Frenkel-Turaevの和公式から得られる楕円対称モーメント
前の記事 において現れた(有限)対称モーメントの楕円類似をここでは楕円対称モーメントということにする. 前の記事 においてJacksonの${}_8\phi_7$和公式から$q$有限対称モーメントの表示を与えたが, 今回はその楕円類似である Frenkel-Turaevの和公式 で同様のことを試してみる.
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd,q^{-N};q,p)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-N}/a,aq^{N+1};q,p)_n}q^n\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_N}
\end{align}
より, $t:=\frac{aq}{bcd}$として,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd,q^{-N};q,p)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-N}/a,aq^{N+1};q,p)_n}q^n\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_N}-\frac{\theta(aq^{2N};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd,q^{-N};q,p)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-N}/a,aq^{N+1};q,p)_N}q^N\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_N}-\frac{(aq,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd;q,p)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd,aq^{N};q,p)_N}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^N\\
&=\frac{(aq;q,p)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,t;q,p)_N}\left((bt,ct,dt;q,p)_N-\frac{(b,c,d,atq^{N};q,p)_N}{(aq^{N};q,p)_N}t^N\right)\\
\end{align}
ここで, $t\to 1$を計算したいので, 楕円Pochhammer記号の対数微分がどうなるのかを計算してみる. それは
\begin{align}
\frac{d}{dt}\ln(t;q,p)_N&=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{d}{dt}\ln\theta(tq^k;p)\\
&=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\theta'(tq^k;p)}{\theta(tq^k;p)}q^k
\end{align}
となる. また,
\begin{align}
\theta(t;p)&=(1-t)(tp,p/t;p)_{\infty}
\end{align}
であることも思い出しておく. これらを用いると,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b,c,d;q,p)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q,p)_n}q^n\frac{\theta(aq^N,q^{-N};p)}{\theta(aq^{N+n},q^{n-N};p)}\\
&=-\frac{(aq,b,c,d;q,p)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d;q,p)_N(q;q,p)_{N-1}(p;p)_{\infty}^2}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac{\theta'(bq^k;p)}{\theta(bq^k;p)}bq^k+\frac{\theta'(cq^k;p)}{\theta(cq^k;p)}cq^k+\frac{\theta'(dq^k;p)}{\theta(dq^k;p)}dq^k-\frac{\theta'(aq^{N+k};p)}{\theta(aq^{N+k};p)}aq^{N+k}+1\right)
\end{align}
よって以下を得る.
$aq/bcd=1$のとき,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,d;q,p)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q,p)_n}q^n\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(aq^{N+n},q^{n-N};p)}\\
&=\frac{(a,b,c,d;q,p)_N}{(p;p)_{\infty}^2(aq/b,aq/c,aq/d,q;q,p)_N}q^N\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac{\theta'(bq^k;p)}{\theta(bq^k;p)}bq^k+\frac{\theta'(cq^k;p)}{\theta(cq^k;p)}cq^k+\frac{\theta'(dq^k;p)}{\theta(dq^k;p)}dq^k-\frac{\theta'(aq^{N+k};p)}{\theta(aq^{N+k};p)}aq^{N+k}+1\right)
\end{align}
が成り立つ.
このように楕円類似においても同じような形で与えられるのは興味深いと思う. より一般的な公式が得られるかどうかは今後の研究課題である.
