【モーメント】尖度と歪度

Def.

Prop&Proof.

1. 標準正規分布のモーメント母関数は、任意の $t\in\mathbb R$ に対して
   $$ M_Z(t) := \mathbb E[e^{tZ}] = e^{t^2/2} $$
   である( 証明はコチラ )。特に、$M_Z(t)$ は $0$ の近傍で有限である。
   したがって、各 $n\in\mathbb N$ に対して $n$ 次モーメントが存在し、
   $$ M_Z^{(n)}(0)=\mathbb E[Z^n] $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 一方、指数関数のマクローリン展開より、
   $$ \begin{align} M_Z(t) &= e^{t^2/2} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{t^2}{2}\right)^k \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{2k}}{2^k k!} \end{align} $$
   である。
   したがって、$t^4$ の係数は、$k=2$ の項から
   $$ \frac{1}{2^2\cdot 2!} = \frac{1}{8} $$
   である。
   $ $
3. また、モーメント母関数の展開より、
   $$ M_Z(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathbb E[Z^n]}{n!}t^n $$
   である。
   したがって、$t^4$ の係数は
   $$ \frac{\mathbb E[Z^4]}{4!} $$
   である。
   $ $
4. 冪級数展開の係数の一意性より、
   $$ \frac{\mathbb E[Z^4]}{4!} = \frac{1}{8} $$
   である。
   ゆえに、$4!=24$ より、
   $$ \mathbb E[Z^4] = 24\cdot\frac{1}{8} = 3 $$
   である。
   $$ \Box$$

1. 標準正規分布の密度関数の定義より、
   $$ \mathbb E[|Z|^3] = \int_{-\infty}^{\infty}|z|^3\varphi(z)\,dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}|z|^3e^{-z^2/2}\,dz $$
   である。
   ここで、関数 $z\mapsto |z|^3e^{-z^2/2}$ は偶関数であるから、
   $$ \int_{-\infty}^{\infty}|z|^3e^{-z^2/2}\,dz = 2\int_0^\infty z^3e^{-z^2/2}\,dz $$
   である。
   $ $
2. 次に、
   $$ u:=\frac{z^2}{2} $$
   とおく。このとき、
   $$ du=z\,dz $$
   であり、さらに
   $$ z^2=2u $$
   である。したがって、
   $$ z^3\,dz = z^2z\,dz = 2u\,du $$
   である。
   また、$z=0$ のとき $u=0$ であり、$z\to\infty$ のとき $u\to\infty$ である。
   よって、変数変換により、
   $$ \begin{align} \int_0^\infty z^3e^{-z^2/2}\,dz &= \int_0^\infty 2ue^{-u}\,du \\ &= 2\int_0^\infty ue^{-u}\,du \end{align} $$
   である。
   ここで、部分積分により、
   $$ \begin{align} \int_0^\infty ue^{-u}\,du &= \lim_{b\to\infty}\int_0^b ue^{-u}\,du \\ &= \lim_{b\to\infty} \left( [-ue^{-u}]_0^b+\int_0^b e^{-u}\,du \right) \\ &= \lim_{b\to\infty} \left( -be^{-b}+[-e^{-u}]_0^b \right) \\ &= \lim_{b\to\infty} \left( -be^{-b}+1-e^{-b} \right) \\ &= 1 \end{align} $$
   である。ただし、最後の等号では
   $$ \lim_{b\to\infty}be^{-b}=0, \quad \lim_{b\to\infty}e^{-b}=0 $$
   を用いた( 証明はコチラ )。
   したがって、
   $$ \int_0^\infty z^3e^{-z^2/2}\,dz = 2 $$
   である。ゆえに、
   $$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}|z|^3\varphi(z)\,dz &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}|z|^3e^{-z^2/2}\,dz \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 2\int_0^\infty z^3e^{-z^2/2}\,dz \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 2\cdot 2 \\ &= \frac{4}{\sqrt{2\pi}} \\ &< \infty \end{align} $$
   である。
   したがって、
   $$ \mathbb E[|Z|^3] < \infty $$
   である。
   $ $
3. さらに、任意の $z\in\mathbb R$ に対して、$\varphi(z)\geq0$ より
   $$ |z^3\varphi(z)| = |z|^3\varphi(z) $$
   である。
   また、
   $$ \int_{-\infty}^{\infty}|z|^3\varphi(z)\,dz < \infty $$
   であるから、広義積分
   $$ \int_{-\infty}^{\infty}z^3\varphi(z)\,dz $$
   は絶対収束する。

