Ismail-Rahman-Suslovの展開公式
前の記事
で示したAndrewsの公式は以下のようなものである.
\begin{align}
\Q54{q^{-N},b,c,d,e}{bcq^{-N}/a,f,g,h}q&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_N}{(aq,aq/bc;q)_N}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(1-a)(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,d,e}{f,g,h}q\qquad adeq=fgh.
\end{align}
前回の記事
で, その応用としてLiuによる公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-\alpha q^{2n})(\alpha,q/a,q/b,q/c;q)_n}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha c;q)_n}\left(\frac{\alpha abc}{q^2}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,\beta,\gamma}{q/a,q/b,\alpha\beta\gamma ab/q}q\\
&=\frac{(\alpha,\alpha ac/q,\alpha bc/q,\alpha\beta ab/q,\alpha\gamma ab/q,\alpha\beta\gamma abc/q^2;q)_{\infty}}{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\alpha\beta abc/q^2,\alpha\gamma abc/q^2,\alpha\beta\gamma ab/q;q)_{\infty}}
\end{align}
を示した. これらの公式はそれぞれ2012年, 2011年に示されたものであるが, 実はそれより前にIsmail-Rahman-Suslovによって以下のより一般的な公式が示されていたようである.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)^n\\ &\qquad\cdot\Q43{q^{-n},aq^n,g,h}{b,c,aghq/bc}q\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{agq/bc,ahq/bc,d,e,f}{aghq/bc,aq/b,aq/c,def/a}q\\ &\qquad+\frac{(aq,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,agq/bc,ahq/bc,a^2ghq^2/bcdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,def/aq,aghq/bc,a^2gq^2/bcdef,a^2hq^2/bcdef;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2gq^2/bcdef,a^2hq^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def,a^2ghq^2/bcdef}q \end{align}
まず,
Searsの変換公式
より,
\begin{align}
\Q43{q^{-n},aq^n,g,h}{b,c,aghq/bc}q&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_n}{(b,c;q)_n}\left(\frac{bc}{aq}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,agq/bc,ahq/bc}{aghq/bc,aq/b,aq/c}q
\end{align}
である. また,
Watsonの変換公式
より,
\begin{align}
&\Q43{q^{-n},aq^n,agq/bc,ahq/bc}{aghq/bc,aq/b,aq/c}q\\
&=\frac{(h,bc/gh;q)_n}{(aq/h,aghq/bc;q)_n}\left(\frac{agq}{bc}\right)^n\Q87{a/h,q\sqrt{a/h},-q\sqrt{a/h},b/h,c/h,agq/bc,aq^n,q^{-n}}{\sqrt{a/h},-\sqrt{a/h},aq/b,aq/c,bc/gh,q^{1-n}/h,aq^{n+1}/h}{\frac qg}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\Q43{q^{-n},aq^n,g,h}{b,c,aghq/bc}q\\
&=\frac{(aq/b,aq/c,h,bc/gh;q)_n}{(b,c,aq/h,aghq/bc;q)_n}g^n\Q87{a/h,q\sqrt{a/h},-q\sqrt{a/h},b/h,c/h,agq/bc,aq^n,q^{-n}}{\sqrt{a/h},-\sqrt{a/h},aq/b,aq/c,bc/gh,q^{1-n}/h,aq^{n+1}/h}{\frac qg}
\end{align}
となる. これを代入すると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)^n\\
&\qquad\cdot\Q43{q^{-n},aq^n,g,h}{b,c,aghq/bc}q\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,f,h,bc/gh;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f,aq/h,aghq/bc;q)_n}\left(\frac{a^2gq^2}{bcdef}\right)^n\\
&\qquad\cdot \Q87{a/h,q\sqrt{a/h},-q\sqrt{a/h},b/h,c/h,agq/bc,aq^n,q^{-n}}{\sqrt{a/h},-\sqrt{a/h},aq/b,aq/c,bc/gh,q^{1-n}/h,aq^{n+1}/h}{\frac qg}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(d,e,f,bc/gh;q)_n}{(1-a)(aq/d,aq/e,aq/f,aghq/bc;q)_n}\left(\frac{a^2gq^2}{bcdef}\right)^n\\
&\qquad\cdot \sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,agq/bc;q)_m}{(q,aq/b,aq/c,bc/gh;q)_m}\frac{(a;q)_{n+m}(h;q)_{n-m}}{(aq/h;q)_{n+m}(q;q)_{n-m}}\left(\frac{h}g\right)^m\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,agq/bc,d,e,f;q)_m(aq;q)_{2m}}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aghq/bc;q)_m(aq/h;q)_{2m}}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot W\left(aq^{2m};dq^m,eq^m,fq^m,bcq^m/gh,h;\frac{a^2gq^2}{bcdef}\right)
\end{align}
ここで,
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;z):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{z}
\end{align}
である.
