前に書いた2つの記事(
Legendre多項式の変数付きの拡張について
,
Hermite多項式の変数付きの拡張について
)において, Legendre多項式とHermite多項式の
を用いて,
と表すことができる. よって,
と定義すると良さそうに見える. 以下, このように定義された
以下の等式が成り立つ.
Jacobi多項式を用いて5F4のDougallの和公式を示す
における命題1において
以下の等式が成り立つ.
前の補題とGaussの超幾何定理より,
となって示される.
Jacobi多項式を用いて書き直すと,
が成り立つことが分かる. よって, 直交性から
を得る.
が示される. この関係を見ても,
となってLegendre多項式に一致する. よって,