-したがって、
$$ \int_{-\infty}^{\infty}z^3\varphi(z)\,dz $$
は広義積分として収束する。
$$ \Box$$

実数値確率変数 $Z$ を
$$ Z:=\frac{X-\mu}{\sigma} $$
とおく。正規分布の標準化より、
$$ Z\sim\mathcal N(0,1) $$
である( 証明はコチラ )。
また、
$$ X-\mu=\sigma Z $$
である。
標準正規分布の $3$ 次絶対モーメントは有限であるから、
$$ \mathbb E[|X-\mu|^3] = \mathbb E[|\sigma Z|^3] = \sigma^3\mathbb E[|Z|^3] < \infty $$
である。
また、標準正規分布の $4$ 次モーメントより、
$$ \mathbb E[Z^4]=3 $$
である(本記事内で証明済み)。さらに、$|Z|^4=Z^4$ であるから、
$$ \mathbb E[|Z|^4]=\mathbb E[Z^4]=3<\infty $$
である。
したがって、
$$ \mathbb E[|X-\mu|^4] = \mathbb E[|\sigma Z|^4] = \sigma^4\mathbb E[|Z|^4] < \infty $$
である。
ゆえに、$X$ の歪度、尖度、超過尖度は定義される。

1. まず、歪度を求める。
   歪度の定義より、
   $$ \gamma_1 := \frac{\mathbb E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} $$
   である。
   定数倍の期待値の性質( 証明はコチラ )より、
   $$ \begin{align} \mathbb E[(X-\mu)^3] &= \mathbb E[(\sigma Z)^3] \\ &= \sigma^3\mathbb E[Z^3] \end{align} $$
   である。
   標準正規分布の密度関数を
   $$ \varphi(z):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} $$
   とおく。
   このとき、$\varphi$ は偶関数であり、$z^3$ は奇関数であるから、$z^3\varphi(z)$ は奇関数である。
   また、標準正規分布の $3$ 次絶対モーメントは有限であるから、広義積分
   $$ \int_{-\infty}^{\infty}z^3\varphi(z)\,dz $$
   は絶対収束する(本記事内で証明済み)。したがって、奇関数の対称性より、
   $$ \mathbb E[Z^3] = \int_{-\infty}^{\infty}z^3\varphi(z)\,dz = 0 $$
   である。よって、
   $$ \gamma_1 = \frac{\mathbb E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = \frac{\sigma^3\mathbb E[Z^3]}{\sigma^3} = 0 $$
   である。
   $ $
2. 次に、尖度を求める。
   尖度の定義より、
   $$ \kappa := \frac{\mathbb E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} $$
   である。
   ここで、定数倍の期待値の性質( 証明はコチラ )より、
   $$ \begin{align} \mathbb E[(X-\mu)^4] &= \mathbb E[(\sigma Z)^4] \\ &= \sigma^4\mathbb E[Z^4] \end{align} $$
   である。
   標準正規分布の $4$ 次モーメントより、
   $$ \mathbb E[Z^4]=3 $$
   である(本記事内で証明済み)。したがって、
   $$ \mathbb E[(X-\mu)^4] = 3\sigma^4 $$
   である。
   ゆえに、
   $$ \kappa = \frac{\mathbb E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} = \frac{3\sigma^4}{\sigma^4} = 3 $$
   である。
   $ $
3. 最後に、超過尖度を求める。
   超過尖度の定義より、
   $$ \kappa_{\mathrm{ex}} := \kappa-3 $$
   である。
   すでに $\kappa=3$ を示したので、
   $$ \kappa_{\mathrm{ex}} = 3-3 = 0 $$
   である。

-以上より、
$$ \gamma_1=0,\quad \kappa=3,\quad \kappa_{\mathrm{ex}}=0 $$
である。
$$ \Box$$

$X\sim U(a,b)$ であるから、$X$ の確率密度関数 $f_X:\mathbb R\to[0,\infty)$ は
$$ f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\leq x\leq b,\\ 0, & \text{それ以外} \end{cases} $$
である。
$ $
$X\sim U(a,b)$ であるから、$a\leq X\leq b$ がほとんど確実に成り立つ。したがって、すべての正の整数 $n$ に対して、$n$ 次絶対モーメントは有限である。
さらに、$\mu_X$ は有限な実数であるから、すべての正の整数 $n$ に対して、中心絶対モーメント $\mathbb E[|X-\mu_X|^n]$ も有限である(補足を参照)。
$ $
一様分布の平均と分散の公式より、
$$ \mu_X = \mathbb E[X] = \frac{a+b}{2} $$
であり、
$$ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} $$
である( 証明はコチラ )。
したがって、$a< b$ より $b-a>0$ であるから、標準偏差は
$$ \sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{\sqrt{12}} $$
である。
$ $

