商空間の例

• $q_{CX}^{-1}(q_{CX}(\{1\} \times X)) = \{1\} \times X \in \tau^{c}(I \times X)$より，$q_{CX}(\{1\} \times X) \in \tau^{c}(CX)$である．
• $\{0\} \times X \in \tau^{c}(I \times X)$であるから，命題5.7より，
  $$ X \approx \{1\} \times X \approx q_{CX}(\{1\} \times X);\ x \mapsto [1,x]$$
  が成り立つ．

$B := q_{CX}^{-1}(CX|A) = I \times A \cup \{0\} \times X \in \tau^{c}(I \times X)$より$CX|A \in \tau^{c}(CX)$であるので，命題5.4より同相
$$ B/(R_{c}|B) \approx CX|A$$
が成り立つ．また，$R_{c}|B$が
$$ (0,x) \sim (0,x'),\ x,x' \in X$$
によって生成される同値関係に一致することに注意すると以下がわかる：

• 包含写像$I \times A \to B$は連続写像$CA \to B/(R_{c}|B)$を誘導する；
• $a \in A$を取る．連続写像$q_{CA} \colon I \times A \to CA$および$\{0\} \times X \to CA;\ (0,x) \mapsto [0,a]$が貼り合わさって定まる連続写像$B \to CA$は連続写像$B/(R_{c}|B) \to CA$を誘導する；
• これらは互いの逆写像である．

1. 同相写像
   $$ I \times X \to J \times X;\ (t,x) \mapsto (2t-1,x)$$
   が同相写像$CX/X \to SX$を誘導する（命題5.3）．
2. $B := q_{SX}^{-1}(SX_{-}) = [-1,0] \times X \in \tau^{c}(J \times X)$より$SX_{-} \in \tau^{c}(SX)$であり，$R_{s}|B$は
   $$ (-1,x) \sim (-1,x'),\ x,x' \in X$$
   によって生成される同値関係に一致するので，命題5.4より同相
   $$ CX \approx B/(R_{s}|B) \approx SX_{-};\ [t,x] \mapsto [t-1,x]$$
   が成り立つ．
3. (ii)と同様．ただし
   $$ CX \approx SX_{+};\ [t,x] \mapsto [1-t,x]$$
   となる．
4. 命題1と前段より明らか．
5. 前段と命題5.15よりしたがう．

$B := q_{SX}^{-1}(SX|A) = J \times A \cup \{-1,1\} \times X \in \tau^{c}(J \times X)$より$SX|A \in \tau^{c}(SX)$であり，$R_{s}|B$は
$$ (-1,x) \sim (-1,x'),\,(1,x) \sim (1,x'),\ x,x' \in X$$
によって生成される同値関係に一致するので，命題5.4より同相
$$ SA \approx B/(R_{s}|B) \approx SX|A$$
が成り立つ．

1. $B_{0} := q_{X \ast Y}^{-1}(X \ast_{0} Y) = X \times \{0\} \times Y \in \tau^{c}(X \times I \times Y)$より$X \ast_{0} Y \in \tau^{c}(X \ast Y)$であり，$R_{j}|B_{0} = R(p_{X})$であるから，命題5.4より
   $$ X \approx B_{0}/R(p_{X}) \approx X \ast_{0} Y;\ x \mapsto [x,0,y]$$
   が成り立つ．ただし$p_{X} \colon B_{0} \to X$は自然な射影である．
2. (i)と同様．
3. $B_{\frac{1}{2}} := q_{X \ast Y}^{-1}(X \ast_{\frac{1}{2}} Y) = X \times \{\tfrac{1}{2}\} \times Y \in \tau^{c}(X \times I \times Y)$より$X \ast_{\frac{1}{2}} Y \in \tau^{c}(X \ast Y)$であり，$R_{j}|B_{\frac{1}{2}} = \Delta_{B_{\frac{1}{2}}} = R(\id_{B_{\frac{1}{2}}})$であるから，命題5.4より
   $$ X \times Y \approx B_{\frac{1}{2}} \approx B_{\frac{1}{2}}/R(\id_{B_{\frac{1}{2}}}) \approx X \ast_{\frac{1}{2}} Y;\ (x,y) \mapsto [x,\tfrac{1}{2},y]$$
   が成り立つ．
4. 同相写像
   $$ X \times I \times Y \to Y \times I \times X;\ (x,t,y) \mapsto (y,1-t,x)$$
   が同相写像$X \ast Y \to Y \ast X$を誘導する．

$$ Z := q_{X \ast Y}^{-1}((X|A) \ast (Y|B)) = A \times I \times B \cup A \times \{0\} \times Y \cup X \times \{1\} \times B \in \tau^{c}(X \times I \times Y)$$
より$(X|A) \ast (Y|B) \in \tau^{c}(X \ast Y)$であり，$R_{j}|Z$は
\begin{align} (a,0,y) \sim (a,0,y'),&\ a \in A,\,y,y' \in Y,\\ (x,1,b) \sim (x',1,b),&\ x,x' \in X,\,b \in B \end{align}
によって生成される同値関係に一致するので，命題5.4より同相
$$ A \ast B \approx Z/(R_{j}|Z) \approx (X|A) \ast (Y|B)$$
が成り立つ．

