1/(x^17+1)を積分してみよう

　今回は挨拶を省略してみます。

問題

　${\displaystyle \int \frac{dx}{x^3+1}}$や${\displaystyle \int \frac{dx}{x^4+1}}$は大学受験界で定番の「難しい積分」として知られていますね。
　そこで、この形の積分で次数を上げていけばもっと難しくなるのでは……と考えました。正十七角形が作図可能という有名事実から、17乗のときは積分後の形に立方根や虚数が登場しないと推測できるため、7乗や9乗をスキップして17乗を選びました。

　で。解きました。
　以下に解答を載せていますが、結論だけ申し上げると、難しさよりも大変さが際立つ積分でした。誰かが二の轍を踏まないよう本記事を執筆した側面もあるほどです。それではお読みください。

解答

　まず${\displaystyle \zeta =\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{17}\right)}$とすると、${\zeta }^0,{\zeta }^1,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{16}$は17次方程式$x^{17}=1$の解ですから、簡単な計算（あまり簡単ではない）により
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{x^{17}+1}& =\frac{1}{17}\sum _{n=0}^{16}\frac{{\zeta }^n}{x+{\zeta }^n}\end{array}$$
を得ます。したがって、
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{x^{17}+1}& =\frac{1}{17}\sum _{n=0}^{16}\frac{{\zeta }^n}{x+{\zeta }^n}\\ & =\frac{1}{17}(\frac{1}{x+1}+\sum _{n=1}^8(\frac{{\zeta }^n}{x+{\zeta }^n}+\frac{{\zeta }^{17-n}}{x+{\zeta }^{17-n}}))\\ & =\frac{1}{17}(\frac{1}{x+1}+\sum _{n=1}^8\frac{({\zeta }^n+{\zeta }^{17-n})x+2{\zeta }^{17}}{x^2+({\zeta }^n+{\zeta }^{17-n})x+{\zeta }^{17}})\\ & =\frac{1}{17}(\frac{1}{x+1}+\sum _{n=1}^8\frac{2(\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1)}{x^2+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1})\\ & =\frac{1}{17}(\frac{1}{x+1}+\sum _{n=1}^8\frac{\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)(2x+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right))}{x^2+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1}+\sum _{n=1}^8\frac{2{\sin }^2\left(\frac{2n\pi }{17}\right)}{x^2+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1})\end{array}$$
と整理できて、
$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{x^{17}+1}& =\frac{1}{17}\int \frac{dx}{x+1}\\ & +\frac{1}{17}\sum _{n=1}^8(\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)\int \frac{(2x+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right))}{x^2+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1}dx)\\ & +\frac{2}{17}\sum _{n=1}^8(\sin \left(\frac{2n\pi }{17}\right)\int \frac{\sin \left(\frac{2n\pi }{17}\right)}{x^2+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1}dx)\\ & =\frac{\ln |x+1|}{17}+\frac{1}{17}\sum _{n=1}^8(\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)\ln |x^2+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1|)\\ & +\frac{2}{17}\sum _{n=1}^8(\sin \left(\frac{2n\pi }{17}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x+\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)}{\sin \left(\frac{2n\pi }{17}\right)}\right))+C\end{array}$$が一応の答えとなる（${\tan }^{-1}$は$\tan$の逆関数、$C$は積分定数）……わけですが、折角なのでもう少し、$\sin$や$\cos$が消えるまで計算しましょう。

　 tria_math様の記事 に書かれた手法を応用すると、簡単な計算（断じて簡単ではない）により
$$\begin{array}{rl}\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)& =\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\\ \cos \left(\frac{4\pi }{17}\right)& =\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\\ \cos \left(\frac{6\pi }{17}\right)& =\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16}\\ \cos \left(\frac{8\pi }{17}\right)& =\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\\ \cos \left(\frac{10\pi }{17}\right)& =-\frac{1+\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16}\\ \cos \left(\frac{12\pi }{17}\right)& =-\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16}\\ \cos \left(\frac{14\pi }{17}\right)& =-\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{16}\\ \cos \left(\frac{16\pi }{17}\right)& =-\frac{1-\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\end{array}$$を導出できます。半角の公式で$\sin$の値も求めます。
$$\begin{array}{rl}\sin \left(\frac{2\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8}\\ \sin \left(\frac{4\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8}\\ \sin \left(\frac{6\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8}\\ \sin \left(\frac{8\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8}\\ \sin \left(\frac{10\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8}\\ \sin \left(\frac{12\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8}\\ \sin \left(\frac{14\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{8}\\ \sin \left(\frac{16\pi }{17}\right)& =\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8}\end{array}$$　これらを先程計算した式に代入しましょう。
$$\begin{array}{rl}& \int \frac{dx}{x^{17}+1}\\ & =\frac{\ln |x+1|}{17}+\frac{1}{17}\sum _{n=1}^8(\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)\ln |x^2+2\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)x+1|)+\frac{2}{17}\sum _{n=1}^8(\sin \left(\frac{2n\pi }{17}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x+\cos \left(\frac{2n\pi }{17}\right)}{\sin \left(\frac{2n\pi }{17}\right)}\right))+C\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& =\frac{\ln |x+1|}{17}\\ & +\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2+(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})x+8|\\ & +\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2+(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})x+8|\\ & +\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2+(-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}})x+8|\\ & +\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2+(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})x+8|\\ & -\frac{1+\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2-(1+\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}})x+8|\\ & -\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2-(1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}})x+8|\\ & -\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2-(1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}})x+8|\\ & -\frac{1-\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{272}\ln |8x^2-(1-\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})x+8|\\ & +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)\\ & +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)\\ & +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)\\ & +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)\\ & +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)\\ & +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)\\ & +\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{17-3\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34+2\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-4\sqrt{17-3\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}}\right)\\ & +\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{68}{\tan }^{-1}\left(\frac{16x-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{2\sqrt{34-2\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}\right)+C\end{array}$$　これが${\displaystyle \frac{1}{x^{17}+1}}$の不定積分です（${\displaystyle C+\frac{3\ln 2}{34}}$を新たに$C$とおきました）。各項の係数が微妙に異なるため、これ以上簡単にはなりません。

あとがき

　思わずフォントサイズを下げてしまうくらい長い不定積分ですね……。これが入試で問われた日には、どうせ誰も解ききれないので迷わず飛ばしましょう。
　ちなみに数えてみたら2084文字ありました（分数の割線や根号も1文字扱い）。途中、「一応の答え」と記した式で既に112文字あったという噂が……。

　以上、最近研究が進んでいない匿からの生存報告でした。最後になりますが、前回投稿した レムニスケート版『余弦定理』の提案　- Suggestion of "law of cosines" in lemniscate geometry - が月間4位・高評価11件（2023/06/16時点）をいただきました。ありがとうございます。