1. 歪度を求める。
   $$ d:=\frac{b-a}{2} $$
   とおく。また、
   $$ y:=x-\mu_X $$
   とおく。
   このとき、$x=a$ ならば $y=-d$ であり、$x=b$ ならば $y=d$ である。また、$dx=dy$ である。
   したがって、
   $$ \begin{align} \mathbb E[(X-\mu_X)^3] &= \int_a^b (x-\mu_X)^3\frac{1}{b-a}\,dx \\ &= \frac{1}{b-a}\int_{-d}^{d} y^3\,dy \\ &= 0 \end{align} $$
   である。最後の等号では、$y^3$ が奇関数であり、積分区間 $[-d,d]$ が原点対称であることを用いた。
   よって、
   $$ \gamma_1 = \frac{\mathbb E[(X-\mu_X)^3]}{\sigma_X^3} = 0 $$
   である。
   $ $
2. 尖度を求める。
   同様に、
   $$ \begin{align} \mathbb E[(X-\mu_X)^4] &= \int_a^b (x-\mu_X)^4\frac{1}{b-a}\,dx \\ &= \frac{1}{b-a}\int_{-d}^{d} y^4\,dy \\ &= \frac{1}{b-a}\cdot 2\int_0^d y^4\,dy \\ &= \frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{d^5}{5} \\ &= \frac{2d^5}{5(b-a)} \end{align} $$
   である。
   ここで、$b-a=2d$ であるから、
   $$ \mathbb E[(X-\mu_X)^4] = \frac{2d^5}{5\cdot 2d} = \frac{d^4}{5} = \frac{1}{5}\left(\frac{b-a}{2}\right)^4 = \frac{(b-a)^4}{80} $$
   である。
   また、
   $$ \sigma_X^4 = \left(\frac{b-a}{\sqrt{12}}\right)^4 = \frac{(b-a)^4}{144} $$
   である。
   したがって、尖度は
   $$ \begin{align} \kappa &= \frac{\mathbb E[(X-\mu_X)^4]}{\sigma_X^4} \\ &= \frac{\frac{(b-a)^4}{80}}{\frac{(b-a)^4}{144}} \\ &= \frac{144}{80} \\ &= \frac{9}{5} \end{align} $$
   である。
   $ $
3. 超過尖度を求める。
   超過尖度の定義より、
   $$ \kappa_{\mathrm{ex}} := \kappa-3 $$
   である。したがって、
   $$ \begin{align} \kappa_{\mathrm{ex}} &= \frac{9}{5}-3 \\ &= \frac{9}{5}-\frac{15}{5} \\ &= -\frac{6}{5} \end{align} $$
   である。

-以上より、
$$ \gamma_1=0,\quad \kappa=\frac{9}{5},\quad \kappa_{\mathrm{ex}}=-\frac{6}{5} $$
である。
$$ \Box$$

まず、
$$ q:=1-p $$
とおく。このとき、$p\in(0,1)$ より、
$$ q\in(0,1) $$
である。
また、
$$ \mathbb P(X=0)+\mathbb P(X=1)=q+p=1 $$
であるから、$X$ は $0$ または $1$ の値をほとんど確実に取る。したがって、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して、
$$ |X|^n\leq 1 $$
がほとんど確実に成り立つ。ゆえに、
$$ \mathbb E[|X|^n]\leq 1<\infty $$
である。
特に、$X$ の任意の正の整数次の絶対モーメントは有限である。
$ $

