とある積分を解く。
積分を解く
どうも、らららです。
積分を解きます。
(今回の記事の参考にした$\mathfrak{YouTube}$の 動画 )
解く積分
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^4+1)}{x^2+1}dx$$
今回解く積分です。
似たような積分をわたしの記事でやってます。
これ
です。
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\log(1+x)}{x^2+1}dx$$
について解説しています。
解く
$\log(1+x)$と同じように$t$を追加して解くか$\tan$置換で解くかという2つがまぁ思いつきますね。
やるとわかりますが$\tan$置換はうまくいきません。
てなわけで微分で解いていきます。
試しに、$\log(x^4+t)$というふうに$t$を追加して解いていきます。
\begin{align}
I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^4+1)}{x^2+1}dx
\end{align}
$$f(t)=\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^4+t)}{x^2+1}dx$$
\begin{align}
f'(t)&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^4+t)(x^2+1)}
\\&=\frac{1}{t+1}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1-x^2}{x^4+t}\right)dx
\end{align}
でできた積分、なかなかに計算が重そうです。
なので$x^4+1$を解消するべく$(x^2+i)(x^2-i)$と因数分解(？)して解いていきます。
\begin{align}
I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^4+1)}{x^2+1}dx
\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^2+i)(x^2-i)}{x^2+1}dx
\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^2+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^2-i)}{x^2+1}dx
\end{align}
$$
f(t)=\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^2+t)}{x^2+1}dx$$
\begin{align}
f'(t)&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+t)(x^2+1)}dx
\\&=\frac{1}{1-t}\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{x^2+t}+\frac{1}{x^2+1}\right)dx
\\&=\frac{1}{1-t}\left(-\frac{\pi}{2\sqrt{t}}+\frac{\pi}2\right)
\\&=\frac{\pi}{2}\frac{\sqrt{t}-1}{(1-t)\sqrt{t}}
\end{align}
\begin{align}
f(t)&=\frac{\pi}2\int\frac{\sqrt{t}-1}{(1-t)\sqrt{t}}dt
\\&=\pi\int\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}d\theta\qquad(x=\sin^2\theta)
\\&=\pi\int\frac{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1-\sin\theta)}d\theta
\\&=\pi\int\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}d\theta
\\&=\pi\log(1+\sin\theta)+C
\\&=\pi\log(\sqrt{t}+1)+C
\end{align}
\begin{align}
f(0)&=\int_{0}^{\infty}\frac{\log x^4}{x^2+1}
\\&=4\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^2+1}
\\&=0
\end{align}
$$f(0)=\pi\log(\sqrt0+1)+C$$
$$C=0$$
$$f(t)=\pi\log(\sqrt{t}+1)$$
$$求める値は、f(i)-f(-i).$$
\begin{align}
f(i)-f(-i)&=\pi\left(\log\left(\sqrt{i}+1\right)+\log\left(\sqrt{-i}+1\right)\right)
\\&=\pi\left(\log\left(1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt2}-\frac{i}{\sqrt2}\right)\right)
\\&=\pi\log\left(2+\sqrt2\right)
\end{align}
でたーー！！！
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^2+1}=0$$
の証明は
この記事
でやってます。
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x^n+1)}{x^2+1}dx$$
これを$n$の式で表したいところですが難しそうですね。
一般化したいところです。
おしまーい
