両側q超球関数
$x=\cos\theta$とする. Rogers多項式は
\begin{align}
C_n(x;a|q)&:=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義される直交多項式である. 最近, Schlosserにより以下の両側$q$超球関数が考えられている.
\begin{align}
C_n(x;a,b|q):=\sum_{k\in\ZZ}\frac{(ab;q)_k(ab;q)_{n-k}}{(bq;q)_k(bq;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
これは$b=1$とすると通常のRogers多項式に一致する. 今回はこの関数の基本的な性質について調べる. まず, 定義から
\begin{align}
C_n(x;a,b|q)&=\frac{(ab;q)_n}{(bq;q)_n}e^{in\theta}\BQ22{ab,q^{-n}/b}{bq,q^{1-n}/ab}{\frac{e^{-2i\theta}q}a}
\end{align}
と書き換えられる. ここにおいて, この${}_2\psi_2$はwell-poisedである.
母関数
Rogers多項式の母関数として
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n(x;a|q)t^n&=\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
が知られている. その両側への拡張として以下が成り立つ.
$|q/a|<|te^{\pm i\theta}|<1$のとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}C_n(x;a,b|q)t^n&=\frac{(q,q/a;q)_{\infty}^2}{(bq,q/ab;q)_{\infty}^2}\frac{(abte^{i\theta},abte^{-i\theta},e^{i\theta}q/abt,e^{-i\theta}q/abt;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta},e^{i\theta}q/at,e^{-i\theta}q/at;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}C_n(x;a,b|q)t^n&=\sum_{n,k\in\ZZ}\frac{(ab;q)_k}{(bq;q)_k}\frac{(ab;q)_{n-k}}{(bq;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}t^n\\
&=\sum_{k\in\ZZ}\frac{(ab;q)_k}{(bq;q)_k}(te^{-i\theta})^k\sum_{n\in\ZZ}\frac{(ab;q)_n}{(bq;q)_n}(te^{i\theta})^n\\
&=\frac{(abte^{-i\theta},q,q/a,e^{i\theta}q/abt;q)_{\infty}}{(te^{-i\theta},bq,q/ab,e^{i\theta}q/at;q)_{\infty}}\frac{(abte^{i\theta},q,q/a,e^{-i\theta}q/abt;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},bq,q/ab,e^{-i\theta}q/at;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式を得る. ここで, 最後の等号は
Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式
による.
漸化式
定理1より
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}C_n(x;a,b|q)(tq)^n&=\frac{(1-te^{i\theta})(1-te^{-i\theta})}{a^2b^2t^2(1-e^{i\theta}/at)(1-e^{-i\theta}/at)}\sum_{n\in\ZZ}C_n(x;a,b|q)t^n\\
&=\frac{1-2xt+t^2}{b^2(1-2axt+a^2t^2)}\sum_{n\in\ZZ}C_n(x;a,b|q)t^n
\end{align}
となるから, 右辺の分母を払って整理すると$t^{n+1}$の係数を比較すると以下を得る.
整数$n$に対し,
\begin{align}
&2x(1-ab^2q^n)C_n(x;a,b|q)\\
&=(1-b^2q^{n+1})C_{n+1}(x;a,b|q)+(1-a^2b^2q^{n-1})C_{n-1}(x;a,b|q)
\end{align}
が成り立つ.
定数項
$x=0$における定数項は以下のように明示的に書ける.
整数$n$に対し,
\begin{align}
C_{2n}(0;a,b|q)&=(-1)^n\frac{(a^2b^2;q^2)_n}{(b^2q^2;q^2)_n}\frac{(q,q/a,-bq,-q/ab;q)_{\infty}}{(-q,-q/a,bq,q/ab;q)_{\infty}}\\
C_{2n+1}(0;a,b|q)&=0\\
\end{align}
が成り立つ.
2つ目の式は$k\mapsto 2n+1-k$とすると
\begin{align}
C_{2n+1}(0;a,b|q)&=\sum_{k\in\ZZ}\frac{(ab;q)_k(ab;q)_{2n+1-k}}{(bq;q)_k(bq;q)_{2n+1-k}}e^{i\pi(2n+1-2k)/2}\\
&=-\sum_{k\in\ZZ}\frac{(ab;q)_k(ab;q)_{2n+1-k}}{(bq;q)_k(bq;q)_{2n+1-k}}e^{i\pi(2n+1-2k)/2}\\
&=-C_{2n+1}(0;a,b|q)
\end{align}
であることから従う. 1つ目の式を示す.
