Askey-Wilson関数をAskey-Wilson多項式で展開する

前の記事 で, Ismail-Rahman-Suslovの定理を示した. 今回はそれを特殊化することによって, Askey-Wilson関数をAskey-Wilson多項式で展開する公式を得たいと思う.

${}_8\phi_7$の展開

前の記事 で述べたように, 前の記事 の定理1はSearsの変換公式を適用することによって,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{aq}{def}\right)^n\\ &\qquad\Q43{q^{-n},aq^n,agq/bc,ahq/bc}{aghq/bc,aq/b,aq/c}q\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{agq/bc,ahq/bc,d,e,f}{aghq/bc,aq/b,aq/c,def/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(aq,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,agq/bc,ahq/bc,a^2ghq^2/bcdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,def/aq,aghq/bc,a^2gq^2/bcdef,a^2hq^2/bcdef;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2gq^2/bcdef,a^2hq^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def,a^2ghq^2/bcdef}{q} \end{align}
と書き換えられる. これは変数を置き換えることによって$aABq=CDE$であるとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{aq}{def}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,A,B}{C,D,E}q\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q54{A,B,d,e,f}{C,D,E,def/a}q\\ &\qquad+\frac{(aq,d,e,f,A,B,aCq/def,aDq/def,aEq/def;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,def/aq,C,D,E,aAq/def,aBq/def;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{aAq/def,aBq/def,aq/de,aq/df,aq/ef}{aCq/def,aDq/def,aEq/def,aq^2/def}{q} \end{align}
と書き換えることができる. ここで, $e=a/d$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,a/d,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq,aq/f;q)_n}\left(\frac{q}{f}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,A,B}{C,D,E}q\\ &=\frac{(aq,q,aq/df,dq/f;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aq/f,q/f;q)_{\infty}}\Q43{A,B,d,a/d}{C,D,E}q\\ &\qquad+\frac{(aq,d,a/d,f,A,B,Cq/f,Dq/f,Eq/f;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aq/f,f/q,C,D,E,Aq/f,Bq/f;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{Aq/f,Bq/f,q,aq/df,dq/f}{Cq/f,Dq/f,Eq/f,q^2/f}{q} \end{align}
となる. さらに, $f=C$とすると
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,a/d,C;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq,aq/C;q)_n}\left(\frac{q}{C}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,A,B}{C,D,E}q\\ &=\frac{(aq,q,aq/dC,dq/C;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aq/C,q/C;q)_{\infty}}\Q43{A,B,d,a/d}{C,D,E}q\\ &\qquad+\frac{(aq,d,a/d,A,B,q,Dq/C,Eq/C;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aq/C,C/q,D,E,Aq/C,Bq/C;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{Aq/C,Bq/C,aq/dC,dq/C}{Dq/C,Eq/C,q^2/C}{q} \end{align}
を得る. ここで, 条件$aABq=CDE$よりこの${}_4\phi_3$の和はbalancedになっているので, non-terminating Watsonの変換公式 を適用すると
\begin{align} &\frac{(aq,q,aq/dC,dq/C;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aq/C,q/C;q)_{\infty}}\Q43{A,B,d,a/d}{C,D,E}q\\ &\qquad+\frac{(aq,d,a/d,A,B,q,Dq/C,Eq/C;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aq/C,C/q,D,E,Aq/C,Bq/C;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{Aq/C,Bq/C,aq/dC,dq/C}{Dq/C,Eq/C,q^2/C}{q}\\ &=\frac{(aq,q,aq/dC,dq/C;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aq/C,q/C;q)_{\infty}}\frac{(aq/C,aBq/dC,dBq/C,q/C;q)_{\infty}}{(aBq/C,aq/dC,dq/C,Bq/C;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{aB/C,q\sqrt{aB/C},-q\sqrt{aB/C},aBq/CD,aBq/CE,B,d,a/d}{\sqrt{aB/C},-\sqrt{aB/C},D,E,aq/C,aBq/dC,dBq/C}{\frac{Aq}C}\\ &=\frac{(aq,q,aBq/dC,dBq/C;q)_{\infty}}{(aq/d,dq,aBq/C,Bq/C;q)_{\infty}}\Q87{aB/C,q\sqrt{aB/C},-q\sqrt{aB/C},aBq/CD,aBq/CE,B,d,a/d}{\sqrt{aB/C},-\sqrt{aB/C},D,E,aq/C,aBq/dC,dBq/C}{\frac{Aq}C}\\ \end{align}
となる. つまり以下を得る.