1. 同相写像
   $$ D^{0} \times I \times X \to I \times X;\ (0,t,x) \mapsto (t,x)$$
   が同相$D^{0} \ast X \approx CX$を誘導する．
2. 連続写像
   $$ S^{0} \times I \times X \to J \times X;\ (s,t,x) \mapsto \begin{cases} (t-1,x) & , s = -1\\ (1-t,x) & , s = 1 \end{cases}$$
   は連続写像$f \colon S^{0} \ast X \to SX$を誘導する．また，閉被覆上の連続写像族
   \begin{align} [-1,0] \times X \to S^{0} \ast X &;\ (t,x) \mapsto [-1,1+t,x],\\ [0,1] \times X \to S^{0} \ast X &;\ (t,x) \mapsto [1,1-t,x] \end{align}
   が$\{0\} \times X$上で貼り合わさって定まる連続写像$J \times X \to S^{0} \ast X$は連続写像$g \colon SX \to S^{0} \ast X$を誘導する．こうして定まる$f,g$が互いの逆写像であることは容易に確かめられる．

$X' = X_{1} \circ \cdots \circ X_{m},\,X'' = X_{m+1} \circ \cdots \circ X_{n}$とおく．

連続写像$f \colon X' \circ X'' \to X_{1} \circ \cdots \circ X_{n}$の構成

写像$f \colon X' \circ X'' \to X_{1} \circ \cdots \circ X_{n}$を次で定める：
$$ x = r(t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{m}x_{m}) \oplus s(t_{m+1}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus t_{n}x_{n}) \mapsto rt_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus rt_{m}x_{m} \oplus st_{m+1}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus st_{n}x_{n}.$$

• 各$i \in [n]$に対して
  $$ f^{-1}(T_{i}^{-1}(]0,1])) = \begin{cases} T_{X'}^{-1}(]0,1]) \cap (T_{X_{i}} \circ \xi_{X'})^{-1}(]0,1]) = (T_{X_{i}} \circ \xi_{X'})^{-1}(]0,1]) & ,1 \leq i \leq m\\ T_{X''}^{-1}(]0,1]) \cap (T_{X_{i}} \circ \xi_{X''})^{-1}(]0,1]) = (T_{X_{i}} \circ \xi_{X''})^{-1}(]0,1]) & ,m < i \leq n \end{cases} \in \tau(X' \circ X'')$$
  が成り立つ．
• $i \in [m]$とする．
  • $T_{X'}^{-1}(]0,1])$上で，
    $$ T_{i} \circ f(x) = rt_{i} = T_{X'}(x) \cdot T_{X_{i}} \circ \xi_{X'}(x)$$
    より，$T_{i} \circ f$は連続である．
  • 任意の$x := 0x' \oplus 1x'' \in X' \circ X''$と$\varepsilon > 0$に対して，$U := T_{X'}^{-1}([0,\varepsilon[) \in \tau(x,X' \circ X'')$であり$T_{i} \circ f(U) \subset [0,\varepsilon[$が成り立つ．したがって$T_{X'}^{-1}([0,1[)$上でも$T_{i} \circ f$は連続である．
  • よって$T_{i} \circ f \colon X' \circ X'' \to I$は連続である．
  • また，$f^{-1}(T_{i}^{-1}(]0,1]))$上で
    $$ \xi_{i} \circ f(x) = x_{i} = \xi_{X_{i}} \circ \xi_{X'}(x)$$
    が成り立つので，$\xi_{i} \circ f^{T_{i}^{-1}(]0,1])}$は連続である．
• 同様にして$i \in \{m+1,\ldots,n\}$に対しても，$T_{i} \circ f$および$\xi_{i} \circ f^{T_{i}^{-1}(]0,1])}$は連続であることがわかる．

よって$f \colon X' \circ X'' \to X_{1} \circ \cdots \circ X_{n}$は連続である（命題2.18）．

連続写像$g \colon X_{1} \circ \cdots \circ X_{n} \to X' \circ X''$の構成

写像$g \colon X_{1} \circ \cdots \circ X_{n} \to X' \circ X''$を次で定める：
$$ x = t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{n}x_{n} \mapsto r(t_{1}'x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{m}'x_{m}) \oplus s(t_{m+1}''x_{m+1} \oplus \cdots \oplus t_{n}''x_{n}).$$
ただし，
\begin{align} r &= t_{1} + \cdots + t_{m},\\ t_{i}' &= \begin{cases} \frac{t_{i}}{r} &, r\neq 0\\ \frac{1}{m} &, r = 0 \end{cases}\\ s &= t_{m+1} + \cdots + t_{n},\\ t_{i}'' &= \begin{cases} \frac{t_{i}}{s} &, s \neq 0\\ \frac{1}{n-m} &, s = 0 \end{cases} \end{align}
とおいた．このとき，
\begin{align} T_{X'} \circ g(x) &= r = T_{1}(x) + \cdots + T_{m}(x),\\ T_{X''} \circ g(x) &= s = T_{m+1}(x) + \cdots + T_{n}(x) \end{align}
より，$T_{X'} \circ g,\, T_{X''}\circ g$は連続である．

