Zagier's sporadic sequences2
前の記事
の定理1で, 漸化式
\begin{align}
(n+1)^2u_{n+1}-(An^2+An+\lambda)u_n+Bn^2u_{n-1}=0
\end{align}
の$(A,B,\lambda)=(9,27,3)$の場合の明示式と母関数表示を与えた. 今回は$(A,B,\lambda)=(12,32,4)$の場合の明示式と母関数表示を得たいと思う.
明示式
以下, $u_n$を
\begin{align}
(n+1)^2u_{n+1}-(12n^2+12n+4)u_n+32n^2u_{n-1}=0
\end{align}
で$u_0=1,u_{-1}=0$を満たすものとする. まず, $u_n$が以下のような明示式を持つことを示す.
$0\leq n$に対し,
\begin{align}
u_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-2k}\binom n{2k}\binom{2k}k^2
\end{align}
が成り立つ.
両辺が$n=0,1$で等しいことは容易に確認できる. よって, 右辺の数列が$u_n$と同じ漸化式を満たすことを示せばよい.
\begin{align}
v_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-2k}\binom n{2k}\binom{2k}k^2\\
&=4^n\F32{\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1
\end{align}
とする.
前の記事
の定理8において, $a=\frac{1-n}2,b=-\frac n2,c=\frac 12,d=e=1$とすると
\begin{align}
\frac{(n+1)^2}4(4^{-n-1}v_{n+1}-4^{-n}v_n)+\frac{n^2}2(4^{1-n}v_{n-1}-4^{-n}v_n)-\frac n44^{-n}v_n=0
\end{align}
を得る. これを整理すると,
\begin{align}
0&=(n+1)^2(v_{n+1}-4v_n)+2n^2(16v_{n-1}-4v_n)-4nv_n\\
&=(n+1)^2v_{n+1}-4((n+1)^2+n+2n^2)v_n+32n^2v_{n-1}\\
&=(n+1)^2v_{n+1}-(12n^2+12n+4)v_n+32n^2v_{n-1}
\end{align}
となって示すべき漸化式を得る.
次に,
\begin{align}
u_n&=4^n\F32{\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1
\end{align}
に対して,
前の記事
の系4において, $b=-n, c\to\infty, d=\frac 12$とすると,
\begin{align}
\F32{\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1&=\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\F32{-n,-n,\frac 12}{1,\frac 12-n}{-1}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{\left(\frac 12\right)_k\left(\frac 12\right)_{n-k}}{k!(n-k)!}\\
&=4^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}
\end{align}
となるから, これを代入して以下の表示を得る.
\begin{align} u_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} \end{align}
この表示はDomb数の表示
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}
\end{align}
の類似と言える.
母関数
定理1の表示より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}u_nx^n&=\sum_{0\leq n}(4x)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_{2k}\left(\frac 12\right)_k}{k!^34^k}\\
&=\sum_{0\leq k,n}\frac{n!\left(\frac 12\right)_k}{k!^3(n-2k)!4^k}(4x)^n\\
&=\sum_{0\leq k,n}\frac{(n+2k)!\left(\frac 12\right)_k}{k!^3n!4^k}(4x)^{n+2k}&&n\mapsto n+2k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!\left(\frac 12\right)_k}{k!^3}(4x^2)^k(1-4x)^{-2k-1}\\
&=\frac 1{1-4x}\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{\frac{16x^2}{(1-4x)^2}}
\end{align}
となる. つまり以下が得られた.
\begin{align} \sum_{0\leq n}u_nx^n&=\frac 1{1-4x}\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{\frac{16x^2}{(1-4x)^2}} \end{align}
