a-Legendre多項式, a-Hermite多項式のパラメータの変換
$a$-Legendre多項式
$a$-Legendre多項式は
\begin{align*}
\rho_n^{(a)}(x):=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+n)_k}{k!(a)_k}x^k
\end{align*}
によって定義される. 今回は$\rho_n^{(b)}(x)$を$\rho_k^{(a)}(x)$の線形和で表すとどうなるかを考える. $[a]_n:=\frac{(a)_n}{n!}$という記法をここでも用いることにする. 結果としては, 以下のようになる.
以下の等式が成り立つ.
\begin{align*}
\rho_n^{(b)}(x)&=\frac 1{[b]_n}\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}[a]_k[b-a]_{n-k}\frac{(b)_{n+k}}{(a)_{n+k+1}}(2k+a)\rho_k^{(a)}(x)
\end{align*}
Chebyshev多項式のa類似について
における系2の後の等式
\begin{align*}
\frac{(a+b)_n}{(a)_n}\rho_n^{(a,b+1)}(x)&=\sum_{k=0}^n[b]_{n-k}\frac{(a+b)_{n+k}}{(a)_{n+k+1}}(2k+a)\rho_k^{(a)}(x)
\end{align*}
に
非整数階積分とJacobi多項式
で導入した作用素$\langle a\rangle_+$を作用させると,
\begin{align*}
(-1)^n[a+b]_n\rho_n^{(a+b)}(x)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k[a]_k[b]_{n-k}\frac{(a+b)_{n+k}}{(a)_{n+k+1}}(2k+a)\rho_k^{(a)}(x)
\end{align*}
を得る. $b\mapsto b-a$とすればよい.
特に$b=1$とすると, 区間$(0,1)$におけるLegendre多項式を$p_n(x):=P_n(2x-1)$として, $\pi_a:=\frac{\pi}{\sin\pi a}$とおくと,
\begin{align*}
p_n(x)&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}[a]_k[1-a]_{n-k}\frac{(n+k)!}{(a)_{n+k+1}}(2k+a)\rho_k^{(a)}(x)\\
&=\pi_a\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}[a]_k[1-a]_{n-k}[1-a]_{n+k+a}(2k+a)\rho_k^{(a)}(x)
\end{align*}
を得る.
$a$-Hermite多項式
$a$-Hermite多項式に対しても同様の変換を考える.
Hermite多項式の変数付きの拡張について
で導入した$a$-Hermite多項式は
\begin{align*}
\ell^{(a)}_n(x)&:=\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a)_k}x^k
\end{align*}
であり, 母関数表示
\begin{align*}
\sum_{0\leq n}\ell_n^{(a)}(x)t^n&=(1-t)^{-a}e^{\frac{xt}{t-1}}
\end{align*}
であるから, 両辺に$(1-t)^{a-b}$を掛けることによって
\begin{align*}
\ell_n^{(b)}(x)=\sum_{k=0}[b-a]_{n-k}\ell_k^{(a)}(x)
\end{align*}
を得る. このように, $a$を変換する公式は係数が綺麗に記述できるのは興味深いと思った.
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