• $i \in [m]$とする．このとき，
  \begin{align} T_{X_{i}} \circ (\xi_{X'} \circ g^{T_{X'}^{-1}(]0,1])})(x) &= T_{X_{i}}\left(\frac{t_{1}}{r}x_{1} \oplus \cdots \oplus \frac{t_{m}}{r}x_{m}\right)\\ &= \frac{t_{i}}{r}\\ &= \frac{T_{i}(x)}{T_{1}(x) + \cdots + T_{m}(x)} \end{align}
  および
  \begin{align} \xi_{X_{i}} \circ (\xi_{X'} \circ g^{T_{X'}^{-1}(]0,1])})^{T_{X_{i}}^{-1}(]0,1])}(x) &= \xi_{X_{i}}\left(\frac{t_{1}}{r}x_{1} \oplus \cdots \oplus \frac{t_{m}}{r}x_{m}\right)\\ &= x_{i}\\ &= \xi_{i}(x) \end{align}
  が成り立つ．したがって$\xi_{X'} \circ g^{T_{X'}^{-1}(]0,1])}$は連続である（命題2.18）．
• 同様にして$\xi_{X''} \circ g^{T_{X''}^{-1}(]0,1])}$の連続性もわかる．

よって$g \colon X_{1} \circ \cdots X_{n} \to X' \circ X''$は連続である．

$f,g$が互いの逆写像であること

\begin{align} g \circ f(r(t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{m}x_{m}) \oplus s(t_{m+1}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus t_{n}x_{n})) &= g(rt_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus rt_{m}x_{m} \oplus st_{m+1}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus st_{n}x_{n})\\ &= \begin{cases} r(t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{m}x_{m}) \oplus s(t_{m+1}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus t_{n}x_{n}) &, r,s \neq 0\\ 0\left(\frac{1}{m}x_{1} \oplus \cdots \oplus \frac{1}{m}x_{m}\right) \oplus 1(t_{m+1}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus t_{n} x_{n}) &, r = 0\\ 1(t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{m}x_{m}) \oplus 0\left(\frac{1}{n-m}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus \frac{1}{n-m}x_{n}\right) &, s = 0\\ \end{cases}\\ &= r(t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{m}x_{m}) \oplus s(t_{m+1}x_{m+1} \oplus \cdots \oplus t_{n}x_{n}) \end{align}
および
\begin{align} f \circ g(t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{n}x_{n}) &= f(r(t_{1}'x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{m}'x_{m}) \oplus s(t_{m+1}''x_{m+1} \oplus \cdots \oplus t_{n}''x_{n}))\\ &= rt_{1}'x_{1} \oplus \cdots \oplus rt_{m}'x_{m} \oplus st_{m+1}''x_{m+1} \oplus \cdots \oplus st_{n}''x_{n}\\ &= t_{1}x_{1} \oplus \cdots \oplus t_{n}x_{n} \end{align}
が成り立つ．

$x := t_{1}x_{1} \oplus t_{2}x_{2} \neq t_{1}'x_{1}' \oplus t_{2}'x_{2}' =: x'$とする．このとき，“$x_{1}$と$x_{2}$とを結ぶ線分”と，“$x_{1}'$と$x_{2}'$とを結ぶ線分”との位置関係（cf. 図5）に注意すると，

• $t_{1} \neq t_{1}'$;
• $t_{2} \neq t_{2}'$;
• $t_{1} = t_{1}' \neq 0 \land x_{1} \neq x_{1}'$;
• $t_{2} = t_{2}' \neq 0 \land x_{2} \neq x_{2}'$

のうち少なくとも一つが成り立つことがわかる．したがって，写像

• $T_{1} \colon X_{1} \circ X_{2} \to I;\ s_{1}y_{1} \oplus s_{2}y_{2} \mapsto s_{1}$;
• $T_{2} \colon X_{1} \circ X_{2} \to I;\ s_{1}y_{1} \oplus s_{2}y_{2} \mapsto s_{2}$;
• $\xi_{1} \colon T_{1}^{-1}(]0,1]) \to X_{1};\ s_{1}y_{1} \oplus s_{2}y_{2} \mapsto y_{1}$;
• $\xi_{2} \colon T_{2}^{-1}(]0,1]) \to X_{2};\ s_{1}y_{1} \oplus s_{2}y_{2} \mapsto y_{2}$

の連続性および$I,X_{1},X_{2}$のハウスドルフ性より，$x,x'$は交わらない開近傍を持つ（補題2.22）．

• $X_{1},\ldots,X_{n},\Delta^{n-1}$はコンパクト空間なので，$X_{1} \ast \cdots \ast X_{n}$はコンパクト空間である．
• 命題10，補題11より，
  $$ X_{1} \circ \cdots \circ X_{n} \approx ( \cdots ((X_{1} \circ X_{2}) \circ X_{3}) \cdots ) \circ X_{n}$$
  はハウスドルフ空間である．

