この記事は3本立てとなっております。
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以下、複素数の範囲で考えます。特に断りが無ければ、多項式の係数などはすべて複素数とします。
さて、以下の問題を考えます。
与えられた多項式が3重根を持つかどうかを判別することは出来るか?
「判別することは出来るか?」というのは曖昧ですが、あとで厳密に定式化します。
通常の重根の場合はよく知られた結果がありますが、3重根の場合はそういうものがないようです(筆者調べ)。なので、自分なりに考えてみたところ、意外と奥が深そうだったので、皆さんと共有したいなと思い記事を書きました。もし何かご存じの方、もしくは何か思いついた方がいれば、お知らせいただけると幸いです。
長くなってしまったので、記事を3つに分けることにしました。この記事では、よく知られた事実や簡単な場合の結果を確認し、それを元に考察の方針を立てます。また、扱う概念や記号を整備します。続く2つの記事では、ここで立てた方針を元に考察した結果を紹介します。
以下のことはよく知られています。
多項式
(1)
(2)
(3)
念のため、判別式の定義を書いておきます。
と定義されます。
式を見れば、「
(3)についても証明を書いておきます。
(1)
と表せる。微分すると
となり、
(3)
と表せる。微分すると
となる。
であるから、
一般に、2つの多項式
とも言えます。
では、3重根の話を始めましょう。簡単のため、以降はモニック(最高次係数が
となります。第1式より
が得られます。逆に、この2つの式が成り立つならば、
となるので、
多項式
が成り立つことと同値。
と結論づけられます。
注目すべきは、式が2つ必要になったことです。これは2重根の場合との大きな違いであり、話を複雑化する要因になっています。(厳密に言えば、1つの式にまとめられないかどうかはきちんと議論する必要がありますが、ひとまず置いておきます。)
が成り立つようにすること、となります。
多項式
を満たすものは存在するか。
ここで、
問題2の解答は既に得られています。次の記事で紹介します。
問題2の答えは「存在する」です。
問題2の条件を満たす
3次の場合と同様に、
2重根の場合と同様に、
が成り立つことが証明できます。3つの多項式が共通根を持つかどうかの判別方法を探したところ、1つ見つかりました。次の記事で、それを使った議論を紹介したいと思います。この方針により、問題2の解答を得ることが出来ます。
通常の重根(2重根)についての判別式は、「
本格的な考察に入る前に、以下でもう少し議論の土台を固めます。
3次の場合については、補足すべき話があります。3重根を持つかどうかを判別する条件式は、実は定理2で挙げたものだけではありません。
定理2で得られた式
すなわち
が得られます。これを③とします。①と②から③が示されたわけですが、実は①と③から②を導くことも出来ます。実際、①の
多項式
が成り立つことと同値。
とも言えるわけです。
一意性が無いことについては、もうそういうものだと割り切ってしまうのが良いと筆者は思います。何かしらの理由をつけて1つに決めることは出来るかもしれませんが、この記事ではそういった話題は扱いません。
このように一意性が無い状況において、数学ではしばしば取られる手段があります。それは、考え得る対象を全て集めた集合を考えることです。
この節で定義される記号や用語は、筆者独自のものです。
集合
が成り立つことを言う。
問題2は、次のように言い換えることが出来ます。
また、環論を知っている方向けに言えば、
集合
鋭い方であれば、問題2や問題3は代数幾何の問題と見なせる、ということにお気づきのことと思います。ただ、筆者の浅い知識では、代数幾何を応用して何かするということは今のところ出来ておりません。この節では、代数幾何の言葉への言い換えを紹介するに留めます。何か分かる方がいらっしゃいましたらお知らせください。
どのようにして幾何の話に持っていくのかというと、多項式
とおきます。この集合についてどのようなことが分かるかを考えるわけです。なお、
以下、代数幾何の用語や記号を用います。
(1) 多項式
これを
(2)
(3)
(4)
多項式
であることが分かります。
また、
と同値です。したがって、問題3はさらに次のように言い換えられます。
このように、代数幾何の概念が綺麗に当てはまります。言い換えたことによる恩恵は今のところ得られていないのですが、代数幾何の問題として考えるのが自然である、というのは間違いないと思います。
3重根の判別式② 考察・前編 に続きます。