Non-terminating Watsonの変換公式
より,
\begin{align}
&W\left(aq^{2m};dq^m,eq^m,fq^m,bcq^m/gh,h;\frac{a^2gq^2}{bcdef}\right)\\
&=\frac{(aq^{2m+1},aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq^{m+1}/d,aq^{m+1}/e,aq^{m+1}/f,aq^{1-m}/def;q)_{\infty}}\Q43{agq^{m+1}/bc,dq^m,eq^m,fq^m}{aghq^{m+1}/bc,aq^{2m+1}/h,defq^m/a}{q}\\
&\qquad+\frac{(aq^{2m+1},agq^{m+1}/bc,dq^m,eq^m,fq^m,a^2ghq^2/bcdef,a^2q^{m+2}/defh;q)_{\infty}}{(aghq^{m+1}/bc,aq^{2m+1}/h,aq^{m+1}/d,aq^{m+1}/e,aq^{m+1}/f,a^2gq^2/bcdef,defq^{m-1}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^2gq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef}{a^2ghq^2/bcdef,a^2q^{m+2}/defh,aq^{2-m}/def}{q}
\end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align}
&\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,agq/bc,d,e,f;q)_m(aq;q)_{2m}}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aghq/bc;q)_m(aq/h;q)_{2m}}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot W\left(aq^{2m};dq^m,eq^m,fq^m,bcq^m/gh,h;\frac{a^2gq^2}{bcdef}\right)\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,agq/bc,d,e,f;q)_m(aq;q)_{2m}}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aghq/bc;q)_m(aq/h;q)_{2m}}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot \frac{(aq^{2m+1},aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq^{m+1}/d,aq^{m+1}/e,aq^{m+1}/f,aq^{1-m}/def;q)_{\infty}}\Q43{agq^{m+1}/bc,dq^m,eq^m,fq^m}{aghq^{m+1}/bc,aq^{2m+1}/h,defq^m/a}{q}\\
&\qquad+\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,agq/bc,d,e,f;q)_m(aq;q)_{2m}}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aghq/bc;q)_m(aq/h;q)_{2m}}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot\frac{(aq^{2m+1},agq^{m+1}/bc,dq^m,eq^m,fq^m,a^2ghq^2/bcdef,a^2q^{m+2}/defh;q)_{\infty}}{(aghq^{m+1}/bc,aq^{2m+1}/h,aq^{m+1}/d,aq^{m+1}/e,aq^{m+1}/f,a^2gq^2/bcdef,defq^{m-1}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^2gq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef}{a^2ghq^2/bcdef,a^2q^{m+2}/defh,aq^{2-m}/def}{q}\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,agq/bc,d,e,f;q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,aghq/bc,aq^{1-m}/def;q)_m(aq/h;q)_{2m}}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot\Q43{agq^{m+1}/bc,dq^m,eq^m,fq^m}{aghq^{m+1}/bc,aq^{2m+1}/h,defq^m/a}{q}\\
&\qquad+\frac{(aq,d,e,f,agq/bc,a^2ghq^2/bcdef,a^2q^2/defh;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/h,aghq/bc,a^2gq^2/bcdef,def/aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,def/aq;q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,a^2q^2/defh;q)_m}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot\Q43{a^2gq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef}{a^2ghq^2/bcdef,a^2q^{m+2}/defh,aq^{2-m}/def}{q}
\end{align}
ここで, 第一項について
Rogersの和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,agq/bc,d,e,f;q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,aghq/bc,aq^{1-m}/def;q)_m(aq/h;q)_{2m}}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot\Q43{agq^{m+1}/bc,dq^m,eq^m,fq^m}{aghq^{m+1}/bc,aq^{2m+1}/h,defq^m/a}{q}\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h;q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c;q)_m}\left(-\frac{ahq}{bc}\right)^mq^{\binom m2}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(agq/bc,d,e,f;q)_{k+m}}{(q;q)_k(aq/h;q)_{k+2m}(aghq/bc,def/a;q)_{k+m}}q^{k+m}\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h;q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c;q)_m}\left(-\frac{ahq}{bc}\right)^mq^{\binom m2}\\
&\qquad\cdot\sum_{m\leq k}\frac{(agq/bc,d,e,f;q)_{k}}{(q;q)_{k-m}(aq/h;q)_{k+m}(aghq/bc,def/a;q)_{k}}q^{k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(agq/bc,d,e,f;q)_{k}}{(q,aq/h,aghq/bc,def/a;q)_{k}}q^{k}\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,q^{-m};q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,aq^{m+1}/h;q)_m}\left(\frac{ahq^{k+1}}{bc}\right)^m\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(agq/bc,d,e,f;q)_{k}}{(q,aq/h,aghq/bc,def/a;q)_{k}}q^{k}\frac{(aq/h,ahq/bc;q)_m}{(aq/b,aq/c;q)_m}\\
&=\Q54{agq/bc,ahq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,aghq/bc,def/a}{q}
\end{align}
となる. 第二項についても
Rogersの和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,def/aq;q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,a^2q^2/defh;q)_m}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\\