命題10（の系）と命題12より
\begin{align} X_{1} \ast (X_{2} \ast X_{3}) &\approx X_{1} \ast (X_{2} \circ X_{3})\\ &\approx X_{1} \circ (X_{2} \circ X_{3})\\ &\approx (X_{1} \circ X_{2}) \circ X_{3}\\ &\approx (X_{1} \ast X_{2}) \circ X_{3}\\ &\approx (X_{1} \ast X_{2}) \ast X_{3} \end{align}
を得る．

$m \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$に関する数学的帰納法による．

• $m = 0$のとき，命題9，例2より
  $$ S^{0} \ast S^{n} \approx SS^{n} \approx S^{n+1} = S^{0 + n + 1}$$
  が成り立つ．
• $m > 0$のとき，
  \begin{align} S^{m} \ast S^{n} &\approx (SS^{m-1}) \ast S^{n}\\ &\approx (S^{0} \ast S^{m-1}) \ast S^{n}\\ &\approx S^{0} \ast (S^{m-1} \ast S^{n})\\ &\approx S^{0} \ast S^{(m-1) + n + 1} = S^{0} \ast S^{m+n}\\ &\approx SS^{m+n}\\ &\approx S^{m+n+1} \end{align}
  が成り立つ．

1. $\{x_{0}\} \in \tau^{c}(X)$より$C\{x_{0}\} \approx q_{CX}(I \times \{x_{0}\})$が成り立つ（命題2）．いま$(0,x_{0}) \in I \times \{x_{0}\} \cap \{0\} \times X \neq \varnothing$であるから，命題5.5より
   \begin{align} CX/C\{x_{0}\} &\approx ((I \times X)/(\{0\} \times X))/q_{I \times X/\{0\} \times X}(I \times \{x_{0}\})\\ &\approx (I \times X)/(I \times \{x_{0}\} \cup \{0\} \times X)\\ &= \hat{C}X \end{align}
   が成り立つ．
2. $\{x_{0}\} \in \tau^{c}(X)$より$S\{x_{0}\} \approx q_{SX}(J \times \{x_{0}\})$が成り立つ（命題5）．よって，命題4，命題5.5より
   \begin{align} SX/S\{x_{0}\} &\approx (CX/X)/q_{CX/X}(q_{CX}(I \times \{x_{0}\}))\\ &\approx CX/q_{CX}(I \times \{x_{0}\} \cup \{1\} \times X)\\ &= ((I \times X)/(\{0\} \times X))/q_{I \times X/\{0\} \times X}(I \times \{x_{0}\} \cup \{1\} \times X)\\ &\approx (I \times X)/(I \times \{x_{0}\} \cup \{0,1\} \times X)\\ &\approx (J \times X)/(J \times \{x_{0}\} \cup \{-1,1\} \times X)\\ &= \Sigma X \end{align}
   が成り立つ．
3. $B := q_{\hat{C}X}^{-1}(q_{\hat{C}X}(\{1\} \times X)) = I \times \{x_{0}\} \cup \{1\} \times X \in \tau^{c}(I \times X)$より$q_{\hat{C}X}(\{1\} \times X) \in \tau^{c}(\hat{C}X)$である．また，$R(I \times \{x_{0}\} \cup \{0\} \times X)|B = R(I \times \{x_{0}\})$であるから，命題5.4より
   $$ X \approx \{1\} \times X \approx B/(I \times \{x_{0}\}) \approx q_{\hat{C}X}(\{1\} \times X)$$
   が成り立つ．
4. 前段より
   \begin{align} \Sigma X &\approx (I \times X)/(I \times \{x_{0}\} \cup \{0,1\} \times X)\\ &\approx ((I \times X)/(I \times \{x_{0}\} \cup \{0\} \times X))/q_{I \times X/(I \times \{x_{0}\} \cup \{0\} \times X)}(\{1\} \times X)\\ &= \hat{C}X/q_{\hat{C}X}(\{1\} \times X)\\ &\approx \hat{C}X/X \end{align}
   を得る．
5. $B := q_{\Sigma X}^{-1}(\Sigma X_{-}) = J \times \{x_{0}\} \cup [-1,0] \times X \in \tau^{c}(J \times X)$より$\Sigma X_{-} \in \tau^{c}(\Sigma X)$である．また，$R(J \times \{x_{0}\} \cup \{-1,1\} \times X)|B$は$J \times \{x_{0}\} \cup \{-1\} \times X$を一点につぶす同値関係であるから，連続写像$I \times X \to B;\ (t,x) \mapsto (t-1,x)$は連続写像$\hat{C}X \to \Sigma X_{-}$を誘導する．また，連続写像
   \begin{align} J \times \{x_{0}\} \to \hat{C}X&;\ (t,x_{0}) \mapsto [0,x_{0}]\\ [-1,0] \times X \to \hat{C}X&;\ (t,x) \mapsto [t+1,x]\\ \end{align}
   が貼り合わさって定まる連続写像$B \to \hat{C}X$が逆写像を誘導する．$\Sigma X_{+}$についても同様である：
   $$ \hat{C}X \approx \Sigma X_{+};\ [t,x] \mapsto [1-t,x].$$
6. 前段より
   $$ X \approx q_{\hat{C}X}(\{1\} \times X) \approx \Sigma X_{0} \in \tau^{c}(\Sigma X)$$
   が成り立つ．
7. 前段と命題5.15よりしたがう．

