1}(\alpha\beta ab/q,\alpha\gamma ab/q;q)_N}{(\alpha a,\alpha b,\alpha\beta\gamma ab/q;q)_N}\\
&=\frac{(\alpha,\alpha\beta ab/q,\alpha\gamma ab/q,\alpha aq^N,\alpha bq^N,\alpha\beta\gamma abq^{N-1};q)}{(\alpha a,\alpha b,\alpha \beta\gamma ab/q,\alpha q^{N+1},\alpha\beta abq^{N-1},\alpha \gamma abq^{N-1};q)}
\end{align}
となる. よって, 定理1が$c=q^{N+1}$の場合に成り立ち, 示すべきことが得られた.
特に$\gamma=0$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-\alpha q^{2n})(\alpha,q/a,q/b,q/c;q)_n}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha c;q)_n}\left(\frac{\alpha abc}{q^2}\right)^n\Q32{q^{-n},\alpha q^n,\beta}{q/a,q/b}q\\ &=\frac{(\alpha,\alpha ac/q,\alpha bc/q,\alpha\beta ab/q;q)_{\infty}}{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\alpha\beta abc/q^2;q)_{\infty}} \end{align}
これはIsmail-Rahman-Suslovの1997年の論文で示された等式である. さらに$\beta=1$とするとRogersの${}_6\phi_5$和公式を得る.
Askey-Wilson多項式の母関数
$x:=\cos\theta$とする. Askey-Wilson多項式は
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q
\end{align}
と定義される. 定理1
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-\alpha q^{2n})(\alpha,q/a,q/b,q/c;q)_n}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha c;q)_n}\left(\frac{\alpha abc}{q^2}\right)^n\Q43{q^{-n},\alpha q^n,\beta,\gamma}{q/a,q/b,\alpha\beta\gamma ab/q}q\\
&=\frac{(\alpha,\alpha ac/q,\alpha bc/q,\alpha\beta ab/q,\alpha \gamma ab/q,\alpha\beta\gamma abc/q^2;q)_{\infty}}{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\alpha\beta abc/q^2,\alpha\gamma abc/q^2,\alpha\beta\gamma ab/q;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $\alpha\mapsto abcd/q,\beta\mapsto ae^{i\theta},\gamma\mapsto ae^{-i\theta},a\mapsto q/ab,b\mapsto q/ac,c\mapsto tq$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-abcdq^{2n-1})(abcd/q,ab,ac,1/t;q)_n}{(q,bd,cd,abcdt;q)_n}\left(\frac{dt}a\right)^n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}\\
&=\frac{(abcd/q,bdt,cdt,de^{i\theta},de^{-i\theta},adt;q)_{\infty}}{(bd,cd,abcdt,dte^{i\theta},dte^{-i\theta},ad;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. 左辺をAskey-Wilson多項式で書き換えると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-abcdq^{2n-1})(abcd/q,1/t;q)_n}{(q,ad,bd,cd,abcdt;q)_n}\left(dt\right)^np_n(x;a,b,c,d|q)\\ &=\frac{(abcd/q,adt,bdt,cdt,de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ad,bd,cd,abcdt,dte^{i\theta},dte^{-i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
ここで, $t\mapsto t/d$としてから$d\to 0$とすると, 以下の系を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(q,abct;q)_n}p_n(x;a,b,c,0|q)=\frac{(at,bt,ct;q)_{\infty}}{(abct,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
これは 前の記事 で示したAtakishiyeva-Atakishiyevによる連続双対$q$-Hahn多項式の母関数である.
