とある積分を解く。

積分を解く

どうも、らららです。
積分を解きます。

(今回の記事の参考にした$\mathfrak{YouTube}$の 動画 )

解く積分

今回解く積分です。
似たような積分をわたしの記事でやってます。
これ です。
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (1+x)}{x^2+1}dx$$
について解説しています。

解く

$\log (1+x)$と同じように$t$を追加して解くか$\tan$置換で解くかという2つがまぁ思いつきますね。
やるとわかりますが$\tan$置換はうまくいきません。
てなわけで微分で解いていきます。
試しに、$\log (x^4+t)$というふうに$t$を追加して解いていきます。
$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x^4+1)}{x^2+1}dx\end{array}$$
$$f(t)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x^4+t)}{x^2+1}dx$$
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(t)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x^4+t)(x^2+1)}\\ & =\frac{1}{t+1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1-x^2}{x^4+t})dx\end{array}$$
でできた積分、なかなかに計算が重そうです。
なので$x^4+1$を解消するべく$(x^2+i)(x^2-i)$と因数分解(？)して解いていきます。

でたーー！！！
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2+1}=0$$
の証明は この記事 でやってます。

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x^n+1)}{x^2+1}dx$$
これを$n$の式で表したいところですが難しそうですね。
一般化したいところです。

おしまーい