$S^{n}$の基点を$x_{0} \in S^{n}$とする．写像$f \colon SS^{n} \to S^{n+1}$を
$$ f([t,x]) = \begin{cases} \left(\sqrt{1-\|(1-t)x + tx_{0}\|^{2}}, (1-t)x + tx_{0}\right) & ,t \geq 0\\ \left(-\sqrt{1-\|(1+t)x - tx_{0}\|^{2}}, (1+t)x - tx_{0}\right) & , t \leq 0 \end{cases}$$
で定める．$f \circ q_{SS^{n}}$が連続なので$f$は連続である．連続写像$f$は，$SS^{n}_{\pm} \approx CS^{n}$（命題4）を例6の写像により$D^{n+1} \approx \{0\} \times D^{n+1} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n+1}$に押しつけたものを同相写像
$$ D^{n+1} \to S^{n+1} \cap (\{x \in \mathbb{R} \mid \pm x \geq 0 \} \times \mathbb{R}^{n+1});\ z \mapsto \left(\pm\sqrt{1-\|z\|^{2}},z\right)$$
で“左右に膨らませる”写像である．したがって，$f$はコンパクト空間$\Sigma S^{n} \approx SS^{n}/S\{x_{0}\}$からハウスドルフ空間$S^{n+1}$への全単射連続写像を誘導する．
$S\{x_{0}\}$をつぶす

命題13，例6，例1より
$$ \Sigma S^{n} \approx \hat{C}S^{n}/S^{n} \approx D^{n+1}/S^{n} \approx S^{n+1}$$
を得る．

単位閉区間$I = [0,1]$はコンパクトハウスドルフ空間なので
$$ \id_{I} \times q_{\Sigma X} \colon I \times J \times X \to I \times \Sigma X$$
は全射等化写像である（定理4.11の系）．したがって，合成
$$ q := q_{\hat{C}\Sigma X} \circ (\id_{I} \times q_{\Sigma X}) \colon I \times J \times X \to \hat{C}\Sigma X$$
は全射等化写像である（定理3.7の系）．また，同値関係$R(q)$は部分集合
$$ (I \times J \times \{x_{0}\}) \cup (\{0\} \times J \times X) \cup (I \times \{-1,1\} \times X)$$
を一点につぶす同値関係である．同様に
$$ q' := q_{\Sigma\hat{C}X} \circ (\id_{J} \times q_{\hat{C}X}) \colon J \times I \times X \to \Sigma\hat{C}X$$
は全射等化写像であり，
$$ R(q') = R((J \times I \times \{x_{0}\}) \cup (J \times \{0\} \times X) \cup (\{-1,1\} \times I \times X))$$
が成り立つ．よって，同相写像
$$ I \times J \times X \to J \times I \times X;\ (s,t,x) \mapsto (t,s,x)$$
が同相
$$ \hat{C}\Sigma X \approx \Sigma\hat{C}X$$
を誘導する．

余積空間の普遍性より連続写像$\nabla(f_{\bullet}) \colon \coprod X_{\bullet} \to Y$が定まる：
$$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {Y}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar@{.>}[ru]_{\nabla(f_{\bullet})} }$$
いま
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ f_{\lambda}(x_{\lambda,0}) = y_{0}$$
より，
$$ q_{\bigvee X_{\bullet}}(x) = q_{\bigvee X_{\bullet}}(y) \implies \nabla(f_{\bullet})(x) = \nabla(f_{\bullet})(y)$$
が成り立つ．よって，商空間の普遍性より連続写像$\bigvee f_{\bullet} \colon \bigvee X_{\bullet} \to Y$が定まる：
$$ \xymatrix{ {\coprod X_{\bullet}} \ar[r]^{\nabla(f_{\bullet})} \ar[d]_{q_{\bigvee X_{\bullet}}} & {Y}\\ {\bigvee X_{\bullet}} \ar@{.>}[ur]_{\bigvee f_{\bullet}} }$$
この$\bigvee f_{\bullet}$が条件を満たすことは明らかであろう．

$X = \coprod X_{\bullet},\,q = q_{\bigvee X_{\bullet}}$とおく．命題3.19より$X$はハウスドルフ空間である．

$x,y \in X,\,q(x) \neq q(y),\,$とする．$x \neq y$と$X$のハウスドルフ性より$x,y \in X$の交わらない開近傍$U,V \in \tau(X)$が存在する．また，$X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{\lambda}(X_{\lambda})$より，$\lambda,\mu \in \Lambda$であって$x \in i_{\lambda}(X_{\lambda}),y \in i_{\mu}(X_{\mu})$となるものが存在する．

$x \in i_{\lambda}(X_{\lambda} \smallsetminus \{x_{\lambda,0}\}),\,y = i_{\mu}(x_{\mu,0})$のとき