Askey-Wilson関数の展開

定理1において, $a\mapsto abcd/q, d\mapsto q^{-\lambda},A\mapsto bz,B\mapsto b/z, C\mapsto ab,D\mapsto bc,E\mapsto bd$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-abcdq^{2n-1})(abcd/q,q^{-\lambda},abcdq^{\lambda-1},ab;q)_n}{(1-abcd/q)(q,abcdq^{\lambda},q^{1-\lambda},cd;q)_n}\left(\frac q{ab}\right)^n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},bz,b/z}{ab,bc,bd}q\\ &=\frac{(abcd,q,bcdq^{\lambda}/z,q^{1-\lambda}/az;q)_{\infty}}{(abcdq^{\lambda},q^{1-\lambda},bcd/z,q/az;q)_{\infty}}\Q87{bcd/zq,q\sqrt{bcd/zq},-q\sqrt{bcd/zq},b/z,c/z,d/z,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda}}{\sqrt{bcd/zq},-\sqrt{bcd/zq},cd,bd,bc,q^{1-\lambda}/az,bcdq^{\lambda}/z}{\frac{zq}a} \end{align}
となる. この左辺は$\displaystyle x=\frac{z+z^{-1}}2$として, Askey-Wilson多項式
\begin{align} p_n(x;a,b,c,d)=b^{-n}(ab,bc,bd;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},bz,b/z}{ab,bc,bd}{q} \end{align}
を用いて
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-abcdq^{2n-1})(abcd/q,q^{-\lambda},abcdq^{\lambda-1},ab;q)_n}{(1-abcd/q)(q,abcdq^{\lambda},q^{1-\lambda},cd;q)_n}\left(\frac q{ab}\right)^n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},bz,b/z}{ab,bc,bd}q\\ &=\frac{(1-abcdq^{\lambda-1})(1-q^{-\lambda})}{1-abcd/q}\sum_{0\leq n}\frac{1-abcdq^{2n-1}}{(1-abcdq^{\lambda+n-1})(1-q^{n-\lambda})}\frac{(abcd/q;q)_n}{(q,bc,bd,cd;q)_n}\left(\frac q{a}\right)^np_n(x;a,b,c,d)\\ \end{align}
と表される. よって,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{1-abcdq^{2n-1}}{(1-abcdq^{\lambda+n-1})(1-q^{n-\lambda})}\frac{(abcd/q;q)_n}{(q,bc,bd,cd;q)_n}\left(\frac q{a}\right)^np_n(x;a,b,c,d)\\ &=\frac{(abcd/q,q,bcdq^{\lambda}/z,q^{1-\lambda}/az;q)_{\infty}}{(abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda},bcd/z,q/az;q)_{\infty}}\Q87{bcd/zq,q\sqrt{bcd/zq},-q\sqrt{bcd/zq},b/z,c/z,d/z,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda}}{\sqrt{bcd/zq},-\sqrt{bcd/zq},cd,bd,bc,q^{1-\lambda}/az,bcdq^{\lambda}/z}{\frac{zq}a} \end{align}
つまり以下を得る.

この左辺は Rahmanによる第1種Askey-Wilson関数 の定数倍になっており,
\begin{align} &\frac{(bcdq^{\lambda}/z,q^{1-\lambda}/az;q)_{\infty}}{(bcd/z,q/az;q)_{\infty}}\Q87{bcd/zq,q\sqrt{bcd/zq},-q\sqrt{bcd/zq},b/z,c/z,d/z,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda}}{\sqrt{bcd/zq},-\sqrt{bcd/zq},cd,bd,bc,q^{1-\lambda}/az,bcdq^{\lambda}/z}{\frac{zq}a}\\ &=\frac{(q^{1-\lambda}/a^2;q)_{\lambda}}{(a^2;q)_{\lambda}}a^{\lambda}R_{\lambda}(z;a,b,c,d) \end{align}
表すことができる. このように, Ismail-Rahman-Suslovの展開公式は第1種Askey-Wilson関数をAskey-Wilson多項式に展開する公式を含んでいることが分かったが, 第2種Askey-Wilson関数のAskey-Wilson多項式による展開もこのように明示的に計算できるのかは気になるところである.