1. 平均と分散を求める。
   ベルヌーイ分布の定義より、
   $$ \begin{align} \mathbb E[X] &= 0\cdot\mathbb P(X=0)+1\cdot\mathbb P(X=1) \\ &= p \end{align} $$
   である。よって、
   $$ \mu:=\mathbb E[X]=p $$
   である。
   また、$X$ は $0$ または $1$ の値をほとんど確実に取るので、
   $$ X^2=X $$
   がほとんど確実に成り立つ。したがって、
   $$ \mathbb E[X^2]=\mathbb E[X]=p $$
   である。
   ゆえに、分散公式( 証明はコチラ )より
   $$ \begin{align} \operatorname{Var}(X) &= \mathbb E[X^2]-(\mathbb E[X])^2 \\ &= p-p^2 \\ &= p(1-p) \\ &= pq \end{align} $$
   である。
   $p,q>0$ より、
   $$ 0< pq<\infty $$
   である。したがって、標準偏差は
   $$ \sigma:=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{pq} $$
   であり、特に
   $$ \sigma>0 $$
   である。
   また、$X$ は $0$ または $1$ の値をほとんど確実に取るので、
   $$ |X-\mu|\leq 1 $$
   がほとんど確実に成り立つ。したがって、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して、
   $$ \mathbb E[|X-\mu|^n]\leq 1<\infty $$
   である。
   よって、$X$ の歪度、尖度、超過尖度は定義される。
   $ $
2. $3$ 次中心モーメントを求める。
   $X$ は $0$ または $1$ の値をほとんど確実に取るので、
   $$ \begin{align} \mathbb E[(X-\mu)^3] &= (0-p)^3\mathbb P(X=0) + (1-p)^3\mathbb P(X=1) \\ &= (-p)^3q+q^3p \\ &= -p^3q+pq^3 \\ &= pq(q^2-p^2) \\ &= pq(q-p)(q+p) \end{align} $$
   である。ここで、
   $$ q+p=1 $$
   であり、$q:=1-p$ と定義しているので、
   $$ q-p = (1-p)-p = 1-2p $$
   である。ゆえに、
   $$ \mathbb E[(X-\mu)^3] = pq(1-2p) $$
   である。
   したがって、歪度の定義より、
   $$ \begin{align} \gamma_1 &= \frac{\mathbb E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} \\ &= \frac{pq(1-2p)}{(\sqrt{pq})^3} \\ &= \frac{pq(1-2p)}{(pq)^{3/2}} \\ &= \frac{1-2p}{\sqrt{pq}} \\ &= \frac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}} \end{align} $$
   である。
   $ $
3. $4$ 次中心モーメントを求める。
   同様に、
   $$ \begin{align} \mathbb E[(X-\mu)^4] &= (0-p)^4\mathbb P(X=0) + (1-p)^4\mathbb P(X=1) \\ &= p^4q+q^4p \\ &= pq(p^3+q^3) \end{align} $$
   である。
   ここで、$p+q=1$ より、
   $$ \begin{align} p^3+q^3 &= (p+q)^3-3pq(p+q) \\ &= 1-3pq \end{align} $$
   である。したがって、
   $$ \mathbb E[(X-\mu)^4] = pq(1-3pq) $$
   である。
   ゆえに、尖度の定義より、
   $$ \begin{align} \kappa &= \frac{\mathbb E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} \\ &= \frac{pq(1-3pq)}{(\sqrt{pq})^4} \\ &= \frac{pq(1-3pq)}{(pq)^2} \\ &= \frac{1-3pq}{pq} \\ &= \frac{1-3p(1-p)}{p(1-p)} \end{align} $$
   である。
   $ $
4. 超過尖度を求める。
   超過尖度の定義より、
   $$ \kappa_{\mathrm{ex}}:=\kappa-3 $$
   である。したがって、
   $$ \begin{align} \kappa_{\mathrm{ex}} &= \frac{1-3pq}{pq}-3 \\ &= \frac{1-3pq-3pq}{pq} \\ &= \frac{1-6pq}{pq} \\ &= \frac{1-6p(1-p)}{p(1-p)} \end{align} $$
   である。

-以上より、
$$ \gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}, \quad \kappa = \frac{1-3p(1-p)}{p(1-p)}, \quad \kappa_{\mathrm{ex}} = \frac{1-6p(1-p)}{p(1-p)} $$
である。
$$ \Box$$