$x \neq i_{\lambda}(x_{\lambda,0})$より，それぞれの交わらない開近傍$U_{0},V_{0} \in \tau(X)$が存在する．そこで$U' = U \cap U_{0} \cap i_{\lambda}(X_{\lambda} \smallsetminus \{x_{\lambda,0}\}),\,V' = V \cup V_{0} \cup \bigcup_{\lambda' \neq \lambda} i_{\lambda'}(X_{\lambda'})$とおくと，
$$ q^{-1}(q(U')) = U' \in \tau(x,X),\ q^{-1}(q(V')) = V' \in \tau(y,X),\ U' \cap V' = \varnothing$$
より，
$$ q(U') \in \tau\left(q(x),\bigvee X_{\bullet}\right),\ q(V') \in \tau\left(q(y),\bigvee X_{\bullet}\right),\ q(U') \cap q(V') = \varnothing$$
が成り立つ．

$x \in i_{\lambda}(X_{\lambda} \smallsetminus \{x_{\lambda,0}\}),\,y \in i_{\mu}(X_{\mu} \smallsetminus \{x_{\mu,0}\})$のとき

$U' = U \cap i_{\lambda}(X_{\lambda} \smallsetminus \{x_{\lambda,0}\}),\, V' = V \cap i_{\mu}(X_{\mu} \smallsetminus \{x_{\mu,0}\})$とおくと，
$$ q^{-1}(q(U')) = U' \in \tau(x,X),\ q^{-1}(q(V')) = V' \in \tau(y,X),\ U' \cap V' = \varnothing$$
より，
$$ q(U') \in \tau\left(q(x),\bigvee X_{\bullet}\right),\ q(V') \in \tau\left(q(y),\bigvee X_{\bullet}\right),\ q(U') \cap q(V') = \varnothing$$
が成り立つ．

商写像を$q \colon \coprod X_{\bullet} \to \bigvee X_{\bullet}$とおく．

• 各$i \in [n]$に対して
  $$ X_{i}' = \{x_{1,0}\} \times \cdots \times \{x_{i-1,0}\} \times X_{i} \times \{x_{i+1,0}\} \times \cdots \times \{x_{n,0}\}$$
  とおくと，これは$X_{1} \times \cdots \times X_{n}$の閉集合であるから，$(X_{i}')_{i \in [n]}$は$X_{1} \vee \cdots \vee X_{n}$の有限閉被覆である．そこで各$i \in [n]$に対して連続写像$f_{i} \colon X_{i}' \to \bigvee X_{\bullet}$を
  $$ f_{i}(x) = q(i,x_{i})$$
  で定めると，これらは$X_{i}' \cap X_{j}' = \{(x_{1,0},\ldots,x_{n,0})\}$上で貼り合わさって連続写像
  $$ f \colon X_{1} \vee \cdots \vee X_{n} \to \bigvee X_{\bullet}$$
  を定める．
• 各$i \in [n]$に対して連続写像$g_{i} \colon X_{i} \to X_{1} \vee \cdots \vee X_{n}$を
  $$ g_{i}(x_{i}) = (x_{1,0},\ldots,x_{i-1,0},x_{i},x_{i+1,0},\ldots,x_{n,0})$$
  で定めると，$(g_{i})_{i \in [n]}$は基点つき空間のあいだの連続写像族なので，楔和の普遍性より連続写像
  $$ g \colon \bigvee X_{\bullet} \to X_{1} \vee \cdots \vee X_{n}$$
  が定まる．

こうして定まる$f,g$が互いの逆写像であることは明らかであろう．

1. 連続写像
   $$ S^{0} \times X = \{-1\} \times X \cup \{1\} \times X = X \amalg X \xrightarrow{c_{x_{0}} \amalg \id_{X}} X$$
   は連続写像$S^{0} \wedge X \to X$を誘導する．連続写像$X \to S^{0} \wedge X;\ x \mapsto q_{S^{0} \wedge X}(1,x)$が逆写像を与える．
2. $I \vee X = I \times \{x_{0}\} \cup \{0\} \times X$より，
   $$ I \wedge X = \frac{I \times X}{I \times \{x_{0}\} \cup \{0\} \times X} = \hat{C}X$$
   が成り立つ．
3. 連続写像$f \colon (J,-1) \to (S^{1},s);\ t \mapsto s \cdot \exp(\pi \sqrt{-1} (t+1))$は同相$J/\{-1,1\} \approx S^{1}$を誘導する．また，定理4.11の系より$g := f \times \id_{X} \colon J \times X \to S^{1} \times X$は全射等化写像である．したがって$q_{S^{1} \wedge X} \circ g \colon J \times X \to S^{1} \wedge X$は全射等化写像であり，
   $$ R(q_{S^{1} \wedge X} \circ g) = R(J \times \{x_{0}\} \cup \{-1,1\} \times X)$$
   が成り立つことがわかるので，同相
   $$ \Sigma X = \frac{J \times X}{J \times \{x_{0}\} \cup \{-1,1\} \times X} \approx S^{1} \wedge X$$
   が成り立つ．
   $$ \xymatrix{ {J \times X} \ar[r]^{f \times \id_{X}} \ar[d]_{q_{\Sigma X}} & {S^{1} \times X} \ar[d]^{q_{S^{1} \wedge X}}\\ {\Sigma X} \ar@{.>}[r]_{\approx} & {S^{1} \wedge X} }$$