&\qquad\cdot\Q43{a^2gq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef}{a^2ghq^2/bcdef,a^2q^{m+2}/defh,aq^{2-m}/def}{q}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2gq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_k}{(q,a^2ghq^2/bcdef;q)_k}q^k\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,def/aq;q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,a^2q^2/defh;q)_m}\left(\frac{a^2hq^2}{bcdef}\right)^m\frac 1{(a^2q^{m+2}/defh,aq^{2-m}/def;q)_k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2gq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_k}{(q,a^2ghq^2/bcdef,a^2q^2/defh,aq^2/def;q)_k}q^k\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m}/h)(a/h,b/h,c/h,def/aq^{k+1};q)_m}{(1-a/h)(q,aq/b,aq/c,a^2q^{k+2}/defh;q)_m}\left(\frac{a^2hq^{k+2}}{bcdef}\right)^m\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2gq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_k}{(q,a^2ghq^2/bcdef,a^2q^2/defh,aq^2/def;q)_k}q^k\\
&\qquad\cdot\frac{(aq/h,ahq/bc,a^2q^{k+2}/bdef,a^2q^{k+2}/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq^{k+2}/defh,a^2hq^{k+2}/bcdef;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq/h,ahq/bc,a^2q^{2}/bdef,a^2q^{2}/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq^{2}/defh,a^2hq^{2}/bcdef;q)_{\infty}}\Q54{a^2gq^2/bcdef,a^2hq^2/bcdef,aq/de,aq/df,aq/ef}{a^2ghq^2/bcdef,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}q
\end{align}
となる. よってこれらを代入して定理を得る.
証明において収束性の議論を省略したが, 実際には$n\to\infty$において
\begin{align}
\Q43{q^{-n},aq^n,g,h}{b,c,aghq/bc}q=O(\max\{|g|,|h|\}^n)
\end{align}
が知られているので,
\begin{align}
\left|\frac{a^2q^2}{bcdef}\max\{|g|,|h|\}\right|<1
\end{align}
も下で左辺の級数が絶対収束し, 上の証明が正当化される.
定理1において$f=aq/e$とすると
Liuの和公式
を得る. また, Searsの変換公式から
\begin{align}
\Q43{q^{-n},aq^n,g,h}{b,c,aghq/bc}q&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_n}{(b,c;q)_n}\left(\frac{bc}{aq}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,agq/bc,ahq/bc}{aghq/bc,aq/b,aq/c}q
\end{align}
であるから, 定理は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{aq}{def}\right)^n\\
&\qquad\cdot\Q43{q^{-n},aq^n,agq/bc,ahq/bc}{aghq/bc,aq/b,aq/c}q\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q54{agq/bc,ahq/bc,d,e,f}{aghq/bc,aq/b,aq/c,def/a}q\\
&\qquad+\frac{(aq,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,agq/bc,ahq/bc,a^2ghq^2/bcdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,def/aq,aghq/bc,a^2gq^2/bcdef,a^2hq^2/bcdef;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q54{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2gq^2/bcdef,a^2hq^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def,a^2ghq^2/bcdef}q
\end{align}
と書きかえることができ, ここで,$f=q^{-N}$とすると2つ目の項が消えて
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,d,e,q^{-N};q)_n}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{de}\right)^n\\
&\qquad\cdot\Q43{q^{-n},aq^n,agq/bc,ahq/bc}{aghq/bc,aq/b,aq/c}q\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\Q54{agq/bc,ahq/bc,d,e,q^{-N}}{aghq/bc,aq/b,aq/c,deq^{-N}/a}q
\end{align}
と書き換えられる. これは
Andrewsによる恒等式
と同値である. 定理1において$h=1$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{aq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}q\\
&\qquad+\frac{(aq,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,def/aq,a^2q^2/bcdef;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}q
\end{align}
を得る. これは
non-terminating Watsonの変換公式
である.
定理1において$h=0$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)^n\Q32{q^{-n},aq^n,g}{b,c}q\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{agq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}q\\ &\qquad+\frac{(aq,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,agq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,def/aq,a^2gq^2/bcdef;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2gq^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}q \end{align}
Ismail-Rahman-Suslovの論文においては$h=q^{-N}$としてから$N\to\infty$とすることによって以下の系も得られると書かれている
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,e,f;q)_n}{(1-a)(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)^n\Q32{q^{-n},aq^n,g}{b,c}{\frac{bc}{ag}}\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{agq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}{\frac qg}\\
&\qquad+\frac{(aq,d,e,f,aq/bc,bc/a,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,bcdef/a^2gq;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/ag,def/aq,a^2q^2/bcdef,bcdef/a^2q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2gq^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}{\frac qg}
\end{align}
しかし, 定理1の左辺の級数が絶対収束する範囲は
\begin{align}
\left|\frac{a^2q^2}{bcdef}\max\{|g|,|h|\}\right|<1
\end{align}
であったため, $h=q^{-N}\to\infty$において左辺の級数は発散してしまい上手くいかないようにみえる.
