a-Legendre多項式, a-Hermite多項式のパラメータの変換

$a$ -Legendre多項式

$a$ -Legendre多項式は
$\begin{array}{r} ρ_{n}^{(a)} (x) := (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n, a + n)_{k}}{k! (a)_{k}} x^{k} \end{array}$
によって定義される. 今回は $ρ_{n}^{(b)} (x)$ を $ρ_{k}^{(a)} (x)$ の線形和で表すとどうなるかを考える. $[a]_{n} := \frac{(a)_{n}}{n!}$ という記法をここでも用いることにする. 結果としては, 以下のようになる.

以下の等式が成り立つ.
$\begin{aligned} ρ_{n}^{(b)} (x) & = \frac{1}{[b]_{n}} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} [a]_{k} [b - a]_{n - k} \frac{(b)_{n + k}}{(a)_{n + k + 1}} (2 k + a) ρ_{k}^{(a)} (x) \end{aligned}$

Chebyshev多項式のa類似についてにおける系2の後の等式
$\begin{aligned} \frac{(a + b)_{n}}{(a)_{n}} ρ_{n}^{(a, b + 1)} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} [b]_{n - k} \frac{(a + b)_{n + k}}{(a)_{n + k + 1}} (2 k + a) ρ_{k}^{(a)} (x) \end{aligned}$
に非整数階積分とJacobi多項式で導入した作用素 $⟨ a ⟩_{+}$ を作用させると,
$\begin{aligned} (- 1)^{n} [a + b]_{n} ρ_{n}^{(a + b)} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} [a]_{k} [b]_{n - k} \frac{(a + b)_{n + k}}{(a)_{n + k + 1}} (2 k + a) ρ_{k}^{(a)} (x) \end{aligned}$
を得る. $b \mapsto b - a$ とすればよい.

特に $b = 1$ とすると, 区間 $(0, 1)$ におけるLegendre多項式を $p_{n} (x) := P_{n} (2 x - 1)$ として, $π_{a} := \frac{π}{\sin π a}$ とおくと,
$\begin{aligned} p_{n} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} [a]_{k} [1 - a]_{n - k} \frac{(n + k)!}{(a)_{n + k + 1}} (2 k + a) ρ_{k}^{(a)} (x) \\ = π_{a} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} [a]_{k} [1 - a]_{n - k} [1 - a]_{n + k + a} (2 k + a) ρ_{k}^{(a)} (x) \end{aligned}$
を得る.

$a$ -Hermite多項式

$a$ -Hermite多項式に対しても同様の変換を考える.　 Hermite多項式の変数付きの拡張についてで導入した $a$ -Hermite多項式は
$\begin{aligned} ℓ_{n}^{(a)} (x) & := \frac{(a)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (a)_{k}} x^{k} \end{aligned}$
であり, 母関数表示
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} ℓ_{n}^{(a)} (x) t^{n} & = (1 - t)^{- a} e^{\frac{x t}{t - 1}} \end{aligned}$
であるから, 両辺に $(1 - t)^{a - b}$ を掛けることによって
$\begin{array}{r} ℓ_{n}^{(b)} (x) = \sum_{k = 0} [b - a]_{n - k} ℓ_{k}^{(a)} (x) \end{array}$
を得る. このように, $a$ を変換する公式は係数が綺麗に記述できるのは興味深いと思った.