各$i \in [n]$に対して
$$ (f_{1} \times \cdots \times f_{n})(X_{1} \times \cdots \times X_{i-1} \times \{x_{i,0}\} \times X_{i+1} \times \cdots \times X_{n}) \subset Y_{1} \times \cdots \times Y_{i-1} \times \{y_{i,0}\} \times Y_{i+1} \times \cdots \times Y_{n}$$
が成り立つので，命題5.3より結論を得る．

1. $X \vee Y \in \tau^{c}(X \times Y),\ (A \times B) \cap (X \vee Y) = A \vee B$であり，仮定より$A \times B \in \tau^{c}(X \times Y)$であるから，命題5.13の系より結論を得る．
2. 補題19より，連続写像$q_{X/A} \times \id_{Y} \colon X \times Y \to (X/A) \times Y$は連続写像$q_{X/A} \wedge \id_{Y} \colon X \wedge Y \to (X/A) \wedge Y$を誘導する．仮定より$q_{X/A} \times \id_{Y}$は全射等化写像であるから（定理4.11の系），$q_{X/A} \wedge \id_{Y}$は全射等化写像であり（定理3.7の系），したがって同相
   $$ (X \wedge Y)/R(q \wedge \id_{Y}) \approx (X/A) \wedge Y$$
   が成り立つ．
   $$ \xymatrix{ {X \times Y} \ar[rr]^{q_{X/A} \times \id_{Y}} \ar[d]_{q_{X \wedge Y}} & {} & {(X/A) \times Y} \ar[d]^{q_{(X/A) \wedge Y}}\\ {X \wedge Y} \ar[rr]_{q_{X/A} \wedge \id_{Y}} & {} & {(X/A) \wedge Y} }$$
   ところで，同一視$A \wedge Y \subset X \wedge Y$のもとで
   $$ R(q_{X/A} \wedge \id_{Y}) = R(A \wedge Y)$$
   が成り立つことがわかるので，結論を得る．

任意の$x \in X_{1} \times \cdots \times X_{n}$に対して
\begin{align} & x \in \bigcup_{i \in [n]} X_{1} \times \cdots \times X_{i-1} \times A_{i} \times X_{i+1} \times \cdots \times X_{n}\\ \iff & f(x) \in \bigcup_{i \in [n]} \frac{X_{1}}{A_{1}} \times \cdots \times \frac{X_{i-1}}{A_{i-1}} \times \{q_{X_{i}/A_{i}}(x_{i,0})\} \times \frac{X_{i+1}}{A_{i+1}} \times \cdots \times \frac{X_{n}}{A_{n}} \end{align}
が成り立つので，全射連続写像$f$は全単射連続写像
$$ \overline{f} \colon X \to \frac{X_{1}}{A_{1}} \wedge \cdots \wedge \frac{X_{n}}{A_{n}}$$
を誘導する：
$$ \xymatrix{ {X_{1} \times \cdots \times X_{n}} \ar[r]^{f} \ar[d]_{\text{quoti.}} & {\frac{X_{1}}{A_{1}} \times \cdots \times \frac{X_{n}}{A_{n}}} \ar[d]^{\text{quoti.}}\\ {X} \ar@{.>}[r]_{\overline{f}} & {\frac{X_{1}}{A_{1}} \wedge \cdots \wedge \frac{X_{n}}{A_{n}}} }$$
いま，仮定より$f$は等化写像なので，逆写像$\overline{f}^{-1}$は連続である．

全射連続写像

• $q_{0} := q_{X \wedge Y \wedge X} \colon X \times Y \times Z \to X \wedge Y \wedge Z$;
• $q_{1} := q_{X \wedge (Y \wedge Z)} \circ (\id_{X} \times q_{Y \wedge Z}) \colon X \times (Y \times Z) \to X \wedge (Y \wedge Z)$;
• $q_{2} := q_{(X \wedge Y) \wedge Z} \circ (q_{X \wedge Y} \times \id_{Z}) \colon (X \times Y) \times Z \to (X \wedge Y) \wedge Z$

を考える．

1. $q_{1}$は全射等化写像である．また，$q_{X \wedge Y}$はコンパクト空間$X \times Y$からハウスドルフ空間$X \wedge Y$への全射連続写像であるから，$q_{2}$は全射等化写像である．
2. (1)と同様．
3. $X$が局所コンパクトハウスドルフ空間であることから$q_{1}$が，$Z$が局所コンパクトハウスドルフ空間であることから$q_{2}$が全射等化写像であることがしたがう．

