実離散フーリエ変換(前編)-基底変換-

仮定より
$$\begin{array}{r}\sum _{k=1}^n{c}_k{\mathbf{a}}_k-\sum _{k=1}^n{d}_k{\mathbf{a}}_k=\sum _{k=1}^n(c_k-d_k){\mathbf{a}}_k=0\end{array}$$
${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$は一次独立であるから定義より$c_k-d_k=0$
よって$c_k=d_k$

数ベクトル${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$が一次独立であるとする。
${\mathbf{a}}_j=\mathbf{0}$となる$j$が少なくとも一つ存在すると仮定すると、
$$\begin{array}{r}\sum _{k=1}^n{c}_k{\mathbf{a}}_k=0\end{array}$$
としたときに$c_j\ne 0$が解の一つになるから、${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$が一次独立であることと矛盾する。よって、
${\mathbf{a}}_m\ne \mathbf{0}(0\le m\le n)$

$$\sum _{k=1}^n{c}_k{\mathbf{a}}_k=\mathbf{0}$$とおき、係数$c_k(1\le k\le n)$が全て$0$になることを示す。

一般に任意の$m(1\le m\le n)$に対して${\mathbf{a}}_m\cdot \mathbf{0}=0$となるから
$$\begin{array}{rl}0& ={\mathbf{a}}_m\cdot \mathbf{0}\\ & ={\mathbf{a}}_m\cdot \sum _{k=1}^n{c}_k{\mathbf{a}}_k\\ & =\sum _{k=1}^n{c}_k({\mathbf{a}}_m\cdot {\mathbf{a}}_k)\end{array}$$

数ベクトル${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$が互いに直交するとき、$k\ne m$ならば${\mathbf{a}}_m\cdot {\mathbf{a}}_k=0$であるため、

$$\begin{array}{rl}0& =\sum _{k=1}^n{c}_k({\mathbf{a}}_m\cdot {\mathbf{a}}_k)\\ & =c_m({\mathbf{u}}_m\cdot {\mathbf{u}}_m)\end{array}$$
仮定より${\mathbf{a}}_m$は零ベクトルでないため、$({\mathbf{a}}_m\cdot {\mathbf{a}}_m)\ne 0$より
$c_k=0(1\le k\le n)$
よって${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$は線形独立である。

基底は一次独立であるから補題1より明らか。

$\{{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\}$が${\mathbb{R}}^n$の基底であるため、任意のベクトル $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$を次のように線形結合で表せる。
$$\begin{array}{r}\mathbf{x}=\sum _{i=1}^n{c}_i{\mathbf{a}}_i(c_1,\cdots ,c_m\in \mathbb{R})\end{array}$$
さらに$\{{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\}$は正規直交基底であるため、${\mathbf{a}}_j(1\le j\le n)$と$\mathbf{x}$の内積は次のようになる。
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{a}}_j\cdot \mathbf{x}& ={\mathbf{a}}_j\cdot \sum _{i=1}^n{c}_i{\mathbf{a}}_i\\ & =\sum _{i=1}^n{c}_i({\mathbf{a}}_j\cdot {\mathbf{a}}_i)\\ & =\sum _{i=1}^n{c}_i{\delta }_{j,i}\\ & =c_j\end{array}$$
よって$c_i={\mathbf{a}}_i\cdot \mathbf{x}(1\le i\le n)$となるから$\mathbf{x}$は次のように表せる。
$$\begin{array}{r}\mathbf{x}=\sum _{i=1}^n{c}_i{\mathbf{a}}_i=\sum _{i=1}^n({\mathbf{a}}_i\cdot \mathbf{x}){\mathbf{a}}_i\end{array}$$

数学的帰納法で示す。

まず$N=1$の場合を考える。
${\mathbf{b}}_1$が一次独立であるから補題2より${\mathbf{b}}_1\ne \mathbf{0}$
${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_M$のスパンは$V$だから${\mathbf{b}}_1\in V$を次のように表せる。
$${\mathbf{b}}_1=\sum _{m=1}^M{c}_m{\mathbf{a}}_m$$