Baileyによる両側$q$-Kummerの和公式
\begin{align}
\BQ22{b,c}{aq/b,aq/c}{-\frac{aq}{bc}}&=\frac{(aq/bc;q)_{\infty}(q^2,aq,q/a,aq^2/b^2,aq^2/c^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,q/b,q/c,-aq/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
より,
\begin{align}
C_{2n}(0;a,b|q)&=\frac{(-1)^n(ab;q)_{2n}}{(bq;q)_{2n}}\BQ22{ab,q^{-2n}/b}{bq,q^{1-2n}/ab}{-\frac{q}a}\\
&=\frac{(-1)^n(ab;q)_{2n}}{(bq;q)_{2n}}\frac{(q/a;q)_{\infty}(q^2,q^{1-2n},q^{2n+1},q^{2-2n}/a^2b^2,b^2q^{2n+2};q^2)_{\infty}}{(bq,q^{1-2n}/ab,q/ab,bq^{2n+1},-q/a;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(-1)^n(ab;q)_{2n}}{(bq;q)_{2n}}\frac{(q^{1-2n},q^{2-2n}/a^2b^2;q^2)_n(bq;q)_{2n}}{(q,b^2q^2;q^2)_n(q^{1-2n}/ab;q)_{2n}}\frac{(q/a;q)_{\infty}(q^2,q,q,q^2/a^2b^2,b^2q^2;q^2)_{\infty}}{(bq,q/ab,q/ab,bq,-q/a;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(-1)^n(a^2b^2;q^2)_n}{(b^2q^2;q^2)_n}\frac{(q,q/a,-bq,-q/ab;q)_{\infty}}{(-q,-q/a,bq,q/ab;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
シフト直交性
Rogers多項式の重み関数を
\begin{align}
w(x|a):=\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}\frac 1{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}
とする. Rogers多項式の直交性の類似として, 以下のような公式が示されている.
整数$m,n$に対し,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\sum_{k\in\ZZ}C_{m+k}(x;a,b|q)C_{n+k}(x;a,b|q)\left(\frac q{a^2b}\right)^kw(x|a)\,dx\\
&=\frac{(q;q)_{\infty}^3(q/a;q)_{\infty}^4(a,aq;q)_{\infty}}{(bq,q/ab;q)_{\infty}^4(a^2;q)_{\infty}}\Q21{a^2,a}{aq}{\frac{q}{a^2b}}\left(\frac{a^2b}{q}\right)^n\delta_{m,n}
\end{align}
が成り立つ.
以下, $(ae^{\pm i\theta};q)_{\infty}=(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty}$のような略記を用いる.
Rogers多項式の直交性
\begin{align}
\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1C_m(x;a|q)C_n(x;a|q)w(x|a)\,dx&=\frac{(a,aq;q)_{\infty}}{(q,a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n(1-a)}{(q;q)_n(1-aq^n)}
\end{align}
の$m,n$に関する母関数を考えると,
\begin{align}
\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\frac{(ase^{\pm i\theta},ate^{\pm i\theta};q)_{\infty}}{(se^{\pm i\theta},te^{\pm i\theta};q)_{\infty}}w(x|a)\,dx&=\frac{(a,aq;q)_{\infty}}{(q,a^2;q)_{\infty}}\Q21{a^2,a}{aq}{st}
\end{align}
を得る. 定理1を用いると,
\begin{align}
&\sum_{m,k\in\ZZ}C_m(x;a,b|q)C_n(x;a,b|q)t^{m-n}\left(\frac{q}{a^2b}\right)^n\\
&=\frac{(q,q/a;q)_{\infty}^4}{(bq,q/ab;q)_{\infty}^4}\frac{(abte^{\pm i\theta},e^{\pm i\theta}q/abt;q)_{\infty}}{(te^{\pm i\theta},e^{\pm i\theta}q/at;q)_{\infty}}\frac{(e^{\pm i\theta}q/at,ate^{\pm i\theta};q)_{\infty}}{(e^{\pm i\theta}q/a^2bt,abte^{\pm i\theta};q)_{\infty}}\\
&=\frac{(q,q/a;q)_{\infty}^4}{(bq,q/ab;q)_{\infty}^4}\frac{(ate^{\pm i\theta},e^{\pm i\theta}q/abt;q)_{\infty}}{(te^{\pm i\theta},e^{\pm i\theta}q/a^2bt;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\sum_{m,n\in\ZZ}C_m(x;a,b|q)C_n(x;a,b|q)t^{m-n}\left(\frac{q}{a^2b}\right)^nw(x|a)\,dx\\
&=\frac{(q,q/a;q)_{\infty}^4}{(bq,q/ab;q)_{\infty}^4}\frac 1{2\pi}\int_{-1}^1\frac{(ate^{\pm i\theta},e^{\pm i\theta}q/abt;q)_{\infty}}{(te^{\pm i\theta},e^{\pm i\theta}q/a^2bt;q)_{\infty}}w(x|a)\,dx\\
&=\frac{(q,q/a;q)_{\infty}^4}{(bq,q/ab;q)_{\infty}^4}\frac{(a,aq;q)_{\infty}}{(q,a^2;q)_{\infty}}\Q21{a^2,a}{aq}{\frac{q}{a^2b}}
\end{align}
となる. よって, 左辺を$m\mapsto m+k, n\mapsto n+k$としてから両辺の$t^k$の係数を比較して定理を得る.