いづれも定理4.11の系および定理3.7の系による．さらに，$R(q_{0}),R(q_{1}),R(q_{2})$はいづれも
$$ R((\{x_{0}\} \times Y \times Z) \cup (X \times \{y_{0}\} \times Z) \cup (X \times Y \times \{z_{0}\}))$$
に一致するので，恒等写像が所期の同相を誘導する：
$$ \xymatrix{ {X \times Y \times Z} \ar@{<->}[r]^{\id} \ar[d]_{q_{0}} & {X \times (Y \times Z)} \ar@{<->}[r]^{\id} \ar[d]_{q_{1}} & {(X \times Y) \times Z} \ar[d]^{q_{2}}\\ {X \wedge Y \wedge Z} \ar@{<.>}[r]_{\approx} & {X \wedge (Y \wedge Z)} \ar@{<.>}[r]_{\approx} & {(X \wedge Y) \wedge Z} }$$

$I,S^{1}$はコンパクトハウスドルフ空間であるから，命題18と合わせて
$$ \hat{C}\Sigma X \approx I \wedge (S^{1} \wedge X) \approx (I \wedge S^{1}) \wedge X \approx (S^{1} \wedge I) \wedge X \approx S^{1} \wedge (I \wedge X) \approx \Sigma\hat{C}X$$
を得る．

• $q_{n} \colon X_{1} \times \cdots \times X_{n} \to X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{n}$
• $q_{m} \colon X_{1} \times \cdots \times X_{m} \to X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{m}$
• $q_{n-m} \colon X_{m+1} \times \cdots \times X_{n} \to X_{m+1} \wedge \cdots \wedge X_{n}$
• $q_{m,n-m} \colon (X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{m}) \times (X_{m+1} \wedge \cdots \wedge X_{n}) \to (X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{m}) \wedge (X_{m+1} \wedge \cdots \wedge X_{n})$

を商写像とする．仮定より$q_{m} \times q_{n-m}$は全射等化写像であるから（定理4.11の系），合成$q := q_{m,n-m} \circ (q_{m} \times q_{n-m})$は全射等化写像である．同値関係$R(q)$は$X_{1} \times \cdots \times X_{n}$の部分集合
\begin{align} &\left(\bigcup_{i \in [m]} X_{1} \times \cdots \times X_{i-1} \times \{x_{i,0}\} \times X_{i+1} \times \cdots \times X_{m}\right) \times X_{m+1} \times \cdots \times X_{n}\\ &\cup X_{1} \times \cdots \times X_{m} \times \left(\bigcup_{i \in [n-m]} X_{m+1} \times \cdots \times X_{m+i-1} \times \{x_{m+i,0}\} \times X_{m+i+1} \times \cdots \times X_{n}\right)\\ =& \bigcup_{i \in [n]} X_{1} \times \cdots \times X_{i-1} \times \{x_{i,0}\} \times X_{i+1} \times \cdots \times X_{n} \end{align}
を一点につぶす同値関係に一致するので，
$$ X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{n} = \frac{X_{1} \times \cdots \times X_{n}}{R(q)} \approx (X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{m}) \wedge (X_{m+1} \wedge \cdots \wedge X_{n})$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {X_{1} \times \cdots \times X_{m} \times X_{m+1} \times \cdots \times X_{n}} \ar[rr]^{q_{m} \times q_{n-m}} \ar[d]_{q_{n}} & {} & {(X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{m}) \times (X_{m+1} \wedge \cdots \wedge X_{n})} \ar[d]^{q_{m,n-m}}\\ {X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{m} \wedge X_{m+1} \wedge \cdots \wedge X_{n}} \ar@{.>}[rr]_{\approx} & {} & {(X_{1} \wedge \cdots \wedge X_{m}) \wedge (X_{m+1} \wedge \cdots \wedge X_{n})} }$$

全射連続写像

• $q_{1} := q_{\Sigma(X \wedge Y)} \circ (\id_{J} \times q_{X \wedge Y}) \colon J \times (X \times Y) \to \Sigma(X \wedge Y)$
• $q_{2} := q_{\Sigma X \wedge Y} \circ (q_{\Sigma X} \times \id_{Y}) \colon (J \times X) \times Y \to \Sigma X \wedge Y$

を考える．$J = [-1,1]$はコンパクトハウスドルフ空間なので，$q_{1}$は全射等化写像である．

1. $q_{\Sigma X}$はコンパクト空間$J \times X$からハウスドルフ空間$\Sigma X$への全射連続写像なので，$q_{2}$は全射等化写像である．
2. $Y$の局所コンパクト性より$q_{\Sigma X} \times \id_{Y}$は全射等化写像なので，$q_{2}$は全射等化写像である．

$R(q_{1}),R(q_{2})$はいづれも
$$ R((\{-1,1\} \times X \times Y) \cup (J \times \{x_{0}\} \times Y) \cup (J \times X \times \{y_{0}\}))$$
に一致するので，恒等写像が所期の同相を誘導する：
$$ \xymatrix{ {J \times (X \times Y)} \ar@{<->}[r]^{\id} \ar[d]_{q_{1}} & {(J \times X) \times Y} \ar[d]^{q_{2}}\\ {\Sigma(X \wedge Y)} \ar@{<.>}[r]_{\approx} & {\Sigma X \wedge Y} }$$

命題24と縮積の可換性より
$$ \Sigma X \wedge Y \approx \Sigma(X \wedge Y) \approx \Sigma(Y \wedge X) \approx \Sigma Y \wedge X \approx X \wedge \Sigma Y$$
が成り立つ．