仮に$c_m=0(1\le m\le M)$とすると${\mathbf{b}}_1\ne \mathbf{0}$と矛盾するから$c_m\ne 0$となる$m$が存在する。
$c_k\ne 0$とすると、$k$以外の番号を$1\le i_2<\cdots <i_M\le M$となるように定める。
このとき、${\mathbf{a}}_1$を次のように${\mathbf{b}}_1$と${\mathbf{a}}_{i_m}$($2\le m\le M$)の線形結合で表せる。

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{b}}_1& =c_k{\mathbf{a}}_k+\sum _{m=2}^M{c}_{i_m}{\mathbf{a}}_{i_m}\\ {\mathbf{a}}_k& ={\displaystyle \frac{1}{c_k}}({\mathbf{b}}_1-\sum _{m=2}^M{c}_{i_m}{\mathbf{a}}_{i_m})\end{array}$$

よって

$$\begin{array}{rl}V& =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathrm{M}})\\ & =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{a}}_{\mathrm{k}},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_2},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{M}}})\\ & =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_2},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{M}}},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_2},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{M}}})\\ & =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_2},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{M}}})\end{array}$$
より、${\mathbf{b}}_1$と${\mathbf{a}}_k$を置き換えられた。

次に$N\ge 2$で$N-1$個のときに成り立つとして、$N$個でも成り立つことを示す。仮定より
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{b}}_N& =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}-1},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{N}}},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{M}}})\\ & =\sum _{n=1}^{N-1}(c_n{\mathbf{b}}_n)+\sum _{m=N}^M(d_{i_m}{\mathbf{a}}_{i_m})\end{array}$$

$d_{i_m}=0(N\le m\le M)$と仮定すると、
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{b}}_N=\sum _{n=1}^{N-1}(c_n{\mathbf{b}}_n)\\ & {\mathbf{b}}_N-\sum _{n=1}^{N-1}(c_n{\mathbf{b}}_n)=0\end{array}$$
これは${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_N$が一次独立であることと矛盾するため、$d_k=0$となる$k$が少なくとも一つ存在する。
$k$を除く$i_N$から$i_M$を$1\le j_{N+1}<\cdots <j_M\le M$となるように番号を定めると、${\mathbf{a}}_k$を次のように${\mathbf{b}}_n(1\le n\le N)$と${\mathbf{a}}_{j_m}$($N+1\le m\le M$)の線形結合で表せる。

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{b}}_N& =\sum _{n=1}^{N-1}(c_n{\mathbf{b}}_n)+d_k{\mathbf{a}}_k+\sum _{m=N+1}^M(d_{i_m}{\mathbf{a}}_{i_m})\\ {\mathbf{a}}_k& ={\displaystyle \frac{1}{d_k}}({\mathbf{b}}_N-\sum _{n=1}^{N-1}(c_n{\mathbf{b}}_n)-\sum _{m=N+1}^M(d_{i_m}{\mathbf{a}}_{i_m}))\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{rl}V& =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}-1},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{N}}},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{M}}})\\ & =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}-1},{\mathbf{a}}_{\mathrm{k}},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{N}+1}},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{M}}})\\ & =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}-1},{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}},{\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}-1},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{N}+1}},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{M}}},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{N}+1}},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{M}}})\\ & =\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}-1},{\mathbf{b}}_{\mathrm{N}},{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{N}+1}},\cdots ,{\mathbf{a}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{M}}})\end{array}$$
よって${\mathbf{b}}_N$と${\mathbf{a}}_k$を置き換えられた。

数学的帰納法より、全ての$1\le N\le M$で示された。

定理5の取り換え定理で${\mathbf{a}}_m$を$N$次基底ベクトルとして${\mathbf{b}}_n$を$N$個の$N$次ベクトルとすると、基底になることが分かる。

補題3と補題7より明らか