1/(x^17+1)を積分してみよう
今回は挨拶を省略してみます。
問題
$\displaystyle \int\frac{dx}{x^{3}+1}$や$\displaystyle \int\frac{dx}{x^{4}+1}$は大学受験界で定番の「難しい積分」として知られていますね。
そこで、この形の積分で次数を上げていけばもっと難しくなるのでは……と考えました。正十七角形が作図可能という有名事実から、17乗のときは積分後の形に立方根や虚数が登場しないと推測できるため、7乗や9乗をスキップして17乗を選びました。
で。解きました。
以下に解答を載せていますが、結論だけ申し上げると、難しさよりも大変さが際立つ積分でした。誰かが二の轍を踏まないよう本記事を執筆した側面もあるほどです。それではお読みください。
解答
まず$\displaystyle \zeta=\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{17}\right)$とすると、$\zeta^0, \zeta^1,\zeta^2, \dots ,\zeta^{16}$は17次方程式$x^{17}=1$の解ですから、簡単な計算（あまり簡単ではない）により
$$\begin{align}
\frac{1}{x^{17}+1}&=\frac{1}{17}\sum_{n=0}^{16}\frac{\zeta^{n}}{x+\zeta^{n}}
\end{align}$$
を得ます。したがって、
$$\begin{align}
\frac{1}{x^{17}+1}&=\frac{1}{17}\sum_{n=0}^{16}\frac{\zeta^{n}}{x+\zeta^{n}} \\
&=\frac{1}{17}\left(\frac{1}{x+1}+\sum_{n=1}^{8}\left(\frac{\zeta^{n}}{x+\zeta^{n}}+\frac{\zeta^{17-n}}{x+\zeta^{17-n}}\right)\right) \\
&=\frac{1}{17}\left(\frac{1}{x+1}+\sum_{n=1}^{8}\frac{\left(\zeta^{n}+\zeta^{17-n}\right)x+2\zeta^{17}}{x^{2}+\left(\zeta^{n}+\zeta^{17-n}\right)x+\zeta^{17}}\right) \\
&=\frac{1}{17}\left(\frac{1}{x+1}+\sum_{n=1}^{8}\frac{2\left(\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1\right)}{x^{2}+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1}\right) \\
&=\frac{1}{17}\left(\frac{1}{x+1}+\sum_{n=1}^{8}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\left(2x+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\right)}{x^{2}+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1}+\sum_{n=1}^{8}\frac{2\sin^{2}\left(\frac{2n\pi}{17}\right)}{x^{2}+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1}\right)
\end{align}$$
と整理できて、
$$\begin{align}
\int\frac{dx}{x^{17}+1}&=\frac{1}{17}\int\frac{dx}{x+1} \\
&\qquad\qquad +\frac{1}{17}\sum_{n=1}^{8} \left(\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\int\frac{\left(2x+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\right)}{x^{2}+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1}dx\right) \\
&\qquad\qquad +\frac{2}{17}\sum_{n=1}^{8} \left(\sin\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\int\frac{\sin\left(\frac{2n\pi}{17}\right)}{x^{2}+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1}dx\right) \\
&={\color{red} \frac{\ln\left|x+1\right|}{17}+\frac{1}{17}\sum_{n=1}^{8} \left(\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\ln\left|x^{2}+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1\right|\right)} \\
&\qquad\qquad\qquad\quad {\color{red}+\frac{2}{17}\sum_{n=1}^{8} \left(\sin\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\tan^{-1}\left(\frac{x+\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)}{\sin\left(\frac{2n\pi}{17}\right)}\right)\right)+C} \\
\end{align}$$が一応の答えとなる（$\tan^{-1}$は$\tan$の逆関数、$C$は積分定数）……わけですが、折角なのでもう少し、$\sin$や$\cos$が消えるまで計算しましょう。
tria_math様の記事
に書かれた手法を応用すると、簡単な計算（断じて簡単ではない）により
$$\begin{align}
\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)&=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} \\
\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)&=\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} \\
\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)&=\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16} \\
\cos\left(\frac{8\pi}{17}\right)&=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} \\
\cos\left(\frac{10\pi}{17}\right)&=-\frac{1+\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16} \\
\cos\left(\frac{12\pi}{17}\right)&=-\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16} \\
\cos\left(\frac{14\pi}{17}\right)&=-\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16} \\
\cos\left(\frac{16\pi}{17}\right)&=-\frac{1-\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}
\end{align}$$を導出できます。半角の公式で$\sin$の値も求めます。
$$\begin{align}
\sin\left(\frac{2\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8} \\
\sin\left(\frac{4\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8} \\
\sin\left(\frac{6\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8} \\
\sin\left(\frac{8\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8} \\
\sin\left(\frac{10\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8} \\
\sin\left(\frac{12\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8} \\
\sin\left(\frac{14\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8} \\
\sin\left(\frac{16\pi}{17}\right)&=\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8}
\end{align}$$ これらを先程計算した式に代入しましょう。
$$\begin{align}
&\int\frac{dx}{x^{17}+1} \\
&\quad =\frac{\ln\left|x+1\right|}{17}+\frac{1}{17}\sum_{n=1}^{8} \left(\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\ln\left|x^{2}+2\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)x+1\right|\right)+\frac{2}{17}\sum_{n=1}^{8} \left(\sin\left(\frac{2n\pi}{17}\right)\tan^{-1}\left(\frac{x+\cos\left(\frac{2n\pi}{17}\right)}{\sin\left(\frac{2n\pi}{17}\right)}\right)\right)+C \\
\end{align}$$$$\begin{align}
\quad &={\color{red} \frac{\ln\left|x+1\right|}{17}} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}+\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}+\left(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}+\left(-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}+\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} -\frac{1+\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}-\left(1+\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} -\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}-\left(1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} -\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}-\left(1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} -\frac{1-\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln\left|8x^{2}-\left(1-\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)x+8\right|} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)} \\
&\qquad {\color{red} +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}\tan^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)+C} \\
\end{align}$$ これが$\displaystyle \frac{1}{x^{17}+1}$の不定積分です（$\displaystyle C+\frac{3\ln2}{34}$を新たに$C$とおきました）。各項の係数が微妙に異なるため、これ以上簡単にはなりません。
あとがき
思わずフォントサイズを下げてしまうくらい長い不定積分ですね……。これが入試で問われた日には、どうせ誰も解ききれないので迷わず飛ばしましょう。
ちなみに数えてみたら2084文字ありました（分数の割線や根号も1文字扱い）。途中、「一応の答え」と記した式で既に112文字あったという噂が……。
以上、最近研究が進んでいない匿からの生存報告でした。最後になりますが、前回投稿した レムニスケート版『余弦定理』の提案 - Suggestion of "law of cosines" in lemniscate geometry - が月間4位・高評価11件（2023/06/16時点）をいただきました。ありがとうございます。