1. まず、仮定より
   $$ \mathbb E[|X-\mu_X|^4]<\infty $$
   である。任意の $t\geq0$ に対して $t^3\leq 1+t^4$ であるから、
   $$ |X-\mu_X|^3\leq 1+|X-\mu_X|^4 $$
   である。したがって、
   $$ \mathbb E[|X-\mu_X|^3]<\infty $$
   である。
   よって、$X$ の歪度、尖度、超過尖度は定義される。
   $ $
   i) $Y=aX+b$ であるから、期待値の線型性( 証明はコチラ )より、
   $$ \mu_Y := \mathbb E[Y] = \mathbb E[aX+b] = a\mathbb E[X]+b = a\mu_X+b $$
   　 である。
   　 また、分散の一次変換に関する性質( 証明はコチラ )より、
   $$ \sigma_Y^2 := \operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(aX+b) = a^2\operatorname{Var}(X) = a^2\sigma_X^2 $$
   　 である。
   　 したがって、$a\ne0$ かつ $\sigma_X>0$ より、
   $$ \sigma_Y = \sqrt{\sigma_Y^2} = \sqrt{a^2\sigma_X^2} = |a|\sigma_X > 0 $$
   　 である。さらに、
   $$ Y-\mu_Y = aX+b-(a\mu_X+b) = a(X-\mu_X) $$
   　 であるから、定数倍の期待値の性質( 証明はコチラ )より
   $$ \begin{align} \mathbb E[|Y-\mu_Y|^4] &= \mathbb E[|a(X-\mu_X)|^4] \\ &= |a|^4\mathbb E[|X-\mu_X|^4] \\ &< \infty \end{align} $$
   　 である。
   $ $
   ii) さらに、$Y$ の $3$ 次中心絶対モーメントも有限であることを示す。
   　 任意の $t\geq0$ に対して、
   $$ t^3\leq 1+t^4 $$
   　 が成り立つ。実際、$0\leq t\leq1$ のときは $t^3\leq1\leq1+t^4$ であり、$t>1$ のときは $t^3\leq t^4\leq1+t^4$ である。
   　 ここで、
   $$ t:=|Y-\mu_Y| $$
   　 とおくと、$|Y-\mu_Y|\geq0$ であるから、
   $$ |Y-\mu_Y|^3 \leq 1+|Y-\mu_Y|^4 $$
   　 が成り立つ。
   　 したがって、期待値の単調性より、
   $$ \mathbb E[|Y-\mu_Y|^3] \leq \mathbb E[1+|Y-\mu_Y|^4] $$
   　 である。右辺について、期待値の線型性より、
   $$ \mathbb E[1+|Y-\mu_Y|^4] = 1+\mathbb E[|Y-\mu_Y|^4] $$
   　 である。すでに
   $$ \mathbb E[|Y-\mu_Y|^4]<\infty $$
   　 を示しているので、
   $$ 1+\mathbb E[|Y-\mu_Y|^4]<\infty $$
   　 である。ゆえに、
   $$ \mathbb E[|Y-\mu_Y|^3]<\infty $$
   　 が成り立つ。
   よって、$Y$ の歪度、尖度、超過尖度は定義される。
   $ $
2. 歪度について示す。
   標準化すると、
   $$ \begin{align} \frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y} &= \frac{a(X-\mu_X)}{|a|\sigma_X} \\ &= \frac{a}{|a|}\frac{X-\mu_X}{\sigma_X} \\ &= \operatorname{sign}(a)\frac{X-\mu_X}{\sigma_X} \end{align} $$
   である(補足を参照)。
   したがって、歪度の定義より、
   $$ \begin{align} \gamma_1(Y) &= \mathbb E\left[\left(\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^3\right] \\ &= \mathbb E\left[\left(\operatorname{sign}(a)\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}\right)^3\right] \\ &= \operatorname{sign}(a)^3 \mathbb E\left[\left(\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}\right)^3\right] \\ &= \operatorname{sign}(a)\gamma_1(X) \end{align} $$
   である。ただし、最後の等号では
   $$ \operatorname{sign}(a)^3=\operatorname{sign}(a) $$
   を用いた。
   $ $
3. 尖度について示す。
   尖度の定義より、
   $$ \begin{align} \kappa(Y) &= \mathbb E\left[\left(\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^4\right] \\ &= \mathbb E\left[\left(\operatorname{sign}(a)\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}\right)^4\right] \\ &= \operatorname{sign}(a)^4 \mathbb E\left[\left(\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}\right)^4\right] \\ &= \kappa(X) \end{align} $$
   である。ただし、最後の等号では
   $$ \operatorname{sign}(a)^4=1 $$
   を用いた。
   $ $
4. 超過尖度について示す。
   超過尖度の定義より、
   $$ \kappa_{\mathrm{ex}}(Y) := \kappa(Y)-3 $$
   である。
   すでに $\kappa(Y)=\kappa(X)$ を示したので、
   $$ \begin{align} \kappa_{\mathrm{ex}}(Y) &= \kappa(Y)-3 \\ &= \kappa(X)-3 \\ &= \kappa_{\mathrm{ex}}(X) \end{align} $$
   である。

-以上より、
$$ \gamma_1(Y)=\operatorname{sign}(a)\gamma_1(X) $$
$$ \kappa(Y)=\kappa(X) $$
$$ \kappa_{\mathrm{ex}}(Y)=\kappa_{\mathrm{ex}}(X) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$